2.5.2 圆与圆的位置关系-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

2.5.2圆与圆的位置关系 白题基础过关 1.C解析：圆(x-4)2+y2=9的圆心为(4,0)，半径为3，圆x2+ (y-3)2=4的圆心为(0,3)，半径为2，两圆的圆心距为√42+32= 5=2+3,即两圆的圆心距等于半径和，所以两圆外切.故选C. 四重难点拨 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离 与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法 2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差 消去x2,y2项得到. 2.B解析：由C1:(x+2)2+y2=4,则C1(-2,0),半径r1=2,由C2: (x-2)2+(y-1)2=9,则C2(2,1),半径T2=3,所以2-T1=1< |C1C2I=√17<5=T2+r1,故两圆相交，所以公切线条数为2.故选B. 3.BD解析：圆C1:(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0)，半径为1，圆C2: x2+(y-a)2=9的圆心为(0，a),半径为3，圆C1与圆C2没有公共 点，则两圆外离或内含，所以1C1C2|>3+1=4或1C1C21<3-1=2,即 √a2+1>4或√a2+1<2,所以a<-√15或a>√15或-√3<a<√3， -3,2不满足要求，-1,4满足要求.故选BD. 4.A解析：圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径'=1；圆(x-4)2+y2=2 的圆心为(4,0)，半径为r;则两圆圆心距d=4;当r=3时，d=r+r', .两圆相外切，充分性成立；当两圆相外切时，d=r+r',此时r=3;当 两圆相内切时，d=r-',此时r=5;可知若两圆相切，则r=3或5，必要 性不成立，.“r=3”是“圆x2+y2=1与圆(x-4)2+y2=r2”相切的充分 不必要条件.故选A. 5.-23解析：由C2:x2+y2+4x+6y+m=0→(x+2)2+(y+3)2=13-m,显 然13>m.因为C1(2,0),C2(-2,-3),又因为C1,C2只有一条公切 线，所以C1,C2相内切，将点C2坐标代入圆C1方程知(-2-2)2+ (-3)2>1,即C2在圆C1外部，所以圆C1内切于圆C2,则有 1C1C21=√（-2-2)2+(-3-0)7=5=√13-m-1,解得m=-23.故答 案为-23. 6.B解析：由题设公共弦的方程为x2+y2+8x-20-(x2+y2-6y)=0,整 理得8x+6y-20=0,即4x+3y-10=0,故选B. 7.CD解析：根据题意，圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0,即(x-a)2+y2=1,其 圆心的坐标为(a,0),半径R=1.圆D:x2+y2=4,其圆心的坐标为(0， 0),半径r=2.若两个圆有且仅有两条公共切线，则两圆相交，则有2- 1<a<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3,结合选项可知 选CD. 8.C解析：由已知两圆的交点所在的直线与两圆的圆心所在的直线垂 直希-1=5又：两圆的交点准线的中点（空，号） m-1 在两圆的圆心所在的直线x-y+c=0上，1+m_3 二+c=0,解得c= 22 -2,∴.m+c=5+(-2)=3.故选C. 重难聚焦 9.A解析：到原点的距离为2的点的轨迹方程为圆x2+y2=4,因此问 题转化为圆C:(x-a)2+(y-a)2=16与圆0：x2+y2=4有两个交点， 易知，C(a,a),1=4,0(0,0),r2=2,所以lr1-r21<10C1<1+r2,即2< a2+a2<6,解得-32<a<-√2或万<a<3√2，所以实数a的取值范 围为(-3√2，-√2)U(√2,32).故选A 10.(0,2±√3)解析：设动圆圆心的坐标为(0，b),则此动圆与定圆的 圆心距d=√(1-0)2+(2-b)2=r1+r2=2,解得b=2±√3.