1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

所u=(1，号1）所以i=P+(子)+(-2= 知m 11.(1)证明：如图，取线段AB的中点M,连接ME,MG.在菱形ABCD 中，点E为线段CD的中点，∴.ME∥AD.又ME￠平面PAD,ADC平 面PAD,∴.ME∥平面PAD.又△PAB中，点G为线段PB的中点， 点M为线段AB的中点，∴.MG∥PA.又MGt平面PAD,APC平面 PAD,.MG∥平面PAD.又ME∩MG=M,且MG,MEC平面MEG, ∴.平面MEG∥平面PAD.又EGC平面MEG,∴.EG∥平面PAD. (2)解：连接BD和AC,交于点O,过点O作 直线OH垂直于平面ABCD,如图，以O为坐 标原点，以向量0i,0成，0i为x,y,z轴的正 H 方向建立空间直角坐标系，则A(5,0,0), A C(-3,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),x D M B w0,2.F(停小.c(停 1,设Cd=A.C=(23A,0,2),则Q(23x-3,0,2A),故Ad= (25入-23,0,2A),依题意可得向量A与A市，A花共面，A市= (宁)衣=（分小所以存在实数使得 衣n亦+n花=（咨(m+n).分(m-a),m+n）则 y(m+m)=23A-23 1 2(m-n)=0, 解得a=A=子，则Q(停0，号) m+n=2λ 且5，o,2,则0=√(2+0+(3-号 压轴挑战 解：连接BD,BG.A=Pi-Pi且A店=D元，.Dt=P-Pi:P元=Pi+ 成成=励成--成+i+成肥分市号成 子(-成+动)=子成+}成+号成又：应=成-成，应 号成兮成+号成船m衣=m:-成+号成 g成成应市成-(-智i(g-1成* g戒汉：B,CP.D因点共面1智-0，即a=子 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 白题基础过关 1.C解析：P=(-2,-1,1),则直线PQ的方向向量为AP=(-2入， -A,入)（入≠0），逐项分析即可知只有C符合要求故选C 2.A解析：A店=(-1,1,0)，A元=(-1,0,1)，设平面ABC的法向量为 n=(,.则：店0则=y,只有A选项符合枚 气n.At=-x+z=0, 选A. 3.B解析：符合条件的P应满足A·n=0,对于A,A=(-1,3,-1), A币.n=-1+6-3=2≠0；对于B,A=(1,1,-1),A·n=1+2-3=0: 对于C,=(-1,2,-3),4应·n=-1+4-9=-6≠0；对于D,A2= (-1,0,-1),A.n=-1+0-3=-4≠0，故选B. 4.A解析：在空间直角坐标系中，A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4), 选择性必修第一册·RJA D(4,1,3),A店=(-2，-2,2)，Ci=(1,1,-1),.A=-2C.又AB 与CD不在同一条直线上，.直线AB与CD平行.故选A 5.C解析：由题意直线1的一个方向向量与平面αx的一个法向量的数 量积为-2×3+1×3+(-1)×(-3)=0，所以l∥a或1Ca.故选C. 6A解折：若aa,则m所以号名-子解特a=2=号 2 故a+2b=2-3=-1.故选A. 7.(1)解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则A(3,0,0), C(0,4,0),D1(0,0,2),故Ad=(-3,4,0),AD=(-3,0,2),设平 面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则有 m·A花=-3x+4=0,令x= n·AD=-3x+2z=0, 4,则y=3,z=6,所以n=(4,3,6),所以平面ACD1的法向量为(4,3,6) (2)证明：易知A(3,02).8(34,2),则P(34,1）,放4方 (号4，-1），因为a…市-6+12-6=0，所以a14市又4Pt 平面ACD1,所以A,P∥平面ACD1· 8.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平 面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.因为四边 形ABCD为矩形，所以AB⊥AD,所以AB, AD,AP两两垂直，所以以A为原点，分别 以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系，如图所示，则有B(2,0,0),B D(0,2,0),P(0,0,2),则C(2,2,0).