专题探究03 圆锥曲线的离心率&专题探究04 直线与圆锥曲线的位置关系-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

专题探究03圆锥曲线的离心率 黑题 专题强化 限时：35min 题组1离心率的值 5.(2025·湖南怀化高二月考)已知点A(x1,y1) 1.(2025·湖北武汉高二月考)已知双曲线C: 在双线r1o>0,6>0上，B)在 =1(b>0)的左焦点为F,过坐标原点0 y2 x2 作C的一条渐近线的垂线1，直线1与C交 双曲线京。=1上，且满足好-店=，直 于A,B两点，若△ABF的面积为2 3,则c的 线0A,0B的斜率之积为？则，的离心率 之积等于 离心率为 ( 题组2离心率的取值范围 A.3 B.5 C.2 D.5 2(2025·江苏扬州高二期中)已知椭圆C:。2 6已知椭圆 。护=1(>b>0)的左、右焦点分别 为F,F2,P是椭圆上一点，△PFF2是以F,P =1(o>b0)的左右焦点分别为F(-c,03 为底边的等腰三角形，且60°<∠PFF2<120°， 则该椭圆的离心率的取值范围是 () F2(c,0),点A,B在C上，直线F,A倾斜角为 W3-11、 A. 写且P=2店，则C的高心率为 B. ( 22 B号 c D.3 c(2) D.(0.) 7.(2025·江西南昌高二期末)已知圆C1:x2+ 3.(2025·湖南岳阳高二月考) x2y2 如图，已知双曲线“兰 /=办与双曲线C,:。万=1(a>0,6>0),若 a261 在双曲线C,上存在一点P,使得过点P能作 (a>0,b>0)的左、右焦点t分别 圆C的两条切线，切点为AB,且∠APB=, 为F(-c,0),F2(c,0),过F1的直线l与圆C: 则双曲线C2的离心率的取值范围是() (x】=相切，与双曲线在第四象限交于 B. 一点M,且有MF2⊥x轴，则离心率为( A.3 B.3 C.√2 （1,w3] D. 4.(2025·浙江杭州高二期中)已 25·安徽合肥一中高二 右低点为P的精圆号 ce心0 2b2 (a>b>0)上的三点A,B,C满足直线AB过坐 分别是椭圆C的左、右焦点，1F,F2I=2c,若椭圆 标原点，若BF⊥AC于点F,且IBFI=4ICFI, 上点P起以以置C的 则E的离心率是 离心率的取值范围为 选择性必修第-册·S黑白题062 专题探究04直线与圆锥曲线的位置关系 黑题 专题强化 限时：60min 题组1直线与椭圆的位置关系 6(2025·陕西成阳高二期中)已知椭圆G: 1.(2025·天津滨海新区高一期中)已知椭圆 a 名+子线+四m=0(meR),直线D -1(>b>0)的右焦点F(,6,0),过点F作 y 与椭圆的位置关系是 ( 平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长 A.相离B.相切C.相交D.不确定 为2. 2.(2025·江西赣州高二月考)已知点M(-3,0)和 (1)求椭圆的标准方程； 点N(3,0),若直线上存在点P(x,y),可使 (2)过点(1,0)的直线1交椭圆C与P,Q两 1PM1+|PN1=10,则称该直线为“D型直线” 点，点N在直线x=-1上，若△NPQ是等 下列四条直线中：y=+1;2y=；3③=5； 边三角形，求直线1的方程. ④x=-6.“D型直线”的条数是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.（2025·广东广州高二月考)已知椭圆C:x2+ 号-1，直线1：y=+m,若椭圆C上作在两点 关于直线l对称，则m的取值范围是( ) B. 7.(2025·广东深圳高二期中)在平面直角坐标 c-) 系中，已知动点P(x,)到直线1：x=4 3的距 4.(2025·湖北华师一附中高二期中)已知椭圆 离与点P到点F(,3,0)的距离的比是23 Cx+=1,M为椭圆C上的一点，则点M到 (1)求动点P的轨迹方程E. 