1.1.5&1.1.6 第2课时 点到直线及两条平行直线间的距离公式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦点到直线及两条平行直线间的距离公式，通过铁路与仓库的情境导入，从两条直线交点坐标过渡到距离公式推导，构建“定义-公式-应用”的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以情境问题驱动探究，结合自我诊断、典例研析和通性通法总结，体现数学眼光（从现实抽象数量关系）、数学思维（逻辑推理与运算）和数学语言（公式应用表达）。如对称问题综合应用实例，培养学生问题解决能力，教师可借助结构化资源提升教学效率。

1.5　两条直线的交点坐标 1.6　平面直角坐标系中的距离公式 第二课时　点到直线及两条平行直线间的距离公式 第一章　直线与圆 1 课标 要求 1.探索并掌握点到直线的距离公式（逻辑推理）. 2.会求两条平行直线间的距离（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短. 　　在火车出现之前，铁轨就已经存在了，当时人们 利用马车将煤用铁轨运出，所以铁轨的轨距，就是马 车的车轮距.中国高速铁路的铁轨宽度通常为1 435毫 米，是现在大部分普快、货运铁路的标准轨道宽度. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【问题】　（1）将铁路看作一条直线l，仓库看作点P. 怎样求得仓库到铁 路的最短距离呢？ （2）什么是两条平行直线间的距离？ （3）平行线间的距离和点到直线的距离有什么区别和联系？ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点　点到直线及两条平行直线间的距离公式 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长 夹在两条平行直线间的公垂线 段的长 公式 点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋ By＋C＝0的距离 d＝ （其中 A，B不全为0） 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝ 0，l2：Ax＋By＋C2＝0（其中 A，B不全为0，且C1≠C2）之间 的距离d＝ ⁠ 　 　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 提醒：（1）利用点到直线的距离公式时直线的方程必须是一般式； （2）使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般 式；二是两直线方程中x，y的系数分别对应相等. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当点P（x0，y0）在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式 就不适用了. （　×　） （2）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为. （　×　） （3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离. （　√　） （4）两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可 以看作是两条直线上各取一点的最短距离. （　√　） × × √ √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为 （　　） A. 1 B. C. D. 2 √ 解析： 　由题意知l1，l2平行，则l1，l2之间的距离为＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 若第二象限内的点P（m，1）到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值 为 ⁠. 解析：由＝，得m＝－4或m＝0，又∵m＜0，∴m＝－4. 4. 直线y＝2x与y＝mx＋n（n＞0）平行且距离为，则mn＝ ⁠. 解析：易知m＝2，由＝＝，得n＝5（－5舍去），故 mn＝2×5＝10. －4　 10　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 典例研析>> 目录 12 题型一　点到直线的距离 （1）已知点P（－1，2），则点P到直线l1：y＋3＝0，l2：3x－4y＋6 ＝0的距离分别为（　A　） A. 5，1 B. 1，1 C. 5，3 D. 3，1 A 解析： 点P（－1，2）到直线l1：y＋3＝0的距离d1＝＝5（也 可利用d1＝｜2－（－3）｜＝5求得）.点P（－1，2）到直线l2：3x－4y＋6 ＝0的距离d2＝＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P（－1，0）的距离是的直线l的 方程是 ⁠. 解析： 设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则 由点到直线的距离公式知：d＝＝＝.所以｜ m－3｜＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y ＋9＝0或3x－y－3＝0. 3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 点到直线距离的求法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用 点到直线的距离公式求解即可； （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离 时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜ y0－b｜； （3）若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列 方程求参数即可. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 　已知坐标平面内两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距 离相等，则实数m的值为 ⁠. 解析：由＝，得｜3m＋5｜＝｜m－7｜，∴m＝－6 或m＝. －6或　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　两条平行直线间的距离 （1）已知直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行，则它们 之间的距离是（　C　） A. 2 B. 4 C. D. 2 解析： 由直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行，得m× （－1）－1×1＝0，解得m＝－1.所以直线l1：x－y＋3＝0与直线l2：x－y ＋1＝0之间的距离为d＝＝＝. C 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）平行线l1：3x－2y－5＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为 ⁠. 