3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式&专题探究2 利用基本不等式求最值-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

学霸黑白题数学·必修第一册·SJ 3.3从函数观点看一元 3.3.1从函数观 白题 基础过关 题组1二次函数的零点的判断 1.*函数y=x2-2x-8的零点是 A.2和-4 B.-2和4 C.（2,0)和(-4,0) D.(-2,0)和(4,0) 2.*(2026·江苏镇江高一月考)二次函数 y=x2+mx+4有零点的一个必要不充分条件是 A.(-∞，-4)U(16,+0) B.(4,16) C.(-0,-4]U[4,+∞) D.(-∞，0]U[2,+∞) 3.*多选(2025·广东广州高一月考)如图， 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交 于两点(x1,0),(2,0),其中0<x1<1.下列结 论正确的有 2 A.abc<0 B.a+b+c<0 C.2a-c<0 D.a-b+c<O 4.*多选(2026·浙江宁波高一月考)已知 二次函数y=x2+ax+b在(0,1)上有两个不同 的零点，则 () A.a2>46 B.a+b<-1 C.2a+b<0 D.b2+(a+1)b>0 5.*已知二次函数y=x2+(2t-1)x+1-2t, (1)求证：将函数y=x2+(2t-1)x+1-2t向下 平移一个单位长度之后得到的函数必然 存在零点； (2)若函数y=x2+(2t-1)x+1-2t在区间 (-1,0)和0,2)内各有一个零点，求实 30 次方程和一元二次不等式 点看一元二次方程 限时25min 数t的取值范围. 题组2利用二次函数的图象判断一元二次方 程的根的情况 6.*多选(2026·福建师大附中高一期中) 已知m为任意实数，关于x的方程x2-2x+m- 1=0,则 >《题中题》上分专题02例4()】 A.当m≤2时，方程有两实数根 B.当m<1时，方程有两异号的实数根 C.当m=4时，方程有两实数根x1,x2,则 x1x2=3 D.若方程有两个实数根x1,x2,且x1<1,x2> 1,则m<2 7.*★(2026·山东泰安高一期中)关于x的一 元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0有 两个不相等的正实数根，则m的取值集合 是 易错聚焦山 解 易错点 混淆二次函数零点与方程的根的对 应关系 8.**(2026·江苏苏州高一月考)若函数 y=ax2+4x-1在区间(-1,1)上恰有一个 零点，则实数a的取值范围为 () A.(-3,0)U(0,5)B.(-3,5) C.[-3,5] D.[-3,5]U{-4} 3.3.2从函数观点 白题 基础过关 题组1解不含参数的一元二次不等式 1.★(2026·江苏盐城高一月考)不等式6x2 5x+1>0的解集是 A{✉3<2 B{e>2 c.{兮} D.{<或>} 2.(2026·江苏苏州高一月考)在下列不等 式中，解集为空集的是 A.2x2-3x+2>0 B.x2+4x+4≤0 C.4-4x-x2<0 D.-2+3x-2x2>0 题组2解含有参数的一元二次不等式 3.*(2026·广东江门高一期中)若0<a<1, 则不等式(a-x)(x-1)>0的解集是（() A.(2,a) B.(a,1) C.(-0,1）U(a,+o)D.(-s,a)U(,+o） 4.*多选(2026·江苏南通高一月考)关于x 的不等式(ax-1)(x+2)≤0(a∈R)的解集可 以是 A.{x|x≥-2} B.R C{≤≤-2n{xx≤或x≥-2 5.*解关于x的不等式(m+1)x2-2mx+m 1≥0. >>《题中题》上分专题02例1 第3章 看一元二次不等式 限 题组3解分式不等式及高次不等式 6.(2026·广东深圳高一期中)不等式x-1 2x+4 >0的解集为 A.{xlx<-2或x>1}B.{x-2<x<1} C.{xlx<-1或x>2}D.{xl-1<x<2} 7.■已知兔合A:xeN7=0.则集合4 中的元素个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 8.★(2026·江苏南京师大附中高一月考)使 2x+1≥1"成立的一个充分不必要条件是 1-x ( A.x≤0或x≥1 B.0<x<1 C.0≤x<1 D.0≤x≤1 9.*不等式(x+1)(x-1)(x-2)>0的解集是 A.(-1,2) B.(-∞，-1)U(1,2) C.(-1,1)U(1,2) D.(-1,1)U(2,+∞) 10.*★(2026·江苏泰州高一月考)不等式 (x+1)22(3-)≥0的解集为 (x-1)2025 题组4“三个二次”的理解及应用 11.*多选(2026·湖南长沙高一期中)若函 数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点是 A(-2,0),B(1,0),则下列结论正确的是 A.b+c=-1 B.方程x2+bx+c=0的两根是-2,1 C.不等式x2+bx+c>0的解集是{xl-2<x<1} D.不等式x2+bx+c≤0的解集是{xl-2≤x≤1} 31 学霸黑白题数学·必修第一册·SJ 12.★（2026·江苏宿迁高一月考)不等式 ax2-bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=ax2-bx+c的图象大致为 13.*若方程ax2+bx+c=0(a>0)有唯一的实数 解2，则不等式ax2+bx+c>0的解集 为 题组5已知不等式的解集求参数 14.*(2026·江苏盐城高一期中)不等式 ax2-5x+c<0的解集为{x|2<x<3},则a,c 的值为 （) A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1 C.a=1,c=6 D.a=-1,c=-6 15.*★多选(2026·广东茂名高一月考)若关 于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a,b, c∈R)的解集为{xl-2<x<3},则（) A.a>0 B.bc>0 C.a+b=0 D.a-6+c>0 16.