2.4-2.5 阶段综合-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

2.4-2.5阶段综合 黑题 阶段强化 限时：65min 1.(2025·四川泸州高二期末)若圆C的半径为5.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A 1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和 (4,0),B(0,2),当∠PBA最大时，则线段PB x轴都相切，则该圆的标准方程是（ 的长度为 A.(x-2)2+(y-1)2=1 6.(2025·江苏徐州高二月考)已知A(-2,0), B.(x-2)2+(y+1)2=1 B(2,0),若圆(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4上存 C.(x+2)2+(y-1)2=1 在点P满足PA·PB=5,则a的取值范 D.(x-3)2+(y-1)2=1 围是 2.(2025·江西景德镇高二期中)若直线y=x+ 7.(2025·湖北武汉高二月考)已知P为直线 1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点，且∠P0Q= y=-2上一动点，过点P作圆x2+y2=1的两条 120°（其中0为原点），则飞的值为( 切线，切点分别为B,C,则点A(2,1)到直线 A.-√3或3 B.3 BC的距离的最大值为 8.(2025·浙江嘉兴高二月考)已知圆C:x2+y2 C.-√2或2 D.√2 4x-6y+4=0,过点P(4,2)的直线1与圆C交 3.(2025·山东菏泽高二月考)一条光线从点 于点M,N,且IMNI=4. (-2,-3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+ (1)求圆C的圆心坐标和半径； (y-2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜 (2)求直线1的方程； 率为 ( (3)设0为坐标原点，求OM·ON的值， 3 4.(多选)(2025·河南南阳高二期中)已知直线 l经过A(2,1),B(-1,-2)两点，P为1上的动 点，过点P作圆C:x2+y2+2x-2y-1=0的两条 切线，切点分别为M,N,且Q为圆C上一点，则 A.IQAl∈[3-√3,3+/3] Ba威·石的值可以为号 C.Cos LMPN的值可以为-， D.直线MN一定过坐标原点 第二章黑白题055 9.(2025·山东泰安高二期中)已知圆C过点P 压轴挑战∥ (2,1),圆心在直线2x-y-2=0上，且圆C与 直线x+y-3=0相切. (2025·陕西渭南高二期中)已知半径为8的 (1)求圆C的标准方程； 圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线12x (2)若点M为直线l:x-y+2=0上的动点， 9y-1=0与圆C相切. 过M作圆C的两条切线，切点分别为A, (1)求圆C的标准方程 B,求四边形MACB面积的最小值，并求出 (2)若圆C的一条弦经过点M(0,2),求这条弦 此时点M的坐标. 的最短长度 (3)已知A(0,-1),P为圆C上任意一点，试问 在y轴上是否存在定点B(异于点A),使得 PB为定值？若存在，求出点B的坐标若 IPAI 不存在，请说明理由 10.(2025·福建漳州高二期中)过原点0的直 线1与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点，且 点P(-3,2) (1)过点P作圆C的切线m,求切线m的 方程； (2)设直线PA,PB的斜率分别为1，k2,求 证：k,+k2为定值 选择性必修第二册：RJA黑白题056是圆C:x2+y2+2x-15=0的弦长，圆C:x2+y2+2x-15=0的圆心为 (-1,0),半径为4.圆心C到AB的距离最小时，IAB|最大，圆心C 到AB的距离最大时，|AB|最小，IABI的最小值为2√42-32= 27,IAB1的最大值为2√42-1=2√/15，.