3.4 函数的应用(一)-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

3.4函数 白题基础过关 题组1一次函数模型及其应用 1.★(2026·云南曲靖高一月考)某厂日生产 文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间 的关系为y=6x+30000,而出厂价格为每套 12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒 (假设生产的文具盒均能卖出) A.2000套 B.3000套 C.4000套 D.5000套 2.*如图，1，反映了某公司销售一种医疗器 械的销售收人（单位：万元）与销售量（单位： 台)之间的关系，，反映了该公司销售该种医 疗器械的销售成本（单位：万元）与销售量 (单位：台)之间的关系.当销售收入大于销售 成本时，该公司才开始盈利.根据图象，则下 列判断中错误的是 /万元 8 > 6 3 2 0123456789x/台 A.当销售量为4台时，该公司盈利4万元 B.当销售量多于4台时，该公司才开始盈利 C.当销售量为2台时，该公司亏本1万元 D.当销售量为6台时，该公司盈利1万元 题组2二次函数模型及其应用 3.*(2025·安徽合肥高一期中)你见过古人 眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树 银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照， 花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚 幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的 一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距 地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)》 第三章函数的概念与性质黑白题学霸 的应用（一） 限时40min|答案P41 之间的解析式为h=-3.6t2+28.8t,则烟花在 冲击后爆裂的时刻是 () A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒 4.*(2026·湖北武汉高一月考)红灯笼，象 征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一 种传统文化.小明在春节前购进一种红灯笼， 灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价 50元时，每天可售出100对，售价每提高 1元，则每天少售出1对.市场监管部门规定 其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼 一天获得的最大利润为 () A.2816元 B.3116元 C.3276元 D.3600元 5.*★（2026·天津河东区高一期中)在如图所 示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为 m -40m 题组3分段函数模型及其应用 6.*(2026·河北邢台高一期中)“空气质量 指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无 量纲指数.AQI大于200表示空气重度污染， 不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气 质量指数y随时间t变化的趋势由函数y= [4t+160,0≤t≤12， 384 描述，则这天可开展户外 +176,12<t≤24 t 活动的时长至多为 ( A.6小时 B.8小时 C.16小时 D.18小时 57 学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 7.*★人A教材变式(2026·安徽阜阳高一期 末)为了节约用电，某城市对居民生活用电实 行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月 用电量不超过200度时，按0.5元/度计费； 超过200度但不超过400度时，超过200度 的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超 过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居 民本月缴纳电费为276元，则该户居民本月 用电量为 () A.400度 B.420度 C.440度 D.460度 8.*(2025·山东菏泽高一期中)学校教室与 办公室相距α米，某同学有重要材料要送交给 老师.他从教室出发先匀速跑步2分钟来到办 公室，在办公室停留2分钟，然后匀速步行 6分钟返回教室，请写出该同学行走路程y关 于时间t的函数解析式： 9.**(2026·浙江杭州高一期中)某医疗器械 公司为了进一步增加市场力，计划改进技术 生产某产品.已知生产该产品的年固定成本 为300万元，最大产能为100台，每生产x台， 需另投入成本G(x)万元，且G(x)= [2x2+80x,0<x≤40， 3600-2100,40<x≤100， 由市场调研 201x+ 知，该产品每台的售价为200万元，且全年内 生产的该产品当年能全部销售完， (1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台 的函数解析式（利润=销售收入一成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利 润最大？