2.3 直线的交点坐标与距离公式-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

A4,(-4,2,直线他的方程为得即y子 故选C 4.B解析：由题意知，直线11，l2都过定点(0，-1)，直线11的斜率为 1,倾斜角为45°..直线11,2的夹角在(0°，15)之间变动，∴直线2 的倾斜角∈(45°-15°，45°)U(45°，45°+15°)，即a∈(30°，45°)U (45°，60°)，∴.tan oE (停)小儿(1，).故法B 5.y1=0解折：直线1：3y3=0即y-1,所以直线1的斜 案为3 ,倾斜角为30°.令x=0得y=1,即P(0,1),则直线'的倾斜角 为30°+105°=135°，其斜率为an135°=-1，则直线1'的斜截式方程 为y=-x+1,即直线'的方程是x+y-1=0.故答案为x+y-1=0. 解析：由题意可得kc-665,kD265,且直线AG 公共点A,所以A,C,D在同一条直线上，所以该直线为y-6=5(x- 1),即y=5x+1.由于B(2,10)不满足y=5x+1,故直线1的方程为y= 5x+1,所以k=5,m=1,所以km=5.故答案为5. 7.1解析：因为动直线l1:x-my=0过定点A(0,0),动直线2：mx+ y+m=0过定点B(-1,0),且1×m+(-m)×1=0,可知l1⊥l2,即PA⊥ PB,所以PA2+PB2=AB2=1.故答案为1. 8锅，（山直线C份率c2二6。了则Bc边上的高所在直 线的斜率为3，新所以BC边上的高所在直线的方程为y-1=3(x-5), 即3x-y-14=0. (2)依题意，设直线1的方程为x+y+m=0(m≠1)，而直线1过点 A(5,1),则5+1+m=0,解得m=-6,所以直线1的方程为x+y-6=0. (3)张题意，Bc边的中点为（号，宁），因此Bc边上的中线所在 直线的斜率=了 3 11立，所以BC边上的中线所在直线的方程为 2 .3 y-1=1（x-5),即3x-11y-4=0. .(1)解：易知直线2x+3-2=0的斜率为号，设直线1的斜*为，由 两直线垂直可得子=-1，解得=》又宜线1过点P(3,2),所以 3 直线1的方程为y2=2(x-3),即3x-2-5=0 (2)证明：设A(a,0),B(0,b),又P(3,2),可得A=(3-a,2),Pi= (-3,b-2),由A币=2P3可得(3-a,2)=2(-3,b-2),解得a=9,b=3. 易知M(0,2),0M=2,PM=3,所以梯形0APM的面积为2×2x(3+ 9)=12,可得梯形EM0F的面积为6.不妨设E(m,2),F(n,0),可得 1 ×2x(m+n)=6,即mtn=6;当m≠n时，直线EF的方程为)m (x-n),将n=6-m代入可得2m(y-1)-(2x+6y-12)=0,由 一{260120，可得红3即不论m为何值时，直线F恒过定点 y=1, (3,1);当m=n=3时，直线EF的方程为x=3,过点(3,1).综上可知， 直线EF必过定点(3,1). 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两条直线的交点坐标+ 2.3.2两点间的距离公式 白题 基础过关 1.D解析：由l1:x-y+1=0,2:2x-y-1=0,联立方程可得： x=2,又直 y=3. 参考答案 线3x+4y=0的斜率为，所以所求的直线斜率为(，故直线方程 4 为y-3=3(x-2),即4x-3y+1=0.故选D. 2-4k (y=x+2k+1, x= 2.A解析： 1 3 即交点为 2-4k2k+5 .因为 y=- 2+2 k+ 3’3 3 2-4 3 ->0, 5 交点在第一象限，所以 2k+5 2 <故选A 0 3 33解折：由{2100之{42即三条直线交于(4，-2)，代入 ax+2y-8=0,得4a-4-8=0,解得a=3.故答案为3. 4.1或-2解析：由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行.：直 线x-y+1=0和直线2x+y-4=0不平行，.直线x-y+1=0和直线ax- y+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线ax-y+2=0平行..直线x-y+ 1=0的斜率为1，直线2x+y-4=0的斜率为-2，直线ax-y+2=0的斜 率为a,∴.a=1或a=-2.经检验，均符合题意.故答案为1或-2. 1 15 5.解：(1)直线AC的斜率为.27 -2,从而直线AC的方程为y-1= 5-5 -2(x-5),即y=-2x+11,联立直线AC的方程与中线CM所在直线的 方程，可得-2+1解得=4故点C的坐标为(4,3》. 