*(2026·江苏无锡高一期中)不等式 x+6>0的解集为xx<-1或>4，则(x+ ax+1 a)(bx-1)≥0的解集为 A. B.(0,4]u[1,+x) c【-1,4] D.(-0,-1]U[4,+ 32 题组6一元二次不等式的实际应用 17.*(2026·湖北襄阳高一期中)常熟“叫花 鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是 闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著 称.购物节来临，某店铺制作了300只“叫花 鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均 可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的 基础上提高x(x∈N*)元，则被卖出的“叫 花鸡”会减少5x只.要使该店铺的“叫花鸡” 销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花 鸡”每只定价应为 A.48元B.49元C.51元D.50元 18.*|人教教材变式(2026· 安徽安庆高一期中)如图， 某小区要建一座八边形的 休闲场所，它的主体造型 平面图是由两个周长均为 24m的相同的矩形ABCD和EFGH构成的 十字形地域.计划在正方形MWPQ上建一座 花坛，造价为2000元/m2;在四个相同的矩 形（图中阴影部分）内铺上塑胶，造价为 100元/m2;在四个空角（图中四个三角形） 内铺上草坪，造价为400元/m2.若要使总造 价不高于24000元，则正方形MWPQ周长 的最小值为 m 重难聚焦川 重难点一元二次不等式恒成立与有解问题 19.*(2026·江苏徐州高一期中)设m为 实数，若关于x的不等式4x2-mx+1>0恒 成立，则m的取值范围为 ( A.(-4,4) B.[-4,4] C.(-∞，4) D.(-∞，4] 20.*（2026·河北保定高一月考)若命题 “x∈R,x2-2mx+m+2<0”为真命题，则 实数m的取值范围是 黑题能力提升 1.*(2026·江苏南京高一月考)设集合A= {x2-≥0}，B=x12-4x+3≤0，则An (CB)= () A.{xl-1<x<2} B.{xI0<x<1} C.{xl0<x≤2} D.{x|1≤x≤2} 2.**(2026·江苏苏州高一月考)甲、乙两人 解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数 b,得到的解集为{x11<x<6};乙写错了常数 c,得到的解集为{x|1<x<4}.那么原不等式的 解集为 A.{x|-1<x<6} B.{x|-6<x<1} C.{x|-3<x<-2} D.{xI2<x<3} 3.1人教教材变式多选(2026·辽宁沈阳高 一月考)已知不等式26+<0，下列说法 正确的是 A.若=1，则不等式的解为(） B.若不等式对Vx∈R恒成立，则整数k的取 值集合为{-2，-1,0 C.若不等式对0≤k≤1恒成立，则实数x的 取值范围是(-子） D.若恰有一个整数x使得不等式成立，则实 数长的取值范围是[骨+） 4.★*(2026·福建泉州高一期中)为配制一种 药液，进行了二次稀释.先在体积为10升的 桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一 部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒 出相同数量的溶液后用水补满.若第二次稀 释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每 次至少倒出 升溶液 第3章不等式黑白题学霸 限时30min|答案P23 5.(2026·河北衡水高一月考)研究问题： “已知关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为 (1,2),解关于x的不等式cx2-bx+a>0”,有如 下解法：由ar2-x+c>0→a-b(）+c()> 0令y=,则y∈（分1）小，所以不等式cx2- bx+a>0的解集为 2,1)类比上述解法，已 知关于x的不等式k++6<0的解集为 x+a x+c （-2,-1)U(2,3),则关于x的不等式c ax-1 bx-1 <0的解集为 cx-1 6.整(2026·江苏苏州高一月考)已知集合 M={xlax2+bx+c≤0}. (1)若a=c=1且M=☑，求实数b的取值范围； (2)若c=-1,b=a-1,求集合M; （3)若M:{红=品}.且关于x的不等式 ax2+bx+c≤4的解集为{x|m≤x≤m+4}, 求实数a的值， 视 压轴挑战Ⅲ 7.(2026·江苏扬州高一月考)若关于x 的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集 为[-1,3]，则a-b-c的取值范围 是 33 学霸黑白题数学·必修第一册·SJ 3.3 阶段综合 黑题 阶段强化 限时30min 1.(2026·山东威海高一期中)-1 71 C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则 x1x2>0 是“x2-2x-3<0”的 D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且 A.充分不必要条件 |x1-x2|=4,则c=4 B.必要不充分条件 6.*(2026·四川成都七中高一月考)关于x C.充要条件 的方程x2-4mx+2m+6=0至少有一个负根， D.既不充分又不必要条件 则实数m的取值范围是 2.*(2026·河南南阳高一月考)若关于x的 7.整(2026·江苏扬州高一期中)已知函数 不等式1>1的解集是x1<<3,则下列 y=ax2+2x+2. x-ax-b (1)若存在实数x,使得不等式y≥4成立，求 式子中错误的是 实数a的取值范围； A.a-b<0 B.a+b=4 C.a=1,b=3 D.a=3,b=1 (2)Hx∈[3,6]，y>ax2+x+1+k√-x+7恒成 3.