章末检测（二） 圆锥曲线(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆锥曲线章末检测，涵盖抛物线、椭圆、双曲线的定义、方程及性质应用，通过基础题（如抛物线准线求方程）衔接概念，过渡到综合题（如焦点三角形、中点弦问题），构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以典型例题（如双曲线离心率计算、抛物线焦点距离最值）培养数学思维，通过规范推理步骤（如点差法、韦达定理应用）提升数学语言表达，助力学生巩固知识、形成解题策略，也为教师提供分层检测素材，提高教学针对性。

章末检测（二）　圆锥曲线 （时间：120分钟　满分：150分） 第二章　圆锥曲线 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知抛物线的准线方程为y＝－，则该抛物线的标准方程为（　　） A. x2＝8y B. y2＝x C. y2＝3x D. x2＝y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 解析： 　因为抛物线的准线方程为y＝－，所以＝，即p＝，所以所求 抛物线的标准方程为x2＝y. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 2. 已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端 点的距离为（　　） A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 以上都不对 √ 解析： 　因为椭圆C的短轴长为6，所以b＝3.又因为离心率为e＝＝， a2＝b2＋c2，所以a＝5，c＝4，所以椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距 离为a＋c＝9或a－c＝1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 3. “k＞9”是“方程＋＝1表示双曲线”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 方程＋＝1表示双曲线，则 （9－k）·（k－4）＜0，解得k ＞9或k＜4，所以“k＞9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必 要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 4. 在椭圆＋＝1中，以点M（1，）为中点的弦所在直线的斜率为 （　　） A. － B. －4 C. － D. －2 √ 解析： 　设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程 得两式相减得＋＝0，即 ＝－，又x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，所以＝－，即 ＝－，所以以点M（1，）为中点的弦所在的直线的斜率为－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 5. 设F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线 上存在一点P使得｜PF1｜＋｜PF2｜＝3b，｜PF1｜·｜PF2｜＝ab，则该 双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 解析： 　因为P是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上一点，所以｜｜ PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，又｜PF1｜＋｜PF2｜＝3b，所以（｜PF1｜＋｜ PF2｜）2－（｜PF1｜－｜PF2｜）2＝9b2－4a2，所以4｜PF1｜·｜PF2｜＝ 9b2－4a2，又因为｜PF1｜·｜PF2｜＝ab，所以有9ab＝9b2－4a2，即9 （）2－9（）－4＝0，解得＝－（舍去）或＝.所以e2＝＝＝ 1＋（）2＝1＋（）2＝，所以e＝，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 6. 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么当点P到点Q（2，－1）的距离与点P 到焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　） A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2） √ 解析： 点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线 的距离.作QS垂直准线交准线于点S，交抛物线于点P，如 图，｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PS｜＋｜PQ｜，故最小值在 S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1， 点P的坐标为（，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 7. 设O为坐标原点，F1，F2是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的焦点，若 在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，｜OP｜＝a，则该双曲线的 渐近线方程为（　　） A. x±y＝0 B. x±y＝0 C. x±y＝0 D. x±y＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 解析： 　∵O为线段F1F2的中点，∴2（｜PF1｜2＋｜PF2｜2）＝4× （a）2＋（2c）2，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝14a2＋2c2.在△PF1F2中，由 余弦定理，得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－（2c）2＝2｜PF1｜·｜PF2｜cos 60°，即｜PF1｜·｜PF2｜＝14a2－2c2.又由双曲线的定义，得｜｜PF1｜ －｜PF2｜｜＝2a，两边平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝ 4a2，即（14a2＋2c2）－2（14a2－2c2）＝4a2，化简得c2＝3a2，∴b2＝ 2a2，故双曲线的渐近线为x±y＝0.故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 8. 