解析： 将l1：3x－2y－5＝0化成6x－4y－10＝0，所以l1：6x－4y－10 ＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为d＝＝＝. 　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 求两条平行直线间距离的方法 （1）转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条 直线的距离，即化线线距为点线距来求； （2）公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，即两条平 行直线间的距离d＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程 为 ⁠. 解析：设所求直线方程为3x－4y＋m＝0（m≠1），由两平行线间的距离公 式得＝3，解得m＝16或m＝－14.故所求直线方程为3x－4y＋ 16＝0或3x－4y－14＝0. 3x－4y－14＝0　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知直线l1，l2分别是经过A（1，1），B（0，－1）两点的两条平行直 线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是 ⁠. 解析：当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离 最大.因为A（1，1），B（0，－1）.所以kAB＝＝2，所以两条平行直 线的斜率为－，所以直线l1的方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0. x＋2y－3＝0　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型三　距离的综合应用 已知在▱ABCD中，A（－1，－1），C（1，1），点B位于第四象限. （1）求直线AC的方程； 解： 因为A（－1，－1），C（1，1），所以kAC＝ ＝1，所以直线AC的方程为y－1＝1×（x－1），即x －y＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）若 　　时，求点B的坐标.（从下面三个条件中任选一个，补充在问 题中并作答） ①△ABC是等边三角形；②过点E（，）垂直于AC的直线分别交坐标 轴于M，N两点，且MN∥BD，｜MN｜＝｜BD｜；③点E（－2，0）， AE∥BD，且▱ABCD的面积为4. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解： 若选①，△ABC是等边三角形，则AC⊥BD，因 为AC的中点坐标为（0，0），所以BD过坐标原点，则直 线BD的方程为y＝－x，设B（x，－x）（x＞0），由｜ AC｜＝｜BC｜，则＝，解得x＝或x＝－（舍去），所以B点的坐标为（，－）. 若选②，因为kAC＝1，所以过点E（，）垂直于AC的直线方程为y－ ＝－（x－），即y＝－x＋2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝ 2，即M（2，0），N（0，2），所以｜MN｜＝ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 ＝2，因为MN∥BD，AC的中点坐标为（0，0），所以BD过坐标原点，所以直线BD的方程为y＝－x，设B（x，－x）（x＞0），则D（－x，x），因为｜MN｜＝｜BD｜，所以＝2，解得x＝或x＝－（舍去），所以B点的坐标为（，－）. 若选③，因为点E（－2，0），所以kAE＝＝－1，因为AE∥BD， AC的中点坐标为（0，0），所以BD过坐标原点，所以直线BD的方程为y＝ －x，设B（x，－x）（x＞0），则D（－x，x），所以点B到AC的距离d＝ ＝x， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 又｜AC｜＝＝2， 所以S▱ABCD＝2S△ABC＝2××｜AC｜·d＝4， 即2×x＝4，解得x＝，所以B点的坐标为（，－）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 　　利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特 别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用， 本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图 形，借助几何图形的直观性去解决问题. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 〔一题多解〕直线过点M（－2，1）且A（－1，2），B（3，0）两点到 该直线的距离相等，则直线的方程为 ⁠. 解析：法一　当直线斜率不存在时，直线方程为x＝－2，A，B两点到它的 距离不相等，不符合题意.所以所求直线的斜率存在，可设直线方程为y－1 ＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋1＝0.由A，B两点到该直线的距离相等得 ＝，解得k＝0或k＝－.故所求直线方程为y＝1 或x＋2y＝0. y＝1或x＋2y＝0　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 法二　设所求直线为l，由平面几何知识可知，直线l与AB平行或过线段AB 的中点.易求得kAB＝－，若l∥AB，则直线l的方程为y－1＝－（x＋2）， 即x＋2y＝0.若l过AB的中点（1，1），又l过点M（－2，1），所以直线l的 方程为y＝1.故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 在梯形ABCD中，｜CD｜＝2｜AB｜＝6，且AB和CD所在直线的方程分 别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为 ⁠. 解析：由AB：x＋2y－3＝0，CD：x＋2y＋7＝0知AB∥CD，所以梯形 ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d＝＝2，所以梯形ABCD 的面积为（｜AB｜＋｜CD｜）·d＝×（3＋6）×2＝9. 9　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 若点（－2，2）到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3，则实数c＝（　　） A. 13 B. 17 C. 13或－17 D. －13或17 √ 解析： 　由点（－2，2）到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3，得d＝ ＝＝3，解得c＝13或c＝－17. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 两条平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是（　　） A. B. C. 2 D. 1 √ 解析： 　2x＋2y＋1＝0可化为x＋y＋＝0，由两条平行直线间的距离公 式，得＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知不过原点的直线l1与直线l2：x－y＋＝0平行，且直线l1与l2的距离 为1，则直线l1的一般式方程为 ⁠. 