*(2026·江苏镇江高一月考)已知关于x 立，求实数k的取值范围； 的方程x2-2mlx|+2=0有4个互不相同的实 (3)解关于x的不等式y>a. 数根，则实数m的取值范围是 () A.(-√2，√2) B.（-∞，-√2) C.(-∞，-√2)U(√2，+∞) D.(2,+o) 4.*知识迁移(2026·江苏苏州高一月考)若 关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数 根x1,x2,集合S={xx>x1},T={xx>x2}, P={xx<x1},Q={xx<x2},则关于x的不等 式ax2+bx+c>0的解集为 () A.(SnT)U(PnQ)B.(S∩T)∩(P∩Q) C.(SUT)U(PUQ)D.(SUT)n(PUQ) 压轴挑战 5.接多选(2026·浙江台州高一月考)已知 8.禁(2026·江苏常州高级中学高一月考) 不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠ 已知a,b∈R且ab≠0，若(x-a)(x-b)(x d},则下列四个结论中正确的是（) A.a2=46 2a-b)≥0在x≥0上恒成立，则（) A.a<0 B.a>0 Bd+4 C.b<0 D.b>0 34 第3章 专题探究2利用基本不等式求最值 黑题 专题强化 金 题组1简单代数式的最值 题组2 二次商式的最值 1.*(2026·江苏无锡高一月考)已知x>1, 5.**（2026·福建福州高一月考)设x>-2,则 y>0,x+y=2,则(x-1)·y的最大值是( x2+6x+9 的最小值为 () A.2 B月 x+2 A.1 B.2 C. 4 C.3 D.4 D.1 2.**易错题(2026·江苏南京高一月考)若a 6.已知20，则22+1的最大值是（) t2+1 是正数，则2(a+1)+2的最小值为() A.1 B.2 a C.3 1 A.2 B.3 C.4 D.8 7.*当x>0时，函数y= 3.(2026·江苏镇江高一月考)若y>0, 的最小值是 题组3恒成立问题 y=1,则x2+的最小值为 8.*(2026·安徽芜湖一中高一月考)已知正 A.8 B.9 实数a,6满足a+h=6,若4+9 a b+l ≥1恒成立， C.10 D.11 则实数飞的最大值为 4.(2026·江苏盐城高一期中)若x>1,y> A.8 B.16 C.24 D.36 1,且满足x+y-xy+3=0. 9.著（2026·天津南开区高一期中)已知x> (1)求x+y的最小值； (2)求x1)1少的最大值 0,>0,若不等式 -+≥a(x+y)恒成立，则a x y 2x+y-3 的最大值为 8② 2 C.1 D.√2 10.(2026·江苏南京高一期中)已知x>0, y>0,且x+y=1,若4x+1≥mxy恒成立，则实 数m的最大值为 11.#(2026·江苏苏州高一) x 已知x>1,y>1,且不等式 ≥3m-1恒成立，则m的最大值为 358-2(x+y）8-1 1■ 8 x+=+=。（x+y)+≥2入/2(x+). =4,当且仅当 xty xty 8 a b+c a+b+c (xy=4 的最小值是4. 8.48-322解析：设AB=xcm,AD=ycm,点B翻折后的位置为 点B, 因为矩形周长为16cm,所以2(x+y)=16,所以x+y=8, 又因为x>y,所以8-x<x,解得x>4,所以4<x<8. 因为∠APD=∠CPB',∠ADP=∠CB'P,AD=CB',所以△APD与 △CPB'全等，所以B'P=DP, 设B'P=t,则AP=x-t,DP=t,在Rt△ADP中，AD+DP2=AP2,所以 (8-)2+=(x-）2,所以=8-32 所以sw分a0():(82）-g-4(+婴） 48-4·22,卫=48-322，当且仅当x=32,即=42时取等 号，满足4<x<8,所以(S AADP）m=(48-32√2)(cm2). 又9解折令a=6=7小1则安y2,因为2+ y=2,则3a+b=5, 因为0周o0b0期-古-兮（日） （6写（僧之-10）小≥写×2x310)=5,等号成立时a 6即，则子的最小值为 xty x-y+1 10.解：(1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度 均为x(6≤≤12)米，则长方体前面新建墙体的长度为100米，所 以y=160.2x·1+320.100.1+640, 即ye20(10四）640≥32020640=128m,当 =100,即x=10时，等号成立. 且仅当x= 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价 为12800元. (2)由题意可知，320(x+￥） 41四）6402a1,即(+9）产 20a(1中对任意的xe[6,12]恒成立，所以x+10)a(1+), x *+7,即as+1027 可得a<(x+10)2 x+1Jm 1+181 (x+10)2 1++18≥2√+1)+18=36，当且仅当+ x+1 1即=8时，0取显小值36， x+1 则0<a<36,即a的取值范围是(0,36). 20学霸黑白题数学·必修第一册·SJ 业证明：(0)圆为号c公a÷6≥2v石2v4-2o c),当且仅当a=b=c时，等号成立， 所以+2e 以2+。+6≥a6+c=1,当且仅当a=6c=号时，等号成立， 故+≥1成立 c a b (2)(1+a)(1+b)(1+c)=(2a+b+c)(2b+a+c)(2c+a+b), 由基本不等式有2a+b+c=a+c+a+b≥2√(a+c)(a+b), 2b+a+c=b+c+b+a≥2√(b+c)(a+b), 2c+a+b=c+a+c+b≥2√/(a+c)(c+b), 故(1+a)(1+b)(1+c)≥8(a+b)(b+c)(c+a)=8(1-a)(1-b)(1 。),当且仅当a6=c=号时，等号成立 ©压轴挑战 12.