直线1：x-y+4=0距离最小值为 (2)若轨迹E与x轴的交点分别为A,B.过点 T(4,t)(t≠0)的直线AT,BT分别与轨迹 A.0 C E相交于点M和点N,求四边形AMBN面 5.(2025·重庆八中高二月 积的最大值 国c- =1(a>b>( 率为学其有焦点和上顾点分别为点F和 点A,直线l:y=x-4交椭圆C于P,Q两点， 若F恰好为△APQ的重心，则k= 第3章黑白题063 题组2直线与双曲线的位置关系 题组3直线与抛物线的位置关系 8。(2025·江苏扬州高二期中)已知斜率为1 11.（多选)(2025·河南郑州高二月考)已知抛 5 物线C:y2=8x,过点P(8,0)的直线与C交 的直线1过双曲线C:2-Y=1(m>0)的左焦 于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则下列说法正 m 确的是 () 点F,且与C的左、右两支分别交于A,B两 A.y12=-64 点，设O为坐标原点，P为AB的中点，若 B.x1x2=32 △OFP是以FP为底边的等腰三角形，则双曲 C.1AB1的最小值为16 线的离心率为 ( D.若点M是△AB0的外心，其中O是坐标 A.2 B.√2 C.3 D.√3 9(2025·江苏苏州高二月考)已知双曲线 原点，则直线OM的斜率的最大值为 12 12.已知抛物线C:y2=4,0为坐标原点，直线1 1的右焦点为P,若过点F的直线与双 与抛物线C交于A,B两点，且直线OA,OB 斜率之积为-4，则点0到直线1的最大距 线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜 离为 率的取值范围是 13.(2025·江苏南通高二期中)若动点P到点 10.(2025·安徽芜湖高二月考)已知双曲线C: F(0,1)的距离比它到直线y=-2的距离 x2y a2 b2 1(>0,b>0)的离心率e=2 3,左右 小1. (1)求动点P的轨迹C的方程. 焦点分别为F1,F2,A为双曲线C右支上 (2)过轨迹C上一点A作直线l交y轴正半 点，AF1与y轴交于点B,且IABI=IF2BI, 轴于点D,且1FA1=1FD1.若直线1∥L, 10B1= 6 直线l,与轨迹C有且仅有一个公共点 E,证明直线AE过定点，并求出定点 (1)求双曲线C的方程； 坐标 (2)过右焦点，且领斜角为a(后a<石】 的直线交双曲线C于P,Q两点，若PQ 的中点为N,0为坐标原点，直线ON交 直线-3于点以求的最小值 IME,I 选择性必修第一册·SJ黑白题064A,B）.所以+与2公4=1两为症（1- -y1),B=(1-x2,y2),Mi=(1+1,y1+2k),Mi=(2+1,2+2k),Mi= 人衣症与成所以A学贤 _1+,所以A1+21- 1+x1 1+2.2-212,所以x+M2=0. 1-x21-(x1tx2)+x1x2 ②解：G=(x1,1+h),C市=(2,2+k),所以G.G=x1x2+y12+k(y1+ y2)+k2.又因为y1·y2=k(x1-1)·k(x2-1)=-4,y1+2=k(x1-1)+ (1)=兰，所以d,a店1-44=+1≥1，所以d.的取值 范围为[1，+∞) 专题探究03 圆锥曲线的离心率 黑题 专题强化 1.B解析：由题意可知a=1,c=√a2+b=√1+b,则F(-c,0), x=-y, 不妨取一条渐近线为y=bx,则l:x=-by,联立方程{ 解得 621, y1=6 ，由对称性可知，点0为线段AB的中点，则 c62-1 1 1××2专=3，即名三=23翰 S△ABr=2S△AOF=2×- 3,解得 6=2(负值舍去)，则c=√1+b=5,所以C的离心率为e=C=5 故选B. 2.D解析：根据题意可知F,A/PB,直线F,B的倾斜角为号由椭 圆焦半径公式得1F,A1=P 2a-cIF3B1=62 -262 a-ccos3 T 2F=2F应1FA1=21F2B1,即2a+e=2(2a-c),化简 262 得2a=3c,6=号故选D 2,双豳线22 若云1中令，解得=片则(）由 直线RM与圆c相切于点D,得1c01=子c又1R,C1= 3 IMFIIFF2I=20,I F:DI=IF;CI2-ICDI-20, 621 m∠MF2=g=号于是2B=ac,即2(c2-a2)=ac,有22-e √2=0，而>1，所以e=√2.