即动圆圆 心的坐标为(0,2±√3). 11.解：圆A:x2+y2-4x+2y+1=0,即(x-2)2+(y+1)2=4,圆心A(2,-1),半径 1=2圆B:x2+y2-6x-12y+4=0,即(x-3)2+(y-6)2=1,圆心B(3,6),半 径r2=1.因为两圆的圆心距1AB1=√(2-3)2+(-1-6)7=52>r1+ 2,所以两圆相离，即圆A与圆B的公切线有4条当直线的斜率不 存在时，直线x=4与两圆均相切；当直线的斜率存在时，设y=kx+b, 选择性必修第一册·RJA I2k+1+b1 =2 24 √2+1 k= 7 -7+3√41 即x-y+b=0,所以 解得 k= 8 13k-6+b1 5 =1, √2+1 b=-7,（6=6-4T k= -7-3√41 或 8’所以圆A与圆B的公切线方程有24x-7y-5=0, (b=6+/41, (3√4T-7)x-8y+48-8√4T=0或(3√④+7)x+8y-48-8V4I=0, 故圆A与圆B的公切线方程为x=4,24x-7y-5=0,(3√④红-7)x- 8y+48-8√41=0或(3√41+7)x+8y-48-8√41=0. 黑题 应用提优 1.ABD解析：直线y=ax+a2经过圆(x+a)2+y2=a2的圆心(-a,0),且 斜率为a,故选项A,B,D满足题意.故选ABD. 2A解折：由oG24+红+=0(+2P+(号）广- 空，空m则可得G(1,号）.6(-2，名)，且丙圆的半 3 /25 径分别为1=22=√m.又因为两圆只有两条公切线，故两圆 相交，即1C1C21=1∈(1r1-r2l,1+r2),显然1+r2>1,则-1<1-12< 3 25 1→-1K2√m<1,解得0<m<6.故选A 3.B解析：对于圆C:x2+y2=1,其圆心坐标为(0,0)，半径r=1.根据 点(，o)到直线Ak+B+C=0的距离公式d=1Ho+Bo+C ,则圆心 √A2+B2 到直线1的距离为1-51=5 =√5.根据切线长、圆半径和圆心到 √22+125 点P距离构成直角三角形，设切线长为IPA,圆心到点P的距离 为m,圆半径r=1.由勾股定理得1PA1=√m2-Z,当m取最小值5 时，1PAI最小，此时1PA1=√(5)2-12=√5-=√4=2.故选B. 4.B解析：由x2+y2-2x=0与x2+y2+mx-4y+n=0两式作差，可得两圆 的相交弦所在的直线为(m+2)x-4y+n=0.又因为圆C1的标准方程 为(x-1)2+y2=1,记圆心为C1(1,0).因为圆C2平分圆C,的周长， 所以公共弦所在直线过点C,(1,0),所以m+2+n=0,所以m+n=-2. 故选B. 5.B解析：如图，曲线y=√1-x2是圆x2+y2=1的上半部分，且含端 点，y=k(x+2)过定点(-2,0)，由图知，当y=k(x+2)与半圆左上部相 切时，/21 V1+k2 1且0，可得？结合图知0≤k≤故选B, 0 6.B解析：根据题意，圆x2+y2+4x-4y-10=0的标准方程为(x+2)2+ (y-2)2=18,其圆心为(-2,2)，半径r=32.若圆x2+y2+4x-4y-10= 0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2√2，则圆心 （-2,2)到直线l的距离d≤32-2W2=√2.设直线l:ax+by=0的斜率 为k,则k=-分，直线1的方程为k-y=0,则有2+2 ≤√2，解 √1+k2 得-2-√3≤k≤-2+√3，即k的取值范围是[-2-√3，-2+√3].故选B. 7.(x-1)2+y2=2解析：由圆x2+y2-2x=0的方程可知，圆心为(1,0)， 半径r=1.PA是圆的切线且IPA|=1,则点P到圆心的距离为√2，设 P(x,y),则√(x-1)2+y2=√2，化简得(x-1)2+y2=2故答案为(x- 1)2+y2=2. 8.[27,2√15]解析：已知圆0的切线l交圆C于A,B两点，则 △0AB的面积S=子MB1r圆0：2+2-4=0的半径为r=2.1MB1 黑白题36 是圆C:x2+y2+2x-15=0的弦长，圆C:x2+y2+2x-15=0的圆心为 (-1,0),半径为4.圆心C到AB的距离最小时，IAB|最大，圆心C 到AB的距离最大时，|AB|最小，IABI的最小值为2√42-32= 27,IAB1的最大值为2√42-1=2√/15，.