最大利润是多少？ 58 题组4幂函数模型及其应用 10.*(2025·河北张家口高一月考)在固定 电压差（电压为常数）的前提下，当电流通 过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半 径r的三次方成正比.若已知电流通过半径 为4毫米的电线时，电流强度为320安，则 电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度 为 () A.60安B.240安C.75安D.135安 11.*为了预防信息泄露，保证信息的安全传 输，在传输过程中都需要对文件加密，有一 种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为： 发送方由明文→密文（加密），接收方由密 文→明文.现在加密密钥为y=x3,如“4”通 过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文 “6”,则解密后得到的明文是 256 1 1 .2 B.4 C.2 D. 8 12.*多选为预防流感病毒，某校每天定时 对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药 物含量超过0.25mg时能有效杀灭病毒.已 知教室内每立方米空气中的含药量y(单 位：mg)随时间x(单位：h)的变化情况如图 所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药 物释放完毕后，y与x的函数解析式为y=口 (a为常数)，则下列说法正确的是() y/mg 00.2 x/h A.当0≤x≤0.2时，y=5x B.当x>0.2时，y=5x 1 C.教室内持续有效杀灭病毒的时间为0.85h D.喷洒药物3min后才开始有效杀灭病毒 黑题能力提升 1.★(2025·浙江绍兴高一期中)某灯具商店 销售一种节能灯，每件进价8元，每月销售量 y(单位：件)与销售价格x(单位：元)之间满 足如下关系式：y=-8x+400(20<x≤40且x∈ N),则灯具商店每月的最大利润为（) A.2560元 B.3496元 C.3520元 D.3528元 2.*(2026·重庆南岸区高一月考)某公司引 进新的生产设备投入生产，新设备生产的产 品可获得的总利润s(单位：百万元)与新设 备运行的时间t(单位：年，t∈N*)满足s= -2t2+50t-98,t<8, 当新设备生产的产品可 -t3+10t2-2t,t≥8， 获得的年平均利润最大时，新设备运行的时 间t= A.6 B.7 C.8 D.9 3.★*学科融合(2026·广东揭阳高一期中)在 固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆 形管道时，其流量v(单位：cm3/s)与管道半径 r(单位：cm)的四次方成正比.若气体在半径为 5cm的管道中时，流量为2500cm3/s,则气体 在半径为xcm的管道中，流量大于 3000cm3/s且小于4000cm3/s时x的取值范 围是 () A.(500,9750) B.(9500,1000) C.(4700,900) D.(4750,1000) 4.*某种电热水器的水箱盛满水是200升， 加热到一定温度可浴用.浴用时，已知每分钟 放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水 22升，当水箱内水量达到最小值时，放水自 动停止.现假定每人洗浴用水65升，则该热 水器一次至多可供几人洗澡？ () A.3人B.4人C.5人D.6人 5.*（2026·河北沧州高一期末)单位时间内 通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路 容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等 第三章函数的概念与性质黑白题学霸 限时40min|答案P42 诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的 1000w 车辆数N满足关系N=。 ,其中 0.7v+0.3w2+d d为安全距离（单位：m),v为车速（单位： m/s).当安全距离d,取30m时，该道路一小 时“道路容量”的最大值约为 () A.135B.149C.165D.195 6.(2026·浙江杭州高一期中)某车企生产 A型汽车，每年需要固定投入100万元，此外 每生产x辆A型汽车另需增加投资g(x)万 元，当该款汽车年产量低于400辆时，g(x)= 1 B02+号x,当年生产量不低于400辆时 g(x)=16x+36000-350,若该款汽车售价 为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则 该工厂生产并销售这款汽车的最高年利润为 () A.2000万元 B.2100万元 C.2200万元 D.2300万元 7.**(2025·广东广州高一期中)如D 图，在矩形ABCD中，AB=8cm, BC=16cm,动点P从点A出发，以 1cm/s的速度向终点B移动，动点下 Q从点B出发以2cm/s的速度向终点C移 动，则移动到第 s时，可使△PBQ的 面积最大. 8.