2.5.1 直线与圆的位置关系-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

2.5直线与圆.圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 白题 基础过关 限时：55min 题组1直线与圆的位置关系的判断及应用 7.（多选)(2025·吉林长春高二期末)过点M 1.（2025·广东湛江高二期中)直线1：3x+4y (0,1)且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切的直线 1=0与圆C:(x-2)2+y2=4的位置关系为 方程为 A.4x+3y-3=0 B.x=0 A.相交 B.相切 C.y=0 D.3x+4y-4=0 C.相离 D.无法判断 8.已知圆0：x2+y2=4,M(xo,yo)为圆0上位于 2.(2025·浙江金华高二月考)如果直线y=x+b 第一象限的一点，过点M作圆O的切线1.当1 与圆C:x2+y2=4相切，则b的值为 ( 的横纵截距相等时，1的方程为 () A.22 B.±22C.-22 D.±42 A.x-y-2√2=0 3.(2025·天津河北区高二期中)已知过原点的 0 直线1与圆C:(x-2)2+y2=1相交，则直线1 C.x+y-42=0 D.x+y-2√2=0 的斜率的取值范围是 ( 9.(2025·江苏扬州高二月考)如果实数x,y满 A.(-3,3) 足(x-2)2+y2=2,则的取值范围是() A.(-1,1) C. D.(-√2,2) B.[-1,1] 4.(2025·广东惠州高二月考)已知P(a,b)在 C.(-0,-1)U(1,+∞) 圆x2+y2=4外，则直线ax+by-4=0与圆的位 D.(-∞，-1]U[1,+∞) 置关系是 ( 10.(2025·山西太原高二月考)已知P(x,y) A.相交 B.相切 为圆0：x2+y2=9上一点，则2x-y的取值 C.相离 D.以上皆有可能 范围为 ( 5.（多选)(2025·山东菏泽高二月考)直线1：x- A.[-3,3] B.[-35,35] y+1=0与圆C:(x+a)2+y2=2(-1≤a≤3)的 C.[-23,23] D.[-55,53] 公共点的个数可能为 11.过点P(3,4)作圆0：x2+y2=10的两条切线， A.0 B.1 C.2 D.3 设切点分别为A,B,则四边形PAOB的面 题组2直线与圆的相切问题 积为 6.(2025·浙江嘉兴高二期中)经过点M(1,2) 题组3直线与圆的相交问题 作圆x2+y2=5的切线，则切线方程为（ 12.(2025·陕西汉中高二期中)直线l:y=-2x+ A.2x+y-5=0 B.2x-y-5=0 5被圆：x2+y2=12截得的弦长是（） C.x+2y-5=0 D.x-2y-5=0 A.5 B.√7 C.25 D.27 选择性必修第一册·RJA黑白题050 13.(2025·吉林长春高二月考)过点(1,1)作圆 重难聚焦 x2+y2=4的弦，则所得弦长的取值范围为 题组4直线与圆的综合应用 ( 17.已知直线1过点A(2,1),圆C:x2+y2-6x A.[1,22] B.[1,4] 8y+9=0,当直线1被圆C截得的弦最短时， C.[2,4] D.[22,4] 1的方程为 ( 14.(2025·江苏无锡高二期中)已知直线1： A.x-y-1=0 B.x-3y+1=0 y=kx+3与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A, C.x+3y-5=0 D.x+y-3=0 B两点，若IAB1=2√3，则k= ( 18.（2025·河北邯郸高 A子B子 C.Z D分 二月考)“陶辛水韵” 被评为芜湖市新十景 15.(2025·重庆八中高二月考)若点P(1,2)为 之一，每年人夏后，千 圆x2+y2=8的弦AB的中点，则弦AB所在直 亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客 线的方程为 ( 纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可 A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 以直达“香湖岛”赏荷.圆拱的水面跨度 C.x-2y+3=0 D.2x-y=0 20米，拱高约5米现有一船，水面以上高 16.