△0AB面积的最小值为 .TAz=GI入乙x乙X用24酒过迎&OVC-CACAI △OAB面积的取值范围是[27,2√I5]. 9.√3解析：易知圆M的圆心为(0,2)，半径为r= 1,如图所示.易知AM⊥AP,BM⊥BP,设IPMI= t≥2，则1AP1=√-1，由图可得S四边形PAwB= 2Sam=之1MP1·1AB.又因为SaP= 号1API·1AM,可得1AB1=2V- 2√下因为≥2，所以当=2时，1M1取得最小值为.故答类 为5 10(,][=）解新：等式4=-25-1可化为 、(a-2)2+(6+12=4,令0二2=k,整理可得a-b+2-2k=0,所以直 线x-y+2-2k=0与圆(x-2)2+(y+1)2=4有公共点，且圆心为C (2,-1),半径为r=2,则d=12%+1+2-21.3 ≤2，整理可得 R2+1√R2+1 4+4≥9.解得≤我≥ 因此等的取做花强是(。， 5 ][+）月 11.（1)证明：根据题意，圆C1:x2+(y+1)2=4的圆心为(0，-1)，半径 T=2,圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0,即(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2， 1),半径R=2,.圆心距l=√4+4=2√2.R-r<l<R+r,.圆C1和 圆C2相交 (2)解：将两圆方程相诚，有x+y1=0,即两圆公共弦所在直线的方 程为xty-1=0,圆心C1(0,-1)到x+y-1=0的距离d=10-1-1 √1+1 √2，故公共弦的弦长为2×√4-2=2√互 12.解：(1)如图，已知圆心C在直线x+3y+1=0上，则设C(-3a-1,a), 又圆C经过点M(0,-2)和N(3,1),则ICMI=ICN1,即 √(-3a-1)2+(a+2)2=√(-3a-4)2+(a-1)7,解得a=-1,所以 圆心C(2,-1),半径r=1MC1=√22+(-1+2)2=√5，所以圆C的方 程为(x-2)2+(y+1)2=5. (2)如图，由已知直线l:(2m+1)x+(1-m)y- 6m=0,即m(2x-y-6)+(x+y)=0,令 26=0,解得=2，即直线1过定点 x+y=0, (y=-2, A(2,-2),且1AC1=1<5,所以当直线1过 点C时弦长最大为2r=25,当直线（⊥AC时弦长最小为 2√F2-|AC2=2√5-I=4. 13.解：(1)当m=4时，圆心C为(4,8)，圆C的方程为(x-4)2+ (x-8)2=16,则圆心C到直线1的距离d=√42-（√14）2=√2.若 直线1的斜率不存在，则1：x=0,此时直线l与圆C相切，不符合题 意；若直线l的斜率存在，可设直线1的方程为y=x+6,即kx-y+6= 0,则d=1-8+6=2,得72-8+1=0，解得=1或3=子，所 2+1 以直线1的方程为x-y+6=0或x-7y+42=0. (2)记圆C的半径为r,因为m>0,则r=m,设M(x,y),由Md.M亦= 0得(-x,-y)·(-x,6-y)=0,化简得x2+y2-6y=0,即x2+(y-3)2= 9,所以M的轨迹为圆，记圆心为C1(0,3),半径为1=3，圆C上存 参考答案 在点M满足Md.M亦=0，即圆C和圆C1有公共点，所以1r-711≤ 1CC11≤r+r1,所以1m-31≤√m2+(2m-3)2≤m+3,所以m2-6m+ 9≤5m-12m+9≤m2+6m+9,所以2m-9n≤0解得 (2m2-3m≥0， 9 0≤m≤2？ 3 因为m>0,所以？≤m≤号，所以实数m的取值 m≤0或m≥ 2 葡照为[3？】 14.解：(1)设点P的坐标为(x,y),1PA1=√(x-6)2+(y-8)2,1PQ12= 10P12-4=x2+y2-4,由题意有(x-6)2+(y-8)2=x2+y2-4,整理得 3x+4y-26=0,故点P的轨迹方程为3x+4y-26=0,点P的轨迹是斜 率为？