因 为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点，所以M(1,1,1),N(1,0,0), Q(1,2,0),所以M=(0,-1,-1).因为平面P4D的一个法向量 为m=(1,0,0),所以M成.m=0,即M衣1m.又因为MW丈平面PAD, 所以MN∥平面PAD. (2)因为Q成=(0，-2,0)，所以Q.m=0,所以Q1m.又QN￠平面 PAD,所以QN∥平面PAD.又因为MN∩QN=N,MN,QNC平面MNQ, 所以平面MNQ∥平面PAD. 9.D解析：a⊥B,∴.a⊥b,∴.a·b=-2-8-2k=0,解得k=-5.故选D. 10.D解析：因为u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量，n= （,23)是平面a的法向量，且11a,则a则子-2-兮，所 2 15 以a+h=6解得 2 a-b=9. 因此a+26=+2×（子）=故 b= 选D. 11.1解析：建立如图空间直角坐标系，设正 方形ABCD的边长为1，PA=a,则B(1,0, 0),8(分1.0）P(0.0,a,设F0, 因为BF1PE,所以成.p店- 2+y=0, 所以y=子，即F(o,,0）,是D的中点，故0 12.证明：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1),故AB=(0,1,-1), A1C1=(-1,1,0),DB,=(1,1,1).设平面ABC的法向量n=(x, y,z),则A⊥n,A1C⊥n.故A1B·n=0,A1C·n=0,即y-z=0, 黑白题08 -x+y=0.取x=1,则n=(1,1,1),故有n=DBDB1⊥平面A1BC1 A 13.(1)解：因为EC⊥平面ABC,CBC平面ABC, 所以EC⊥CB,以C为原点，CB,CE所在的直 线分别为y,z轴建立如图所示的空间直角坐 标系，则C(0,0,0),A(5,1,0),B(0,2,0), E(00,2),D(02,1),所以E=(3,1,-2),x C=(0,0,2),Ei=(0,2,-1),设平面DEA的 -个法向量是m=(a,6,则m·3a+6-2=0,令6=1，则 (n·Ei=2b-c=0, n=(3,1,2),所以平面DEA的一个法向量为(3,1,2)（答案不 唯一). (2)证明：设平面ECA的一个法向量是m=(x,y,z),则 m·=3+y2z=0,令x=1,则m=(1,-5,0),因为m·n= (m·C正=2z=0, 1×√/5+(-√3)×1+0×2=0，所以m⊥n,所以平面DEA⊥平面ECA. 四方法总结 1.用向量证明平行的方法： (1)线线平行：只需证明两直线的方向向量是共线向量， (2)线面平行：证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，或证 明直线的方向向量与平面的法向量垂直 (3)面面平行：证明两平面的法向量是共线向量 2.用向量证明垂直的方法： (1)线线垂直：只需证明两直线的方向向量互相垂直 (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量. (3)面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直. 14.(1)证明：以D为坐标原点，Di,D元，D的方向分别为x轴、y轴、 z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）， 设AD=a,则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a, 0,E(,0,P0,0,r( 0),所以.成-（，0,）(0， 0)=0,所以EF⊥CD. （2)解：因为Ge平面PAD,设c(x,0),所以F=(,2 g)由(1)知i=(a,00),d本=(0，-a,a).因为cF1平面PCB, a" 所以x=?,=0,所以点c的坐标为（乞，0,0），即点G为AD的 中点 黑题应用提优 1.B解析：由题意，选项A,若a∥b,则a,b共线，a·b≠0，A错误； 选项B,若b∥B,则b,n垂直，故b·n=0,B正确；选项C,若a1心，则 a,m共线，a·m≠0，C错误；选项D,若a∥B,则m,n共线，m·n≠ 0,D错误故选B. 2.B解析：依题意，e⊥n1,e⊥2，则e·m1=入-2=0，e·n2=--2=0, 参考答案 解得A=2,4=-2,因此X+h=0,入=4,4=-4，入=-1，ACD正确， B错误故选B. 