△0AB面积的最小值为 .TAz=GI入乙x乙X用24酒过迎&OVC-CACAI △OAB面积的取值范围是[27,2√I5]. 9.√3解析：易知圆M的圆心为(0,2)，半径为r= 1,如图所示.易知AM⊥AP,BM⊥BP,设IPMI= t≥2，则1AP1=√-1，由图可得S四边形PAwB= 2Sam=之1MP1·1AB.又因为SaP= 号1API·1AM,可得1AB1=2V- 2√下因为≥2，所以当=2时，1M1取得最小值为.故答类 为5 10(,][=）解新：等式4=-25-1可化为 、(a-2)2+(6+12=4,令0二2=k,整理可得a-b+2-2k=0,所以直 线x-y+2-2k=0与圆(x-2)2+(y+1)2=4有公共点，且圆心为C (2,-1),半径为r=2,则d=12%+1+2-21.3 ≤2，整理可得 R2+1√R2+1 4+4≥9.解得≤我≥ 因此等的取做花强是(。， 5 ][+）月 11.（1)证明：根据题意，圆C1:x2+(y+1)2=4的圆心为(0，-1)，半径 T=2,圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0,即(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2， 1),半径R=2,.圆心距l=√4+4=2√2.R-r<l<R+r,.圆C1和 圆C2相交 (2)解：将两圆方程相诚，有x+y1=0,即两圆公共弦所在直线的方 程为xty-1=0,圆心C1(0,-1)到x+y-1=0的距离d=10-1-1 √1+1 √2，故公共弦的弦长为2×√4-2=2√互 12.解：(1)如图，已知圆心C在直线x+3y+1=0上，则设C(-3a-1,a), 又圆C经过点M(0,-2)和N(3,1),则ICMI=ICN1,即 √(-3a-1)2+(a+2)2=√(-3a-4)2+(a-1)7,解得a=-1,所以 圆心C(2,-1),半径r=1MC1=√22+(-1+2)2=√5，所以圆C的方 程为(x-2)2+(y+1)2=5. (2)如图，由已知直线l:(2m+1)x+(1-m)y- 6m=0,即m(2x-y-6)+(x+y)=0,令 26=0,解得=2，即直线1过定点 x+y=0, (y=-2, A(2,-2),且1AC1=1<5,所以当直线1过 点C时弦长最大为2r=25,当直线（⊥AC时弦长最小为 2√F2-|AC2=2√5-I=4. 13.解：(1)当m=4时，圆心C为(4,8)，圆C的方程为(x-4)2+ (x-8)2=16,则圆心C到直线1的距离d=√42-（√14）2=√2.若 直线1的斜率不存在，则1：x=0,此时直线l与圆C相切，不符合题 意；若直线l的斜率存在，可设直线1的方程为y=x+6,即kx-y+6= 0,则d=1-8+6=2,得72-8+1=0，解得=1或3=子，所 2+1 以直线1的方程为x-y+6=0或x-7y+42=0. (2)记圆C的半径为r,因为m>0,则r=m,设M(x,y),由Md.M亦= 0得(-x,-y)·(-x,6-y)=0,化简得x2+y2-6y=0,即x2+(y-3)2= 9,所以M的轨迹为圆，记圆心为C1(0,3),半径为1=3，圆C上存 参考答案 在点M满足Md.M亦=0，即圆C和圆C1有公共点，所以1r-711≤ 1CC11≤r+r1,所以1m-31≤√m2+(2m-3)2≤m+3,所以m2-6m+ 9≤5m-12m+9≤m2+6m+9,所以2m-9n≤0解得 (2m2-3m≥0， 9 0≤m≤2？ 3 因为m>0,所以？≤m≤号，所以实数m的取值 m≤0或m≥ 2 葡照为[3？】 14.解：(1)设点P的坐标为(x,y),1PA1=√(x-6)2+(y-8)2,1PQ12= 10P12-4=x2+y2-4,由题意有(x-6)2+(y-8)2=x2+y2-4,整理得 3x+4y-26=0,故点P的轨迹方程为3x+4y-26=0,点P的轨迹是斜 率为？