，在y轴上的载距为的直线 (2)由IPQ1=IPA1和(1)可知，IPQ1的最小值即为点A到直线3x+ 4y26=0的距离，故其最小值为18+32-26124 √32+42 (3)由圆的性质可知，当直线0P与直线3x+4y-26=0垂直时，以此 时的点P为圆心，且与圆O相外切的圆即为所求，此时OP的方程 78 4 x= 为y= 3七，联立方程 Y=3x, 25 78 解得 .104 即P25 3x+4y-26=0, y=25' 104 25又点0到直线3x+4y-26=0的距离为5，可得所求圆的半径 为的5故所求圆的标准方程为（容）户一（岩）广： 256 25 压轴挑战 BCD解析：对于A,因为两圆半径相等，所以AB的中点恰为CC2的 中点，所以x1+x2=0+a=a,y1+y2=0+b=b,故A错误；对于B,将圆C,与 圆C2的方程相减可得公共弦AB所在的直线的方程为a2+b2-2ax-2by= 0,故B正确：对于C,由题意，以点P为中点的弦所在直线11⊥C,P cP,所以k0 0,则直线1，为0x+yoy=+后，所以l/k又因 为点G到直线马的距离为户 ,点P(oo)在圆C1内，则√6+< √x+y 入2 r,所以圆心C1到直线L2的距离 >r,则直线2与圆心C1相离，故 √好+ C正确；对于D,如图，设MW的中点为H,则1OM+O1=21Oi,由 wM=5.可得1C1-P-(受) 2,即点H在以点G,为圆心，了为半径的圆 上，所以1oi≤10c,1+=V层+0+之，所 C 以10M+01的最大值为2√a2+b2+r,故D正 确.故选BCD. 2.4-2.5阶段综合 黑题 阶段强化 1.A解析：由题意可设圆心坐标为(a,1),其中a>0,因为圆C与直线 4x-3y=0相切，则 14a-31 =1.因为a>0,解得a=2,因此，圆C 42+(-3)2 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.故选A. 2.A解析：如图，取PQ的中点为E,连接OE,则OE⊥PQ.因为 ∠P0=120,放∠P0E=60,所以10B1=子又直线P0的方程 黑白题37 为cy+1=0,所以片=2，故k=3故选A 3.D解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2， -3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为 y+3=k(x-2),即x-y-2k-3=0.又因为反射光线与圆(x+3)2+ （-2)2=1相切，所以-3张-2-26-31=1，整理得12+25k+12=0, √2+1 解得=亨或k=子故选D 3 4.AD解析：根据题意画图，如图所示，圆C:x2+y2+2x-2y-1=0可化 为(x+1)2+(y-1)2=3,其圆心C(-1,1),半径r=3,直线1：y-1= 二-2)，即=y-1=0对于A1C1=3,则1c1-7≤101≤ 1CA1+r,因此1QA1e[3-√3,3+√3]，A正确；对于B,点C到直线 的距离4经则1心≥9者.6：子，即× 5cm∠MCN=,解得om∠MCv=分，则∠wCN=60,∠PCN= 0,C1S0=23识不盾，B结误，对千Cm乙NPr m24rc-2(w4nc2-1-2(）'-1=2.w IPCI2 Ce又因为1PG≥号，所以os∠MPwe【,1）， 1-1-6 2了，C错误：对于D,设点P(0,0-1),以线段PC为直径的 1 1 圆为(+（受）广-（八(）脚+ y2+(1-xo)x-xoy-1=0,与圆C的方程相减得直线MN:(1+xo）x- (2-xo)y=0,此直线恒过坐标原点，D正确.故选AD. (第4题) (第5题) 5.32解析：设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),半径为4 如图，当∠PBA最大时，PB与圆M相切，连接MP,BM,可知PM⊥ PB,1BM1=√(0-5)2+(2-5)2=√34,1MP1=4,由勾股定理可得 1PB1=√BMT2-1MP1下=32.故答案为32. 6.