已知直线y＝k（x＋2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F 为C的焦点，若｜FA｜＝2｜FB｜，则k＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 解析： 　设A（x1，y1），B（x2，y2），易知x1＞0，x2＞0，y1＞0，y2＞ 0.由得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0，Δ＝（4k2－8）2－16k4 ＝－64k2＋64＞0，所以0＜k＜1，所以x1x2＝4　①，根据抛物线的定义 得，｜FA｜＝x1＋＝x1＋2，｜FB｜＝x2＋2.因为｜FA｜＝2｜FB｜，所以 x1＝2x2＋2　②，由①②得x2＝1（x2＝－2舍去），所以B（1，2），代 入y＝k（x＋2）得k＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的有（　　） A. 若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m＝n＞0，则C是圆，其半径为 C. 若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x D. 若m＝0，n＞0，则C是两条直线 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 解析： 　对于选项A，∵m＞n＞0，∴0＜＜，方程mx2＋ny2＝1可 变形为＋＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B， ∵m＝n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为 的圆，错误；对于选项C，∵mn＜0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝ 0⇒y＝±x，正确；对于选项D，∵m＝0，n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1 变形为ny2＝1⇒y＝±，该方程表示两条直线，正确.综上选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 10. 设椭圆C：＋y2＝1的焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正 确的是（　　） A. 离心率e＝ B. ｜｜的最大值为3 C. △PF1F2面积的最大值为2 D. ｜＋｜的最小值为2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 解析： 　因为椭圆C：＋y2＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝ 1，c＝＝，e＝＝，故A正确；不妨令F1（－，0），F2 （，0），设P（x，y），所以＝（－x，－y），所以｜｜2＝ （x－）2＋y2＝（x－）2＋1－＝－2x＋4＝（x－）2，因 为－2≤x≤2，所以当x＝－2时，（｜｜2）max＝7＋4，即｜｜max ＝2＋，故B错误；因为＝｜y｜·2c＝｜y｜×2＝｜y｜， －1≤y≤1，所以当y＝±1，即P在短轴的端点时，△PF1F2的面积取得最 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 大值，（）max＝×1＝，故C错误；对于D，｜＋｜＝2｜｜＝2＝2，因为－2≤x≤2，所以1≤＋1≤4，所以2≤｜＋｜≤4，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 11. （2025·八省联考）已知F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C 上的点，O为坐标原点.则（　　） A. p＝4 B. ｜MF｜≥｜OF｜ C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 解析： 　因为F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的焦点， 所以＝2，即得p＝4，A选项正确；设M（x0，y0）在 y2＝8x上，所以x0≥0，所以｜MF｜＝x0＋≥＝｜OF｜， B选项正确；因为以M为圆心且过F的圆半径为｜MF｜＝ x0＋2，等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；不妨设点M在第一象限，当∠OFM＝120°时，x0＞2，＝tan 60°＝，且＝8x0，y0＞0，所以－8y0－16＝0，解得y0＝4或y0＝－（舍），所以△OFM的面积为S△OFM＝｜OF｜×｜y0｜＝4，D选项错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线x＝y2的焦 点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为  ⁠. 解析：抛物线x＝y2的方程化为标准形式为y2＝4x，焦点坐标为（1，0）， 则得a2＋b2＝1，又e＝＝，易求得a2＝，b2＝，所以该双曲线的方程 为5x2－y2＝1. 5x2－y2＝ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 13. 如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K， 点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，｜AK｜＝｜ AF｜，则△AFK的面积为 ⁠. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 解析：由题意知抛物线的焦点为F（2，0），准线l为x＝－2，∴K（－2， 0），设A（x0，y0）（y0＞0），∵过点A作AB⊥l于B，∴B（－2，y0）， ∴｜AF｜＝｜AB｜＝x0－（－2）＝x0＋2，｜BK｜2＝｜AK｜2－｜AB｜ 2，∴x0＝2，∴y0＝4，即A（2，4），∴△AFK的面积为｜KF｜·｜y0｜＝ ×4×4＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 14. 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点， C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得｜PF1｜＝6｜PF2｜，写出C的一 个标准方程： ⁠. ＋＝1（答案不唯一）　 解析：因为｜PF1｜＝6｜PF2｜，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝7｜PF2｜＝ 2a，则｜PF2｜＝，又因为a－c≤｜PF2｜≤a＋c，所以≥a－c，即 ≥.