**（2026·江西吉安高一期中)某饮料公司 推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受 到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年 中每个月份的盈利情况，得到月利润。万元 与销售月份t之间的关系为s（t)= 2+5-t,0<≤5) (t∈N). 2+81-25,5<t≤12 59 学霸黑白题数学·必修第一册·RJ (1)求一年中最高月利润及对应的月份； (2)求该饮料月利润超过3万元的月份. 9.(2026·福建厦门高一期中)某创业团队 拟生产A,B两种产品，根据市场预测，A产品 的利润与投资额成正比（如图①），B产品的 利润与投资额的算术平方根成正比（如图 ②).（注：利润与投资额的单位均为万元） y/利润 y/利润 0.45 3.75 0.25-- 2.5 0 11.8x/投资额049x/投资额 ① ② (1)分别将A,B两种产品的利润f(x),g(x) 表示为投资额x的函数； (2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全 部投入A,B两种产品的生产，问：当B产 品的投资额为多少万元时，生产A,B两 种产品能获得最大利润？最大利润为多 少？ 60 10.囊学科融合(2026·浙江杭州高一期中) 在经济学中，我们将函数f(x)的边际函数 定义为M[f(x)]=f(x+1)-f(x).杭州是世 界著名的旅游城市，也是我国重要的高科技 企业孵化地.现已知某初创高科技企业每月 生产某特殊设备最少1台最多8台，每生产 x台(1≤x≤8，x∈N),月收入函数为S(x)= +6+20(单位：千万元)，月成本函数为 C()=2x-8+8(单位：千万元). (1)求月收入函数S(x)的最小值，并求出此 时的x的值； (2)求成本函数C(x)的边际函数M[C(x)] 的最小值； (3)求每月企业利润L(x)的最大值，1,解得a=2或a=-1,又因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以 a2-2>0,所以a=2,所以A错误，B正确： 由上述分析可得f(x)=x2,则f(-x)=（-x)2=x2=f(x),所以f(x) 为偶函数，C正确； 因为f(x)为偶函数，所以f(-2m)=f21ml),又m2+1-21ml= （Iml-1)2≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以f代m2+1)≥f(-2m),故D正确. 5.A解析：因为f(x)=(2m2+m)xm是幂函数 所以2m+m=1,解得m=2或m=-1 又八到的图象经过原点，所以m=分，即)=产 11 因为1<a<b,所以0<6a<1ca<b,， 又因为f代x)=x在[0，+∞)上单调递增， 所以r(公)（合））6). 6.A解析：幂函数f代x)=(m2-m-1)xm42m3在区间(0，+o)上单调 递增， (m2-m-1=1,解得m=2,f代x)=, m2+2m-3>0, f(x)在R上为奇函数， 由a+b>0,得a>-b, f(x)在R上为单调增函数，f(a)>f(-b)=f(b), f八a)+fb)>0恒成立. 7.ACD解析：幂函数f代x)=x的定义域为[0，+0)， xfx1)=x1·(x1)=(x1),x代x2)=x2·(x2)=(x2)， 函数y=x在[0，+0)单调递增，0≤x,<x2, (x1)<(x2),即xf代x1)<xf(x2),故A正确； f八x1)（x1) =()÷,八)() x22 =(x2), 函数y=x寸在(0，+0)单调递减，x1,x2≠0，x1<x2,即0<x1<2, ()*>()中，即八放B销误 x1 x2 幂函数f(x)=x产在[0，+∞)上单调递增，0≤x<x2, .x2-x1>0fx<f(x2),即f(x2)-f(x1)>0, ,孔)>0，故C正确； x2-x1 作2）o).0, 2 2 244244 w-)0, ，5/（产），如正确 2 2 重难点拔D选项也可以通过图象直接判断，对于幂函数∫(x)= x宁，其图象上凸，因此函数值在两点中点处的取值大于两，点函数值 的平均值 8.[0,1]解析：设y=fx)=x, 1 代人点P(2,2),可得2=2，解得α=2， 所以(x)=x产， 要使)1-)有意义，则0解得0≤≤1， 所以函数的定义域为[0,1] 9.气，号)u(4,+)解折：因为)=(m+m-5)· 为幂函数，则m2+m-5=1,解得m=-3或m=2. 当m=2时，f(x)=x3,为奇函数，不符合题意： 当m=-3时f(x)=x8,为偶函数，符合题意，且在(-∞，0)上单调 递减，在(0，+∞)上单调递增. 若f(2x-1)>f(x+3), 则12-1>1+31，解得<子或4， 即不等式的解袋为(-m,子)U(4,+)。 10.解：(1)因为f(x)=(m2-m-1)·x*2m-1为幂函数， 所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,所以函数f(x)的解析式为 fx)=2或fx)=x=文 1 (2)①因为)的图象不经过坐标原点，所以x)==,所 以函数的单调递减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，无单调递增区间. ②因为f代x)的图象经过坐标原点，所以f(x)=x2.