[-1,2]解析：设点P(x,y),则Pi=(-2-x,y),P=(2-x,y）,所 以Pi.P=(-2-x)(2-x)+y2=5,则x2+y2=9,所以点P的轨迹方程 为x2+y2=9,其运动轨迹是圆心为(0,0)，半径为3的圆，由此可知圆 (x-a-1)2+(y-3a+2)2=4与x2+y2=9有公共点，又圆(x-a-1)2+ (y-3a+2)2=4的圆心为(a+1,3a-2),半径为2，所以1≤ √(a+1)2+(3a-2)7≤5，解得-1≤a≤2，即a的取值范围是 [-1,2].故答案为[-1,2]. 5 1.2 解析：设P(x0,yo),过点P引圆x2+y2=1的两条切线，切点分 别为8，c,则切点在以0P为直径的圆上，圆心(，公）半径 选择性必修第一册·RJA 死则的方程迷（告广（告广基理将 2 y2-x0x-yoy=0.又点B,C在圆x2+y2=1上，两圆方程相减得到x0x+ yoy=1,即直线BC的方程是x0x+yy=1.因为yo=-2,代人x0x+yoy= 1得xo-2y=1,则直线BC恒过定点N(0,2 1） ,所以点A(2,1)到 直钱c的距离g14-√0-2（分-复，所以点4 (2,1)到直线BC的距离的最大值为枚答案为号 四重难点拨 本题首先要求以OP为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的 直线方程，关键是发现直线BC过定点，这样通过几何关系就容易求 得定点与动直线距离的最大值. 8.解：(1)将圆C:x2+y2-4x-6y+4=0化为标准方程：(x-2)2+ (y-3)2=9,则圆心C(2,3),半径r=3. (2)当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=4,在圆C:x2+y2- 4x-6y+4=0中，令x=4,得y2-6y+4=0,解得y=3±√5，此时1MN1= 25,与题意矛盾，所以直线1的斜率存在，设斜率为k,则直线1的方 程为y-2=k(x-4),即kx-y-4k+2=0.因为1MW1=4,所以圆心C(2, )到直线1的距离d=-(了 2 =√9-4=√5，所以 12k-3-4+2-5,解得k=2,所以直线1的方程为2x-y6=0,综上 √2+1 所述，直线1的方程为2x-y-6=0. 没wn.Na,联立信040消去y得 52-40+76=0,则w=8-故na=(2-6)(2a-0) -120)6号所以0成.耐-5号16 9.解：(1)因为圆C的圆心在直线2x-y-2=0上，设圆心为C(a, 2a-2),根据题意可得V(a-2+(2a-3产=1a+2a-2-31,即 √2 V50-16a+13=3a_51,解得a=1,故圆心为c(1,0),该圆的半径 为1PC1=√(1-2)2+(0-1)7=√2，因此，圆C的标准方程为 (x-1)2+y2=2. (2)如图，因为MA,MB都与圆C相切，由切线长定理可得IMAI= IMB1.又因为1ACI=IBCI,IMCI=IMC1,则△MAC≌△MBC,且 AC⊥MA,MB⊥BC,所以四边形MACB面积S=2S△MAc=|AC1· IMA1=√2·√IMCI2-2,当MC⊥1时，IMC|取最小值，则四边 形MACB面积最小.因为直线l的斜率为1，则直线MC的斜率为-1， 所以直线MC的方程为y=-(x-1),即x+y-1=0,由y1=0得 lx-y+2=0 2 3 即点的坐标为（，）此时1C1=-2 2 y22 3巨，则四边形MACB面积的最小值为5×√2 9 2 2=√5 黑白题38 四方法总结 解析几何中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件 能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解央：(2)代数 法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函 数，再求这个函数的最值 10.(1)解：当切线m的斜率不存在时，切线m:x=-3与圆C相离，不符 合题意当切线m的斜率存在时，可设切线m:y-2=k(x+3),即x- y+3k+2=0.因为切线m与圆C相切，圆C的圆心C(1,0),半径 =2,所以-3t2-2,即3+4=0，解得=0或=号，所以 2+1 切线m的方程为y=2或4x+3y+6=0. (2)证明：①当直线1的斜率不存在时，其方程为x=0,此时点A,B 的坐标为(0，-√3)，(0,3). 