，在y轴上的载距为的直线 (2)由IPQ1=IPA1和(1)可知，IPQ1的最小值即为点A到直线3x+ 4y26=0的距离，故其最小值为18+32-26124 √32+42 (3)由圆的性质可知，当直线0P与直线3x+4y-26=0垂直时，以此 时的点P为圆心，且与圆O相外切的圆即为所求，此时OP的方程 78 4 x= 为y= 3七，联立方程 Y=3x, 25 78 解得 .104 即P25 3x+4y-26=0, y=25' 104 25又点0到直线3x+4y-26=0的距离为5，可得所求圆的半径 为的5故所求圆的标准方程为（容）户一（岩）广： 256 25 压轴挑战 BCD解析：对于A,因为两圆半径相等，所以AB的中点恰为CC2的 中点，所以x1+x2=0+a=a,y1+y2=0+b=b,故A错误；对于B,将圆C,与 圆C2的方程相减可得公共弦AB所在的直线的方程为a2+b2-2ax-2by= 0,故B正确：对于C,由题意，以点P为中点的弦所在直线11⊥C,P cP,所以k0 0,则直线1，为0x+yoy=+后，所以l/k又因 为点G到直线马的距离为户 ,点P(oo)在圆C1内，则√6+< √x+y 入2 r,所以圆心C1到直线L2的距离 >r,则直线2与圆心C1相离，故 √好+ C正确；对于D,如图，设MW的中点为H,则1OM+O1=21Oi,由 wM=5.可得1C1-P-(受) 2,即点H在以点G,为圆心，了为半径的圆 上，所以1oi≤10c,1+=V层+0+之，所 C 以10M+01的最大值为2√a2+b2+r,故D正 确.故选BCD. 2.4-2.5阶段综合 黑题 阶段强化 1.A解析：由题意可设圆心坐标为(a,1),其中a>0,因为圆C与直线 4x-3y=0相切，则 14a-31 =1.因为a>0,解得a=2,因此，圆C 42+(-3)2 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.故选A. 2.A解析：如图，取PQ的中点为E,连接OE,则OE⊥PQ.因为 ∠P0=120,放∠P0E=60,所以10B1=子又直线P0的方程 黑白题372.5.2圆与圆的位置关系 白题 基础过关 限时：40min 题组1圆与圆位置关系的判断及应用 8.已知两圆相交于两点(1,3)和(m,-1),两圆 1.(2025·江苏连云港高二月考)圆(x-4)2+ 的圆心都在直线x-y+c=0上，则m+c的值为 y2=9和圆x2+(y-3)2=4的位置关系是 ( A.-1 B.2 C.3 D.0 A.外离B.相交C.外切 D.内含 重难聚焦」 2.(2025·河南郑州高二月考)已知圆C1: 题组4圆与圆位置关系的综合应用 (x+2)2+y2=4与圆C2:(x-2)2+(y-1)2=9, 9.(2025·湖北武汉高二期中)若圆C: 则圆C,与圆C2的公切线的条数为( (x-a)2+(y-a)2=16上总存在两个点到原 A.1 B.2 C.3 D.4 点的距离均为2，则实数a的取值范围是 3.（多选)(2025·黑龙江哈尔滨高二期末)圆 C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+(y-a)2=9没 有公共点，则a的值可能是 ( A.(-32,-2)U(2,32) A.-3 B.-1 C.2 D.4 B.[-32,-√2]U[2,32] 题组2圆与圆的相切问题 C.(-42,-√2)U(2,42) 4.（2025·浙江绍兴高二月考)“r=3”是“圆x2+ D.[-42,-√2]U[2,42] y2=1与圆(x-4)2+y2=72”相切的 10.已知定圆(x-1)2+(y-2)2=1,有一个半径 A.充分不必要条件 为1的动圆，圆心在y轴上移动，当动圆与 B.必要不充分条件 定圆相切时，动圆圆心的坐标是 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.圆A:x2+y2-4x+2y+1=0与圆B:x2+y2-6x 5.(2025·浙江杭州高二月考)若圆C1: 12y+44=0,求圆A与圆B的公切线方程 (x-2)2+y2=1与圆C2:x2+y2+4x+6y+m=0有 且仅有一条公切线，则m= 题组3圆与圆的相交问题 6.(2025·四川德阳高二期中)已知圆C1:x2+ y2+8x-20=0和圆C2:x2+y2-6y=0,则两圆公 共弦所在直线方程为 ( A.8x+3y-20=0 B.4x+3y-10=0 C.4x-3y+10=0 D.2x+3y+5=0 7.（多选)已知圆C:x2-2ax+y2+m2-1=0与圆D: x2+y2=4有且仅有两条公共切线，则实数a的 取值可以是 ( A.-3 B.3 C.2 D.-2 选择性必修第一册：RJA黑白题052 黑题应用提优 限时：60min 1.