3.3 幂函数-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 3.3 白题基础过关 题组1幂函数的概念及其应用 1.·多选(2026·广东珠海高一期中)下列 函数中，为幂函数的是 A.f(x)=x3 B.f(x)=2x2 C.f(x)=x1 D.f(x)=2x 2.·苏教教材变式(2026·河南周口高一期 末)已知幂函数f(x)=x的图象过点(2,4)， 则分) （) B. 4 C.4 D.8 3.*(2026·江苏盐城高一期末)已知幂函数 f(x)=（m2-m+1)xm的图象过点(2,2)，则 m= () A.0 B.2 C.1 D.3 4.*(2025·河南南阳高一期中)若幂函数 fx)=|m-1Ixm的定义域为R,则 m= 题组2幂函数的图象及其应用 5.*(2025·湖北武汉高一月考)图中C1,C2, C3为三个幂函数y=x“在第一象限内的图 象，则指数α的值依次可以是 () 23,7 B.-1,3,2 1 1 1 C.2,-1,3 D.-1,23 54 幂函数 限时40min1答案P39 6.*(2026·江苏宿迁高一期中)已知幂函数 f(x)=(2m2-1)xm的图象经过第三象限， 则m= ( A.-1 B.1 C.-2 D.2 7.*既在函数f(x)=x2的图象上，又在函数 g(x)=x的图象上的点是 A.(0,0) B.(1,1) c2,2） D. 32 8.*(2025·福建三明高一期中)已知幂函数 f(x)的图象经过点(2，√2)，则函数f(x)的图 象大致为 ( 0 B D 9.*（2026·湖北恩施高一期末)在同一坐标 系内，函数y=x(x>0)和y=mx+上的图象可 能是 题组3幂函数的性质及其应用 10.*★多选(2026·河北石家庄高一期末)已 知幂函数y=f(x)的图象过点(2，子)，则 A.f(x)=x2 B.y=f(x)的定义域是(0，+0)》 C.y=f(x)在定义域上单调递减 D.y=f(x)无最小值 11.*(2026·山东临沂一中高一期末)已知 幂函数f(x)=（a2-3a-3)x“在(0，+∞)上 单调递增，则a= () A.4 B.-1 C.-4 D.4或-1 12.*(2026·山西晋中高一月考)已知幂函 数f(x)=xm2+2m+(m∈Z)为奇函数，且在区 间(0，+∞)上是增函数，则m=（) A.1或4 B.0或4 C.1或2 D.0或2 13.*(2025·广东广州高一月考)若a=22, 6=()',c=3,则它们的大小关系是 A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 14.*(2026·安徽阜阳高一期末)已知幂函 数f(x)=(m2-2m-2)xm-1在(0，+∞)上单 调递减，则f(2)= 15.*(2026·浙江杭州高一期中)请写出 个同时满足下列两个条件的函数解析式： ①f(x)是奇函数；②f(x)是(0，+∞)上单调 递减的幂函数：f(x)= 第三章函数的概，念与性质黑白题学霸 16.*已知函数f(x)=(m2+3m-3)xm为幂函 数，且在区间(0，+∞)上单调递减. (1)求实数m的值； (2)请画出函数f(x)的草图. 17.*（2026·陕西西安高一月考)已知幂函 数f(x)=xm243m(m∈Z)的图象关于y轴对 称，且在区间(0，+∞)上单调递增. (1)求m的值； (2)求满足不等式f(2a-1)<f(a+1)的实数 a的取值范围。 55 学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 黑题能力提升 1.*多选(2025·四川泸州高一期末)下列 关于幂函数的说法正确的是 () A.图象必过点(1,1) B.可能是非奇非偶函数 C.都是单调函数 D.图象不会位于第四象限 2.*★幂函数y=xm2m(m∈Z)的图象如图所 示，则m的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 3.*(2026·山东菏泽高一期中)已知幂函数 f(x)=x“的图象过第一、二象限，且在 (0,+∞)上单调递增，则下列k值符合条件的 是 () 1 A.0 B.2 C.2 D.-2 4.多选(2026·河北雄安高一期末)已知 幂函数f(x)=(a2-a-1)x2-2在(0，+0)上单 调递增，则下列说法正确的是 () A.a=-1 B.a=2 C.f(x)为偶函数 D.f(m2+1)≥f(-2m) 5.