已知圆C:(x-6)2+(y-9)2=100,点A坐标 3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为() 为(0，-1)，B为圆C上一动点，AB的中点 A.12米B.13米C.14米D.15米 为M. 19.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在 (1)当点B在圆C上运动时，求点M的轨迹 以小岛中心为圆心，半径为10km的圆形 方程； 区域内，已知小岛中心位于轮船正西 (2)过点(0，-2)的直线1与M的轨迹相交于 10akm(a>0)处，港口位于小岛中心正 P,Q两点，且IPQ1=8,求直线l的方程 北20km处，如果轮船沿直线返港，不会有 触礁危险，则a的取值范围是 3,+） 2 A. B.(1,+∞) 43 D.(2,+∞) 20.(2025·重庆合川区高二期中) 某手机信号检测设备的监测范 视频讲解 围是半径为200m的圆形区域，一名人员 持手机以每分钟50m的速度从设备正 东200√3m的A处沿西偏北30°方向走向 位于设备正北方向的B处，则这名人员被 持续监测的时长约为 ( A.2分钟 B.3分钟 C.4分钟 D.5分钟 第二章黑白题051若x≤-1，则方程为(x+1)2+(y1)2=1; 若x≥1，则方程为(x-1)2+(y-1)2=1.故选D. 4.A解析：由x2+y2-2mx-4my+6m-2=0得-2m(x+2y-3)+x2+y2-2= 1 x= 0,故230解=1或 5 (x2+y2-2=0, (y=1 7 ’定点为(1,1)，（5 y51 子)故选九 5.A0D解折对于A曲题可0支0代人得--0 或x2+y2-2x=0,都是圆，故A正确；对于B,当入=1,4=-1时，化简 得y=x是直线，故B错误；对于C,原式可化为（入+4）x2+(入+ )y2-2入x-24y=0,要表示圆，则必有A+μ≠0，故C正确；对于D,只 有A+w=0时，方程表示直线y=x,故D正确故选ACD. 6.C解析：如图①所示，圆(x-6)2+(y+2)2=9的圆心为A(6,-2),半 径为3，圆x2+y2=1关于直线y=x-2的对称圆为圆B,其中设圆心B =-1, 坐标为(m,),则m 解得m=2,故圆B的圆心为 g (n=-2, (2,-2),半径为1，由于此时圆心A与圆心B的距离为4，等于两圆 的半径之和，所以两圆外切，此时点E的对称点为E1,且IPE1I= IPE1,所以IPF1-IPE1=1PF1-IPE,I.在点P运动过程中，如图②所 示，当P,B,A,E1,F五点共线，且E1在圆B左侧，点F在圆A右侧 时，IPF1-IPE1I的值最大，最大值为E1F=E1B+BA+AF=1+4+3=8, 故选C. 11 ① ② 7(:臣）广()”吕解斩西数)子-红4的图象与 坐标轴的交点分别为A(1,0),B(4,0),C(0,4),则线段AC的垂直平 分线方程为y-2=号（怎-子），线段的套直平分线方程为 三所以过A,®，C三点的圆的圆心坐标为(？，多），半径r √( 3 ,所以所求圆的标准方程为x 名)八(）)做客案为)广+()广品 a解：（1由20年06则国心为2.0.11c41 √(3-2)2+(2-0)2=√5，.圆C的标准方程为(x-2)2+y2=5. (2)设P(0,0),Q(x,y).由Pi=2Q成，可得(8-0，y0)=2(8-x, 》,则-24-8又点P在圆C上，(o-22+6=5,即 (yo=2y. (2x-10)2+4=5,化简得(x-5)2+y2=子，点Q的轨迹方程为 (x-5)2+y2=5 4 0.解：1)设B(,0),由题意得站22-1，整理得+ 4(y≠0)，所以动点E的轨迹C的方程为x2+y2=4(y≠0). (2)设P(o),则0,0<0,6=4因为。2所以直 选择性必修第一册·RJA 线AP:y=kn(x-2)002令=0，则w三 -20<0,同理xv x0-21 0-20,所以1BM1=2+ -2x0 -7 十。