(山)证明：因为a6e,0,所以2=d,空=va,当且仅当 a=b,c=d时等号成立， 所以+b+c+4≥√+a,当且仅当a=b,c=d时等号成立 2 又a+v≥√/Wa·√a=ab,当且仅当√而：Va时等 2 号成立， 所以a+6+c1≥Va+√@≥aa,当且仅当a=6=e=d时等号 4 2 成立 (2)解，=压，当且仅当a-6c时等号成立推号如下： 由于4+b+c+4≥ya6+ya≥aca,当且仅当a=b=c=d时等号 4 2 成立， 令d=abc,得a+b+cac ≥abc·Vabc= 4 (3ac)3.ac=ac,即a+h+c+ac≥4ac,放a+b+ c≥3ac,所以a++c≥}ac,当且仅当a=b=c=d时等号成立. 3 3)期：因为a0.断以0a-0)≤(g）广-子d,当且仅 当a=2b时等号成立，所以6(a-b)产。2 1 4 3 因此a+ b(a-b)≥a+ 4-aa4 4 2t2ta≥3 aa. 22‘0京=3，当且 配凑成积为定值的形式 仅当a=2,b=1时等号成立，所以a+6(a-b 1 的最小值为3. 3.3从函数观点看一元二次方程和 一元二次不等式 3.3.1从函数观点看一元二次方程 白题 基础过关 1.B解析：解方程y=0,即x2-2x-8=0,解得x=-2或x=4.因此函 数y=x2-2x-8的零点是-2和4. 2.D解析：若二次函数y=x2+mx+4有零点，则4=m2-16≥0，解得 m≥4或m≤-4， 由于(-∞，-4]U[4,+∞)是(-∞，0]U[2,+∞)的真子集，故二 次函数y=x2+mx+4有零点的一个必要不充分条件是(-∞，0]U [2,+∞). 3.AB解析：由题可知a>0. 由题图可知，抛物线的对称轴在y辅右侧，则六>0，所以6<0 因为二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于两点(x1,0), (2,0),其中0<x,<1,所以c>0,所以abc<0,故A正确： 当x=1时，a+b+c<0,故B正确： 当x=2时，4a+2b+c=0,则2b=-4a-c,又a+b+c<0,则2a+2b+2c< 0,所以2a-c>0,故C错误； 因为b<0,所以-b>0,又a>0,c>0,所以a-b+c>0,故D错误 4.ACD解析：对于A,因为二次函数y=x2+ax+b在(0,1)上有两个 不同的零点，所以=a2-46>0,解得a2>46,故A正确； 对于B,因为二次函数y=x2+ax+b在(0,1)上有两个不同的零点， 所以当x=1时函数值大于0，即1+a+b>0,解得a+b>-1,故B错 误； 对于C,由已知得>4，则c号则2ak2a 4 因为二次函数y=x2+ax+b在(0,1)上有两个不同的零点，所以 2e(0,1),解得a∈(-2,0)， 且2a+4=↓(a+4)2-4,对称轴为直线a=-4,放当a6(-2,0 a2 时，可得2a+4∈(-3,0)，即2a+bc0得证，故C正确； 对于D,b2+(a+1)b=b(1+a+b),易知当x=0时，y=b,当x=1时， y=1+a+b, 又因为二次函数y=x2+ax+b在(0,1)上有两个不同的零点，所以 当x=0和x=1时函数值大于0，即b>0,1+a+b>0,所以b2+(a+ 1)b>0,故D正确. 5.(1)证明：将函数y=x2+(2t-1)x+1-2t向下平移一个单位长度之 后得到的函数为y=x2+(2t-1)x-2t, 函数y=x2+(2t-1)x-2t必有零点，即x2+(2t-1)x-2t=0必有 实根， 因为△=(2t-1)2+8t=4t2+4t+1=(2t+1)2≥0，所以函数y=x2+ (2t-1)x-2t必有零点. (2)解：因为函数y=+(2-1x+1-2在区间(-1,0)和(0，分） 内各有一个零点，且其图象开口向上，所以函数y=x2+(21-1)x+ 1-2☑在=-1和：=2处的函数值大于0，在x=0处的函数值小 1-(2t-1)+1-2t>0, 于0，即4+分(2-)+1-20，解得<子所以实数：的取值 11 1-2t<0, 他同是（分） 6.ABD解析：对于A,因为△=4-4(m-1)=8-4m,当m≤2时，有△≥0， 方程有两实数根，故A正确： 对于B,当m<1时，有 m-1<0,。所以方程有两异号的实数根， (△=8-4m>0, 故B正确； 对于C,当m=4时，方程变为x2-2x+3=0,即(x-1)2+2=0,无实数 解，故C错误； 对于D,若方程有两个实数根x1,x2,且x1<1,x2>1,则二次函数y= x2-2x+m-1在x=1处的函数值小于0，即1-2+m-1<0,解得m<2, 故D正确。 一题多解对于D,若方程有两个实数根1，x2,且x1<1,x2>1,等价 于(x1-1)(x2-1)<0,.xx2-(x1+x2)+1<0,所以m-1-2+1<0,解 得m<2,故D正确. 7(得，2）解折：因为-元=次方程(m-2)+(2m+1)+m-2=0 有两个不等正实根，故m≠2，且△=(2m+1)2-4(m-2)2=20m- 一元二次方程的二次项系数一定不为0 15>0,解得m心号 又因为方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0有两个不相等的正实数 根，则二次函数y=(m-2)x2+(2m+1)x+m-2的图象与x轴正半轴 有2个交点， ①若二次函数y=(m-2)x2+(2m+1)x+m-2的图象开口向上，则 m-2>0,m>2, 此时对称输在)轴的右侧，即0.因为a20,所以21 0,解得m<2,矛盾，舍去； ②若二次函数y=(m-2)x2+(2m+1)x+m-2的图象开口向下，则m -2<0,m<2, 此时对称轴在轴的右侧，即-22>0，因为m-2<0,所以2m+> 0,解得m心7，所以-子m<2,又因为m,因此子≤m<2, 综上me(2 ⊙易错聚焦 8D解折：当a=0时，4-1=0，则x=,满足题意； 二次项系数为0时，一次函数也满足恰有一个零，点 当a≠0时，二次函数y=ax2+4x-1在区间(-1,1)上恰有一个零 点， ①当4=0时，16+4a=0,解得a=-4,此时二次函数为y=-4x2+ △=0时一元二次方程有两个相等的实根，对应的二次函数有 且仅有一个零点 1 4-1,令y=0,解得x=2e(-1,1),满足题意： ②当△>0时，16+4a>0,解得a>-4,此时二次函数y=ax2+4x-1有 两个零点，其中一个在(-1,1)上，因此二次函数y=ax2+4x-1在x= ±1处的函数值异号或有一个为0， 当x=-1时，y=a-5,当x=1时，y=a+3,显然有a-5<a+3,所以 {a-5≤0，且等号不能同时取到，解得-3≤a≤5，故-3≤a<0或0< (a+3≥0， a≤5， 综上，-3≤a≤5或a=-4. 