*(2026·河北保定高一期中)设幂函数 f(x)=(2m2+m)xm的图象经过原点，若1<a< b,则 A.f(6)f(日)a)) B.f()s(3)sf)sa) c.b)<fa)sf(号)f(日） Da)sb)s)f(号) 56 限时30min1答案P40 6.**(2026·山西大同高一期末)幂函数 f代x)=(m2-m-1)xm242m3在区间(0，+∞)上 单调递增，且a+b>0,则fa)+f(b)的值 () A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 7.*多选(2026·湖南张家界高一期末)已 知A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2,是幂函数 f(x)=x图象上的任意两点，则以下结论正 确的是 () A.xf(x)<x2f(x2) B.f)) (x1,x2≠0) X2 c.) ->0 X2-x1 D. 2 8.*(2026·江苏南通高一期末)已知幂函数 y=f(x)的图象过点P(2,2),则y=f(x)+ f(1-x)的定义域为 9.*(2025·山东济宁高一月考)若幂函数 f(x)=(m2+m-5)xm2-2m+3为偶函数，则不等式 f(2x-1)>f(x+3)的解集为 10.*已知幂函数f代x)=(m2-m-1)xm2-2m-1. (1)求f(x)的解析式； (2)①若f(x)的图象不经过坐标原点，直接 写出函数f(x)的单调区间； ②若f(x)的图象经过坐标原点，解不等 式f2-x)>f(x).因为6()=++1图象的对称轴为=名e-1,2], ①当号≤-1，即6≥2时，8()在[-1,2]上单调递增， 则g(x2）=g(-1)=2-b,所以2-b<-1,解得b>3,所以b>3; ②当号≥2，即6≤-4时，8()在[-1,2]上单调递减。 则g(x2）mm=g(2)=5+2b, 所以5+2b<-1,解得b<-3,所以b≤-4； ③当-4<b<2时，g(x)在[-1,2]上先减再增， 则g(=(台）1所以1 ，b2 41, 解得b<-22或b>2W2,所以-4<b<-2√2： 综上所述，实数b的取值范围是(-0，-22)U(3,+0). 方法总结对于含有x,y的抽象函数的一般解题思路是：观察函数 关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项； 抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有x,y双 变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的 关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条 件以及选项来决定 念压轴挑战 14.B解析：因为f(x+1)是偶函数，所以f(x+1)=f(-x+1),所以 fx+2)=f代-x), 即f(2)=f0)=02+0=0, 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f代-x)=f(x), 即fx+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),所以函数f(x) 以4为周期， 即f(2024)=f(506×4)=f(0)=0,f(2025)=f(506×4+1)= f1)=12+1=2, f2026)=f(506×4+2)=f2)=f(0)=0, 所以f(2024)+f2025)+f2026)=2. 解析：要想对任意实数 名西西e[日]，使得以))数值为边长可胸 成三角形，只需2f(x)n>f(x)s, 设g(x)=x 1 -a, 当∈[片，1)时，函数g()单调递减，当e(1,3]时，函数 g(x)单调递增， 因为e)=2-ag3)-9G(兮）-9。 101 所以g(x)e2-a,3a 当2-a≥0时，即a≤2时， 1 f(x)=x+-a+1=g(x)+1, 此时)e3-a,号]， 因此由2(）寸()2(3-o)>号a=a<而a≤2， 5 所以a<3 当<0时，即当≥时， 1 此时)=x+安a+1=-g()+1, 此时)e[a子，a-i小， 因t由2(d=2(a号）》>a-1=o号而a≥9所 11 以a73' 若2-a<0c9时，即2a<时， 即当≤a<时， 显然此时∫(x)=1, f(x)mm=a-2+1=a-1, 由2y()()=2x1>a-1→a<3,显然8≤a<3, 若a-2<10 智a→a<，即当2<时， 8 显然此时f(x)血=1f(x)r3a+13 10 3a, 因此由y(>fp2x1>5ao>3所以3<a. 7 8 综上所述：实数a的取值范围为(-。