因为f(x)=x2 为偶函数，且在区间[0，+0)上为增函数，所以f(12-x1)> f(Ix),即I2-x>xl,两边平方解得x<1,所以不等式的解集为 (-0,1) 3.4函数的应用（一） 白题 基础过关 1.D解析：因为利润z=12x-(6x+30000)=6x-30000,由z≥0，解得 x≥5000，故至少日生产文具盒5000套. 2.A解析：当销售量为4台时，该公司盈利0万元，故A错误： 当销售量多于4台时，该公司才开始盈利，故B正确； 当销售量为2台时，该公司亏本1万元，故C正确； 当销售量为6台时，该公司盈利1万元，故D正确。 3.A解析：由题意，h=-3.6t2+28.8t=-3.6(t2-8t+16)+57.6= -3.6(t4)2+57.6,则当t=4时，烟花达到最高点，即爆裂的时刻是 第4秒. 4.B解析：设红灯笼每对售价提高x元，一天获得的利润为y元. 由题意得y=(50+x-30)(100-x)=-x2+80x+2000=-(x-40)2+ 3600 因为销售单价不得高于每对68元，所以x≤18，所以当x=18时， 即该种灯笼的销售单价为68元时，一天获得的利润最大，最大利 润为3116元. 5.20解析：如图，设锐角三角形为△PQR,过点P作PN⊥QR于点N, 其内接矩形为ABCD,PN与AB交于点M,则AB=xm,设AD=ym, 由矩形性质可得AB∥CD,则△PAB与△PQR相似，△PMB与 △PNR相似， 则有跟贺茹0限6即后行即y=0, 则矩形面积S=y=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400, 则当x=20m时，矩形面积最大 \B40m Q. -40m 重难点拨1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为 函数 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式或 者函数性质求得函数的最值 3.在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变 量的取值范围)内求解」 参考答案黑白题学霸41 6.D解析：由AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活 动， 得当AQI小于或等于200时，可开展户外活动，即y≤200， 4t+160,0≤t≤12. 因为y=384+176,12<1≤24， t 所以当0≤t≤12时，4+160≤200，解得0≤t≤10， 当12<≤24时，384 176≤200，解得16≤t≤24. t 综上，可开展户外活动的时长至多为10-0+24-16=18（小时）. 7.C解析：设用电量为x度，电费为y元 当0≤x≤200时，y=0.5x,该档位下的最大电费为100元； 当200<x≤400时，y=0.5×200+0.7(x-200)=0.7x-40, 当x=400时，y=0.7×400-40=240,即该档位下的最大电费为 240元： 当x>400时，y=0.5×200+0.7×200+0.9(x-400)=0.9x-120. 276=0.9x-120,解得x=09=440, t,0≤i≤2， a 8.y=a,2<t<4, 解析：匀速跑步的速度为？米/分，匀速 1 6+3a,4≤t≤10 a 步行的速度为名米/分， 2,0≤≤2。 故y=了a,2<t<4, *4)=,4≤10 9.解：(1)当0<x≤40时，W(x)=200x-(2x2+80x)-300=-2x2+ 120x-300; 当40<x≤10时，w(x)=20x-（201x+360-2100）-300= 1-2x2+120x-300,0<x≤40， -(30）-10, -(301804c51om (2)若0<x≤40，W(x)=-2(x-30)2+1500,当x=30时，W(x)m= 1500万元： 若40<x≤100， W(x)=-（x+3600 +1800≤-2%/x.3600+1800=-120+ 1800=1680, 当且仅当x=3600,即x=60时，W(x)m=1680万元， x 由于1680>1500，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最 大，最大利润是1680万元. 10.D解析：由已知，设比例常数为k,则1=k·r3,由题意，当r=4 时，1=320，故有320=6仪4，解得=20-5，所以1=5 故当r=3时，I=5×33=135(安). 11.A解析：由题可知，加密密钥为y=kx3,由已知可得当x=4时， 42学霸黑白题数学·必修第一册·RJ =2所以2=4解得号-可故了京，显然令)高即 6动，每得g即宁 1 12.ABD解析：由题图知，0≤x≤0.2时图象过点(0,0)，(0.2,1)， 且y与x成正比，即函数为y=5x,因此A正确； 由题图知，002时过点(02,1)，即21，可得a=02,即函数为 y安，因此B正确： 令y=5x=0.25,得x=0.05; 令y5元0.25，得x=0.8,故教室内持续有效杀灭病毒的时间为 0.75h,因此C错误； 由C知从0.05h开始有效杀灭病毒，即3min后开始有效杀灭病 毒，因此D正确。 