故选C. 4 :解析：如图所示，设椭圆的左焦点为F',连接AF',BF',CF', 参考答案 因为点O平分FF',AB,所以四边形FAFB为平行四边形.又因为 BF⊥AC,所以四边形FAF'B为矩形，设|CF|=m(m>0),则 IBFI =IAF'I 4m,I BF'I I AF I 2a-4m,I CF'I 2a-m, Rt△ACF'中，1AF'12+1AC12=ICF'I2,所以(4m)2+(2a-3m)2= (2a-m),整理可得am3m2,所以m=号在△AP中，MP2+ 以日-5放答米为 3 5. 4W3 3 解析：由已知可得少行-行-=0，即 (b2x号-a2y2+a2b2=0, a2y7=62x好-a2b2 a2y2=b2x好+a2b2, 两式相乘可得ayy2=b4[x好x好+a2(x好-x好)- Q]心直线OA,0B的斜率之积为3，心1出2=3，即= )且代人上式海号写 a=31,2的 离心率之积心，·2=·5==6+只=42故答案 ab=。+6=3 6.B解析：如图所示，因为△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形， 所以1PF11=1F1F21=2c,由椭圆的定义可得IPF21=2a-2c.设 乙P所=，因为<2P所10r,所以os0(合号），在 △PF,P中，由余弦定理可得cs9=(2e2+(2e)2-(2a-2e2_ 2x2c×2c 1 a2+2ace2+2e-1,所以-2< 2c2 1分所以 1 2e2 2e-1<0, l2e2+2e-1>0, (第6题) (第7题) 解析：如图，LAPB=?,又1PA1=IPB1,所以1AB1=PA PBL而PH,PB是圆C,的切线则∠A0B=行，在△A0B中，I04= IOB1=b,因此有IAB1=√3b,从而1PA|=IPB|=√3b,而PA⊥OA,所 以1P01=VPA2+10A22h.因为点P在双曲线1上，因 此10P1≥a,所以a≤2b,所以a2≤4b2=4(c2-a2),所以5a2≤4c2, 三≥子所以双南线G的离心率。日汽故法 c2. a[a-.] 解桥：网+时“： 1 IPF 1+IPF2I 2a Pe:1PB,即1P,I·PEI=2ac,PE,·1Pp,≤ mP）广-（会）广-，当且仅当1=p=a时 等号成立1PF1l·1PF21=1PF1l·(2a-lPF11)=-lPF1I2+2a· IPF,l,由于a-c≤IPF,l≤a+c,所以当1PF1l=a-c或1PF1I=a+c 时，有最小值为-(a-c)2+2a(a-c)=-a2+2ac-c2+2a2-2ac=a2-c2= 黑白题047 b2,所以1PF11·1PF21e[b2,a2],则b2≤2ac≤a2,即 1-e2≤2e, c即1解得2-1≤≤子故答案为[a-1,2] l2ac≤a2, e≤2' 专题探究04直线与圆锥曲线的位置关系 黑题 专题强化 1.C解桥：由题意知l:x+my-m=0(meR)恒过点(0,1)，因为0+】 12 <1,所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线1与椭圆相交故选C. 