解析：∵直线l1不过原点且与l2平行，∴可设直线l1：x－y＋a＝0 （a≠0），∴l1与l2之间的距离d＝＝1，解得：a＝2或a＝0 （舍），∴直线l1的一般式方程为：x－y＋2＝0. x－y＋2＝0　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 求与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成 正方形的直线方程. 解：易知l1∥l2，且它们之间的距离d＝＝. 设所求直线为l4，则l4∥l3， 所以可设l4：x＋y＋c＝0，则＝， 解得c＝0或－10， 所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 拓视野　对称问题 　　对称问题主要有以下几类：（1）点关于点的对称问题；（2）直线关 于点的对称问题；（3）点关于直线的对称问题；（4）直线关于直线的对 称问题. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 一、点关于点对称 （2026·济宁月考）若点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐标为 （－1，2），则点B的坐标为 ⁠. 解析：设点B（x，y），∵点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐标为 （－1，2），∴解得x＝7，y＝6，∴点B的坐标为（7，6）. （7，6）　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 解决点关于点对称问题的方法 　　点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基 础，一般用中点坐标公式解决点关于点对称的问题. 　　设点P（x0，y0）关于点M（a，b）的对称点为P'（x，y），则有 所以即点P'的坐标为（2a－x0，2b－y0）.特别 地，点P关于坐标原点O的对称点为P'（－x0，－y0）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 二、直线关于点对称 〔一题多解〕求直线3x－y－4＝0关于点P（2，－1）对称的直线l的方 程. 解：法一　设直线l上任一点为M（x，y），则此点关于点P（2，－1）的 对称点为M1（4－x，－2－y），且点M1在直线3x－y－4＝0上，所以3（4 －x）－（－2－y）－4＝0，即3x－y－10＝0，所以所求直线l的方程为3x －y－10＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 法二　在直线3x－y－4＝0上任取两点A（0，－4），B（1，－1），则点A （0，－4）关于点P（2，－1）的对称点为A1（4，2），点B（1，－1）关 于点P（2，－1）的对称点为B1（3，－1），由直线方程的两点式，可得 直线l的方程为3x－y－10＝0. 法三　由题意可得，直线l与已知直线平行，可设l的方程为3x－y＋m＝0 （m≠－4），点P（2，－1）到直线3x－y－4＝0的距离d＝， 由于点P（2，－1）到两直线距离相等，所以＝，解得m＝－10 或m＝－4（舍去），所以直线l的方程为3x－y－10＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 解决直线关于点对称问题的方法 方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再 由对称点确定对称直线； 方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称 直线与原直线平行求直线方程； 特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B（－ y）＋C＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 三、点关于直线对称 点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是（　　） A. （－1，－3） B. （17，－9） C. （－1，3） D. （－17，9） √ 解析： 　设点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为（a， b），则由解得即得该点坐标为（－ 1，－3）.故选A. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 解决点关于直线对称问题的方法 　　已知P（x，y），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P' （x'，y'）可以分三步来求： 第一步，直线PP'和l垂直，故kPP'·kl＝－1（kl≠0）； 第二步，PP'的中点在直线l上，即（，）满足直线方程Ax＋By＋ C＝0，得到A·＋B·＋C＝0； 第三步，联立两式可解出x'，y'. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 四、直线关于直线对称 角度1　已知直线与对称轴平行 〔一题多解〕已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1 关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程. 解：法一　因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3， m≠－1）. 因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l间的距离等于l2与l间的距离. 由两条平行直线间的距离公式，得＝，解得m＝－5 或m＝3（舍去）. 所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 法二　由题意知l1∥l2，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）. 在直线l1上取点M（0，3），设点M关于直线l的对称点为M'（a，b），于 是有解得即点M'的坐标为（4，－1）. 把点M'的坐标代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 角度2　已知直线与对称轴相交 求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程. 解：解方程组得所以直线l1与l相交，且交点 为E（3，－2），故点E也在直线l2上. 在直线l1：2x＋y－4＝0上取点A（2，0），设点A关于直线l的对称点为B （x0，y0）， 于是有 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解得即点B的坐标为（，－）. 