易错提醒恰有一个零，点意味着函数与x轴有且仅有一个交点，也 就是方程的解集中只有一个元素。 3.32从函数观点看一元二次不等式 白题 基础过关 D解折：由6-5+1>0，则(3x-1)(2-1)>0,解得x<或 分则不等式62-5+1>0的解集是{：<写或} 参考答案黑白题学霸↑21 方法总结解一元二次不等式的一般步骤： ①二次项系数化正：②求对应一元二次方程的根：③大于取两边， 小于取中间. 2.D解析：对于A,函数y=2x2-3x+2的图象开口向上，△=9-4×2× 2<0,所以不等式2x2-3x+2>0的解集为R,故A错误； 对于B,不等式x2+4x+4=(x+2)2≤0的解集为{xlx=-2},故B 错误； 对于C,函数y=4-4x-x2的图象开口向下，不等式4-4x-x2<0的 解集为x1x<-2-22或x>-2+22},故C错误； 对于D,函数y=-2+3x-2x2的图象开口向下，由4=9-4×(-2)× （-2)<0,不等式-2+3x-2x2>0的解集为0，故D正确， 3.B解析：由0<a<1知0<a<1< a 将(a)(:日）>0化为w)(日)0，解得a<石 4.ABD解析：不等式(ax-1)(x+2)≤0中， 当a=0时，-(x+2)≤0，解得x≥-2，故A正确； 当a>0时，不等式化为（日）x+2)≤0，解得-2≤≤ 当a<0时，不等式化为(）+2)≥0，若a=号则：eR放 a B正确； 若a<0,则≤或≥-2，故D正确； 若a<分则x≤-2或x≥日 1 故C错误 5.解：不等式(m+1)x2-2mx+m-1≥0，即(x-1)[(m+1)x-(m- 1)]≥0， 当m=-1时，不等式为2x-2≥0，解得x≥1，则不等式的解集为 [1,+∞)； 当m心1时，不等式变形为(x-(只)≥=0，由于1 ,解得x≥1或x≤故此时不等式的解集为 (][1,*): 当m<1时，不等式变形为(-)()=0，由于01 1每得15号做比时不等式的深案为原】 2 综上所述，当m=-1时，不等式的解集为[1，+∞)； 当心-1时，不等式的解架为（✉引u1+): 当a<1时，不等式的解袋为，】 方法总结解含参一元二次不等式的步骤： ①讨论二次项系数与0的大小关系； ②当二次项系数不为0时，讨论对应一元二次方程根的情况（△和 0的大小关系)； ③当△≥0时，讨论对应一元二次方程两根的大小关系. 6A解折：0即为(x-1)(+2)>0放<-2或1，放不等式 的解集为{xlx<-2或x>1. 1D,02》0得27 22学霸黑白题数学·必修第一册·SJ 因为x∈N,所以x=3,4,5,6,7,即A={3,4,5,6,7},所以集合A中 的元素个数为5. &B解折：告≥1，脚兴≤0，等价于00解得 (x-1≠0， [0,1),所以2+1≥1的充要条件为0≤<1，使2+1≥1”成立的 1-x 1-x 一个充分不必要条件是0<x<1. 方法总结解分式不等式的一般步聚： ①移项通分将不等号一侧化为0； ②化为整式不等式求解：0(<0)M>0(<0):兴≥0（≤0）台 M (MW≥0（≤0）， (N≠0. 9.D解析：利用穿针引线法，在数轴上标根如下图： 10 /23 由图可知不等式(x+1)(x-1)(x-2)>0的解集是(-1,1)U(2,+∞). 方法总结解高次不等式的一般步骤： ①求对应一元高次方程的根，并在数轴上标根； ②穿针引线：从最右侧根的右上方开始，依次穿过每一个根，奇穿 偶不穿 10.{-1}U(1,3] 解析，（+23e≥0可化为(x+1)· (x-1)25 (x-1)2025(x-3)≤0且x≠1， 根据穿针引线法，在数轴上标根如下图： -10 2 故解集为{-1}U(1,3]. 11.ABD解析：依题意，方程x2+bx+c=0的两根是-2,1，故B正确； 显然-b=-1,c=-2,即b=1,c=-2,b+c=-1,故A正确： 不等式x2+bx+c>0,即x2+x-2>0的解集为{xlx<-2或x>1},故C 错误； 不等式x2+bx+c≤0，即x2+x-2≤0的解集是{x|-2≤x≤1}，故D 正确. 12.A解析：因为ax2-bx+c>0的解集为{x1-2<x<1},所以方程ax2 bx+c=0的两根分别为-2和1，且a<0,故函数y=ax2-bx+c的图 象开口向下，且与x轴的交点坐标为(1,0)和(-2,0)，故A选项 的图象符合 13.(-∞，2)U(2,+∞)解析：由题意知方程ax2+bx+c=0(a>0)有 唯一的实数根2，即二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个 交点(2,0)，故不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞，2)U(2,+∞）. 14.C解析：不等式ax2-5x+c<0的解集为{x12<x<3},所以2,3是 方程am2-5tc=0的两个安数根，所以243名2x3=后则a 1,c=6. 15.BCD解析：对于A,由题意，结合二次函数y=ax2+bx+c的图象 知，抛物线开口应向下，则a<0,故A错误； 对于B,依题意，a<0,且一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2 -2+3=-6 a 和3，由韦达定理得 故b=-a>0,c=-6a>0,即bc>0, C -2×3= a 故B正确； 对于C,由上分析可得a+b=0,故C正确： 对于D,由上分析可得a-b+c=a-(-a)+(-6a)=-4a>0,故D 正确， 16C解折：不等式>0台(au+1)(x+6)>0的解集为 {xlx<-1或x>4},则a>0,ax2+（ab+1)x+b>0,所以 -1+4=3=6+1-61 a 解得a=1(负根已舍去)，则b=-4.