所u,2525手 -3 -3 ②当直线1的斜率存在时，可设其方程为y=kx设A(x1,y),B(2, ),庙/， {(x-1）2=4联立，得(+1)2-2x-3=0由4=4+122+ 2 1)>0,得k∈R,所以 x1+22+1' 所以k1+k2 y-22-2kc1-2 -3 x12+1 x1+32+3x+3 -3 ,-2.21￥+(36-2)(6t)-122k2 k2+ -12 +(3k-2)‘R+1 2+3 x1x2+3(x1+x2)+9 1+ k2+1 3 综上所述，6为定值号 压轴挑战 解：(1)由题意设圆心坐标为(0，b)(b>0),则圆C的方程为x2+ (rb)2=64 9 b>0).因为直线12x-9y-1=0与圆C相切，所以点C(0,b) 到直线12x-9y-1=0的距离d= 1-9b-11 122+(-9)23 =8因为b>0,所以6= 号放圆c的标泰方程为2一（一）- (2)因为1CM1= 13 78 3-2s 了<3，所以当直线CM与这条弦垂直时，这条 弦的长度最氨放所聚最短弦长为2，√合（仔厂2西 3 (3)假设存在定点B,设B(0,m)(m≠-1)，P(x,》,则2=64 3,则PB √2+(y-m)2 IPAI x2+(y+1)2 0w (2 m235+ m2.35 3 1√y2+263 当 = 33+(y+1)2 32,32 32 33 3 32 >0,即m=3(m=-1舍去)时，为定值，且定值为)故存在 3 定点B,且点B的坐标为(0,3) 专题探究2直线中的最值问题 黑题专题强化 1.A解析：：(1+3入)x+(1+入)y-2-4入=0（入∈R)可化为λ(3x+y- 参考答案 4x+y-2=0,令3+”40解得l即直线L过定点Q(1,）, (x+y-2=0, (y=1, 则当011时，点P以-2-)到直线！的定离发大，即有宁 _1+3A) 1+入/ -1,解得A=方，此时直线1为(+3x兮)+(： 32-4×1 1) =0,化简得3x+2y-5=0.故选A 2.B解析：因为两直线交于(1,1)，则1+1+C=0,即C=-2,且A+B+ ICI C=0,则A+B=2.由原点到直线2的距离d= √A2+B2 2 2 ,而A2-2A+2=(A-1)2+1≥1，则d≤ √A2+(2-A)2√/2(A2-2A+2) 2,当且仅当A=1时，d取最大值2，此时B=1.即两直线重合时，原 点到直线12的距离最大，最大值为√2故选B. 3.D解析：设点A关于直线1的对称点为A'(m,n),则 (n-5=-1, m-1 n+5_mtl+ 解得m=4由1PA1=1P'1,则1PA1+1PB1= ln=2. 2-2 1P4'I+IPB1≥|A'B1=√(4+2)2+(2-10)2=10，当且仅当B,P,A 共线时取等号，故1PA1+IPB1的最小值为10.故选D. 4.A解析：如图，设B关于l:x-y-1=0的对称点为C(m,n),则 m21, n m+2n-1=0, 解得m=l即c(1,1),故1AC1=√2-02+3-= (n=1, 22 √5，IPAI-IPB1=IPAI-IPCI≤IACI=√5，当且仅当P,A,C三点共 线时，等号成立故选A. (第4题) (第5题) 5.213解析：√2-2x+17=√(x-1)2+16表示A(x,0),B(1,4)之 间的距离，√2-10x+29=√(x-5)2+4表示A(x,0),C(5,2)之间的 距离，又C(5,2)关于x轴的对称点C(5,-2),如图，所以f(x)= IAB1+|AC1=1AB1+1AC'1≥1BC1=√(1-5)2+(4+2)7=2V3,所 以(x)m=2√13.故答案为2√13. 6 14解析：设点4(x,),B(1,4)和直线1：3x+4y-5=0,A,B到1的距 离分别为d1,d2,易知f(x,y)=|AB1+d1,如图，显然f(x,y)=1AB1+ 4≥山=13x1+4-51-故答案为 5 5 7.25解析：设P(x,y),0(0,0),A(2,0),B(2,1),C(0,1),因为0< x<2,0<y<1,则点P(x,y)在矩形0ABC内部，如图所示， y↑ B 黑白题39