一2所以S四边形A8NM日 1ANBM20IT1+6)E2(0-2 1+0-2（14%-2),-2)%2 2[6++4-4(ot)+20】_2[8-4(,+0)+2on1-4,即四边 x0yo-2(x0+y0)+4 x00-2(x0+y0)+4 形ABNM的面积为定值4， 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 白题基础过关 1.A解析：由题意得，圆C的圆心C(2,0),半径r=2,圆心C(2,0)到 直线3x+4y-1=0的距离d=13x2+4x0-1 =1<r=2,所以圆C与直 √32+42 线1相交故选A 四重难点拨 判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d与r的关系； (2)代数法：联立方程之后利用4判断； (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直 线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线 问题. 2.B解析：由题意得，圆心到直线的距离等于半径，即 10-0+b1 =2,b=±22，故选B V√2+(-1)7 3.C解析：圆C:(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0)，半径r=1,设直线方 程为y=x→kx-y=0,由题可知圆心到直线的距离小于半径，所以有 v√1+k2 4.A解析：由题意，得圆x2+y2=4的圆心(0,0)，半径r=2,由P(a,b) 在圆x2+y2=4外，得a2+b2>4,则圆心到直线ax+by4=0的距离d= 4 <2=r,故直线与圆相交.故选A √a2+b2 5.BC解析：圆C:(x+a)2+y2=2的圆心C(-a,0),半径r=√2，当-1≤ a≤3时，点c(-a,0)到直线1的距离d=-a4山-1a-"∈[0,2]， 因此直线（与圆相切或相交，所以直线1与圆C的公共点个数为1 或2. 6.C解析：易知切线斜率存在，设该切线方程为y=k(x-1)+2,即kx- yk+2=0,则有圆心到切线的距离1=-+2=5，化简得 k2+1 (26+1)2=0,故=号，故该切线方程为y=(1)+2即+2 5=0.故选C. 7.AB解析：由题意知，圆(x-1)2+(y+2)2=1的圆心(1，-2)，半径r 1,当斜率不存在时，过点M(0,1),则直线x=0,圆心(1，-2)到此直 线的距离等于半径1，满足题意；当斜率存在时，设斜率为k,过点 M(0,1),则直线方程为y=kx+1.因为直线与圆(x-1)2+(y+2)2=1 相切，所以圆心(1，-2)到此直线的距高等于半径1，得+31=1，解 √1+k2 得=-子，故切线方程为4红+3-3=0故选A服 8.D解析：由题意可知，直线的斜率存在，所以设过点M的切线方程 为y=kx+b.因为l的横纵截距相等，所以k=-1,b>0.又因为直线与圆 黑白题34 相切，所以d==2,所以6=2反，所以直线方程为y-25=0 √1+1 故选D. 9.B解析：设y=k,则y=kx表示经过原点的直 1 线，k为直线的斜率如果实数x,y满足(x 2)2+y2=2和y=k,即直线y=x同时经过原 点和圆上的点(x,y).其中圆心C(2,0),半径 =√2如图，可知斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆 相切，设此时切点为E.则直线的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值， 易得10C1=2,ICE1=r=√2，可由勾股定理求得1OE1=√1OC2-1CE2= 2,于是可得到k=nLE0C=Og=1为的最大值；同理，彐 最小值为-1.则之的取值范围是[-1,1].故选B. 10.B解析：设2x-y=t,由题意知直线2x-y-t=0与圆0有公共点，所 以圆心到直线的距离d=-≤3，所以-35≤≤35.故选B. 5 11.56解析：由题得1A01=√10,1P01=√32+42=5，.1PA1= √52-10=V√5，.四边形PA0B的面积=2S△P40=2×2×V0× √15=56.故答案为56， 12.D解析：因为圆心(0,0)到直线1的距离d=-51=5,所以所 √22+12 截弦长为2√2-亚=2√2-5=27.故选D. 四重难点拨 弦长的两种求法： (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元 二次方程在判别式△>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长 公式求弦长。 (2)几何方法：若弦心距为d,圆的半径长为下，则弦长1=2√P-d正 两种方法以几何方法为主. 13.D解析：点A(1,1)到圆心0(0,0)的距离为d=2,故A(1,1) 在圆x2+y2=4的内部，故当弦为直径时，弦长最长为2r=4:当弦所 在的直线和线段AO垂直时，弦长最短，可求得弦所在直线方程为 +2=0,则弦心距1=1040-2=2，由弦长公式可得弦长为 √12+12 2√J2-d2=24-2=22,·.所得弦长的取值范围为[2√2,4].故 选D. 14.A解析：圆C:(x-1)2+(y-1)2=4的圆心C(1,1),r=2,所以圆心 C1,1)到直线l:y=c+3的距离为d,则d=16+2 ,而d= 1+2 丁V4=1,所以4=12=1，解得=子故 1+k2 选A. 15.A解析：圆x2+y2=8的圆心为C(0,0),而点P(1,2),所以kcp= 20=2.由题意可知，AB L CP,则k4B·kcp=-1,所以kAB=-),月 1-0 以弦仍所在的直线的方程为y-2=号（一1），即+2-5=0故 选A 16.解：(1)因为(0-6)2+(-1-9)2=136>100，所以点A在圆C外. 设M(x,y),由于AB的中点是M,所以B(2x,2+1), 所以(2x-6)2+(2y+1-9)2=100, 整理得(x-3)2+(y-4)2=25, 所以点M的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=25, (2)因为点M的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=25,所以M是以(3， 4)为圆心，5为半径的圆，当直线1的斜率不存在时，直线1的方程 为x=0, 参考答案 由/x0, (x-3)2+(4)2=25,解得1=0或2=8，满足1P01=8. 当直线1的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2,即kx-y-2=0, 由于1P01=8,三4，所以圆心(3,4)到直线c-y-2=0的距离 为V尽-=3，即B3642=3,解得k=子，所以直线1的方程为 k2+1 4-y2=0,即3x-4y-8=0. 综上所述，直线1的方程为3x-4y-8=0或x=0. 重难聚焦 17.C解析：直线1过点A(2,1),由C:x2+y2-6x-8y+9=0,得(x-3)2+ (y-4)2=16,所以圆心C(3,4),半径r=4,显然1AC1= √/(3-2)2+(4-1)2=√10<4，即点A(2,1)在圆C内，所以直线AC 斜率k4c=。)=3,当1上AC时，直线1被圆C截得的弦最短，所 以~c=-1,即3站=-1，解得=号，所以直线1的方程为y 1=(号)x-2》,即+3-5=0，放选C 18.B解析：如图，拱形桥ACB,以AB所在的直线为x轴，以线段AB的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(-10,0),B(10,0), C(0,5).圆心在y轴上，设为E(0,b),则有1AE1=1CE1,即 100+8=5-61,整理可得2b+15=0,解得6=，所以圆心为 0,5）半径为1CE1=15-61-空，所以圆的方程为2+( ）广学设以)则有（空）广空解特=V属 所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为2√46.因为6.5<√46<7，所 以13<2√46<14.故选B. B 0 0 (第18题) (第19题) 19.A解析：以小岛中心为原点0，东西方向为x轴，南北方向为y轴 建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B,港口所在位置为 点A,如图所示，则A(0,20),B(10a,0)(a>0),暗礁分布的圆形区 域的边界⊙0的方程为x2+y2=100,所以轮船沿直线返港时直 线8的方程为7-20=020，即2x+020=0又因为轮船滑 线返港不会有触礁危险，所以直线AB与⊙0相离，即圆心O到直 线AB的距离d= 1-20a /4+a 25故选A >10(a>0),解得a> 20.C解析：如图，以设备的位置为坐标原点0， 其正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向 建立平面直角坐标系，则直线AB:y= 3(x-20,3),即x+3y-20w3=0,圆0： A x2+y2=40000,记从N处开始被监测，到 M处监测结束，点0到直线AB的距离1001=1-20,3 √12+(3)7 100W5(m),则1MN1=2√M012-100T2=200(m),所以被监测的 时长为贺4（分钟）.故选C 黑白题35