3.D解析：构建如图所示的空间直角坐标系， 连接DC1,设正方体的棱长为1，则D(0,0, 0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0) C1(0,1,1),令F(a,1,1-a)且0≤a≤1，故 A1市=(a-1,1,-a),而B1方=(-1，-1，-1)， B=(-1,-1,0),DC=(0,1,1),所以 A A1市.B1i=1-a-1+a=0,即A1市1B1i,故 D正确：显然A,F在由相交线A,F和BC,所成的平面上，且B,D与 该平面有交点，故F在线段BC1上移动过程中AF可能与B,D相 (a-1=-入， 交，B错误；若A市=入B且A∈R,则{1=-入，不存在这样的A -a=0x入， 41市.Bi=1-a-1=0, 值，A错误；若A1市⊥平面BDC1,则 4市.DC=1-a=0, 显然不存 在这样的a值，故C错误.故选D. 4,ABD解析：在正方体ABCD-A1B1C,D1中，建立如图所示的空间直 角坐标系，设AB=2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B1（2,2,2), C1(0,2,2),E(2,1,1),F(1,2,1),E7=(-1,1,0),对于A,BB=(0, 0,2),E京.BB=0,EF⊥BB1,A正确；对于B,D=(2,2,0),则E市· D克=O,EF⊥DB,而DB0BB1=B,DB,BB1C平面BDD,B1,因此EF⊥ 平面BDD1B1,B正确；对于C,C1D=(0,-2,-2),cos(E京，C1b)= E求.Cb-21 1c方2.222因此与C的夹角为120，c错误： 对于D,由BB11平面A1B1C1D1,得平面A1B1C1D1的一个法向量 BB=(0,0,2),又E京.BB=0,EF丈平面A,B1C,D1,因此EF∥平 面A1B1C1D1,D正确故选ABD. 5.-1解析：因为a∥B,所以1∥42，所以41=入42，即(-3，y,1)= 1 -3=6入， λ(6，-2，z),所以 y=-2入，解得 所以y+z=-1.故答案 y=1, 1=入z, z=-2. 为-1. 6.(1)证明：设AB的中点为E,如图①，连接PE,PQ,CE,因为P为A1B 的中点，Q为C,C的中点，所以PE∥A1A,PE=2AA,QC=2CC, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A∥C1C,A1A=C1C,所以A1A∥QC, 且A1A=2QC,所以四边形PECQ为平行四边形，则PQ∥EC.又PQ￠ 平面ABC,ECC平面ABC,所以PQ∥平面ABC.又平面A1BQn平 面ABC=l,PQC平面A1BQ,所以PQ∥1 ① ② (2)解：在直三棱柱ABC-A1B1C,中，CC,⊥平面ABC,BC⊥AC,所以 以C为原点，以CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角 黑白题09 坐标系，如图②，因为CA=CB=M,=1,所以B(0,1,0),Q(0,0, 1),A1(1,0,2),A(1,0,0),则BA1=(1,-1,2),A1=(-1,0,-1), AB=(-1,1,0),又B=ABA(0≤A≤1)，则B=(入，-A,2),所以 (AP.BA=0, A市=A成+B=(X-1,1-入，2A).又AP1平面A1B0,则 a.A10=0, 则以2以200解得入号 1 压轴挑战 3√205 解析：如图，以DA,DC,DD1所在直线 41 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0, A 0),B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(2,0, 3),B1(2,1,3),C1(0,1,3),D1(0,0,3),可得 A花=(-2,1,0)，A=(0,0,3),A1B=(0,1, -3),B1C=(-2,0,-3),A1B=(0,1,0),设平 面A1ACC1的一个法向量为n=(x,y,z),则 n·花-2x+y=0取x=1,则y=2,=0,即 (n·AA=3z=0, n=(1,2,0).设A1M=AA1B=(0,A,-3A),B1=uB1乙=(-2μ，0，-3μ)， 则M=MA+A1B+B1=(-2μ，1-A,3入-3)，因为直线MW∥平 面A1ACC1,则M1n,可得M亦·n=-2μ+2-2A=0,解得4=1-入，则 M=(2A-2,1-A,6A-3),可得1M12=(2A-2)2+(1-A)2+(61-3)2= 4-4614=4(A）广行≥行，当且仅当A--=时， 23 :取得最小位货，即Mw的长度的最小值为3西故答案 41 为3V205 41 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空间向量研究距离 白题 基础过关 1.B解析：由题意，B元=0心-0成=(1,1,1)-(1,0,2)=(0,1，-1)，所以与B武 同方向的单位向量e=(0,2,2 2√2 又=(0,0，-2)，所以点A到直 线c的距离d=@-(@e妒=√4+[(-2x()门 √2故选B. 2.C解析：以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,:轴，建立 如图所示的空间直角坐标系，则B(2,2,0),A1(2,0,2),M(0,2,1), A1应=(-2,2，-1)，所以与AM同方向的单位向量u= 子，）所以点8到直线4，以的距离为瓜示-（国的- 0+[o2,-2·(号号)门-(g号) 2.故选C. D (第2题) (第3题) 3.C解析：如图，以D为坐标原点，以DA,DC,DD的方向分别为x轴、 选择性必修第一册·RJA y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1),E(1,1,0), A(1,0,0),C(0,2,0).从而D1龙=(1,1，-1)，AC=(-1,2,0),AD= (-10,1).设平面4C0的法向最为m=(a,6.心，则·C0,即 ·AD=0, (-a+26=0,得a=26,令a=2,则m=(2,1,2),所以点E到平 -a+c=0, (a=c, 0店242.号故选C 面ACD,的距离为1nl 3 4.B解析：设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则 叫取1-11.胆装经 (n·A⑦=0， S-ABCD的高即为点S到平面ABCD的距离，为压.m。2 √1I 2W√11 11故选B. 5.(1)证明：由PB⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形，可建立如图所 示空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(3,0,0),C(0,3,0),D(3,3,0), P00,3).由cF=号CP,得-应P02,1),同理E(3,2 3 0),.E市=(-3,0,1)，显然平面ABP的一个法向量为n=(0,1,0), 显然E京·n=0且EFt平面ABP,故EF∥平面ABP. (2)解：设平面ADF的一个法向量为m1=(x,y,),且Ad=(0,3,0), D求=(-3，-1,1)，由 励L→3=0： 。取x=1,则y=0,z= D求⊥1 （-3x-y+z=0 3,n1=(1,0,3)为平面ADF的一个法向量.又A泸=(-3,0,3)点 P到平面ADF的距离d= A.n130 5 A ED (第5题) (第6题) 6.D解析：如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0 1.0,(21.0）r(o,20a1.1).0,(0.0,).所以 =(分0,0）a瓜-=(-1，-1，o.在-（号0,1)设平面 1n·B1D1=-x-y=0, EFD1B1的法向量为n=(x,y,z）),则 ,a店-7-o, z=1, 则n=(-2,2,1).因为BD∥B1D1,BD￠平面EFD,B1,B1D1C平面 EFD1B1,所以BD∥平面EFD,B1,所以直线BD到平面EFD1B1的距 离即为点B到平面EFD,B,的距离，所以直线BD到平面EFD,B1的 距离d= E·n -×(-2) 2 1 -.故选D. 1n√-2)2+22+1 3 7.D解析：由正方体的性质可得AB1∥ DC1,D B1//DB,ABOD B=B1,DC0 D DB=D,且AB1C平面AB1D1,D1B1C平 A 面AB:D1,DC1C平面BDC1,DBC平面 BDC1,所以平面AB,D1∥平面BDC1,则 两平面间的距离可转化为点B到平 面AB1D1的距离.以D为坐标原点，DA, 黑白题101.4空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 白题 基础过关 限时：55min 题组1直线的方向向量与平面的法向量 (-2,b,1),若x∥B,则a+2b= 1.(2025·河南郑州高二月考)已知点P(0,1, A.-1 B.1 C.2 0),Q(-2,0,1),则直线PQ的一个方向向量 D.2 可以为 ( 7.(2025·山东菏泽高二月考)如图，在长方 A.(-2,-1,-1) B.(1,-2,1) 体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2. C.（4,2,-2) D.（4,-2,2) (1)求平面ACD,的法向量. 2.(2025·山东聊城高二月考)已知点A(1,0, (2)线段B,C的中点为点P,求证：AP∥平 0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的法向 面ACD1 量可以是 ( A.(1,1,1) B.(1,21 c.(o.z.o) D.(-1,0,1) 3.(2025·浙江温州高二期中)已知平面a内有 一个点A(2,-1,2),a的一个法向量为n= (1,2,3),则下列点P中，在平面内的是 ( 8.如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, A.(1,2,1) B.(3,0,1) PA=AD=AB=2,M,N,Q分别是PC,AB,CD的 C.(1,1,-1) D.(1,-1,1) 中点求证： 题组2空间向量与平行问题 (1)MN∥平面PAD; 4.在空间直角坐标系中，A(1,2,3),B(-1,0, (2)平面QMWN∥平面PAD. 5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD 的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 5.(2025·山东青岛高二期中)直线1的一个方 向向量为(-2,1，-1)，平面a的一个法向量 为n=(3,3,-3),则 A.l∥a B.l⊥ C.l∥a或lCa D.ICa 6.(2025·山东潍坊高二月考)已知平面的法 向量m=(2a,3,-2),平面B的法向量n= 选择性必修第二册：RJA黑白题014 题组3空间向量与垂直问题 13.（2025·山东菏泽高二月考)如图，△ABC是 9.(2025·河南新乡高二月考)已知平面α的法 一个正三角形，EC⊥平面ABC,BD∥CE,且 向量为a=(1,2,-2),平面B的法向量为b= CE=CA=2BD=2. (-2,-4,k),若a⊥B,则k= (1)求平面DEA的法向量； A.4 B.-4 C.5 D.-5 (2)求证：平面DEAL平面ECA. 10.苏教版教材变式(2025·江苏无锡高二期 中)已知u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l 的方向向量，n=（1,2,3)是平面a的法向 量，若l⊥，则a+2b= 月 C.6 11.已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方 形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BFL 阳时茶 12.在正方体ABCD-A1B,C,D,中，求证：DB,⊥平14.(2025·山东淄博高二月考)如图，在四棱锥 面ABC1 P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD 为正方形，PD=DC,E,F分别是AB,PB的 中点 (1)求证：EF⊥CD; (2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面 PCB,试确定点G的位置 第一章黑白题015 黑题 应用提优 限时：40min 1.(2025·广东广州高二期中)直线a,b的方向5.(2025·浙江绍兴高二期中)若平面a的一个 向量分别为a,b,平面a,B的法向量分别 法向量为1=(-3，y,1),平面B的一个法向量 为m,n,则下列选项正确的是 ( 为2=(6，-2，z)且a∥B,则y+z= A.若a∥b,则a·b=0 6.(2025·安徽六安高二月考)如图，在直三棱 B.若b∥B,则b·n=0 C.若a⊥，则a·m=0 柱ABC-A,B,C,中，CA=CB=2AM,=1,BCL D.若ax∥B,则m·n=0 AC,P为AB上的动点，Q为棱C,C的中点. 2.已知平面ax∩平面B=l,,B的一个法向量分 (1)设平面A1BQn平面ABC=L,若P为A,B 别为n1=(1,0,1),2=(0,-1,1),直线1的方 的中点，求证：PQ∥l; 向向量为e=(入，4，-2)，则下列结论不正确 (2)设B那=入BA,AP⊥平面A,BQ,求实数A 的是 的值. A.入+w=0 B.入-=-4 C.4=-4 D.入=-1 3.(2025·广东东莞高二月考)如图，在正方 体ABCD-A,B,C,D1中，当点F在线段BC1上 运动时，下列结论正确的是 A.A,F与BD可能平行 B.AF与B1D始终异面 C.A,F与平面BDC,可能垂直 D.A,F与BD始终垂直 (第3题) (第4题)》 压轴挑战 4.(多选)(2025·云南昆明高二期中)如图， 在正方体ABCD-A,B,C,D1中，E,F分别 (2025·重庆江北区高二期中 是AB1,BC,的中点.下列结论正确的是（ 长方体ABCD-A,B,C,D1,AE A.EF⊥BB, BC=2,AA1=3,在A1B上取一点M,仕B1C上取 B.EF⊥平面BDDB1 -点N,使得直线MN∥平面A,ACC1,则线 C.E7与C,D的夹角为45° 段MW的最小值为 D.EF∥平面AB1C1D1 进阶突破拔高练PO3 选择性必修第一册·RJA黑白题016