根据题意可设C的方程为＋＝1（a＞b＞0），因为椭圆C的短轴 长为4，则2b＝4，可得b＝2，又由≥，可得＝≥，解得 a2≥，所以椭圆C的一个标准方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）经过点A（2， 1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N. （1）求椭圆的方程； 解： 由题意有＋＝1，e＝＝，a2－b2＝c2， 解得a＝，b＝，c＝，所以椭圆方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) （2）若｜MN｜＝，求直线MN的方程. 解：由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y＝k（x －3）， 代入椭圆方程整理得（2k2＋1）x2－12k2x＋18k2－6＝0，Δ＝24－24k2＞ 0，得k2＜1. 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ｜MN｜＝ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) ＝＝， 解得k＝±，满足k2＜1， 故所求直线方程为y＝±（x－3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 16. （本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆E：（x ＋）2＋y2＝和圆F：（x－）2＋y2＝都外切. （1）求圆心M的轨迹方程C； 解： 因为动圆M与圆E：（x＋）2＋y2＝和圆F：（x－）2＋y2 ＝都外切， 设圆M半径为r，则｜ME｜＝r＋，｜MF｜＝r＋， 所以｜ME｜－｜MF｜＝4＜｜EF｜， 所以M的轨迹是以（－，0），（，0）为焦点，2a＝4的双曲线的右 支，即－＝1（x≥2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) （2）已知点O为原点，点A（8，0），点P是曲线C上任意一点，求· 的最小值. 解：设P（x，y），A（8，0），则＝（x－8，y），＝（x，y）， 所以·＝（x－8）x＋y2，又－＝1（x≥2）， 所以·＝x2－8x＋3＝－8x－3（x≥2），当x＝时， （·）min＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 17. （本小题满分15分）设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别 为A1，A2，右焦点为F，已知｜A1F｜＝3，｜A2F｜＝1. （1）求椭圆方程及其离心率； 解： 如图，由题意得解得a＝2，c＝ 1，所以b＝＝， 所以椭圆的方程为＋＝1，离心率为e＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) （2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交于y轴于点 Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程. 解： 由题意得，直线A2P斜率存在，由椭圆的方程为＋＝1可得A2 （2，0）， 设直线A2P的方程为y＝k（x－2）， 联立方程组消去y整理得：（3＋4k2）x2－16k2x＋16k2－12 ＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 由根与系数的关系得·xP＝，所以xP＝， 所以P（，），Q（0，－2k）. 所以＝×4×｜yQ｜，＝×1×｜yP｜，＝ ×4×｜yP｜， 所以＝＋＝2＋， 所以2｜yQ｜＝3｜yP｜，即2｜－2k｜＝3｜｜， 解得k＝±，所以直线A2P的方程为y＝±（x－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 18. （本小题满分17分）设点F（1，0），动圆P经过点F且和直线x＝－1 相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； 解： 由题意知点P到F的距离与到直线x＝－1的距离相等，所以曲线C 是以F为焦点的抛物线，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0）， 则＝1，得p＝2， 故曲线C的方程为y2＝4x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) （2）点D（2，0），过F的直线交C于M，N 两点，连接MD，ND，与C的 另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的斜率分别为k1，k2.求证：为 定值. 解： 证明：由题意设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3）， B（x4，y4），y1＋y2≠0，y3＋y4≠0， 设直线MN：x＝my＋1，m≠0， 由 可得y2－4my－4＝0，Δ＝16（m2＋1）＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 所以y1y2＝－4. 由斜率公式可得 kMN＝＝＝，kAB＝＝， 直线MD：x＝y＋2，代入抛物线方程y2＝4x可得 y2－·y －8＝0， Δ1＝＋32＞0，y1y3＝－8， 所以y3＝2y2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 直线ND：x＝y＋2，代入抛物线方程y2＝4x可得 y2－·y－ 8＝0， Δ2＝＋32＞0，y2y4＝－8， 所以y4＝2y1， 故kAB＝＝＝， 即k2＝，所以＝2，即为定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 19. （本小题满分17分）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的实轴 长为4，左右两个顶点分别为A1，A2，经过点B（4，0）的直线l交双曲线的 右支于M，N两点，且M在x轴上方，当l⊥x轴时，MN＝2. （1）求双曲线方程； 解： 由题意可得2a＝4⇒a＝2，当l⊥x轴时，直线l：x＝4， 则－＝1⇒y＝±b，又｜MN｜＝2＝2b⇒b＝， 所以双曲线的方程为－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) （2）求证：直线MA1，NA2的斜率之比为定值. 解：由题意可知A1（－2，0），A2（2，0）， 不妨设l：x＝ty＋4，M（x1，y1），N（x2，y2）， 易知y1≠0，y2≠0， 联立方程得⇒（t2－2）y2＋8ty＋12＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) 则且不难发现ty1y2＝－ （y1＋y2）. 由斜率公式可知＝，＝， 则：＝＝＝＝＝－ ，故：＝－是定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 (BSD) $