黑题 能力提升 1.D解析：设灯具商店每月的利润为f(x),则f(x)=(x-8)· (-8x+400)=-8x2+464x-3200=-8(x2-58x)-3200=-8(x- 29)2+3528,故当x=29时，f代x)的最大值为3528，所以灯具商店 每月的最大利润为3528元. 2.B解析：由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润y= 1-2x98+50.tc8, t -t2+10t-2,t≥8， .98 当<8时，24+≥28， 当且仪当1=7时，等号成立则-2么-50≤2， 所以当：=7时，：取得最大值，且最大值为2 当t≥8时，-t2+10t-2=-(t-5)2+23,所以函数在[8，+0)上单调 递减， 所以当1=8时，取得最大值，且最大值为14， 故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行 的时间t=7. 3.D解析：根据题意，设v=kr4(k>0),由题意可得54k=2500,解得 k=4,故v=4r4, 当r=x时，=4x∈(3000,4000)，解得750<x<1000. 4围氯折：本箱内水量=20：2公-0=2(-）当：号 时，y有最小值，此时共放水34×7=289（升），239÷65=4（人），故 至多可供4人洗澡， 1000u 5.B解析：由题意得N= =1000 0.7m+0.3v2+d0.7+0.30+ 30 1000 07+2,0.3n.30 149，当且仅当03=9，即1=10时取等号， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 6.C解析：设该工厂生产并销售这款汽车的年利润为f(x)(万元)， 1s-(+号）-10,0≤<4o, 由题意可得f(x)= 15r-（16r+3000350m）-10,x≥40. 即f(x)= 360000 +3400,x≥400， 当0≤x<400时，函数f(x)的对称轴为直线x=420>400,则f(x)< f400)=2100: 当x≥400时f(x)=- x+36000 360000 x +3400≤-2√x· x 3400=2200. 当且仅当x=360000 即x=600时，f(x)取得最大值2200， 因为2100<2200，所以生产600辆时该工厂生产并销售这款汽车 的最高年利润为2200万元. 综上可得，该工厂生产并销售这款汽车的最高年利润为2200万元 7.4解析：设移动x秒时，面积最大，此时BP=(8-x)cm,BQ= 2xcm,0<8,所以Saw=2PB·80=7（8-）·2x=-t+8x= -(x-4)2+16,故当x=4时，面积最大 8.解：(1)当0<t≤5时，令x=√5-t,则0≤x<√5，且t=5-x2, 则到==-1043， 因为0≤x<5,故x=1时，即t=4时，s取得最大值3； 当5<≤12时，s(t)=-2 4825=-8y1. 因为5<t≤12，故t=8时，s取得最大值7. 综上，第8个月的月利润最高，为7万元 (2)由(1)可知前5个月中，最大月利润为第4个月的3万元， 故超过3万元的月份只可能在后面的7个月里， 即5<1≤12，由-】2+80-25>3，可得-16+56<0， 2 解得8-22<t<8+2√2. 又t∈N,所以6≤t≤10 故月利润超过3万元的月份有第6,7,8,9,10月. 方法总结对于形如x=a√b-t+t的函数最值问题，常用换元法转 化为二次函数求解，注意新变量的取值范围， 9.解：(1)因为A产品的利润与投资额成正比， 故设f(x)=kx(x≥0)， 将(1,0.25)代入，解得k=子，故)=4（≥0）. 因为B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设g(x)= mWx(x≥0)， 将(4,25)代入，得4m=25,解得m=日故g)=(x≥0)。 (2)设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为(10-x)万 5 元，创业团队获得的利润为y万元，则y=(x)+(10-x)=4医+ 4(10-(0≤x≤10). 令=(01长v10).可得y=+子+700. 放当：=号，即=625时，7取得最大值40625 即当B产品的投资额为6.25万元时，生产A,B两种产品能获得最 大利润，最大利润为4.0625万元 10解：（0)对于月收人函数5)+20≥2.+20=28， 当且仅当9同=2时，等号成立， 则月收入函数S(x)的最小值为28千万元，此时x的值为2. (2):Mfx)]=fx+1)-fx,C(x)=2x-8+8, Mce]=c+1-c=2(+108]-(2x- 8=2+8.8 *72+8 2x(x+1)’ 设=x(x+1)=2+x,对称轴为直线x=2 1 1≤x≤8， ”(1≤x+1≤8， .1≤x≤7，x∈N, ∴.t=x2+x在1≤x≤7，x∈N范围内是单调递增函数， ·M[C(x)]=2+ 8在1≤x≤7，xeN范围内是单调递减函数， x(x+1) .x=7时，M[C(x)]取最小值，且最小值为M[C(7)]=2+ 8 5 7×(7+1)7 （3③)由题意得，每月金业利润()5()-C()=(+5 20(22+8）=-2x+168+12, x2x 以=-2++2-(）广-2(-）+20， x2 x 设1=x,根据y=,了=-4均在(0，+0)上单测递增，则() 在(0，+∞)上单调递增， 当=1时，=兰取最小值，且最小位为：=-3， 当8时1=x兰取绿大值，且最大值为：=5 则以)-(1广-2（兰）+20转化为m0=r-2420, m()=-2+20的对称轴为直线1=1，-3≤1≤15 故=空时，m()=f-2+20取最大值， 且最大值为m(货)-（货）°-2x()+20=25, 故每月企业利润1()的最大值为245千万元 参考答案黑白题学霸43