故由两点式得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 解决直线关于直线对称问题的方法 　　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，求直线l1关于直 线l2的对称直线的方程： （1）如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0（m≠C1），然后在 l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P'（x'，y'），再代入A1x＋B1y＋ m＝0即可解出m； （2）如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点（不 同于交点），找出这一点关于l2的对称点P'，由直线方程的两点式确定所求 直线方程. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 五、对称问题的应用 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使得： （1）P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差的绝对值最大； 解： 如图，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a， b），连接BB'，则kBB'·kl＝－1， 即×1＝－1， 所以a＋b－4＝0，　① 因为BB'的中点（，）在直线l上， 所以－－1＝0，即a－b－6＝0.　② 由①②得 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 所以点B'的坐标为（5，－1）. 于是AB'所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0. 易知｜｜PB｜－｜PA｜｜＝｜｜PB'｜－｜PA｜｜， 当且仅当P，B'，A三点共线时，｜｜PB'｜－｜PA｜｜最大. 所以联立直线l与AB'的方程， 解得x＝，y＝， 即l与AB'的交点坐标为（，）. 故点P的坐标为（，）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小. 解： 如图，设点C关于l的对称点为C'，可求得C'的坐 标为（1，2），所以AC'所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知｜QA｜＋｜QC｜＝｜QA｜＋｜QC'｜，当且仅当Q， A，C'三点共线时，｜QA｜＋｜QC'｜最小. 所以联立直线AC'与l的方程，解得x＝，y＝， 即AC'与l的交点坐标为（，）. 故点Q的坐标为（，）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 利用对称求距离最值问题的方法 　　要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之和（差）的 最值问题，一般借助平面几何知识（三角形任意两边之和大于第三边，任 意两边之差的绝对值小于第三边）及对称性解决.即： （1）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之和最小的 点，只需作A（或B）关于直线l的对称点A'（或B'），得直线A'B（或AB'） 的方程，再求其与直线l的交点即可； （2）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之差最大的 点，则只需求出直线AB的方程，再求其与直线l的交点即可； （3）若两点A，B位于直线l的异侧，要求直线l上到A，B距离之差最大的 点，则只需作A（或B）关于直线l的对称点A'（或B'），得直线A'B（或 AB'）的方程，再求其与直线l的交点即可. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 52 1. 已知点P（x0，y0）到直线x＝1的距离为1，则x0＝（　　） A. 0或2 B. 1或2 C. 0 D. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　因为点P（x0，y0）到直线x＝1的距离为1，所以｜x0－1｜＝1， 解得x0＝0或x0＝2.故选A. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. （2026·温州月考）两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离 为d，则（　　） A. a＝6，d＝ B. a＝－6，d＝ C. a＝－6，d＝ D. a＝6，d＝ √ 解析： 　根据两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0，可得＝≠. 可得a＝6.可得两条平行直线为6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，故它们间的 距离d＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 点P（x，y）在直线x＋y＝4上，O是坐标原点，则｜OP｜的最小值是 （　　） A. B. C. 2 D. √ 解析： 直线x＋y＝4即x＋y－4＝0，｜OP｜的最小值即点O到直线x＋y －4＝0的距离，为＝＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 已知两条平行直线l1，l2分别过点P（－1，3），Q（2，－1），它们分 别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是 （　　） A. （0，＋∞） B. [0，5] C. （0，5] D. [0，] √ 解析： 　当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此 时d＝＝5，∴0＜d≤5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 〔多选〕已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使｜PM｜＝ 4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是 （　　） A. y＝x＋1 B. y＝2 C. y＝x D. y＝2x＋1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： A中，点M（5，0）到直线y＝x＋1的距离为d1＝＝3＞4， 故不是“切割型直线”；对于B，点M（5，0）到直线y＝2的距离d2＝2＜ 4，故B是“切割型直线”；对于C，点M（5，0）到直线y＝x的距离d3＝ ＝4，故C是“切割型直线”；对于D，点M（5，0）到直线y＝2x ＋1的距离d4＝＝＞4，故D不是“切割型直线”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 〔多选〕已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直 线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为（　　） A. 2x＋3y－8＝0 B. 4x＋6y＋5＝0 C. 6x＋9y－10＝0 D. 12x＋18y－13＝0 √ √ 解析： 　设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和 到直线l2的距离分别为d1，d2.则d1＝，d2＝.因为＝， 所以＝，即2｜m＋2｜＝｜m＋9｜，解得m＝5或m＝－ ，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 7. 