2.1-2.3 阶段综合-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

4,A解析：由题意知，点M在直线11与2之间且与两条直线距离相 等的直线上，设该直线的方程为x+y+e=0,则c+7.lc+51,即c -6,∴.点M在直线x+y-6=0上，.点M到原点的距离的最小值就是 原点到直线+y-6=0的距离，即-61=32.故选A 万 5.C解析：根据题意，当点M到直线1的距离d≤2时，该直线1上存 在点P使1PM1=2,此时直线1为点M(3,4)的“2域直线”.点M(3, 4)到直线4-3y=0的距离4，=13x4-431=0<2,该直线是点M(3, √/16+9 4)的“2域直线”；点M(3,4)到直线y=2的距离d2=4-2=2,该直线 是点M(3,4)的“2域直线”；点M(3,4)到直线x-4y=0的距离d3= V1+1617>2,该直线不是点M(3,4)的“2域直线”；点M3, 13-16113/17 4)到直线x=5的距离d4=5-3=2,该直线是点M(3,4)的“2域直 线”，故选C. 6.AB解析：对于A,因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相 等，且菱形对边平行，直线x+y+2=0和x+y+4=0之间的距离为 12-412 =√2,3x-4y+c1=0和3x-4y+c2=0之间的距离为 √2+1下√2 16,↓=1c1-之，于是有9-2，解得16，-1=5，正 V√32+(-4)2 5 5 确；对于B,设与直线4，☑距离相等的点为(a,b),则la+b+2 /12+12 1a+6+4,所以a+h+2=-(a+b+4),即a+b+3=0,所以所求点的轨迹 12+121 方程为x+y+3=0,正确；对于C,若该菱形有外接圆，则菱形两条对角 线的交点和外接圆的圆心重合，此时菱形的两条对角线与圆的直径 重合，故两对角线长相等，对角线相等的菱形必然为正方形，则直线 1,而，=-1，=子，所以，×%与=-4≠-1，矛盾，故该菱形 3 没有外接圆，错误；对于D,直线1，：x+y+2=0经过点(0，-2)，即纵截 距为-2，错误故选AB. 7.25解析：√m2+(n-1)下=√(m-0)2+(n-1)7可看成点P(m,n) 与定点A(0,1)的距离.因为点P(m,n)为直线x-2y-8=0上的动点， 则点A(0,1)到直线x-2y-8=0的距离为d=1-2×1-81 =25,所 V12+(-2)2 以√m2+(n-1)2的最小值为25.故答案为25. 8.x=2或3x-4y-10=0解析：①当1的斜率k不存在时显然成立，此 时1的方程为x=2.②当1的斜率k存在时，设l:y+1=k(x-2),即kx- 3 2k-1=0,由点到直线的距离公式得，二2=2，解得k: √1+k2 ∴.l:3x-4y-10=0.故所求1的方程为x=2或3x-4y-10=0.故答案为 x=2或3x-4y-10=0. 9.解：(1)因为直线CD的方程为x+y=0,设C(L,-),又因为A(2,1), 所以线段G的中点坐标为（学2宁）】 因为线段AC的中点在直 线BE上，所以5X22x生+10=0，整理得7=-28，即4=-4，所 以C(-4,4). (2)因为CD是△ABC的一条角平分线，所以点A关于直线CD的对 「n-1J 称点A'在直线BC上.设4'(m,n),则m-2D=-1,】 解得 m+2.n+1 2+2=0, a=所以-1，-2》，所以x号-2，所以直线C的 n=-2, 方程为y-4=-2(x+4),整理得2x+y+4=0.联立直线BC与直线BE 的方程2z+*4=0解得{02即B(-2,0),所以1BC1四 (5x-2y+10=0, 选择性必修第一册·RJA √(-2+4)2+(0-4)2=25，点A到直线BC的距离4=14+1+4 √4+1 ，所以S△c=7X1BC1xd= 9 22w5x9 =9 5 压轴挑战 4 17 解析：由题意得存在me[1,2],使得点(a,b)在直线m2x-y-m=0 上，故点(a,b)到原点的距离最小值为-m 1 √/m4+1 1,m e m2+ [1,2],当m=2时，取最小值 7，此时a2+82的最小值为号故答案 4 17 为个 2.1-2.3 阶段综合 黑题 阶段强化 1.B 解析：对于①，方程k= 不过点(-1,2)，故与方程y-2=k(x+ x+1 1)不可表示同一条直线；对于②，直线1过点P(x1,y1),斜率不存 在，是垂直于x轴的直线x=x1,结论是正确的；对于③，直线1过点 P(x1,y1),斜率为0，是垂直于y轴的直线y=y1,结论是正确的；对于 ④，所有直线都有点斜式和斜截式方程是不对的，比如斜率不存在的 直线就没有点斜式方程和斜截式方程故①④不正确，②③正确.故 选B. 2.D解析：设点A(-2,1)关于直线x-y+10=0的对称点为A'(a,b), b-1 a+2 =-1, 则{ 解得9，故反射光线过点A(-9,8)与点 a-2b+1 b=8, +10=0, 22 8+3 B(-8,-3),则反射光线所在直线的斜率为+8-1山，所以反射光 线所在直线的方程为y+3=-11×(x+8),即11x+y+91=0.故选D. 3.D解析：如图，要想使折叠后点O落在线段 y BC上，可取BC上任意一点D,作线段OD的 垂直平分线1，以1为折痕可使0与D重合.因 1 为koD≥koB=2,所以k= 1≥-2，且k<0. ko 0 当折叠后0与C重合时，k=0,所以-2≤k≤0， 所以k的取值范围是[-2,0].故选D. 4.D解析：联立230解得1即L与1的交点为(-1,1). (x-y+2=0, (y=1, 因为点A(0,3)在直线l1上，设A关于直线1的对称点为A1(a,b),则 b-3 a-0-1, a+0b+3+2=0, 解得2即1(1,2)，所以直线凸的斜率k宁 22 1()2从而直线4的方程为y-2=2×(x-1),即-2+3=0 2-11 故选D. 5.D解析：由题可知A(1,0),B(-1,2),两条平行直线11，l2分别过 点A,B.因为11∥2，所以1,2间的距离即点A到直线2的距离d如图， 由图可知，d≤|AB|,当1,2垂直于AB时，l1,l2间的距离取最大值， 即最大值为|AB由两点间的距离公式可知，|AB|= √/(1+1)2+(0-2)2=2W2.故选D. B 黑白题30 6.AD解析：因为，∥2，所以直线1，h间的距离4=1-31-2.如 图，设直线m与直线11，l2分别相交于点B,A,则1AB1=22,过点A 作直线l垂直于直线l1,垂足为C,则IACI=d=√2，则在Rt△ABC IAC1√21 中，∠ABC-=B2方2，所以LMBC=30,又因为直线4的倾 斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°+30°=75°或45°-30°=15°. 故选AD. y↑ -B) 2.4) 7C" B 0 B m (第6题) (第7题) 7.C解析：山1：k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4)，l2:2(y4)=4-2x也过 定点(2,4)，如图所示，在1的方程中，令x=0,则y=4-k,在12的方 程中，令y=0,则x=2+2,则点A(0,4-),B(22+2,0),S=2× 24(4x2×=4（日）广，图由三次高数性质可每。 当k=】时，S取得最小值故选C 8 8.-35-3解析：因为关于x,y的二元一次方程组7x-3有无穷 (ax+5y=2 多组解，所以直线7x-=3与直线ax+5y=2重合，所以了-， 3 15 2解得a二4，b=所以6=35.因为关于x,的二元二次方 程组mx+9m+6·无解，所以直线mx+9y=m+6与直线x+y=m平 (x+my=m 行，所以m2-9=0,解得m=±3，当m=3时，两条直线重合，所以m= -3.故答案为-35，-3. 9.(4,5)42解析：直线1：y=x+1经过定点(0,1)，又两条直线 关于点(2,3)对称，则两条直线经过的定点也关于点(2,3)对称， 直线2恒过定点(4,5)，11与12的距离的最大值就是两定点之 间的距离，即为√(4-0)2+(5-1)2=42.故答案为(4,5)，42. 10.4x-5y+7=0解析：设线段AB的中点为M(4yo+1,y)因为点M到l 与h的距离相等，所以2X(4。+1)-5o+912x(40+1)-5。-7引 √22+(-5)2 √22+(-5)2 解得%=-1，则点M(-3,-1),所以直线1的方程为3-￥-2 -1-3-3-21 即4x-5y+7=0.故答案为4x-5y+7=0. 11.22+√26解析：由题意知，两直线1：x-y+1=0,2:x-y-1=0 11+11 互相平行，由两平行线间的距离公式可得ICD1= =√2 √12+(-1)2 因为A(-3,0),B(3,0)及两直线1：x-y+1=0,L2:x-y-1=0,作直线 3垂直于l1,2,且垂足分别为C,D,设直线3的方程为x+y+b=0, 联立方程塑0潮得c(空号），同理求得n(使之 (x-y+1=0,1 生），所以4C1+1081-Y公-46-V0+46*i 2 其中√(b-5)2+(b-1)2+√(b+5)2+(b+1)7表示点P(b,b)与 点M(5,1)和N(-5,-1)之间的距离之和，当点P在线段MN上时， 取得最小值，所以IACI+IDBI的最小值为 5-(-5]2+1-(-1)严-√26，所以1AC+1CD+1DB1的最小 值为2+√26.故答案为√2,2+√26. 参考答案 12.号解析：如图，以A为原点，AB,4C所 在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标 系，则直线BC方程为x+y-1=0,设 P(a,0)关于y轴和直线BC的对称点分 别为N,M,则N(-a,0),记M(xo,yo), o-0 =1, 则oa 解得o1, 1 （yo=1-a, 所以M(1,1-a).因为G为△ABC的重心，A(0,0),B(1,0),C(0, 1),所以G(行写)）由光的反射原理可知，M,心.G三点共线，所 1 以6w=6c即品了，解得a=0(合去)或e=了故答案 1 1+a1 3+a 为 13.解：(1)：直线2的方程等价于2x-y2 =0, 1 .两条平行线l1与l2间的距离d= a-（2) 75 √22+(-1)2 10 ,17 即a+2F2:a>0.a=3 (2)假设存在点P,设点P(x0,y),若点P满足条件②，则点P在与 ,6平行的直线：2-ytc=0上，其中c≠3，e2,且l6 5 ,1 1 *2 2 5 6 .13 11 240%+2=0或2400+6=0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式， 得2o+31=2.10+0-1 5 5 即12x0-y0+31=x0+y0-11,.x0-2y0+4=0或3x0+2=0. 若点P满足条件①，则3x+2=0不符合题意. ,13」 解方程组 20%+2=0, （x0-2y0+4=0, x0=-3, 得 1不满足点P在第一象限，舍去 0=2’ 1 .11 满足条件①. (x0-2y0+4=0, yo=18 存在点P(号积）同时满足三个条件 14.解：(1)点C(1,2)关于x轴的对称点C(1,-2),lcM:y=x-3,由 =-3,得x=5[3,5],则此时N(5,2),所以光所走过的路程 (y=-x+7, 即1C'N1=√(5-1)2+(2+2)7=42. (2)对于线段y=x+8,xe[3,5],令其端点A(3,5),B(5,3),则kc4= 子。=，所以反射光线的斜率的原值范圈是[子，子]】 （)若反时光线与直线了=垂直则由气化得 y=x-3, 黑白题31 ①当x=6+3 e[3,5],即6≤6≤7时，光所走过的最短路程为点C 到直线y=-x+6的距离，所以路程5=1-2-1_6+1 ②当x= 2(5,+如)，即6>7时，光所走过的最短路程为线段 CB,其中B(5,b-5), 所以s=1CB1=√/(5-1)2+(b-3)2=/62-6b+25 (b+1 6≤b≤7， 综上，s= √2 √/B2-6b+25,b>7. 压轴挑战 1.B解析：如图，设点F关于直线BC对称的点为H,点H关于直线AC 对称的点为G,连接FH,HG,GA,GE,GE与直线AC交于点N,连 接HA,HN,分别与直线BC交于I,J,由题意知，D在线段IJ之间即 可.因为F(2,0),直线BC的方程为x+y=4,设H(x,y),则 解得：=4所以H4,2),同理可得H关于直线AC对 2++=4, (y=2, 22 称的点G(-2,8).直线GE:x=-2.又直线AC的方程为x-y+4=0,所 2 以N(-2,2)直线M的方程为y=4-4)×(x+4)= 4×(x+4),即 12 (x-4y+4=0, 5 x-4y+4=0.由 得 (x+y=4, 所以（侣）又易得 y 5 8 -0 5 的方程为y=2,所以J(2,2),所以k0>m2 -=4.故选B. -2 5 、r (第1题) (第2题) 2(g) 解析：直线1的方程为2x+y-4=0,设0(0,0)关 2xm+”=4, 于2x+y-4=0的对称点为Q(m,n),则 22 解得 n-0 1 m-02, 16 m=5 /168 .如图，连接OP,PQ,过点P作PA⊥x轴于 8 故Q5,5 n= 5, 点A,则0P=P0,故1x|+√x2+y2=1OA|+I0P|=1OAI+IPQI,数形 结合得到当PQ∥x轴时，即P运动到P时，1x|+√x2+y2=IOA'1+ 1PQ1=0-乌为最小值，此时点P的纵坐标为，故2x+=4,解 得x=号，所以点P的坐标为(9，号)，故答案为5(g,令)） 选择性必修第一册·RJA 2.4圆的方程 2.4.1圆的标准方程 白题 基础过关 1.C解析：由题意可得方程为(x-1)2+y2=4.故选C 2.A解析：由A(1,3),B(3,-1),得线段AB的中点为(2,1)，即圆的 圆心为(2,1)，圆的半径r=√(2-1)2+(1-3)产=√5，所以圆的方程 为(x-2)2+(y-1)2=5.故选A 四重难点拨 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方 程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程 时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线 上；②圆心在任一弦的中垂线上：③两圆内切或外切时，切点与两圆 圆心三点共线， (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解。 3.D解析：设圆心为E(a,0),由IEAI=IEB1可得 √(a+1)2+(0-3)2=√(a-1)2+(0-1)2,解得a=-2,所以圆心为 E(-2,0),圆的半径为1EB1=√(-2-1)2+(0-1)7=√10，故所求 圆的标准方程为(x+2)2+y2=10.故选D. 4.B解析：因为直线2x-5y+a=0平分圆(x-2)2+(y+1)2=9的周长， 所以直线2x-5y+a=0经过该圆的圆心(2，-1)，即2×2-5×(-1)+a= 0,解得a=-9.故选B. 5.A解析：因为圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,所以圆C的圆心为(1,1)， 半径为r=√2.设点(1,1)关于直线1：y=x-1对称的点为(x0,0),所 1+0.1+0-1, 以 2,2解得=2所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为 Yo-xl=-1, (yo=0, x0-1 r=√2，故所求圆的方程为(x-2)2+y2=2.故选A 解析：因为△ABC的三个顶点A(0,0), B(0,5),C(2,0),所以△ABC为直角三角形，故三角形外接圆圆心为 斜边c的中点(，含）半径r=分18C1=2xV45: 2 所以圆的标准方程为(-)+（一名）广-孕故答案为(=1）： ()广-9 15折油题意得的中点为()，如 2-3 则线 1 段B的垂直平分线为y-吾=3×(：-），即y=3-5联立 5】 x+y3=0,解得x=2,即圆心C(2,1),所以该圆的半径为CA= y=3x-5, √(2-1)2+(1-3)2=5.故答案为5. 四方法总结 1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆 的方程的基本方法，是指根据题设条件选择合适的圆的方程的形式， 进而确定其中的三个参数 2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化 运算。 8.(x+1)2+(y-2)2=5解析：将(a-1)x-y+a+1=0整理成关于a的方 程a(x+1)-(x+y-1)=0,令关于a的方程各项为0，即x+1=0,x+y 1=0,解得x=-1,y=2,直线恒过定点C(-1,2),.以点C为圆心， 半径为5的圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 9.(x-1)2+(y-1)2=2解析：依题意，圆C经过点A(0,0),B(2,0), 黑白题322.1-2.3 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：60min 1.下列四个结论①方程k=2与方程y-2= 6.(多选)(2025·江苏泰州高二月考)若直线m x+1 被两条平行直线1：x-y+1=0与12：x-y+3=0 k(x+1)可表示同一条直线；②直线1过点 所截得的线段长为2√2，则直线m的倾斜角 P(),倾斜角为，则其方程为=x; 可以是 ( A.15° B.30° ③直线1过点P(x1,y1),斜率为0，则其方程 C.60° D.75° 为y=y;④所有直线都有点斜式和斜截式方 7.