2x-y-5=0, (y=3, (2)因为BH为AC边上的高，所以直线BH的方程为x-2y-5=0.设 点B的坐标为(m,n),由点B在直线BH上可得m-2n-5=0.AB的中 点M的坐标为(25，空），点M的坐标满足直线GW的方程， (m-2n-5=0, 即m+5-n 25=0,即m-n 2=0.由 t1-0, 得m=-即点B m-2 (n=-3, 的坐标为(-1，-3).则直线BC的斜率为 台放直酸C的方程 为6x-5y-9=0. 6.D解析：由已知得1AB1=√(1-m)2+(3-7)2=5,因此11-m1=3,解 得m=4或m=-2.故选D. 7.D解析：：lAB1=|AC1,.√(a+2)2+(2+3)2=√(a-1)2+(2-1)2, 解得a=-号放选D 8.D解析：由两点间的距离公式可得IAB1=√4+I=5,|AC1= √1+9=√10，IBC|=√1+4=√5.，|AB1=IBCI,且IAB12+|BCI2= |AC12,故该三角形为等腰直角三角形.故选D. 9.25解析：设A(x,0),B(0,y).线段AB的中点为M(2,-1), =2, 3 y=-1, x=4,A(4,0),B(0,-2), （y=-2,1 2 .1AB1=√/(4-0)2+(0+2)2=25.故答案为2W5. 10.证明：以Rt△ABC的直角边AB,AC所在的直线为坐标轴，建立平面 直角坐标系，设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).M是BC的 中点，点以份坐标为（学），即（台，台）由两点同距离 n 公式得IBC1=√F+W,MM1=√4+4 2,1AM1= 1 BCL. 11.证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长 为2，则B(0,0),C(2,0),A(0,2),E(1,0),F(0,1),D(2,2.易得直 黑白题27 线DE的方程为y=2x-2,直线CF的方 y=2x-2, 程为y=41,由 1 得 =2+1, 6 p点G日召从而4G1=0 y=5 √(g-0+(号-2=2=1，paG1=DL 12.证明：以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐 标系xDy.设B(b,c),C(a,0),依题意得A(-a,0),1AB12+ Bc12214C12=(a+b)2+e2+(a-b)2+c2- 2×(2a)2=2b2+2c2, 21B02=2(+e)=232+2l1MB12+1BC1-hC2=21BD12 重难聚焦 13.C解析：点A(-3,5)关于x轴的对称点为A'(-3,-5),则光线从点A 到点B的路程即线段A'B的长，1A'B1=√(-3-2)2+(-5-10)7= 5√10，即光线从点A到点B的路程为5√10.故选C. 14.B解析：设A(1,0)关于直线x+y=4的对称点为C(a,b),如图所 示，则-0-1且+=4，解得a=4,6=3,即C(4,3),则1BC1= a-1 22 √(-2-4)2+(0-3)2=35，在直线x+y=4上取一点P,由对称性 可得IPA1=IPCI,所以IPA|+IPBI=IPCI+|PBI≥IBC1=3V5,当 且仅当B,P,C三点共线时，等号成立，所以“将军饮马”的最短总路 程为35.故选B. (第14题) (第15题) 15.解：如图所示，作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交1于点P, 若点P'(异于点P)在直线1上，则IAP'I+IBPI=IA'PI+IBPI> IA'B1.因此，供水站只有在点P处，才能取得最小值设A'(a,b),则A4' a++2x642-10=0. 2 2 的中点在直线1上，且M'⊥1，即 解得a-3即4'(3,6)，直线A'B的方程为6x+y-24=0, 1b=6. 38 解方程组6x+y24=0,得 11 (x+2y-10=0, 36 点P的坐标为(，)放 y211 供水站P应建在点 (器)处 黑题 应用提优 1.B解析：设BC的中点为D,因为B(3,-2),C(5,4),所以D(4,1), 所以BC边上的中线长1AD1=√(4-0)2+(1-4)2=5.故选B. 2.C解析：由2x1解得=1即所求方程的直线过点(-1， (y=2x+3, (y=1, 1),令直线l2:y=2x+3的倾斜角为a,则tana=2,显然a是锐角，因 此所求方程的直线斜率k=tan2a= -an2a1-23,所以所求 2tan a 2x2 4 4 的直线方程为-1=-3(+1)，即4x+3y+1=0.故选C 选择性必修第一册·RJA 3.ACD解析：当三条直线交于一点时，由+)4=0，解得直线1和 (mx+y=0, 直线2的交点A的坐标为 产)由点A在直线6上可 得2以。3mx()-4,解得m=号或m=-1,故AC正确：至少 -4m 有两条直线平行或重合时，即(1,2,3中至少有两条直线的斜率相 等，当m=4时h/;当m=名时，诺，则需有-m m2=子不可能，放D正确故法AC 2 4.C解析：f(x)=√/x2+4x+5+√x2-4x+5=√(x+2)2+1+ √(x-2)2+1=√(x+2)2+(1-0)7+√(x-2)2+(1-0)7,表示动点 P(x,1)到定点A(-2,0)和B(2,0)的距离之和，因为点P(x,1)在直 线y=1上运动，如图，作B(2,0)关于直线y=1的对称点B1,则B (2,2),故IPAI+IPBI=IPAI+1PB,I≥IAB1I= √(2-0)2+(2+2)7=25，当且仅当A,P,B1三点共线时取等号， 故f(x)的最小值为2√5，故选C. 5.A解析：由重心坐标公式可得：重心G 10+5+20+0+4）,即 3,3 c(子，号)设外心为M(3),因为1M1=1Mc1,所以 45 (月，)所以w=写 34 1 4 =2,故欧拉线方程为y~了 32 -分（子），即+2-5=0放选A 6.B解析：依题意，直线AB方程为x+y=2,如图， 设P关于直线AB的对称点为Q(a,b),则 +=2 MQ 解得{-2，即Q(2,1),又P关于可P 2+2 y轴的对称点为T(-1,0),1QT1=√(-1-2)2+(0-1)2=√/10，光线 所经过的路程即△PMN的周长，而△PMN的周长为|MPI+IMNI+ INPI=IMQ1+|MWI+INTI=IQTI=√10，所以光线所经过的路程是 √10.故选B. 四方法总结 1.两条直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合，对于斜率都存在且 不重合的两条直线1,2，山1∥2台k1=k2;l11l2k1·k2=-1.若有 条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转 移法解决问题 7[) 解析：点P(x,1-x)在第一象限内， x>0, 解得0< 1-x>0, 1 得≤oPk1枚答案为[只1）】 8,(6,-6)解桥：由已知可得，直线丽的斜率子名2，则直 黑白题28 线AC的斜率kc=-子，直线4C的方程为y-2=-宁(+10)，即 x+2y+6=0.又直线AH的斜率kA=0,则直线BC与x轴垂直，直线 BC的方程为x=6,由=6 得点C的坐标为(6，-6) （x+2y+6=0, 9.-5,3,±1（写出一个即可）解析：当a=1时，(a2-1)x+(a-1)y=12 不成立，故方程组无解；当a≠1时，方程组可看作求两条直线一2 x-1 a+1(x≠1)与(a2-1)x+(a-1)y=12的交点，则方程组无解，即直线 无交点.若两条直线平行，则a+1=-(a+1),解得a=-1:若两条直线 不平行，则(a2-1)x+(a-1)y=12过点(1,2)，即a2+2a-15=0,解得 a=-5或a=3,此时子-a+1不过点(1,2，方程组无解综上，0的 取值为-5,3，±1. 10.√5解析：如图，设点B关于直线l的对称点B的坐标为(a,b),连 接BB,则·=-1，即4×1=-1，所以a+6-4=0①.因为 8s的中点（台生）在直线1上，所以号生1=0，即a-66 0®由①@得{仔5i,所以点B的坐标为(5，-1).又1PA 1PB11=I1PA1-1PBI1≤IAB'1=√(4-5)2+(1+1)Z=√5，当且仅 当P,B',A三点共线时，IIPAI-IPB'II取最大值V5.故IIPAI- 1PB1I的最大值为5.故答案为√5. y B x-y-1=0 、P A .B 2.3.3点到直线的距离公式+ 2.3.4两条平行直线间的距离 白题 基础过关 1.C解析：设点P的坐标为(x,0),则3x-4x0+6 =6,解得x=8或 √32+(-4)2 x=-12,.点P的坐标为(8,0)或(-12,0).故选C 2.A解析：由题意，1MP1的最小值是点M(0,2)到直线2x+y-1=0的 距离，即10x2+2-11-5 V22+1下55故选A 3.B解析点(x,5)关于点(1，)的对称点为(-2，-3)，{22 解得二4即点P的坐标为(4,1).直线)=x+1的一般式方程为x ly=1, y+1=0,所求距离d=14-1+1 =22.故选B. √2+(-1)2 4.D解析：因为A(4,0),B(2,a)两点到直线l:x+y-5=0的距离相等 所以4+0-51=12+a-5 ,所以1a-3|=1,所以a=2或a=4,故选D. √12+1卫√2+1 5号 解析：将直线年号-1化为一般式方程可得3x-4-12=0,由 点到直线的距离公式可得坐标原点(0,0)到直线1的距离为d= 号数案为 5 6.D解析：因为4/2，所以直线与直线2间的距离为m-（-3) √/12+32 √10，解得m=7或m=-13.因为m>0,所以m=7.故选D. 7.A解析：因为直线3x-4y+m=0(m<0)与3x+y+6=0平行，所以 3n=(-4)×3,解得n=-4.又因为两条平行直线3x-4y+m=0(m<0) 1m-61 与3x-4y+6=0之间的距离是3，所以d= =3,解得 √32+(-4)2 m=21(舍去)或m=-9,所以m+n=-13.故选A. 参考答案 四方法总结 1.求过两条直线交点的直线方程的方法：先求出两条直线的交点坐 标，再结合其他条件写出直线的方程 2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0,yo)到直线x=a的距离d=lx0- al,到直线y=b的距离d=ly0b1;(2)两条平行直线间的距离公式要 把两直线方程中x,y的系数化为相等 8.B解析：3×8-4×6=0，.直线3x+4y-5=0与6x+8y+5=0平 行，1PQ1的最小值，即为两平行直线3x+4y-5=0与6x+8y+5=0 的距离，化直线方程3x+4y-5=0为6x+8y-10=0,由平行线间的距 1-10-513 离公式可得d= 6+82故选B 9.D解析：设所求直线的方程为3x-2y+c=0(c≠-6且c≠8)，由题意可 知，所求直线到直线2的距离等于直线1,2间的距离， Ic-81 1-6-81 ,解得c=22或c=-6(舍去)，.所求直 √/32+(-2)2√32+(-2)2 线的方程为3x-2y+22=0.故选D. 10.C解析：由题意得，直线1与直线2关于平行于y轴的直线x=2 3 对称，可得直线l2的方程为y=-2x+3,直线l2与直线l3关于平行 于x轴的直线y=3对称，可得直线3的方程为y=2x+3,则直线L1∥ 13,则直线11上一点P到直线L,3的距离即为直线11与直线l3之间 的距离.由两平行线间的距离公式可得直线1与直线3之间的距 离d= 品等脂P暖E孩等益 11.22 解析：因为直线11：ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y-1=0,1∥L2, 3 所以a(a-2)=3,解得a=-1或a=3.当a=-1时，直线l1:-x+3y+ 1=0,l2:x-3y-1=0,两直线重合，不满足要求；当a=3时，直线41： x+y+3=0,h:x+y-1=0,两直线平行，满足要求，所以当1∥2时， 1 +1 直线1与2之间的距离为 3+122 √12+1F3 微特案为9 12.3x-2y+11=0或3x-2y-5=0解析：设直线l的方程为3x-2y+c=0 (c≠-1且c≠-13)，由平行线间的距离公式可得21c+11=1c+ 131,.c=11或c=-5,.直线1的方程为3x-2y+11=0或3x-2y 5=0.故答案为3x-2y+11=0或3x-2y-5=0. 13.{k|-11≤k≤-1且k≠-6}解析：y=-2x-k-2的一般式方程为 1k+2+41Ik+61 2x+y+k+2=0,则两条平行直线间的距离d= ≤5， 22+125 即1k+61≤5，解得-11≤k≤-1.当k+2=-4,即k=-6时，两条直线 重合，k的取值范围是{k1-11≤k≤-1且k≠-6.故答案为 {k|-11≤k≤-1且k≠-6}. 黑题应用提优 1,A解析：由点到直线的距离公式可得点P到直线的距离d= 1a-3a-1|12a+1 ,再由题意可得2a+山≤5，整理可得2+ √/a2+(-3)2√/9+a2 √/g+a2 4a-26≤0，解得-2-√30≤a≤-2+√30.故选A. 2.C解析：由题意可知8=3-1,1AB1=√(1-3)2+(3-1)2= 22,可知直线AB:y-3=-(x-1),即x+y-4=0,可得点C(-1,-1)到 直线AB的距离d=-1-1-4 =32,所以△ABC的面积S△ABc= √2 2d·M81=7×32x22=6故选C 3.D解析：将直线1的方程变形为入(x-y+2)+2x+y+7=0,由 -y+2=0,得{=-3所以直线1过定点B(-3,-1),当11AB时， 2x+y+7=0,(y=-1, 点A到1的距离最大，最大距离为√/(-3-1)2+(-1-2)2=5.故选D. 黑白题29 4,A解析：由题意知，点M在直线11与2之间且与两条直线距离相 等的直线上，设该直线的方程为x+y+e=0,则c+7.lc+51,即c -6,∴.点M在直线x+y-6=0上，.点M到原点的距离的最小值就是 原点到直线+y-6=0的距离，即-61=32.故选A 万 5.C解析：根据题意，当点M到直线1的距离d≤2时，该直线1上存 在点P使1PM1=2,此时直线1为点M(3,4)的“2域直线”.点M(3, 4)到直线4-3y=0的距离4，=13x4-431=0<2,该直线是点M(3, √/16+9 4)的“2域直线”；点M(3,4)到直线y=2的距离d2=4-2=2,该直线 是点M(3,4)的“2域直线”；点M(3,4)到直线x-4y=0的距离d3= V1+1617>2,该直线不是点M(3,4)的“2域直线”；点M3, 13-16113/17 4)到直线x=5的距离d4=5-3=2,该直线是点M(3,4)的“2域直 线”，故选C. 6.AB解析：对于A,因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相 等，且菱形对边平行，直线x+y+2=0和x+y+4=0之间的距离为 12-412 =√2,3x-4y+c1=0和3x-4y+c2=0之间的距离为 √2+1下√2 16,↓=1c1-之，于是有9-2，解得16，-1=5，正 V√32+(-4)2 5 5 确；对于B,设与直线4，☑距离相等的点为(a,b),则la+b+2 /12+12 1a+6+4,所以a+h+2=-(a+b+4),即a+b+3=0,所以所求点的轨迹 12+121 方程为x+y+3=0,正确；对于C,若该菱形有外接圆，则菱形两条对角 线的交点和外接圆的圆心重合，此时菱形的两条对角线与圆的直径 重合，故两对角线长相等，对角线相等的菱形必然为正方形，则直线 1,而，=-1，=子，所以，×%与=-4≠-1，矛盾，故该菱形 3 没有外接圆，错误；对于D,直线1，：x+y+2=0经过点(0，-2)，即纵截 距为-2，错误故选AB. 7.25解析：√m2+(n-1)下=√(m-0)2+(n-1)7可看成点P(m,n) 与定点A(0,1)的距离.因为点P(m,n)为直线x-2y-8=0上的动点， 则点A(0,1)到直线x-2y-8=0的距离为d=1-2×1-81 =25,所 V12+(-2)2 以√m2+(n-1)2的最小值为25.故答案为25. 8.x=2或3x-4y-10=0解析：①当1的斜率k不存在时显然成立，此 时1的方程为x=2.②当1的斜率k存在时，设l:y+1=k(x-2),即kx- 3 2k-1=0,由点到直线的距离公式得，二2=2，解得k: √1+k2 ∴.l:3x-4y-10=0.故所求1的方程为x=2或3x-4y-10=0.故答案为 x=2或3x-4y-10=0. 9.解：(1)因为直线CD的方程为x+y=0,设C(L,-),又因为A(2,1), 所以线段G的中点坐标为（学2宁）】 因为线段AC的中点在直 线BE上，所以5X22x生+10=0，整理得7=-28，即4=-4，所 以C(-4,4). (2)因为CD是△ABC的一条角平分线，所以点A关于直线CD的对 「n-1J 称点A'在直线BC上.设4'(m,n),则m-2D=-1,】 解得 m+2.n+1 2+2=0, a=所以-1，-2》，所以x号-2，所以直线C的 n=-2, 方程为y-4=-2(x+4),整理得2x+y+4=0.联立直线BC与直线BE 的方程2z+*4=0解得{02即B(-2,0),所以1BC1四 (5x-2y+10=0, 选择性必修第一册·RJA √(-2+4)2+(0-4)2=25，点A到直线BC的距离4=14+1+4 √4+1 ，所以S△c=7X1BC1xd= 9 22w5x9 =9 5 压轴挑战 4 17 解析：由题意得存在me[1,2],使得点(a,b)在直线m2x-y-m=0 上，故点(a,b)到原点的距离最小值为-m 1 √/m4+1 1,m e m2+ [1,2],当m=2时，取最小值 7，此时a2+82的最小值为号故答案 4 17 为个 2.1-2.3 阶段综合 黑题 阶段强化 1.B 解析：对于①，方程k= 不过点(-1,2)，故与方程y-2=k(x+ x+1 1)不可表示同一条直线；对于②，直线1过点P(x1,y1),斜率不存 在，是垂直于x轴的直线x=x1,结论是正确的；对于③，直线1过点 P(x1,y1),斜率为0，是垂直于y轴的直线y=y1,结论是正确的；对于 ④，所有直线都有点斜式和斜截式方程是不对的，比如斜率不存在的 直线就没有点斜式方程和斜截式方程故①④不正确，②③正确.故 选B. 2.D解析：设点A(-2,1)关于直线x-y+10=0的对称点为A'(a,b), b-1 a+2 =-1, 则{ 解得9，故反射光线过点A(-9,8)与点 a-2b+1 b=8, +10=0, 22 8+3 B(-8,-3),则反射光线所在直线的斜率为+8-1山，所以反射光 线所在直线的方程为y+3=-11×(x+8),即11x+y+91=0.故选D. 3.D解析：如图，要想使折叠后点O落在线段 y BC上，可取BC上任意一点D,作线段OD的 垂直平分线1，以1为折痕可使0与D重合.因 1 为koD≥koB=2,所以k= 1≥-2，且k<0. ko 0 当折叠后0与C重合时，k=0,所以-2≤k≤0， 所以k的取值范围是[-2,0].故选D. 4.D解析：联立230解得1即L与1的交点为(-1,1). (x-y+2=0, (y=1, 因为点A(0,3)在直线l1上，设A关于直线1的对称点为A1(a,b),则 b-3 a-0-1, a+0b+3+2=0, 解得2即1(1,2)，所以直线凸的斜率k宁 22 1()2从而直线4的方程为y-2=2×(x-1),即-2+3=0 2-11 故选D. 5.D解析：由题可知A(1,0),B(-1,2),两条平行直线11，l2分别过 点A,B.因为11∥2，所以1,2间的距离即点A到直线2的距离d如图， 由图可知，d≤|AB|,当1,2垂直于AB时，l1,l2间的距离取最大值， 即最大值为|AB由两点间的距离公式可知，|AB|= √/(1+1)2+(0-2)2=2W2.故选D. B 黑白题302.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两条直线的交点坐标田2.3.2两点间的距离公式 白题 基础过关 限时：55min 题组1两条直线的交点坐标及其应用 题组2 两点间的距离公式及其应用 1.(2025·江苏徐州高二期中)已知直线11：x 6.若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5， y+1=0,l2:2x-y-1=0,则过l1和l2的交点且 则实数m的值为 () 与直线3x+4y=0垂直的直线方程为( A.4 B.-2 A.3x-4y-1=0 B.3x-4y+1=0 C.-4或2 D.4或-2 C.4x-3y-1=0 D.4x-3y+1=0 7.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,1)三点， 2.(2025·河北唐山高二月考)若直线y=x+2k+ 且IABI=IACI,则a的值为 () 1与直线y=+2的交点在第一象限，则实 A.2 c月 数k的取值范围是 ( 8.已知A(3,0),B(1,1),C(2,3)三点，则△ABC 4(3) (2) 的形状是 ( A.钝角三角形 B.等边三角形 c,] D. C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 9.设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中 3.(2025·山西晋中高二月考)三条直线ax+2y 点为M(2,-1),则线段AB的长为 8=0,4x+3y=10与2x-y=10相交于一点，则 题组3运用解析法解决平面几何问题 a的值为 10.已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点 4.若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0 为M,建立适当的平面直角坐标系，证 共有两个交点，则实数a的值为 5.(2025·天津武清区高二月考)已知△ABC的 明：AM=2BG1, 顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线的 方程为2x-y-5=0,AC边上的高为BH,垂足 3) (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的方程 选择性必修第一册·RJA黑白题040 11.已知在正方形ABCD中，E,F分别是BC,AB 重难聚焦川 边的中点，DE,CF交于点G,证明：IAG|= 题组4用对称性解决距离问题 IADI. 13.光线从点A(-3,5)射到x轴上，经x轴反射 后经过点B(2,10),则光线从点A到点B 的路程为 ( A.52 B.25 C.510 14.（2025·安徽六安高二 代诗人李颀的诗《古从 头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍 交河”诗中隐含着一个有趣的数学问 题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽 火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马 后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？ 在平面直角坐标系中，设军营所在的位置 12.如图，已知BD是△ABC的边AC上的中线， 为B(-2,0),若将军从山脚下的点A(1,0) 建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB12+ 处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4,则 ICP-IACP-21BD “将军饮马”的最短总路程为 () √145 A. B.35 3 C.√15 15.如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐 标系中的坐标为A(1,2),B(4,0),一条河 边所在的直线方程为1：x+2y-10=0,若在 河边上建一座供水站P,使之到A,B两镇 的管道最短，那么供水站P应建在什么 地方？ 第二章黑白题041 黑题 应用提优 限时：40min 1.(2025·江苏扬州高二期中)已知△ABC的顶 的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心 点为A(0,4),B(3,-2),C(5,4),则BC边上 的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线 的中线长为 被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的 A.4 B.5 顶点为A(0,0),B(5,0),C(2,4),则该三角 C.32 D.42 形的欧拉线方程为 2.(2025·河北唐山高二月考)经过直线1： A.x+2y-5=0 y=-2x-1和l2:y=2x+3的交点，且倾斜角是 B.3x-6y+1=0 直线12的倾斜角的两倍的直线方程为( C.2x+y-10=0 A.2x+y+1=0 B.x-4y+3=0 D.2x-y-10=0 C.4x+3y+1=0 D.3x+4y-1=0 6.(2025·江苏南京高二月考)如图所示，已知 3.(多选)(2025·湖南长沙长郡中学高二月考) 点A(2,0),B(0,2),从点P(1,0)射出的光线 下面三条直线1：4x+y-4=0,l2:mx+y=0, 经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经 l3:2x-3my-4=0不能构成三角形，则实数m 直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的 的取值可以是 路程是 A.-1 B. 6 D.4 4.(2025·黑龙江鸡西高二期中)数学家华罗庚 曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微” A.3 B.√10 C.33 D.25 事实上，很多代数问题可以转化为几何问题 7.已知点P(x,1-x)在第一象限内运动，则动点P 加以解决.例如，与√(x-a)2+(y-b)产相关的代 到原点O的距离1OPI的取值范围是 数问题，可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之 8.已知△ABC的两个顶点A(-10,2),B(6,4),垂 间的距离的几何问题结合上述观点，函数 心是H(5,2),则顶点C的坐标是 f(x)=√x2+4x+5+√x2-4x+5的最小值是 9. 写出使得关于x,y的方程组 y-2 A.23 B.4 x-1a+1, 无解的一个a C.25 D.2√6 (a2-1)x+(a-1)y=12 5.(2025·江苏徐州一中高二月考)数学家欧拉 的值： 于1765年在他的著作《三角形的几何学》中 10.(2025·广东广州高二期中)直线1：x-y-1= 首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的 0上的一点P,到A(4,1)与B(0,4)的距离 交点)、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高 之差的绝对值的最大值为 选择性必修第-册：RJA黑白题042 2.3.3点到直线的距离公式⊕2.3.4两条平行直线间的距离 白题 基础过关 限时：40min 题组1点到直线的距离及其应用 7.(2025·河南南阳高二月考)若两条平行直线 1.点P在x轴上，且到直线3x-4y+6=0的距离 3x-4y+m=0(m<0)与3x+y+6=0之间的距 为6，则点P的坐标为 离是3，则m+n= ( A.