经过点P（－3，4），且与原点的距离等于3的直线l的方程为 ⁠ ⁠. 解析：（1）当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于 3，满足题意； （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k（x＋3），即kx－y ＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离d＝＝3，解得k＝－.直线l 的方程为7x＋24y－75＝0.综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75 ＝0. x＝－3 或7x＋24y－75＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 8. 点（0，－1）到直线y＝k（x＋2）的距离的最大值是 ⁠. 解析：因为直线y＝k（x＋2）恒过点A（－2，0），记B（0，－1），直线 y＝k（x＋2）为直线l，则当AB⊥l时，此时点B（0，－1）到直线y＝k（x ＋2）的距离最大，所以点（0，－1）到直线y＝k（x＋2）距离的最大值 为｜AB｜＝＝. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 9. 如图所示，已知点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线 经直线AB反射后射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光 线所经过的路程是 ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析：由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如 图，点P关于直线AB的对称点为D（4，2），关于y轴的 对称点为C（－2，0），连接MD，NC，易知｜PM｜ ＝｜MD｜，｜PN｜＝｜NC｜，所以｜PM｜＋｜MN｜ ＋｜NP｜＝｜MD｜＋｜MN｜＋｜NC｜＝｜CD｜，故光线所经过的路程为｜CD｜＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 10. （2026·丽水月考）已知直线l1经过点P（0，1），直线l2经过点Q（5， 0），且l1∥l2. （1）求l1与l2之间的最大距离，并求此时两直线的方程； 解： 连接PQ（图略），则当直线l1，l2均与直线PQ垂直时，l1与l2之 间的距离最大. 因为直线PQ的斜率为＝－，所以此时直线l1与l2的斜率均为5，l1与l2之 间的最大距离为＝， 直线l1的方程为y＝5x＋1，即5x－y＋1＝0， 直线l2的方程为y＝5（x－5），即5x－y－25＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）若l1与l2间的距离为5，求两直线的方程. 解： ①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，则l1的方程为y＝kx＋ 1，即kx－y＋1＝0，l2的方程为y＝k（x－5），即kx－y－5k＝0. 由题意得＝5，解得k＝， 所以直线l1的方程为y＝x＋1，即12x－5y＋5＝0，直线l2的方程为y＝ （x－5），即12x－5y－60＝0. ②若l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间 的距离为5，符合题意. 综上所述，两直线的方程为l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1： x＝0，l2：x＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 11. 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB 的中点M到原点的距离的最小值为（　　） A. 3 B. 2 C. 3 D. 4 √ 解析： 　设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离 公式得＝，所以｜m＋7｜＝｜m＋5｜，所以m＝－6，即 l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为 ＝3.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 12. 〔多选〕若直线m被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所 截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角可以是（　　） A. 15° B. 45° C. 60° D. 75° √ √ 解析： 　记直线m的倾斜角是θ.由题意知直线l1，l2间的距离等于＝ .又直线m被直线l1，l2所截得的线段的长是2，因此直线m与直线l1的 夹角的正弦值等于＝，所以直线m与直线l1的夹角是30°，又直线l1的 倾斜角是45°，所以θ＝15°或θ＝75°，故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 13. 若直线l1：y－2＝（k－1）x和直线l2关于直线y＝x＋1对称，则直线l2恒 过定点 ⁠. 解析：因为直线l1：y－2＝（k－1）x过定点（0，2），设点（0，2）关于 直线y＝x＋1对称的点为（x0，y0），则＝－1且＝＋1，解得x0 ＝1，y0＝1.故直线l2恒过定点（1，1）. （1，1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 14. 已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A（1，2）射向x轴上一点B， 又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. （1）试判断由此得到的△ABC的个数； 解： 如图，设B（m，0），点A关于x轴的对称点为 A'（1，－2），点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为 B'（－3，m＋3）.根据光学知识，直线AB'与直线 BC关于直线l对称，点C在直线A'B上，点C 又在直线B'A上，又直线A'B的方程为y＝（x－m）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 由得x＝. 又直线AB'的方程为y－2＝·（x－1）， 由 得x＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 所以＝，即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或m＝－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形. 综上，符合题意的△ABC只有1个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）求直线BC的方程. 解： 由（1）得m＝，则直线A'B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $