1.4.2 第2课时用空间向量研究夹角-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

面AB,E的距离即为点F到平面AB,E的距 D 离.又AB1=(0,3,3),设平面AB1E的法向量 n·AE=0, 为n=（x,y,z),则} 即 n·AB=0, {3x+2=0取=3，则m=(2,-3,3).易得 3y+3z=0, 成=(3,3，-1)，故点F到平面AB,E的距离d=n·。6 22 3产技诺米为3酒 11 6.(1)证明：如图，取A1B1的中点M,连接MQ,MP.在△A1B1C, 中，A1Q=QC1,A1M=MB1,QM∥B1C1,在四边形MPBB1中，MB1= PB且MB1∥PB,.四边形MPBB1是平行四边形，.MP∥BB1 :BB1∩B1C1=B1,BB1C平面BCC1B1,B1C1C平面BCC1B1, 又.MP∩MQ=M,MPC平面MQP,MQC平面MQP,.平面MQP∥ 平面BCC1B1.又，PQC平面MQP,∴.PQ∥平面BCC1B1. (2)解：如图，取AC的中点O,连接A1O,B0, △ABC为等边三角形，B0⊥AC. A. 平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC1A1∩平 面ABC=AC,∴.B0⊥平面ACC1A1,.B0⊥A1O,,A 在△A10A中，∠A140=60°，A1A=2,0A=1,易 得AC⊥A10,以0为原点，0A,OB,OA1所在直 线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则A1(0,0,5),A(1,0, 080s.0.d《-10.0P(30）0-10a- 丽-G8(-1月)4-(-1,0.o)-(分月 -3,A1B=(-1,w5,0),设平面APQ的法向量为n=(x,y,), (n·A10=-x=0, 取y=2,则n=(0,2,1),.点B1到 平面A,P0的距离d=n·AB2325 w55 压轴挑战 厅解折：由题盒，直线1为-受经过点P(,42),且m (1,-1,2)为一个方向向量，所以市=(-3,1，-1)，故点A到直线1的距 离d=√-（形·l)7。 -eT =√5故答案为5. 第2课时用空间向量研究夹角 白题 基础过关 1.C解析：因为两条异面直线的方向向量分别是4=(3,1，-2)，v= (3,2,1),所以4·v=3×3+1×2+(-2)×1=9,1w1= √32+12+(-2)2=√14，Iv1=√32+22+12=√14.因为两条异面直 线所成的角为0e(0,7],所以cs0=1om(u,)1=0i=号 al114' 所以sin0=瓜西故选C, 14 2.B解析：由题意建立如图空间直角坐标系，可得 A(0,0,0),B(1,0,1),A1(0,0,1),C(0,1,0),则 AB=(1,0,1),A1t=(0,1,-1),所以cos(AB, B A衣=1=-】因为两条异面直线所成角的 2x22 范酒为(0，受]，所以异面直线B,与AC所皮方 选择性必修第一册·RJA 角的余弦值为2故选B, 3.C解析：如图，设上底面圆心为01，下底面圆心 A 为0，连接001,0C,0B,01C1,0,B1,由底面扇 环所对的圆心角为受，而的长度是屁长度的 2倍，CD=1,可知0C=1,以0为原点，分别以 OC,OB,O01所在直线为x轴、y轴、z轴建立空 D 间直角坐标系，则C1(1,0,4),A(0,2,0),B(0,1, 0),D1(2,0,4),41(0,2,4),则41D=(2,-2,0),BC=(1,-1,4),所 以cos(A1D,BC= A1D·BC 2+2 A1D11BC1√4+4×√1+1+16 3又异面 直线所成角的范国为(0，受]，故异面直线AD与BC,所成角 的正激值为（行厂-2故选c 4,A解析：设直线AB与平面a所成的角为0，则sin0=Icos〈A, 选A. 5.B解析：如图所示，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则A1(1,0,1),B(1,1,0), D1(0,0,1),C1(0,1,1),所以BA=(0,-1,A 1),BC=(-1,0,1),BD=(-1,-1,1).设平 面BCD1的一个法向量为n=(x,y,z),直 A 线A1B与平面BC,D1所成的角为aa∈ 》。 '令x=1,则y=0,z=1,即n= (1,0,1),所以sina=lcos(n,BA)1= In·BAi1 1l·1BA12x√22，所 以a=T,故选B, 6 6.5m 11 解析：依题意可得1m(a,1,a=如石，即 5Wa2+1 分解得a3攻5（合激答案为酒 13al 1 7.(1)证明：由题意得C1B1∥A1D1,C1B1￠平面ADD1A1,A1D1C平 面ADD1A1,所以C,B1∥平面ADD1A1.又因为C,B1C平面B1C,EF, 平面B1C,EF∩平面ADD1A1=EF,所以C,B1∥EF,所以EF∥A,D1. (2)解：因为BB1⊥平面AB1C1D1,AB1⊥A1D1,A1D1∥C1B1,可 得A1B1⊥C1B1,故以点B1为坐标原点，分别以A1B1,CB1,BB1所 在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,0), C1(0,4,0),E(2,2,1),B(0,0,2),所以B1C=(0,4,0),B12= (2,2,1),BC=(0,4,-2).设平面B1C1EF的法向量为n=(x B1C1·n=4y=0, y,),则 故可取n=(1,0,-√2).设直线BC1 B1E.n=√2x+2y+z=0, 与平面B1C,EF所成的角为0，则sin0=Icos(BC,n〉1= G·m25X55,故直线BC,与平面A,CEF所成的角 1BC1·nl2W2√30 的正弦值为V30 15 黑白题12 8.（1)证明：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD 一号，所以△BAD与△BCD均为正三角形 如图，取BD的中点O,连接OA,OC,则 OA⊥BD,OC⊥BD.因为AB=2,所以OA= 0C=√3.因为0A2+0C2=6=AC2,所以0A⊥ 1 OC.又BD∩OC=O,BD,OCC平面BCD,所 B6- 以OA⊥平面BCD.因为OAC平面ABD,所 以平面ABD⊥平面BCD. (2)解：由(1)可知，OA,OB,0C两两垂直.以0为坐标原点，0B,0C, OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0, 3),B(1,0,0),C(0,3,0),D(-1,0,0).因为E是CD的中点，所以 (分算o所以威(-10,5.成(-15,0.证 (咨0）设m=(一)为平面c的法向显，则 (m·成=x+3=0,令y=1,得x=5,=1,所以m=(5,1,1).设 m·Bt=-x+3y=0, 直线BE与平面ABC所成角为日，则sin0=Icos(B2,m〉1= 35√3 B应ml 22 5 1BE1·|ml √5x5 =行，所以直线BE与平面ABC所成角 的正弦值为 5 9.C解析：由向量n1=(2,1,-3)与n2=(1,-3,2),得cos(n1,n2)= n1·n2 2×1+1×(-3)+(-3)×2 2,又0≤(m1, 1n111n2√22+12+(-3)2×V2+(-3)2+2 ,>≤，则(，)-号所以平面a,B的夹角的大小为号故选C 10.23 解析：如图，以C为坐标原点，CA,CB 3 CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空 间直角坐标系，则C(0,0,0),B1(0,1,2), B(0,1,0),.CB=(0,1,2),Ci=(0,1,0).D 设AD=a(0≤a≤2)，则点D的坐标为(2,0， a),Ci=(2,0,a).设平面B1CD的法向量 为m=（,,),则m·B=0,y*2z=0,令z=-1,得m {m.i=0→2x+e=0, (号，2-1又平面CDC的-个法向量为=(01,0)，记为m, 则由c0830°=m·。 2 ImlInl V4+4+1 故答案为2 去)，放A0=23 3 四易错提醒 利用向量法求二面角大小的注意点： (1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明； (2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该 法向量是否已经隐含着，不用再求； (3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形，以防结 论失误. 11.3 解析：以O为坐标原点，以OC,OA,OS所在的直线分别为x, y,z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示.因为S0=AB=4,AC=BC,可得S(0,0,4),B(0,-2,0), C(2,0,0),则S=(2,0,-4),B元=(2,2,0).设平面SBC的法向量 参考答案 为n=(x,y,),则 m·5衣=2-4g=0,令=2，可得y=-2,=1,所 n.Bt=2x+2y=0, 以n=(2,-2,1),平面SAB的一个法向量为0亡=(2,0,0)，设二面 角A-SB-C的大小为0，由图可得0<0<分，则c0=1(n, 心)1二n:OC=子，所以二面角A一B-C的余弦值为名故答案 为 C I2.(1)证明：因为PD⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PD⊥AB.又 因为AB∥CD,∠ADC=90°，所以AD⊥AB,而AD∩PD=D,且AD, PDC平面PAD,所以AB⊥平面PAD. (2)解：因为PD⊥平面ABCD,AD,CDC平面ABCD,所以PD⊥CD, PD⊥AD.而CD⊥AD,所以建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0),P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0).由(1)可 知AB⊥平面PAD,所以平面PAD的法向量为A=(0,1,0),设平面 PBC的法向量为n=(x,y,z),P克=(2,1，-2)，P元=(0,2，-2)，则有 n·Pi=0,2+y2z=0,令x=1,可得y=2,=2,所以n n.Pt=012y-2z=0, (1,2,2).设平面PAD与平面PBC夹角为0，cos0= AB·n」 ABI×lnl 1x44号，所以平面PMD与平面P9C夹角的余弦值为子 2 13.(1)证明：由题意可知AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,以A为坐标原点， 以AC,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直 角坐标系.因为PA=AB=AC=1,所以A(0,0,0),B(0,1,0), C(1,0,0),P(0,0,1),所以A元=(1,0,0)，Pi=(0,1,-1),即A元. P克=1x0+0×1+0x(-1)=0,所以A花⊥P克，即AC1PB. (2)解：因为底面ABCD为平行四边形，所 以AB=CD,AC⊥CD,故D(1,-1,0).因为 成E是m的中点成E(分宁号）上 所以A应= (分，宁分)设平面c的的 A2·n=0 1 1 法向量为n=(x,y,z),所以 所以〈 2*2y+2=0, a元.n=0 (x=0 x=0, 取z=1,可得{y=1,所以平面AEC的一个法向量为n=(0,1,1).由 z=1, 题意可知，平面ABC的一个法向量为A市=(0,0,1)，因此c0s(A, n〉s 产：”m女2号放两法向量的夹角为圣限泉。 面角为能角，所以二面角E-4C-B的大小为 黑白题13 四方法总结 合理建立空间直角坐标系： (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间 直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的 三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不 存在这样的三条直线，那么应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为 两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相 交直线为基本出发点 (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直 关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合 理的位置建立空间直角坐标系. 黑题 应用提优 1.ACD解析：因为a,b分别是直线l1,l2的方向向量，且cos〈a,b〉= -,记直线1，所成的角为0，则cs0=1@sa,b)1=,放A正 1 确；因为a,b分别是直线1的方向向量与平面a的法向量，且cos(a, b》=一4，设直线1与平面a所成的角为p,则有如甲=m(a, ,故B错误，D正确；因为a,b分别是平面a,B的法向量， b)1= 且cos(a,b）=-4,设平面a,B所成的角为4，则8不大于 90,es=1s(a,b1=故C正确故选ACD 2.C解析：建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2,则A(0,0,0) P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),B(2,0,0).因为F,E分别为PC CD的中点，所以F(1,1,1),E(1,2,0),所以B=(-1,1,1),P克= (1,2,-2),AB=(2,0,0).设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则 n·AB=2x=0, In.BF=-x+y+2=0, 设y=1,则z=-1,x=0,所以平面ABF的法向量 为n=(0,1,-1).设直线PE与平面ABF所成角为0，sim0=1cos(P应， P.nl 10+2+21 n〉l= 425故选C 1P21.Iml√1+4+4·0+1+I3W2 3 四方法总结 (1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①通过直线的方向 向量来求，即分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量，转 化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；②通过平面的法向量来求， 即求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是 直线和平面所成的角。 (2)若直线1与平面α的夹角为0，直线1的方向向量1与平面α的法 向量n的夹角为B,则0= 号-B或0=B-牙，放有血0=1mB1= II.nl IZIl 3.ABD解析：选项A:连接A1C交AC1于F,连 接DF,由题意可知F为A,C的中点，又D为 BC的中点，故AB∥DF.又A,B￠平面ADC1, DFC平面ADC1,故AB∥平面ADC1,故A正 确；选项B:由题意△ABC为等边三角形，D为 BC的中点，故AD⊥BC.又棱柱ABC-A1B1C1为 直三棱柱，所以AD⊥BB1.又BC∩BB1=B, 选择性必修第一册·RJA BCC平面BCC,B1,BBC平面BCC1B1,故AD⊥平面BCC,B1,又 C,DC平面BCC1B1,故AD⊥CD,故B正确；选项C:如图建立空间 直角坐标系，则D0.,0.0),c0,-1,0),E(01,号）因为0-2x 9,所以4w,0o,房-(1，o0成-(o1） 设异面直线AC与DE所成角为a,则csa=Icos(A花，D)1= 1-1川 ,故C错误；选项D:由题意 6 2 √-3)2+(-102×1+2 易得平面ABC的一个法向量为i=(0,0,1),C1(0,-1,2),Di= (3,0,0),DC=(0,-1,2),设平面ADC1的法向量为j=(x,y,z), 则形：耐0，即5x=0, U.DC=0,(-1xy+2z=0, 设y=√2，则x=0,z=1,故j=(0, 2,1).设平面ADC1与平面ABC的夹角为B,则cosB=1cos(i,j》1= 2元，敢m=1B1得》 故 amB=B-2,故D正确，故选ABD. cos B 4.2 解析：根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0, 0),B1(2,0,2),D1(0,2,2),C1(2,2,2),D(0,4,0),P(1,3,1),所以 D1P=(1,1,-1),AB=(2,0,2),AD=(0,2,2).设平面AB1D1的法 n·AB=2x+2z=0, 向量为n=(x,y,z),则 则平面AB1D1的一个法 n·AD=2y+2z=0 向量n=(1,1,-1),所以D,产∥n,即直线D1P1平面AB,D1,所以直 线D,P与平面B,D所成角的大小为受故答案为2 四方法总结 (1)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在 平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大 小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角. (2)利用向量法求二面角的大小的关镀是确定平面的法向量，求法向 量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与 平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解。 5.[行号]解折：如图，以D为坐标原点， D 建立空间直角坐标系，设DA=2,则B(2,2,A 0),C(0,2,0),E(0,0,1),F(1,0,0),A1(2, -EM 0,2).设C7=tCA=(2t,-2t,2)(0≤t≤1)， D 则BM=B元+Ci=(2-2,-2,2x),则cs0= A Icos(BM,EF)I=- 2 2×√(2-2)2+812 (0≤1≤1).当：=号时，m9取到最大值 1 此时0=石：当=1时，0s0取到最小值2，此时0=写所以0的取 值范围为[石，号]故答案为[行，号]】 黑白题14 四方法总结 (1)求异面直线所成角的思路： ①选好基底或建立空间直角坐标系 ②求出两直线的方向向量1,2； I1·v21 ③入公式1o(,)1-,,求解 (2)两异面直线所成角的关注点： 两异面直线所成角的范围是(0,2」，两向量的夹角的范围是[0， π]当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线 的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直 线的夹角。 6.(1)证明：由题意得，以A为坐标原点，以AB,A亡，A4A的方向分别为x, y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.设AB=2,则B(2,0, 0),M(0,2,1),A1(0,0,4),C(0,2,0),所以BM=(-2,2,1),A1t= (0,2,-4),所以BM·A1亡=2×2-4=0，所以BM1A1C. (2)解：由(1)得AB=(2,0,0),AM=(0,2,1),BA=(-2,0,4).设平 面ABM的一个法向量为n=(x,y,z),则{ ·0即2=0取 n.Ai=0,12y+z=0, n=(0,1,-2),设直线BA1与平面ABM所成的角为6，则sin0= Icos(BA,1=_ n·BA 8 Inl·IBA1√5·20 子所以直线刷与平 面ABM所成角的正弦值为4 B 7.(1)证明：在三棱台ABC-A1B1C1中，A1A⊥平 面ABC,AB⊥AC,显然直线AB,AC,AA1两两垂 B 直，以点A为原点，直线AB,AC,AA1分别为x, y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由 AB=AC=AA1=2,A1C1=1,得A(0,0,0),B(2,0, 0),C(0,2,0),B1(1,0,2),C1(0,1,2),由M,N 分别是BC,BA的中点，得M(1,1,0),N(1,0, 0),则B1B=(1,0,-2),C1M=(1,0,-2),所以B1B∥C1M.因为点 C1年直线B,B,所以B1B∥C1M.又B1BC平面C,MA,CMC平面 C1MA,所以B,B∥平面C1MA (2)解：由(1)知，AM=(1,1,0),CM=(1,0,-2),Ni=(0,1,0),设 平面C,M的法向量m=(a6,e,则m·矿at场=0， (m·C1M=a-2c=0, 令c=1, 得m=(2,-2,1).设平面C1MW的法向量n=(x,y,z),则 n·N7i=y=0, 令z=1,得n=(2,0,1).设二面角A-C,M-N的 (n·C,M=x-2z=0. 大小为0，则1cas01=1cs(m,n）1=mnl-5=5 1m1m3x53,所以二面 角A-CM-N的正弦值s咖0=-c0s29=2 1 8.(1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD,又因为侧面PAD⊥ 底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,CDC平面ABCD,所以CD⊥ 平面PAD,而AMC平面PAD,所以CD⊥AM.又侧面PAD为正三角 形，M是PD的中点，所以AM⊥PD.又PD∩CD=D,PD,CDC平面 PCD,所以AM⊥平面PCD. (2)解：取AD中点O,连接PO,则P0⊥AD,又因为侧面PAD⊥底 面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,POC平面PAD,所以PO⊥平 参考答案 面ABCD,以0为原点，过0O平行于AB的直线为x轴，OD,OP所在直 线分别为y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=a,AD=2, 0,则8(a,1,0),P0.0,)40,1,0,D0.1,0),M0,7 受），所以成(a1,5),平面A8CD的-个法向量是1=(0.0， ).因为PB与平面8CD所成角的正弦值为所以1c(成，1： IBP.tl /3 市3解得a2(负值巴含去)，所以脉(-2 15).又因为-(0,22)，所以m(成，耐=矿命 3√3) IAMIIBPI 3,3 0+ 22 3x√⑧ 4 ,所以直线AM与直线PB所成角的余弦值为 9.(1)证明：以D为坐标原点，DA,DC,DE所在直线分别为x轴、y轴 z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), C(0,1,0),E(0,0,1),F(1,1,1),.E=(0,1,-1),Di=(1,0,0), E元.DA=0, D求=(1,1,1)，则{ .EC⊥DF,EC⊥DA.DAn E元.DF=1-1=0, DF=D,DA,DFC平面ADF,.EC⊥平面ADF. (2)解：存在，点G为线段EC上靠近点E的三等分点.理由如下：设 E武=AE元(0<A<1),则点G的坐标为(0，A,1-),Dd=(0,A,1-A) 设平面GB的法向量为m=(m,则a:1+(1-)=0,令 n.DB=m+n=0, n=1-入，则m=A-1,t=-入，则n=(A-1,1-A,-A).平面GBD与平 面ADF的夹角为45°，且平面ADF的法向量为E元-(0,1，-1)， cos450=1n·Ed1 1 m迈：+21元经0cA<1,d由 3心G为线段EC上靠近点E的三等分点 压轴挑战 B解析：如图，取BD中点O,连接AO,CO,则C0⊥BD,AO⊥BD,AB= BD=DA=4,BC=CD=22,则C0=2,A0=23,于是∠A0C是二面角A- BD-C的平面角，显然BD⊥平面AOC,在平面A0C内过点0作Oz1 OC,则BD⊥Oz,直线OC,OD,Oz两两垂直，以0为原点，直线0C,OD, 0z分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则B(0,-2,0),C(2,0,0), D0,20).设=面角4-B0-C的大小为0,0e[g,号]，因此 A(23cos0,0,23sin0),B=(23cos0,2,23sin8),Ci=(-2,2,0), 于是csa=1cs(B,C动1=B.C动_14-43cs1I1-3os0l 1Bi11Ci14×22 22 显袋m6e[台咨]，则当m=学时，(man径质以ma 21 的最大值为故选B, 黑白题15第2课时用空间向量研究夹角 白题 基础过关 限时：60min 题组1异面直线所成的角 题组2直线与平面所成的角 1.(2025·陕西铜川高二月考)已知两条异面直 4.已知空间向量AB=（1,0,-1),平面a的一个 线的方向向量分别是u=(3,1,-2),v=(3,2, 法向量n=(0,1,1),则直线AB与平面a所成 1),则这两条异面直线所成的角0满足( 角为 A.sin 0= 9 B.sin 0=1 B.3 2T 4 C.3 D. 6 C.cos 0=9 4 D.o0 5.（2025·河南郑州高二月考)在正方体 ABCD-ABC,D1中，直线A,B与平面BC,D 2.（2025·福建厦门高二期中)如图，在直三棱 所成的角为 柱ABC-A,B,C,中，△ABC为等腰直角三角 人胃 6 C. 形，且AB=AC=AA=1,则异面直线AB1 4 与A,C所成角的余弦值为 ( 6.设平面a的一个法向量为n=(a,0,1),直线l 的一个方向向量为d=(3,-4,0),若直线1与 1 2 B.2 C 2 √5 3 D. 3 平面a所成的角为石，则正数a= 7.（2025·河北邢台一中高二月考)如图，在侧 棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AD∥BC,AD⊥AB,AB=√2，AD=2,BC= 4,AA1=2,点E是DD1的中点，点F是平面 BC,E与直线AA1的交点. (第2题) (第3题) 3.(2025·吉林长春高二月考)“曲池”是《九章 (1)证明：EF∥AD1; (2)求直线BC,与平面B,C,EF所成的角的正 算术》中记载的一种几何体，该几何体是上、 弦值 下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被 扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲 池，AA1⊥平面ABCD,AA,=4,底面扇环所对的 圆心角为)，AD的长度是BC长度的2倍，CD= 1,则异面直线AD1与BC,所成角的余弦值为 1 B② 3 22 C. 3 4 第一章黑白题019 8.(2025·湖北宜昌高二期中)在菱形ABCD中，12.(2025·山东东营高二月考)如图，在四棱锥 ∠BAD=?,AB=2,将菱形ABCD沿着BD翻 P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB∥CD, ∠ADC=90°，且AD=CD=PD=2AB=2 折，得到三棱锥A-BCD,如图所示，此时 (1)求证：AB⊥平面PAD; AC=√6. (2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. (1)求证：平面ABD⊥平面BCD: (2)若E是CD的中点，求直线BE与平 面ABC所成角的正弦值. 题组3面面角与二面角 13.（2025·广东深圳高二期中)如图，在底面为 9.(2025·山东东营高二月考)已知平面，B的 平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC, 法向量分别为n1=(2,1,-3),2=(1,-3,2), PA⊥平面ABCD,且PA=AB=AC=1,点E是 则平面α，B的夹角的大小为 ( PD的中点 A. c骨 D.a (1)求证：AC⊥PB; (2)求二面角E-AC-B的大小. 10.如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，∠ACB= 90°，AC=AA1=2BC=2,D为AA1上一点若二 面角B1-DC-C1的大小为30°，则AD的 长为 (第10题) (第11题) 11.(2025·河南洛阳高二月考)如图所示，在圆 锥S0中，AB是底面圆直径，且S0=AB= 4,AC=BC,则二面角A-SB-C的余弦值为 选择性必修第-册：RJA黑白题020 黑题应用提优 限时：60min 1.(多选)已知cos(a,b)=4,则下列说法正确 的是 ) A.若a,b分别是直线l1,l2的方向向量，则直 线4,4所成角的余弦值是4 (第3题) (第4题) B.若a,b分别是直线l的方向向量与平面α 4.（2025·陕西铜川高二期中)如图，在四棱 的法向量，则直线1与平面α所成角的余 台ABCD-AB1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,底 面ABCD为正方形，AB=2AA1=2A1B1=4,P为 骏值是 线段C,D的中点，直线D,P与平面ABD,所 C.若a,b分别是平面a,B的法向量，则平面 成角的大小为 5.(2025·陕西西安高二期中)在正方体 a,B所成角的余弦值是 4 ABCD-A,B,C1D1中，动点M在线段AC上， D.若a,b分别是直线l的方向向量与平面 E,F分别为DD,AD的中点.若异面直线EF 的法向量，则直线1与平面α所成角的正 与BM所成角为6，则0的取值范围 弦值是4 为 6.(2025·重庆南岸区高二期中)在直三棱 2.（2025·山东济宁高二月考)在四棱锥P- 柱ABC-A1B,C,中，△ABC为等腰直角三角 ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面 形，AB⊥AC,AB=AC,AA1=2AB,点M在侧棱 ABCD,PA=BC,E,F分别为CD,PC的中点， cC,上，且满足Cm=1cC 4 则直线PE与平面ABF所成角的正弦值为 ( (1)求证：BM⊥AC; (2)求直线BA,与平面ABM所成的角的正 B② 3 G32 D. 3 6 弦值. 3.（多选)(2025·山东日照高二月考)如图，在 底面为等边三角形的直三棱柱ABC-A,B,C 中，AC=2,BB1=√2，D,E分别为棱BC,BB1的 中点，则 ( A.A,B∥平面ADC B.AD⊥C1D C.异面直线AC与DB所成角的余弦值为10 D.平面ADC1与平面ABC的夹角的正切值 为2 第一章黑白题021 7.(2025·四川南充高二月考)在三棱台9.(2025·安徽蚌埠高二月考)如图，四边形 ABC-AB,C1中，若A,A⊥平面ABC,AB1 ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD, AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,M,N分别是 FB⊥平面ABCD,且ED=FB=1. BC,BA的中点 (1)求证：EC⊥平面ADF (1)求证：B,B∥平面C,MA; (2)在线段EC上是否存在一点G(不含端 (2)求二面角A-C,M-N的正弦值 ,点)，使得平面GBD与平面ADF的夹角 为45°？若存在，指出点G的位置；若不 存在，请说明理由. 8.（2025·广东广州高二月考)在四棱锥 P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧面 PAD为正三角形，底面ABCD为矩形，M是 PD的中点，且PB与平面ABCD所成角的正 弦值为 压轴挑战 (1)求证：AM⊥平面PCD; (2025·四川成都外国语学校高二期中)如图， (2)求直线AM与直线PB所成角的余弦值. 四边形ABCD,AB=BD=DA=4,BC=CD=2√2， 现将△ABD沿BD折起，当二面角A-BD-C的 大小在[后号]时，直线AB和cD所成角为2， 则cosa的最大值为 A. 2√2-√6 B.2 c.22+v6 16 D.6 16 8 8 进阶突破拔高练PO5 选择性必修第一册·RJA黑白题022