，)U(仔，3）U 3.3幂函数 白题 基础过关 1.AC解析：由幂函数的定义知，只有A和C是幂函数， 2B解析：由题意得2=4，解得心=2，故)=，所以f(分） (日) 3.C解析：由函数f(x)=(m2-m+1)·x”为幂函数，可得 m2-m+1三 f(x)为幂函数，所以它是形如y=x“的函数 即m2-m=0,解得m=0或m=1, 当m=0时，f(x)=1,此时f(x)的图象不过点(2,2)，舍去； 当m=1时f代x)=x,此时f(x)的图象过点(2,2)，所以m=1. 4.2解析：由m-11=1,得m=0或2.当m=0时，f(x)=x°的定义域 不为R; 当m=2时，f(x)=x2的定义域为R,所以m=2. 5.D解析：由题图可知，C:在第一象限内单调递减，则指数x的值 满足<0； C2:在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数α的值 满足0<a<1; C,:在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数α的值 满足>1. 6.A解析：由题意得2m2-1=1,得m三 先根据暴函数的定义求出m的值，之后再进行判断 当m=1时，f(x)=x的图象不经过第三象限； 当m=-1时，(x)=x的图象经过第三象限综上，m=-1. 7.B解析：由幂函数y=x“的图象恒过点(1,1)，知B选项满足条件 8.C解析：设fx)=x,将(2,2)代人得2”=2，解得α=2 1 故f(x)=x2,其定义域为[0，+∞)，由幂函数的常见函数图象可 知，C正确. 参考答案黑白题学霸t39 9.B解析：对于A,由y=mx+二的图象可知m>0,与y=x(x>0)的 m 此时m>0且0，片以m>0 图象矛盾；对于B,由y=mx+的图象可知m<0, m 与y=x"(x>0)的图象相符，例如可取m=-1; 对于C,由y=mx+1的图象可知m<0, m 与y=x(x>0)的图象矛盾； 对于D,由y=m+的图象可知m心>0且<0，矛盾 10.AD解析：设幂函数的解析式为f(x)=x“,a为常数，因为f(x) 的图象过点(2,4）， 所以子=2，所以a=-2, 所以幂函数f代x)=x2,故A正确； 由=可知西数定义蚊为(-，0)u(0,+),故B不 正确； 因为-2x-1,此时-2)=4-1)=1， 不满足y=f(x)在定义域上单调递减，故C不正确； 由f代x)的函数定义域为(-0,0)U(0,+∞)，值域为(0，+∞)， 所以y=代x)无最小值，故D正确. 11.A解析：因为函数f(x)=（a2-3a-3)x“是幂函数， 则a2-3a-3=1,解得a=4或a=-1, 又因为幂函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，则a>0,所以a=4. 12.D解析：f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，∴.-m2+2m+3>0, 即m2-2m-3<0,-1<m<3,又m∈Z,.m=0,1,2, 当m=0,2时，f(x)=x3是奇函数， 当m=1时，(x)=x4是偶函数，不符合题意 所以m=0,2. 一题多解也可以直接把m=0,1,2,4代入，得到-m2+2m+3=3,4 或-5，只有m=0,2时满足条件. 13.A解析：因为y=x在(0，+∞)上单调递增，所以1宁<2<3，即 <1,即b<1,综上，c>a>b. 14.1 4 解析：由幂函数定义得m2-2m-2=1,解得m=3或m=-1. 当m=3时，x)=x2,在(0，+∞)上单调递增，不符合题意； 当m=-1时，f(x)=x2,在(0，+∞)上单调递减，符合题意. 所以到=，则2)=2-子 15.x(答案不唯一)解析：对于幂函数f(x)=x,定义域为 (-∞，0)U(0,+∞)， 由于=(-)=女)，即)=是奇函数： 且)=x'士在(0，+如)上单调递减，故符合题意的-个函数 为f(x)=x(答案不唯一). 16.