2.B解析：由1PM1+1PNI=10>|MN1=6可知，点P轨迹为椭圆， 由2a=10,2c=6,可得b2=a2-c2=16,又因为焦点在x轴上，所以椭 圆的方程为+山由题意，直线与椭圆有交点即为“D型重 线”，即相切或相交，由y=+1过点(0,1)，2516<1知直线过椭圆 02.12 内的点，放相交，是D型直线”；由6=4可知，y=手与椭圆相交，是 “D型直线”；y=5不与椭圆相交，不是“D型直线”；由a=5知x=-6 不与椭圆相交，不是“D型直线”故选B. 3.C解析：方法一设椭圆C:2+?=1上存在关于直线1y=x+m方 称的两点为M(x1,y1),N(x2,y2),根据对称性可知线段MN被直线 l:y=x+m垂直平分，且MW的中点(xo,y%)在直线y=x+m上， （y=-x+n, 且kw=-1,故可设直线MN的方程为y=-x+n,联立 2n 理可得3x2-2nx+n2-2=0,所以x1+x=3,+2=2n-(1+ =2-否，由4=-12(2-2)>0，可得2-3<0，解得 5ea65,房以：分2会因为w的中点 2 3 (o%)在直线子=+m上，所以智号+m,所以m=背，所以 √3√3 3<m<3故选C. 方法二：设椭圆C上关于1对称的两点为A,B,则kB=-1,设AB中 点(oo.,则am·u=兰=-2，所以0=24，由02名n 得M(m,2,且M在椭圆内，即2+2m2<1,解得-百m<号故 选C. 4.C解析：由题意知与l:x-y+4=0平行且与椭圆相切的直线，其中存 在切点到直线1的距离最小，令切线为x-y+t=0,联立椭圆方程有 4 -=1,整理得9x2+10x+52-20=0,所以4=100t2-36× (52-20)=0,则1=±3，对于xy+3=0,其切点到1的距离为巨，对 2 于少3=0，其切点到1的距离为7，显然点M到直线1：中4=0 距离最小值为号放选C 5.2解析：设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为点M(xo,o), 层 两式相减得1+1-）.+y2)20 a2 (a2621, 选择性必修第一册·SJ 简得)(2)尽 (1+x2)(x1-x2) ,即ow0= a,F(c,0,A(0,b), 由F恰好为△APQ的重心，则A市=2Fi,即(c,-b)=2(x0-c,0),解 得=空o=，即（告）w之所以w= 1b2 x2 y2 心率为3 3所以63又因为2b2+2,所以1-片=3，解得 a31 b-6 F3,所以kpo= 3cb36 -=3X =√2.故答案为√2 a 33 (第5题) (第6题) c=√6， 6解：(1)由愿意可知点(6，号)在稀圆c上，则总 a2t2621,解得 a2=b2+c2, (低：8所以圆C的方程为号+号-1 162=2, (2)因为点(1,0)在椭圆C内部，可知直线1与椭圆C必相交，且直 线1的斜率不为0，但可能不存在，设直线l:x=y+1,P(1,y1), x=my+1, %),线段P0的中点为M,联立方程，清 2m 去x可得(m2+4)y2+2my-7=0,则y1+y2=- 2g放 2+4y3=- 7 %4) m2+4'1 线段PQ的中垂线所在直线的斜率k=-m,若△NPQ是等边三角形， 则21MN1=V31PQl,即2×√m2+1× 41 =5×√/m2+1× m2+4 ly1-1=3×√m2+1× √m4)m4,整理可得m /-2m+28 8m2-20=0,解得m2=10或m2=-2(舍去)，即m=±√10，所以直线 l的方程为x=±√10y+1,即x±√10y-1=0. 43 x3 7.