所 b -1×4=-4= 以不等式(x+a)(bx-1)≥0，即(x+1)(-4x-1)≥0，(x+1)(4x+1)≤ 0,解得-1≤≤4，放不等式(x+a)(6x-1）≥0的解集为 [1,4] 17.D解析：根据题意可得(40+x)(300-5x)>12495,整理得x2- 20x+99<0,解得9<x<11,又xeN,所以x=10,该店铺的“叫花 鸡”每只定价应为40+10=50（元） 18.4解析：设正方形MPQ的边长为am,则N=244a=(6- 4 a)m,MN=am,所以SANPO=a2,4S矩形Eww=4a(6-a),4S△Poc=4× 2(6-a)=26-aj, 所以总造价y=2000a2+400a(6-a)+800(6-a)2≤24000，且0< a<6, 所以5a2+a(6-a)+2(6-a)2≤60，则a2-3a+2≤0，可得1≤a≤2， 故an=1,即正方形MNPQ周长的最小值为4m. ⊙重难聚焦 19.A解析：若不等式4x2-mx+1>0恒成立，则△=m2-16<0,解得 -4<m<4. 20.{mlm<-1或m>2}解析：若命题“3x∈R,x2-2mx+m+2<0”为 真命题，则△=4m2-4(m+2)>0,解得m<-1或m>2,所以实数m 的取值范围是{mlm<-1或m>2. 黑题 能力提升 1。解析由≥0，即x≤0，导中0，解得0cx2, 所以A-{2≥0-✉0<≤2： 由x2-4x+3≤0，即(x-3)(x-1)≤0，解得1≤x≤3，所以B={xlx2- 4x+3≤0={x|1≤x≤3， 所以RB={xlx<1或x>3},则An(CB)={x10<<1}. 2.D解析：由题意知，甲的常数c正确，由韦达定理可知1×6=c,故 c=6, 乙的常数b正确，故1+4=-b,故b=-5, 所以原不等式为x2-5x+6<0,即(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,所以 解集为{x|2<x<3}. 3BCD解析：当=1时，2+日=2+号<0，所以(2x+ )()）k0,解得-<放A误： 若不等式对VxeR恒成立，则当k=0时，不等式-号<0成立，当 k≠0时， △=2-4x2k×（80解得-3<k<0, 2k<0, 综上，-3<k≤0，则整数k的取值集合为{-2，-1,0}，故B正确； 将加+名0化为2x+令0，则选项C可转化为2 k3<0对0≤k≤1恒成立，所以 30, x2+x- 31 解得- 8 3 44, AAA (80, y=(2)k-0≤≤1)的围象是一条线段，只需调足线段的 两个端点均在x轴下方即可 故C正确； 若恰有一个整数x使得不等式成立，则2k>0,即k>0, 记y=2kx2+kx- 3 x-。,注意到当x=0时，y三3<0，则唯一满足条件 的整数为0，所以y=2x+:?在x三±1处的函数值均非负，即 3 2k-k8≥0 3 解得k≥号，故D正确 2k+k8≥0 4.2解析：设每次倒出V升溶液，第一次稀释后，药液浓度为10"， 10, 10-k10-p 第二次稀释后，药液浓度为一 0* 10, 10r106w 依题意有 ≤64%，即2-20V+36≤0，解得2≤V≤ 10 18, 又V≤10，即2≤V≤10，所以每次至少倒出2升溶液. 5.(号)U(号，1）解析：关于：的不等式地0的解 x+a x+c 集为(-2，-1)U(2,3), 用-工替换x,不等式可以化为 w 因为士e(-2,-1u(2,),所以<1或号<号，即不等 1 1 式ca-1 -0的帮套为（分号）u(行小 6.解：(1)因为a=c=1且M=0,所以x2+bx+1≤0无解，所以△<0， 即62-4<0，所以-2<b<2,所以实数b的取值范围是(-2,2). (2)因为c=-1,b=a-1,所以M={xlax2+(a-1)x-1≤0}=x1(ax 1)(x+1)≤0}， ①当a=0时，-(x+1)≤0，即x≥-1； ②当a≠0时，M={a(）水x+1)≤0}。 当a0时，(）(+1)≤0，>0-1，所以-1≤≤ 当a<0时，(-）x+1)≥0， 若<-1即-1<a<0时，x≤1或x≥-1， a 若=-1即a=-1时，xeR, a 参考答案黑白题学霸23 若>-1即a<-1时，x≤-1或≥ 对两根的大小关系进行分类讨论 综上，当0时，w={-1≤≤}。 当a=0时，M=xlx≥-1}， 当-1c0时M={≤或， 当a=-1时，M=R, 当a-1时，M:{≤-1或≥} (8因为w{=}所以公0 4=0,b2-4ac=0, 因为ax2+bx+c≤4的解集为{xm≤x≤m+4},则方程ax2+bx+c- 4=0的两根为x1=m,x2=m+4, b c-4 根据韦达定理+=。， ,又因为x2-x1=m+4-m=4, (a>0, 代入(P=(+P-得=()广-4x 2 b2-4ac=0, 。,又因为-4ac=0,所以化简上式得到a=1,所以实数a=1 ◆压轴挑战 7.(-2,1]解析：因为不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为[-1， 3],所以二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,且需满足 1a-b+c=2, 9a+36+c=2,解得6=-2a, (c=-3a+2, a+b+c≥0， 所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0解得a≤2， 1 所以ae(0,],所以ab-c=a+2a+3a-2=6a-2e(-2,1小. 3.3阶段综合 黑题 阶段强化 1B解析：解不等式≤1，得分-1， 解不等式x2-2x-3<0,得-1<x<3, 而架合-1<3到真包含于终合到>-，所以1”是 “x2-2x-3<0”的必要不充分条件. 2.D解析：由-a2x-b a-b 则x-。x-6>0,则(x-a0->0,即(a- b)(x-a)(x-b)>0,显然a≠b, 由题意，不等式(a-b)(x-a)(x-b)>0的解集是{x1<x<3},则1， 3为方程(a-b)(x-a)(x-b)=0的根，且a-b<0,即a<b,则a=1, b=3. 3.D解析：令t=|xl≥0，由x2-2mlx|+2=0,得t2-2mt+2=0, 由题意可知方程2-2mt+2=0有两个不同的正根，则 14m2-8>0, 2m>0,解得m>√2，即实数m的取值范围是(2，+∞). 