解：(1)由m2+3m-3=1,得m=1或m=-4. ①当m=1时，f(x)=x,此时函数在区间(0，+∞)上单调递增，不 符合题意； ②当m=-4时f(x)=x“,此时函数在区间(0，+∞)上单调递减， 符合题意 40学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 故实数m的值为-4. (2)由(1)知f(x)=x4,则函数f(x)的定义域为(-∞，0)U (0,+0). 由f(-x)=(-x)4=x4=f(x)可知函数f代x)为偶函数，可画出函 数f(x)的草图为： 17.解：(1)由题意，幂函数f(x)的图象关于y轴对称，且在(0，+∞) 上单调递增，故可知其指数-m2+3m为正偶数， (-m2+3m>0, 故有{meZ,解得m=1或m=2. (-m2+3mEZ, 若m=1,则f(x)=x2,此时f(x)为偶函数，符合题意； 若m=2,则f(x)=x2,此时f(x)为偶函数，符合题意. 综上所述，m=1或m=2,f(x)=x2. (2)由f(2a-1)<f(a+1),可得(2a-1)2<(a+1)2,整理得3a(a- 2)<0, 解得0<a<2,即a∈(0,2). 黑题 能力提升 1.ABD解析：幂函数的解析式为y=x(a∈R),当x=1时，无论a 取何值，都有y=1,图象必过点(1,1)，A正确； 当a=时，y=,定义域为x1x≥0，此函数为非奇非偶函数， 所以可能是非奇非偶函数，B正确； 当a=2时，y=x2,此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数 不成立，C错误； 当x>0时，无论α取何值，都有y>0,所以图象不会位于第四象限， D正确. 2.C解析：由题中的函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指数小 于0.当m=0时，m2-4m=0,不符合题意； 当m=1时，m2-4m=-3,幂函数为奇函数，不符合题意； 当m=2时，m2-4m=-4,满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符 合题意： 当m=3时，m2-4m=-3,幂函数为奇函数，不合题意.因此m的值 为2. 方法总结幂函数y=x“的性质和图象，由于α的取值不同而比较 复杂，一般可从三方面考查： (1)α的正负：a>0时图象经过点(0,0)和(1,1)，在第一象限的部 分“上升”； α<0时图象不经过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下 降”； (2)曲线在第一象限的凹凸性：a>1时曲线下凸，0<a<1时曲线上 凸，a<0时曲线下凸； (3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数暴或根式形式，再 根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性。 3.C解析：因为幂函数f(x)=x在(0，+∞)上单调递增，所以k>0, 故A,D不正确； 当k=之时x)=产的定义域为[0，+如)，图象不经过第二象限， 故B不正确； 当k=2时(x)=x2的图象过第一、二象限，且在(0，+∞)上单调 递增，故C正确. 4.BCD解析：因为f(x)=(a2-a-1)x是幂函数，所以a2-a-1= 1,解得a=2或a=-1,又因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以 a2-2>0,所以a=2,所以A错误，B正确： 由上述分析可得f(x)=x2,则f(-x)=（-x)2=x2=f(x),所以f(x) 为偶函数，C正确； 因为f(x)为偶函数，所以f(-2m)=f21ml),又m2+1-21ml= （Iml-1)2≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以f代m2+1)≥f(-2m),故D正确. 5.A解析：因为f(x)=(2m2+m)xm是幂函数 所以2m+m=1,解得m=2或m=-1 又八到的图象经过原点，所以m=分，即)=产 11 因为1<a<b,所以0<6a<1ca<b,， 又因为f代x)=x在[0，+∞)上单调递增， 所以r(公)（合））6). 