解：(1)由题意可知 2w3 √(x-3)2+y 整理为号1，所动 x 点P的轨迹方程E:4+护=1 (2)如图，由(1)知A(-2,0),B(2,0),又T(4,t),则直线AT:y= 名42).8my（-2. t y6 (x+2), 联立 4ty2=1, 得(（9)2+4x+42-36=0,则-24w436 9+t2, 解得xM= 18-22 6t y=2(x-2), t 联立 得(1)2-4x+4忙-40，测2解 4+=1, 黑白题048 得w22 +2,w=,所以四边形AMBN的面积S=2×4x 8+ 24 6t.2 6 2 t 9+2+1+2 =2× =2× 9 9 +tt十 2+10+ 3 + +4 设m=t+ ≥23，则S=三4，函数m+在区间 m2+4 m m+- m [25,+”)上单调递增，当m=23时，m+4取得最小值，此时面 m 积S取得最大值，最大值为2√3，所以四边形AMBN面积的最大值 为23. (第7题) (第8题) 8.A解析：由双曲线C:2-二=1(m>0),可知a2=1,62=m,62=1+nm m 设A(),B(,2),P(00),A,B均在C:2-_Y=1上， m P为AB的中点，得 得{22'm(名-)(+)（ y2)(y1ty2).A,B分别在C的左，右两支，x1x2≠0，且x1+x2≠ 0号需w如线领 √/15 斜角为&，则kAB=tana= ,a为镜角，：△0FP是以FP为底边 的等腰三角形，则∠PF0=∠OPF=a,∴.直线OP的倾斜角为2a, 则kop=tan2a= 2tan a 1-tan2a ,.kop·kAB=tan2a·tana 2am2a=m,将 1-tan2a 2x √15 5 tan o=- 代人，得m 5 =3,所以椭圆的离心率为e= 1- √15 5 =√1+m=2故选A a 9. 「331 33 解析：方法一：由双曲线方程得F(4,0),设1：y= x2y2」 kx-4),联立1241得(1-32)2+24x-482-12=0(*), y=k(x-4), 3 若1-3张2=0，即k=±3，代入方程(*)得8x-28=0,仅有一个实数 根x=了，即直线1与双曲线右支有一个交点，符合题意：若1-3 0,即k≠士，4=5764-41-3)(-482-12)=48P+48>0,故直 线1与双曲线有两个交点，由题知直线1与双曲线右支有且只有一 个交点，故直线1与双曲线的两支各有一个交点，即1x2= g20,得c<学综上，的氧值花国为[停，] 1-3k2 3 参考答案 故答案为 ] 方法二双面线后子1的清近线方程为上骨，当过微点的直 线与两条渐近线平行时，直线与双曲线右支只有一个交点，由图可 知，斜率不在[-]的所有直线与双线右支有两个交点（由 国中宝线).务半在[原，]的所有直线都与双曲线右支只有 个交点（如图中直线m所以此直线的斜率的取值范围-， 号]，故答案为 331 33 10.解：(1)如图①，由题意结合双曲线的对称性可知1BF11= IBF21=IAB1,得LAF2F1=90°，即AF21x轴，把x=c代人方程 x22 1.可得=1=女：1a,1=210B,1081- a262 6 =3,解得a2=6,62=2,双曲线C的方程 c23 为* 621. (2)如图②，设直线PQ的方程为x=y+22,联立方程 (x=my+2v2 x2y2,化简得(m2-3)y2+42my+2=0, 621, 42m 设P(),0n则+3mhg错合直线 P0的方程释名+场所以网的中点水华标为（二 3-m2 提0：Vr26 22m 斜角π <a<6m>5或m<-5,当m>万或m<-3时，kow 号直线0方程为=分令=2反，得N(受号)，此 时，=(aa)广，（停-）广，于是0 IMF213 grc0,(任 1MF212 )=8(4广-3，由片g知，当=3时 ()二4（传广兰放的是本为 35. 11.ACD解析：显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为 =m+8,由{8，。得y-8y-64=0,所以+=8m,a= (x=my+8, 黑白题049 7.分(y2)2 -64,8·864=64,放A正确，B错误： 14B1=V1+m21y1-21=1+m2·√(1+y2)2-4y12= √1+m2.