(8,0) A.-13 B.-9 C.17 D.21 B.(-12,0) 8.(2025·江苏徐州高二月考)已知P,Q分别是 C.(8,0)或(-12,0) 直线3x+4y-5=0与6x+8y+5=0上的动点， D.（-8,0)或(12,0) 则1PQ1的最小值为 ( 2.(2025·陕西安康高二月考)已知点M(0,2), C. 3 点P(x,y)在直线2x+y-1=0上，则IMP1的最 A.3 D.3 小值是 ( 9.两条直线1：3x-2y-6=0,l2:3x-2y+8=0,则直 36 4W5 线1关于直线，对称的直线的方程为( C. D.5 5 A.3x-2y+24=0 3.已知点(x,5)关于点(1，y)的对称点为(-2， B.3x-2y-10=0 -3),则点P(x,y)到直线y=x+1的距离是 C.3x-2y-20=0 ( D.3x-2y+22=0 A.4 B.2√2 10.已知入射光线在直线1：2x-y=3上，经过 C.2 D.√2 x轴反射到直线2上，再经过y轴反射到直 4.(2025·河北石家庄高二期中)已知A(4,0), 线13上.若P是直线L上某一点，则点P到直 B(2,a)两点到直线1：x+y-5=0的距离相等， 线1的距离为 ( 则a= ( A.6 B.3 A.2 B.4 C.1或4D.2或4 65 5.(2025·湖北宜昌高二期中)已知直线1的方 C. D.95 5 10 程为4了=1，则坐标原点到直线1的距 11,(2025·重庆外国语学校高二期末)直线11： ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y-1=0,当L1∥l2 离为 时，直线l1与2之间的距离为 题组2两条平行直线间的距离及其应用 12.已知直线11：3x-2y-1=0和直线L2:3x-2y- 6.(2025·广东深圳高二期中)若直线1：x+ 13=0,直线l与l1,l2的距离分别为d1,d2,若 3y+m=0(m>0)与直线l2:x+3y-3=0间的距 d1:d2=1:2,则直线l的方程为 离为√/10，则m= 13.若两条平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的 A.17 B.17 C.14 D.7 2 距离不大于5，则k的取值范围是 第二章黑白题043 黑题 应用提优 限时：40min 1.若点P(1,a)到直线ax-3y-1=0的距离不大 C.该菱形一定有内切圆和外接圆 于3，则a的取值范围是 D.直线l1的纵截距为2 A.[-2-√30，-2+√30] 7.(2025·安徽阜阳高二月考)若点P(m,n)为 B.[-2,w6] 直线x-2y-8=0上的动点，则Jm2+(n-1)2的 C.[-√6,6] 最小值为 D.[2-√6,2+√6] 8.(2025·黑龙江大庆高二期中)已知点P(2, 2.(2025·四川南充高二期中)△ABC中，A(1, -1),则过点P且与原点的距离为2的直线1 的方程为 3),B(3,1),C(-1,-1),则△ABC的面积是 9.(2025·福建厦门双十中学高二期中)已知 A.4 B.5 C.6 D.7 △ABC的一条内角平分线CD所在直线的方 3.(2025·山西太原高二期中)已知点A(1,2), 程为x+y=0,一个顶点为A(2,1),AC边上的 直线1：（入+2）x+(1-入)y+2入+7=0（入∈R), 中线BE所在直线的方程为5x-2y+10=0. 则A到l的距离的最大值为 ( (1)求顶点C的坐标； A.3 B.√/10 C.32 D.5 (2)求△ABC的面积. 4.(2025·福建福州高二月考)若动点A(x1, y1),B(x2,y2)分别在直线1：x+y-7=0和 L2:x+y-5=0上移动，则AB的中点M到原点 距离的最小值为 ( A.32 B.2 C.√2 D.4 5.已知平面内一点M(3,4),若直线1上存在点 P,使1PM1=2,则称该直线为点M(3,4)的“2 域直线”，下列直线中不是点M(3,4)的“2域 直线”的是 ( A.4x-3y=0 B.y=2 C.x-4y=0 D.x=5 6.(多选)在平面直角坐标系中，某菱形的一组 对边所在的直线方程为11：x+y+2=0,l2:x+y+ 4=0,另一组对边所在的直线方程为l3:3x 压轴挑战 4y+c1=0,L4:3x-4y+c2=0.则下列选项正确的有 (2025·湖北武汉高二月考)若关于 x的方程ax2-x-b=0在[1,2]上有 A.Ic-c21=5 实数根，则a2+b2的最小值是 B.与直线1，l2距离相等的点的轨迹方程为 x+y+3=0 进阶突破拔高练P07 选择性必修第一册·RJA黑白题044