（多选)在同一直角坐标系中，直线y=ax+a26.人教A版教材变式(2025·湖北武汉高二月 与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能是( 考)若圆x2+y2+4x-4y-10=0上至少有三个 不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2√2，则 直线1的斜率的取值范围是 A.[2-3,2+√3] B.[-2-√/3，-2+√3] C.[-2-√3,2+√3]D.[-2-√/3,2-√/3] 7.(2025·四川自贡高二月考)设A为圆x2+ y2-2x=0上的动点，PA是圆的切线且IPA1= 2.(2025·辽宁大连高二期中)已知⊙C1: 1,则点P的轨迹方程是 8.已知圆0：x2+y2-4=0,圆C:x2+y2+2x-15=0, 9 若圆O的切线I交圆C于A,B两点，则△OAB 3y+m=0有且只有两条公切线，则m的取值 面积的取值范围是 范围是 9.（2025·四川南充高二月考)已知圆M:x2+ (y-2)2=1,点P为x轴上一个动点，过点P A.0<m<6 B.1523 4m< 4 作圆M的两条切线，切点分别为A,B,则IAB1 c4m<6 的最小值为 D.1<m<4 10.(2025·浙江台州高二期中)已知实数a,b 3.(2025·山东临沂高二期中)若圆C:x2+y2= 1,点P在直线l:2x+y-5=0上，过点P作圆C 满足46=-26-1，则二的取值花菌为 的切线，切点为A,则切线长IPAI的最小值为 ( 11,（2025·陕西咸阳高二期中)已知圆C1:x2+ A.1 B.2 C.5 D.4 (y+1)2=4和圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0. 4.(2025·河北张家口高二期中)已知圆C1:x2+ (1)求证：圆C,和圆C2相交； y2-2x=0,圆C2:x2+y2+mx-4y+n=0,若圆C2 (2)求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方 平分圆C,的周长，则m+n= ( 程以及公共弦的弦长， A.2 B.-2 C.1 D.-1 5.(2025·山东泰安高二月考)已知直线y= k(x+2)与曲线y=√1-x2有公共点，则实数k 的取值范围是 -9】 8.o.] c.[-o] D.[-√3，w3] 第二章黑白题053 12.(2025·吉林长春高二期中)已知圆C经过14.如图，已知圆0：x2+y2=4和点A(6,8),由圆 点M(0,-2)和N(3,1),圆心C在直线x+ 0外一点P向圆0引切线PQ,Q为切点，且 3y+1=0上.直线1的方程为(2m+1)x+ 有IPQ1=IPAI. (1-m)y-6m=0. (1)求点P的轨迹方程，并说明点P的轨迹 (1)求圆C的标准方程； 是什么样的几何图形； (2)求直线1被圆C截得的弦长的最大值和 (2)求1PQ1的最小值； 最小值 (3)以点P为圆心作圆，使它与圆0有公共 点，试在其中求出半径最小的圆的方程. 13.(2025·浙江宁波高二期末)在平面直角坐 标系x0y中，圆心为(m,2m)(m>0)的圆C 与y轴相切，动直线1过点P(0,6) (1)当m=4时，直线1被圆所截得的弦长 为2√14，求直线1的方程； 压轴挑战 (2)圆C上存在点M满足M0.MP=0,求实 数m的取值范围。 (多选)(2025·湖北武含 中)已知圆C:x2+y2=T (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0, 交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),下列结 论正确的是 A.*1+x2=2a,y1+y2=2b B.直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0 C.若点P(xoy)是圆C,内异于圆心的一点， 以P为中点的弦所在的直线为1，直线2 xx+yy=2,则1∥L2且2与圆C1相离 D.M,N为圆C2上的两动点，且IMNI=√3r, 则10M+01的最大值为2√a2+b2+r 进阶突破拔高练P07 选择性必修第二册：RJA黑白题054