√64m2+256=8√(m2+1)(m2+4),所以1AB1mn=16, 当且仅当m=0时，取到最小值，故C正确： 因为O.O=x1x2+y1y2=0,所以0A10B,所以△AB0的外心就 是孩极的中点记为），其中加空2由分 81,分=8，以及2=-64，得0=1=疗5 2 16 (y1ty2)2-2y124y8+1286 16 16 =+8,即分=4，-32，所以直线0M 的斜率=口=0要求直线OM的斜率的最大值，所以o>0, 07+32 所以k= 04 y+32 32 4 32 =2,当且仅当0=32，即 Yo yo yo %=42时等号成立，即直线0加的斜率的最大值为子.故D正确 故选ACD 21解桥：设直线：=m网+n,A(1),B(22),则{， → y2-4my-4n=0,所以y1y2=-4n,7=4x1,分=4x2,(12)2= 16x1x2,k0A·k0B= y1y2164 x1X2 y1y2 =-元=-4，所以n=1,则直线： x=my+1,直线l恒过点(1,0)，则点0到直线1的最大距离为1.故 答案为1. 13.(1)解：依题意可知，动点P到点F(0,1)的距离等于它到直线y= -1的距离，所以P的轨迹是抛物线，且号=1,2印=4，所以轨迹C的 方程为x2=4y: ②用：设4()则1 4+1=lyo-11=IFD1,因为D 在)辅的正半箱，所以o-号+2.则n(0,+26如 2 4+242 0-t 设()的方程为品，即)+ 2 )学酒去得=4[吕（)+兮] 联立 x2=4y, 8r,22-04-g4(）4 头+=0,2++-(）广=0，解得=-，则 24 6(年兰)，所以直线证的方程为)千 4(),整理 t24t2 t t2-4 得y= 4+1,所以直线AE过定点(0,1). 选择性必修第一册·SJ 第3章章末检测 1,.C解析：在抛物线2=2y中，2印=2，可得n=1,号=2，所以抛物线 2=的熊点坐标为(0，)故法C 2.D解析：由双曲线x2-y2=m的一个焦点是(2,0)，得m>0,方程为 之_上=1，则m+m=22,解得m=2故选D, mm 3k+6>0, x2 y2 3.B解析：若方程办+6+21表示椭圆，则2-k>0, 解得 (3k+6≠2-k, -2<k<-1或-1<k<2,所以“-2<k<2”是“方程 y2 =1表示椭 3k+62-k 圆”的必要不充分条件故选B. 4.C解析：因为点A(x0,2)在抛物线上，1AF1=310F1,所以x0+2 头.所以0=p,所以4,2)，所以4=20，解得p=反故选C x2,y2 x2y2 5.B解析：因为椭圆C:。+云1，双曲线G:。2京1，所以c1 a22,c2=aP+2.因为2301，所以。=。，即=3G,所以 。S,所以双曲线C,的 √a2+b2=32-62,所以2=5，即么=25 新近线方程为y=±)七故选卫 6.A解析：如图，以P为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可知B(275,-100),设抛物线方程为x2=-2py(p>0), 12752=2×100p, D（2,h其中五为点P到桥面的距离，则 275）2 解 =2hp, 得h=50.故选A C 李桥面 B江面 7.B解析：根据题意可得a>2b,即a2>4b2,对于A选项，椭圆方程为 x2 2十y1,则心2=2.6P1,不符合对于B选项，椭圆方程为 =1,则a2=5,62=1,符合对于C选项，椭圆方程为+亡=1，则 32 3,-2,不格合：对于D遮项橘圆方程为后+号=1，则=6 b2=2,不符合故选B. 8.C解析：设AF1=m,BA=p,F1F2=6,AF2=2+m,BF2=m+p-2, Sa,5221(8+2m)=(4+m)n,Saa,22(2m+2p)=(m+ SaM5-n=4+mn在△AR,,与△AP,B中， p）,Sarp(mtp)n COsZ F AF2=-cos LF2AB, (2+m)2+p2-(m+p-2)2」 p=mi m2+m3 2·(2+m)·p 号器园 4-m= 4-m4-m 黑白题050