6.A解析：幂函数f代x)=(m2-m-1)xm42m3在区间(0，+o)上单调 递增， (m2-m-1=1,解得m=2,f代x)=, m2+2m-3>0, f(x)在R上为奇函数， 由a+b>0,得a>-b, f(x)在R上为单调增函数，f(a)>f(-b)=f(b), f八a)+fb)>0恒成立. 7.ACD解析：幂函数f代x)=x的定义域为[0，+0)， xfx1)=x1·(x1)=(x1),x代x2)=x2·(x2)=(x2)， 函数y=x在[0，+0)单调递增，0≤x,<x2, (x1)<(x2),即xf代x1)<xf(x2),故A正确； f八x1)（x1) =()÷,八)() x22 =(x2), 函数y=x寸在(0，+0)单调递减，x1,x2≠0，x1<x2,即0<x1<2, ()*>()中，即八放B销误 x1 x2 幂函数f(x)=x产在[0，+∞)上单调递增，0≤x<x2, .x2-x1>0fx<f(x2),即f(x2)-f(x1)>0, ,孔)>0，故C正确； x2-x1 作2）o).0, 2 2 244244 w-)0, ，5/（产），如正确 2 2 重难点拔D选项也可以通过图象直接判断，对于幂函数∫(x)= x宁，其图象上凸，因此函数值在两点中点处的取值大于两，点函数值 的平均值 8.[0,1]解析：设y=fx)=x, 1 代人点P(2,2),可得2=2，解得α=2， 所以(x)=x产， 要使)1-)有意义，则0解得0≤≤1， 所以函数的定义域为[0,1] 9.气，号)u(4,+)解折：因为)=(m+m-5)· 为幂函数，则m2+m-5=1,解得m=-3或m=2. 当m=2时，f(x)=x3,为奇函数，不符合题意： 当m=-3时f(x)=x8,为偶函数，符合题意，且在(-∞，0)上单调 递减，在(0，+∞)上单调递增. 若f(2x-1)>f(x+3), 则12-1>1+31，解得<子或4， 即不等式的解袋为(-m,子)U(4,+)。 10.解：(1)因为f(x)=(m2-m-1)·x*2m-1为幂函数， 所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,所以函数f(x)的解析式为 fx)=2或fx)=x=文 1 (2)①因为)的图象不经过坐标原点，所以x)==,所 以函数的单调递减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，无单调递增区间. ②因为f代x)的图象经过坐标原点，所以f(x)=x2.因为f(x)=x2 为偶函数，且在区间[0，+0)上为增函数，所以f(12-x1)> f(Ix),即I2-x>xl,两边平方解得x<1,所以不等式的解集为 (-0,1) 3.4函数的应用（一） 白题 基础过关 1.D解析：因为利润z=12x-(6x+30000)=6x-30000,由z≥0，解得 x≥5000，故至少日生产文具盒5000套. 2.A解析：当销售量为4台时，该公司盈利0万元，故A错误： 当销售量多于4台时，该公司才开始盈利，故B正确； 当销售量为2台时，该公司亏本1万元，故C正确； 当销售量为6台时，该公司盈利1万元，故D正确。 3.A解析：由题意，h=-3.6t2+28.8t=-3.6(t2-8t+16)+57.6= -3.6(t4)2+57.6,则当t=4时，烟花达到最高点，即爆裂的时刻是 第4秒. 4.B解析：设红灯笼每对售价提高x元，一天获得的利润为y元. 由题意得y=(50+x-30)(100-x)=-x2+80x+2000=-(x-40)2+ 3600 因为销售单价不得高于每对68元，所以x≤18，所以当x=18时， 即该种灯笼的销售单价为68元时，一天获得的利润最大，最大利 润为3116元. 5.20解析：如图，设锐角三角形为△PQR,过点P作PN⊥QR于点N, 其内接矩形为ABCD,PN与AB交于点M,则AB=xm,设AD=ym, 由矩形性质可得AB∥CD,则△PAB与△PQR相似，△PMB与 △PNR相似， 则有跟贺茹0限6即后行即y=0, 则矩形面积S=y=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400, 则当x=20m时，矩形面积最大 \B40m Q. -40m 重难点拨1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为 函数 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式或 者函数性质求得函数的最值 3.在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变 量的取值范围)内求解」 参考答案黑白题学霸41