2>0, 4.A解析：不妨设x1<x2,则ax2+bx+c>0(a>0)的解集为{xx<x或 x>x21,SUT=Ixlx>x,PUQ=xlx<x21,SnT=xIx>x21,Pn Q={xx<x1},所以(SnT)U(PnQ)={xlx<x1或x>x2}. 5.ABD解折：由题意4=0-46=06-，放A正确； 24学霸黑白题数学·必修第一册·SJ 对于B++2云子-4，当且仅当6-即a √2时等号成立，故B正确； 对于C,由韦达定理，知=-b=-<0,故C错误； 对于D,由韦达定理，知与+名=-a,=6-=牙6，则与为1 )4高=√公-4（子c)=26=4,解得c=4,故D正确 6.(-0,-1]解析：设方程x2-4mx+2m+6=0的根为x1,x2(x1≤ 2）, 若x1<0<x2,则二次函数y=x2-4mx+2m+6在x=0处的函数值为 负，即2m+6<0,得m<-3; 若x,<x2=0,则2m+6=0,得m=-3,此时原方程为x2+12x=0,解得 x1=-12<0,x2=0,符合题意； 若x1≤x2<0,则4≥0，二次函数y=x2-4mx+2m+6的对称轴在y轴 [△=16m2-4(2m+6)≥0， 左侧，且在x=0处的函数值为正，即 4 2c0, 2m+6>0, 得-3<m≤-1， 综上，实数m的取值范围是(-0，-1]. 7.解：(1)由题意不等式ax2+2x+2≥4有解， 当a=0时，可得2x-2≥0，解得x≥1符合， 当a<0时，由题意可得4=4+80≥0，解得-≤0<0， 当a>0时，抛物线开口向上，显然满足， 综上实数。的取值范間是宁+）】 (2)代人得ax2+2x+2>ax2+x+1+k√-x+7,即x+1>k√-x+7, 令t=√-x+7e[1,2],得x=7-t2,所以7-2+1>t,即2+ht-8<0, 故+-8<0对1e[1,2]恒成立，所以+-8<0，解得<2 (4+2k-8<0, (3)代人得ax2+2x+2>a,即ax2+2x+2-a>0,即(ax+2-a)(x+1)> 0, 当a=0时，即2x+2>0,解得x>-1,即解集为(-1，+∞)， 当a<0时，因为。己，-1，所以不等式的解架为(1,2）， 当a=1时，因为“-2=-1，所以不等式的解集为(-0，-1)U a (-1,+∞)， 当0ca<1时，因为2-1，所以不等式的解架为(*，。)U (-1,+∞）， 当0>1时，因为己，-1，所以不等式的解集为(-，1)U (g2+）月 综上，当a=0时，解集为(-1，+0)； 当<0时解集为(-1，）： 当a=1时，解集为(-∞，-1)U(-1,+o)； 当0a<1时，解集为(，92）U(-1,+): 当a01时，解集为(-m,1)U(。己+n）】 ©压轴挑战 8.C解析：由ab≠0得a≠0，b≠0，所以2a+b≠b, 记(x-a)(x-b)(x-2a-b)=0的三个根分别为x1,x2,x3,其中x,≤ x2≤x3, ①当x1<x2<x时，由穿针引线法可知，(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0 的解集为[x1,x2]U[x3,+∞)， 若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立，则需满足x3≤0， 又a≠0，b≠0，故a<0,b<0,此时2a+b<0,符合题意； ②当，<x2=x,时，由穿针引线法可知，(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0 的解集为[x1,+∞)， 若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立，则需满足x1≤0， 2=x3) 若x1=b,a=2a+b,则b<0,a=-b>0,符合题意； 若x1=2a+b,a=b,则2a+b≤0，a=b>0,矛盾，舍去； ③当x1=x2<x,时，由穿针引线法可知，(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0 的解集为[x3,+∞)， 若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立，则需满足x≤0， 若x3=b,a=2a+b,则b<0,a=-b>0,矛盾，舍去； 若x=2a+b,a=b,则a<0,b<0,此时2a+b<0,符合题意. 综上，一定有b<0. x) x1<x2=3 x1=2<x3 -题多解由ab≠0得a≠0，b≠0，令(x-a)(x-b)(x-2a-b)=0得 x1=a,x2=b,x3=2a+h. ①若a>0,b>0,则2a+b>0,且2a+b>a,2a+b>b,根据穿根法可知x∈ (a,2a+b)或x∈（b,2a+b)时不符合题意，舍去； ②若a>0,b<0,要满足题意需使a=2a+b>b,即a+b=0,符合题意， 如图所示； b a=2a+b ③当a<0,b>0时，同理要满足题意需2a+b=b>a,则a=0,与前提 矛盾； ④当a<0,b<0,此时2a+b<0,则(x-a)(x-b)(x-2a-b)=0的三个 根都是负数，由穿根法可知符合题意； 综上可知满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立时，只 有b<0满足题意. 专题探究2利用基本不等式求最值 黑题 专题强化 1.A解析：因为x>1,y>0,x+y=2,则x-1>0,(x-1)+y=1,可得 配凑出积的两个因式的和为定值的形式 、(x-1·y≤C-1)+y=4,当且仅当x-1=y,即z3 1 4 2y=2 时，等号成立，所以(x一1)·y的最大值是子 2.C解析：由a>0,根据均值不等式可得a4+1≥2a2,当且仅当a=1 时等号成立，所以√2(a+1)≥V4a=2a,也即√2(a+1)+2≥ 2 2a+ a 再次根据均值不等式可得22+名≥22a:名三4，当且仅当a 时等号成立，故√2(0+1)+2的最小值是4 易错提醒多次使用基本不等式求最值时需要注意取等条件是否 能同时成立 1樱折+()（停+）小5+号5 /度·y=9,当且仅当x=6,y=时取到最小值 2 Nx'y 4.