(2025·云南昆明高二月考)已知0<k<4,直 程其中正确结论的个数为 ( 线L1:x-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2- A.1 B.2 C.3 D.4 4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这 2.(2025·吉林长春高二月考)已知光线从点A 个四边形面积最小的k值为 (-2,1)射出，经直线x-y+10=0反射，且反射 1 光线所在直线过点B(-8,-3),则反射光线所 A. 2 B. 4 在直线的方程是 ( 1 A.x+11y+41=0 B.x-11y-25=0 D.1 C.11x-y+85=0 D.11x+y+91=0 7x-by=3, 3.(2025·福建南平高二月考)折纸艺术是我国 8.若关于x,y的二元一次方程组 有 ax+5y=2 民间的传统文化，将一矩形纸片OABC放在平 无穷多组解，则a与b的积是 ；若关 面直角坐标系中，0(0,0)，A(2,0),C(0,1), mx+9y=m+6, 于x,y的二元一次方程组 无 将矩形折叠，使点O落在线段BC上，设折痕 x+my=m 所在直线的斜率为k,则飞的取值范围是 解，则实数m三 9.若直线l1:y=kx+1与直线2关于点(2,3)对 A.[0,1] B.[0,2] 称，则直线2恒过定点 ,1与2的距 C.[-1,0] D.[-2,0] 离的最大值是 4.(2025·山东泰安高二期中)若直线11：2x-y+ 10.过点(2,3)的直线1被两条平行直线l1:2x 3=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线为l2, 5y+9=0与l2:2x-5y-7=0所截线段AB的 则12的方程为 ( 中点恰在直线x-4y-1=0上，则直线1的方 A.2x+y+1=0 B.x+2y-1=0 程是 C.x+y=0 D.x-2y+3=0 11.(2025·重庆巴南区高二月考)已知A(-3, 5.已知A,B两点的坐标分别为(1,0)，(-1,2)， 0),B(3,0)及两直线11：x-y+1=0,2:x-y 若两条平行直线1,12分别过点A,B,则11,2 1=0,作直线l3垂直于11，l2,且垂足分别为 间的距离的最大值为 ( C,D,则1CD1= IACI+ICDI+IDBI A.1 B.√2 C.2 D.22 的最小值为 第二章黑白题045 12.(2025·江西抚州高二月考)在等腰直角三14.一束光从光源C(1,2)射出，经x轴反射后 角形ABC中，AB=AC=1,点P是边AB上异 (反射，点为M),射到线段y=-x+b,x∈[3,5] 于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA 上N处： 反射后又回到点P,如图所示，若光线QR经 (1)若M(3,0),b=7,求光从C出发，到达 过△ABC的重心G,则AP的长度为 点V时所走过的路程； (2)若b=8,求反射光线的斜率的取值范围； (3)若b≥6，求光从C出发，到达点N时所 走过的最短路程。 13.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2: -4x+2y+1=0,L3:x+y-1=0,且1与12间的 东离是得 (1)求a的值. (2)能否找到一点P,使点P同时满足下列 三个条件： ①点P在第一象限： ②点P到11的距离是点P到l2的距离 剑 压轴挑战 ③点P到1，的距离与点P到l的距离 1.(2025·四川成都高二期中)如图，已知 之比是2：5. A(-4,0),B(4,0),C(0,4),E(-2,0),F(2, 若能，求出点P的坐标；若不能，请说明 O),一束光线从点F出发射到BC上的点D, 理由 经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE 上（不含端点），则直线FD的斜率的取值范 围是 A E OF B衣 A.（-∞，-2) B.(4,+∞) C.(2,+0) D. 2.(2025·山东咸海高二期 直线1：2x+y-4=0,P(x,y 点，则1x1+√2+y的最小值为 此时点P的坐标为 选择性必修第二册：RJA黑白题046