1.4.2 第1课时用空间向量研究距离-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

坐标系，如图②，因为CA=CB=M,=1,所以B(0,1,0),Q(0,0, 1),A1(1,0,2),A(1,0,0),则BA1=(1,-1,2),A1=(-1,0,-1), AB=(-1,1,0),又B=ABA(0≤A≤1)，则B=(入，-A,2),所以 (AP.BA=0, A市=A成+B=(X-1,1-入，2A).又AP1平面A1B0,则 a.A10=0, 则以2以200解得入号 1 压轴挑战 3√205 解析：如图，以DA,DC,DD1所在直线 41 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0, A 0),B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(2,0, 3),B1(2,1,3),C1(0,1,3),D1(0,0,3),可得 A花=(-2,1,0)，A=(0,0,3),A1B=(0,1, -3),B1C=(-2,0,-3),A1B=(0,1,0),设平 面A1ACC1的一个法向量为n=(x,y,z),则 n·花-2x+y=0取x=1,则y=2,=0,即 (n·AA=3z=0, n=(1,2,0).设A1M=AA1B=(0,A,-3A),B1=uB1乙=(-2μ，0，-3μ)， 则M=MA+A1B+B1=(-2μ，1-A,3入-3)，因为直线MW∥平 面A1ACC1,则M1n,可得M亦·n=-2μ+2-2A=0,解得4=1-入，则 M=(2A-2,1-A,6A-3),可得1M12=(2A-2)2+(1-A)2+(61-3)2= 4-4614=4(A）广行≥行，当且仅当A--=时， 23 :取得最小位货，即Mw的长度的最小值为3西故答案 41 为3V205 41 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空间向量研究距离 白题 基础过关 1.B解析：由题意，B元=0心-0成=(1,1,1)-(1,0,2)=(0,1，-1)，所以与B武 同方向的单位向量e=(0,2,2 2√2 又=(0,0，-2)，所以点A到直 线c的距离d=@-(@e妒=√4+[(-2x()门 √2故选B. 2.C解析：以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,:轴，建立 如图所示的空间直角坐标系，则B(2,2,0),A1(2,0,2),M(0,2,1), A1应=(-2,2，-1)，所以与AM同方向的单位向量u= 子，）所以点8到直线4，以的距离为瓜示-（国的- 0+[o2,-2·(号号)门-(g号) 2.故选C. D (第2题) (第3题) 3.C解析：如图，以D为坐标原点，以DA,DC,DD的方向分别为x轴、 选择性必修第一册·RJA y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1),E(1,1,0), A(1,0,0),C(0,2,0).从而D1龙=(1,1，-1)，AC=(-1,2,0),AD= (-10,1).设平面4C0的法向最为m=(a,6.心，则·C0,即 ·AD=0, (-a+26=0,得a=26,令a=2,则m=(2,1,2),所以点E到平 -a+c=0, (a=c, 0店242.号故选C 面ACD,的距离为1nl 3 4.B解析：设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则 叫取1-11.胆装经 (n·A⑦=0， S-ABCD的高即为点S到平面ABCD的距离，为压.m。2 √1I 2W√11 11故选B. 5.(1)证明：由PB⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形，可建立如图所 示空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(3,0,0),C(0,3,0),D(3,3,0), P00,3).由cF=号CP,得-应P02,1),同理E(3,2 3 0),.E市=(-3,0,1)，显然平面ABP的一个法向量为n=(0,1,0), 显然E京·n=0且EFt平面ABP,故EF∥平面ABP. (2)解：设平面ADF的一个法向量为m1=(x,y,),且Ad=(0,3,0), D求=(-3，-1,1)，由 励L→3=0： 。取x=1,则y=0,z= D求⊥1 （-3x-y+z=0 3,n1=(1,0,3)为平面ADF的一个法向量.又A泸=(-3,0,3)点 P到平面ADF的距离d= A.n130 5 A ED (第5题) (第6题) 6.D解析：如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0 1.0,(21.0）r(o,20a1.1).0,(0.0,).所以 =(分0,0）a瓜-=(-1，-1，o.在-（号0,1)设平面 1n·B1D1=-x-y=0, EFD1B1的法向量为n=(x,y,z）),则 ,a店-7-o, z=1, 则n=(-2,2,1).因为BD∥B1D1,BD￠平面EFD,B1,B1D1C平面 EFD1B1,所以BD∥平面EFD,B1,所以直线BD到平面EFD1B1的距 离即为点B到平面EFD,B,的距离，所以直线BD到平面EFD,B1的 距离d= E·n -×(-2) 2 1 -.故选D. 1n√-2)2+22+1 3 7.D解析：由正方体的性质可得AB1∥ DC1,D B1//DB,ABOD B=B1,DC0 D DB=D,且AB1C平面AB1D1,D1B1C平 A 面AB:D1,DC1C平面BDC1,DBC平面 BDC1,所以平面AB,D1∥平面BDC1,则 两平面间的距离可转化为点B到平 面AB1D1的距离.以D为坐标原点，DA, 黑白题10 DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所 示.因为正方体的棱长为1，所以A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1), C(0,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),所以CA=(1,-1,1),B=(0, -1,0),AB=(0,1,1),B1D=(-1,-1,0).连接A1C,由CA·AB= (1,-1,1)·(0,1,1)=1×0+(-1)×1+1×1=0,C4,·B1D=(1,-1, 1)·(-1,-1,0)=1×(-1)+(-1)×(-1)+1×0=0,所以CA1AB→ CA1⊥AB1,CA⊥B1D→CA1⊥B1D1,且AB1∩BD1=B1,AB1, B1D1C平面AB1D1,所以CA1⊥平面AB,D1,得平面AB1D1的一个法 向量为c=n=(1,-1,1),则两平面间的距离d=®.。 Inl 1）+0x1-1=3故选D. √12+(-1)2+12 四方法总结 本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，利用空间向量求解 点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量：②求斜线段对应 的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离.空间中其 他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解。 8.解：因为M,R分别为AO,AD的中点，所 以MR∥OD.因为在正方形ABCD中，N,R 分别为BC,AD的中点，所以NR∥CD. 又MR∩NR=R,OD∩CD=D,所以平面 MNR∥平面OCD.因为MNC平面MWNR 所以MN∥平面OCD,所以直线MN与平 D 面OCD的距离、平面MNR与平面OCD B N 的距离都等于点N到平面OCD的距离 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则0(0,0,2)， C(2,2,0),D(0,2,0),N(2,1,0),所以W元=(0,1,0)，0i=(0,2,-2), C=(-2,0,0).设平面0CD的法向量为n=（x,y,z),则 n·0i=2y-2z=0, 令z=1,得n=(0,1,1)为平面0CD的一个法向 (n.ci=-2x=0, 量，所以点N到平面0CD的距离d=花，nl_ 2 ,所以直线MN与平 面OCD的距离、平面MNR与平面OCD的距离都等于？. 黑题 应用提优 1.D解析：如图，建立空间直角坐标系，则P1, B 2）c(0,240.c02,0),所以= -1 22）Gd-(0.0,4).设点P到直线cG的 距离为h,则h=1PC√1-cos2(PC,C1C)= ,四枚选 A 1C,t2 =W416=2 2.B解析：依题意，如图建立空间直角坐标 系，则E(0,0,2),F(0,2,0),C(2,4,0), G(1,0,2),所以E=(0,2,-2),E元=(1,0， 0),F元=(2,2,0).设平面CEF的法向量为 n·Ei=2y-2z=0, n=(x,y,z),所以 取n= n.F元=2x+2y=0, 1,-1,-1),所以点G到平面CBF的距离d=成.nl=5故 n33 选B. 参考答案 3.C解析：因为点E,F分别是线段AC,和BD D 上的动点，所以E,F间最小距离即为异面直 B 线AC1与BD间的距离.建立空间直角坐标系 如图所示，则D(0,0,0),B(1,1,0),A(1,0, 0),C1(0,1,2),则D=(1,1,0),AC=(-1, 1,2),AB=(0,1,0).设与异面直线AC1,BD都 垂直的向量为n=（x,y,z),则 0、 B (n·D品=x+y=0, A 。解得2，取x=1, (n·AC=-x+y+2z=0, (x=-y, 则y=-1,2=1,所以n=(1,-1,1),则异面直线AC1与BD间的距离 为有-得即点F阿的最小电离为停故选C 4.BC解析：如图，建立空间直角坐标系，连接BE,A1B,BP,BD,CD1, B1C,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1), D0,1(分0,1)，o(分2,1所以威=(-1,00。 2-(宁小高震孚 V个-o0=25故点A到直线BE的距离4=成血0=1以25 ,故A错误GdCd=(分0），平面4C0,的 2W5 个法向量DA=(0,-1,1),则点0到平面ABC,D1的距离d2= 1 1D·C_2_巨，故B正确A应=(1,0，-1)，A方=(0,1，-1)， IDAI24 A1D=(0,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则 (n·A1B=0 0即=0令2=1，得y=1,x=1,所以n=(1,1,),所 n.Ai=0,气y-z=0, 以点D,到平面A1D的距离名=，0=占D花（① 0,-1)=A1B,所以D1C∥A1B,连接A1D,B1D,又因为D1C4平 面ABD,A1BC平面A1BD,所以D1C∥平面A1BD,同理B1C∥平 面A1BD,所以平面A,BD∥平面B1CD1,所以平面ABD与平面 B,CD1间的距离等于点D,到平面ABD的距离，所以平面ABD与 平面Bc0,间的距商为，故c正确因为心-是+子市+ 子，所以 (号）=(1.00则 所以点P到直线AB的距离山=-，)》 89-5,故D错误故选BC V144166 5.3v22 解析：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接 11 EF,则A(3,0,0),E(0,0,2),F(3,3,1),C1(0,3,3),B1(3,3,3),所 以A2=(-3,0,2),FC=(-3,0,2),所以A2=FC.而AEC平面 AB,E,FC1￠平面AB1E,故FC1∥平面AB1E,所以直线FC1到平 黑白题11 面AB,E的距离即为点F到平面AB,E的距 D 离.又AB1=(0,3,3),设平面AB1E的法向量 n·AE=0, 为n=（x,y,z),则} 即 n·AB=0, {3x+2=0取=3，则m=(2,-3,3).易得 3y+3z=0, 成=(3,3，-1)，故点F到平面AB,E的距离d=n·。6 22 3产技诺米为3酒 11 6.(1)证明：如图，取A1B1的中点M,连接MQ,MP.在△A1B1C, 中，A1Q=QC1,A1M=MB1,QM∥B1C1,在四边形MPBB1中，MB1= PB且MB1∥PB,.四边形MPBB1是平行四边形，.MP∥BB1 :BB1∩B1C1=B1,BB1C平面BCC1B1,B1C1C平面BCC1B1, 又.MP∩MQ=M,MPC平面MQP,MQC平面MQP,.平面MQP∥ 平面BCC1B1.又，PQC平面MQP,∴.PQ∥平面BCC1B1. (2)解：如图，取AC的中点O,连接A1O,B0, △ABC为等边三角形，B0⊥AC. A. 平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC1A1∩平 面ABC=AC,∴.B0⊥平面ACC1A1,.B0⊥A1O,,A 在△A10A中，∠A140=60°，A1A=2,0A=1,易 得AC⊥A10,以0为原点，0A,OB,OA1所在直 线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则A1(0,0,5),A(1,0, 080s.0.d《-10.0P(30）0-10a- 丽-G8(-1月)4-(-1,0.o)-(分月 -3,A1B=(-1,w5,0),设平面APQ的法向量为n=(x,y,), (n·A10=-x=0, 取y=2,则n=(0,2,1),.点B1到 平面A,P0的距离d=n·AB2325 w55 压轴挑战 厅解折：由题盒，直线1为-受经过点P(,42),且m (1,-1,2)为一个方向向量，所以市=(-3,1，-1)，故点A到直线1的距 离d=√-（形·l)7。 -eT =√5故答案为5. 第2课时用空间向量研究夹角 白题 基础过关 1.C解析：因为两条异面直线的方向向量分别是4=(3,1，-2)，v= (3,2,1),所以4·v=3×3+1×2+(-2)×1=9,1w1= √32+12+(-2)2=√14，Iv1=√32+22+12=√14.因为两条异面直 线所成的角为0e(0,7],所以cs0=1om(u,)1=0i=号 al114' 所以sin0=瓜西故选C, 14 2.B解析：由题意建立如图空间直角坐标系，可得 A(0,0,0),B(1,0,1),A1(0,0,1),C(0,1,0),则 AB=(1,0,1),A1t=(0,1,-1),所以cos(AB, B A衣=1=-】因为两条异面直线所成角的 2x22 范酒为(0，受]，所以异面直线B,与AC所皮方 选择性必修第一册·RJA 角的余弦值为2故选B, 3.C解析：如图，设上底面圆心为01，下底面圆心 A 为0，连接001,0C,0B,01C1,0,B1,由底面扇 环所对的圆心角为受，而的长度是屁长度的 2倍，CD=1,可知0C=1,以0为原点，分别以 OC,OB,O01所在直线为x轴、y轴、z轴建立空 D 间直角坐标系，则C1(1,0,4),A(0,2,0),B(0,1, 0),D1(2,0,4),41(0,2,4),则41D=(2,-2,0),BC=(1,-1,4),所 以cos(A1D,BC= A1D·BC 2+2 A1D11BC1√4+4×√1+1+16 3又异面 直线所成角的范国为(0，受]，故异面直线AD与BC,所成角 的正激值为（行厂-2故选c 4,A解析：设直线AB与平面a所成的角为0，则sin0=Icos〈A, 选A. 5.B解析：如图所示，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则A1(1,0,1),B(1,1,0), D1(0,0,1),C1(0,1,1),所以BA=(0,-1,A 1),BC=(-1,0,1),BD=(-1,-1,1).设平 面BCD1的一个法向量为n=(x,y,z),直 A 线A1B与平面BC,D1所成的角为aa∈ 》。 '令x=1,则y=0,z=1,即n= (1,0,1),所以sina=lcos(n,BA)1= In·BAi1 1l·1BA12x√22，所 以a=T,故选B, 6 6.5m 11 解析：依题意可得1m(a,1,a=如石，即 5Wa2+1 分解得a3攻5（合激答案为酒 13al 1 7.(1)证明：由题意得C1B1∥A1D1,C1B1￠平面ADD1A1,A1D1C平 面ADD1A1,所以C,B1∥平面ADD1A1.又因为C,B1C平面B1C,EF, 平面B1C,EF∩平面ADD1A1=EF,所以C,B1∥EF,所以EF∥A,D1. (2)解：因为BB1⊥平面AB1C1D1,AB1⊥A1D1,A1D1∥C1B1,可 得A1B1⊥C1B1,故以点B1为坐标原点，分别以A1B1,CB1,BB1所 在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,0), C1(0,4,0),E(2,2,1),B(0,0,2),所以B1C=(0,4,0),B12= (2,2,1),BC=(0,4,-2).设平面B1C1EF的法向量为n=(x B1C1·n=4y=0, y,),则 故可取n=(1,0,-√2).设直线BC1 B1E.n=√2x+2y+z=0, 与平面B1C,EF所成的角为0，则sin0=Icos(BC,n〉1= G·m25X55,故直线BC,与平面A,CEF所成的角 1BC1·nl2W2√30 的正弦值为V30 15 黑白题121.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空间向量研究距离 白题 基础过关 限时：40min 题组1点到直线的距离 (1)证明：直线EF∥平面ABP; 1.(2025·湖北黄冈高二月考)已知点A(1,0, (2)求点P到平面ADF的距离. 0),B(1,0,2),C(1,1,1),则点A到直线BC 的距离是 ( A.1 B.√2 C.22 D.4 ·B 2.(2025·四川宜宾高二月考)如图，在棱长为2 的正方体ABCD-A,B,C,D1中，点M为棱CC 的中点，则点B到直线AM的距离为（) A.√2 B.3 C.2 D.5 题组3直线到平面与平面到平面的距离 6.（2025·山东济宁高二期中)在棱长为1的正 B 方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BC,CD 的中点，则直线BD到平面EFD,B,的距离为 ( (第2题) (第3题) A.3 6 B.1 2 题组2点到平面的距离 7.（2025·浙江杭州高二月考)正方体 3.(2025·河北承德高二期中)如图，在长方 ABCD-AB,C,D1的棱长为1，则平面AB,D 体ABCD-AB1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2,点 与平面BDC,的距离为 ) E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距 A.√2 B.√3 离为 ( ) 3 D B月 1 8.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边 D. 6 长为2的正方形，OA⊥底面ABCD,OA= 4.在四棱锥S-ABCD中，AB=(-2,2,0),AD= 2,M,N,R分别为OA,BC,AD的中点，求直 (-2,-4,2),AS=(1,1,0),则该四棱锥的高为 线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面 ( OCD的距离. B.21面 D.2 11 c. 5.(2025·吉林省实验中学高二月考)如图所 示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形， PB⊥底面ABCD,AB=BC=3,BP=3,CF= CP,DE-DA. 第一章黑白题017 黑题 应用提优 限时：40min 1.(2025·四川成都高二月考)在长方体5.在棱长为3的正方体ABCD-A1B,C,D1中，E ABCD-A1B,C,D1中，AA1=2AB=2AD=4,E 为线段DD1上靠近点D1的三等分点，F为线 为AB的中点，P为D,E的中点，则点P到直 段BB,上靠近点B的三等分点，则直线FC 线CC,的距离为 ( 到平面AB,E的距离为 1 2号 D. 6.（2025·广东深圳高二月考)已知三棱柱 2 C.3 2 ABC-A,B,C1的所有棱长都为2，∠AAC= 2.（2025·河北唐山高二期中）已知四棱锥 60°，且平面A1ACC1⊥平面ABC,点P,Q分别 P-ABCD,PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为 是AB,A1C1的中点. 矩形，PA=AB=4,AD=2,E,F,G分别为棱 (1)求证：PQ∥平面BCCB1; PA,AB,PD的中点，则点G到平面CEF的距 (2)求点B,到平面A,PQ的距离 离为 ( 号 C.3 D. 3.(2025·辽宁沈阳高二月考)如图， 在正四棱柱ABCD-A,B,C,D1中， AA1=2AB=2,点E,F分别是线 段AC1和BD上的动点，则点E,F 间的最小距离为 ( B.1 0v6 6 4.(多选)(2025·广东广州高二月考)已 知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，E, 0分别是A,B1,A,C,的中点，点P在正方体 内部且满足正-店+d+子，则下列 压轴挑战 说法正确的是 (2025·浙江温州高二期中) 直角坐标系Oxyz中，经过点 A点A到直线BE的距离是5 yo,o)且方向向量为n=(X,Y,Z)(XYZ≠0)的 B.点0到平面ABC,D,的距离为 直线方程为受学-之，已知空同中条 C.平面A,BD与平面B,CD,间的距离为 直线1的方程为-1=4y=,则点44,3， 3 3)到直线的距离为 D.点P到直线AB的距离为6 进阶突破拔高练P04 选择性必修第一册·RJA黑白题018