解：(1)由x>1,y>1,x+y-x灯y+3=0,得x+y+3=xy≤ 空，即 (x+y)2-4(x+y)-12≥0，整理得(x+y+2)(x+y-6)≥0，解得x+y≥ 6,当且仅当x=y=3时取等号， 所以当x=y=3时，x+y取得最小值. (2)由x>1,y>1,x+y-y+3=0,得(x-1)(y1)=4,因此 因式分解配凑出积为定值的形式 (x-1)(y-1) 4 4 2+322g-0+g-D2w2--d 仅当2(x-1)=y-1,即x=√2+1，y=22+1时取等号， 所以当x=2+1,y=22+1时，（)1)取得最大值2 2x+y-3 2 5D解析：因为x>-2,所以x+2>0,+2>0,放+6x+9。 x+2 +23+2》1-(+222≥2a+2*2=4,当 1 x+2 配凑出积为定值的形式 且仅当+2中2即=-1时，等号成立 6.B解析：令221+1=m(m>1),则1=m-,所以22+1 22 2+1 m 8m 8 8 m-1）2= 一=2，当且仅当 m2-2m+9m+9-22./m.9-2 +1 m m m=3时等号成立. 元解折：>027 x2+x+1 1 =1- =1- -≥1- x2+2x+1 x2+2x+1 1 x++2 1 =号，当且仅当x=,即x=1时取等号， 2.2 x 质致)的最小值子 4 8.C解析：由正实数a,b满足a+b=k,可得a+b+1=k+1,所以(k+ y(任品）上a6(任品）卢sB 12=25,当且仅当3=2(+时等号成立，所以子2产点所 以4+9的最小值为25 Ca b+1' k+1 。引恒成立.可得高≥1，解得4s24 因为49 y2,x2 9.C解析>0，y>0,+号≥a(+)恒成立，即a≤之恒 x Y xty 成立， r 而名立-r-（x+)-y).-yy.名+之-1≥ x+y xy(x+y) xy(x+y) xy y x 参考答案黑白题学霸t25 2子-11，当且仅当=y时等号成立。 则a≤1，故a的最大值为1. 10.6+2W5解析：因为x>0,y>0,且x+y=1,由mxy≤4x+1=4x+x+ y=5x+y,可得m≤+5-L+5 xy x y 由基本不等式可得+=(+)（+）=6+之+≥ 一≥6+ x y x y √5-1 x= 2任-6r25,当且仅当之-，即当 4 时，等 5-5 r= 4 号成立，所以上+5的最小值为6+25， x*y 则m≤6+25，故实数m的最大值为6+25. 11.3解析：令a=y-1,b=x-1,因为x>1,y>1,所以a>0,b>0,则y= a+1≥2Wa(当且仅当a=1时取等号)，x=b+1≥2Wb(当且仅当 b=1时取等号)， 则片，a≥2吾-8且 y-1 x-1 a b 仅当华行即a6=1时取等号，即y=2时取等号. 因为不等式。+ 代)-十产3m-1恒成立，所以3m-1≤8，则m≤3，故 m的最大值为3. 第3章章末检测 黑题 章末提升 1.B解析：由x2-x-2=(x+1)(x-2)<0,可得-1<x<2,故解集为 {xl-1<x<2}. 2.A解析：0即(x+3)(x-1)<0,解得-3<x<1,所以“-2<x<0 是宁0的充分不必要条件 3B解折：因为m<8,所以8m>0,所以专m888=8 [【k8-m2]小s8-28m-6当且仅当8-m3 (m<8)时，即当m=7时，等号成立，故当m<8时，m+ 的报大值 为6. 4.C解析：：关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根 名4=(2-1）2-4(-1)=-4+5≥0，解得≤子根据韦达 定理可得x1+x2=1-2k,x1x2=2-1, x+x号=(x1+x2)2-2xx2=16+xx2,(1-2k)2-2(2-1)=16+ (k2-1),即k2-4k-12=0,解得k=-2或k=6(不符合题意，舍去)， .实数k的值为-2. 5.D解析：由a+b2+1=0可得a=-b2-1,则a≤-1， 由a2=2a+c-b-1可得(a-1)2=c-b>0,所以c>b, 商以6a1=(,日）》广经0所以 综上，c>b>a. 6B解折：因为W=心-心=(。-（怎茶）=+子-（学 26学霸黑白题数学·必修第一册·SJ bxa'y (}广-我用≤，当且议当学-帝且0时，途不 a2 等式中的两个等号同时成立，故M≤N. 7.C解析：当x,y,>0时，之++三+2+产+=(X+年）+ \x y 2任三6，当且仪当y时，等号度立+ 两两组成和为定值的式子 三，x+龙中至少有一个不小于2. y’zy 。+b+2,则6ab+2c-6=(a+b+22),将其 6ab+2bc-b2 8.B解析：令t= 视为关于a的二次方程，则ta2-√6ba+(t+1)b2+2tc2-2bc=0, 因为a为实数，则4，=(-√6b)2-4t[(t+1)b2+2tc2-2bc]≥0， 再整理为关于c的二次不等式，则-8tc2+8tbc+[6-4t(t+1)]b2≥ 0, 因为c为实数，则该不等式有解，则△，=64t2b2+32t2[6-4t(t+ 1)]b2≥0， 当t=0或b=0时，该不等式成立； 当t≠0且b≠0时，该不等式化简为8-4t(t+1)≥0，即2+t-2≤0， 解得-2≤t≤1， 所以6ab+2bc-62 a2+6+2c的最大值为1 一题多解 广国为cs66,2+宁产≥2k,所以62 a2+b2+2c3 ≤ -=1,即6a6+2bc-62 的最大值为1. a2+b2+2c2 a2+b2+2c2 重难点拨当式子中有多个未知量时，可以利用主元法简化计算. 9.BC解析：对于A,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,而 ac=-2=bd,故A错误； 对于B,由a0,日-，0得D0,数8正确 对于C,由<0，得ac0,6c0,则<0c故c正确： a b a+b 对于D,由0a得日号0，知结腿 10.AC解析：由题设，a(x-1)(x+3)+2=ax2+2ax-3a+2>0的解集 x1+x2=-2, 为(x1,x2),a<0,则 {k=2-3<0 .x1+x2+2=0,x1x2+3= 2<0,则A正确，D错误： 原不等式可化为y=a(x-1)(x+3)>-2的解集为(x1,x2),而y= a(x-1)(x+3)的零点分别为-3,1且开口向下，又x<x2,如下图 所示， 3=a(x-1)x+3)