3.2.1 单调性与最大(小)值-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

3.A解析：将f(x)=(x-1)2,g(x)=2x+1,h(x)=1,画在同一个直 角坐标系中， y=(x- y=2x+1 由函数m(x)=min{f(x),g(x),h(x)}的定义，取三个函数中的最 小者，可得m(x)图象 4.D解析：①当x+2≥0，即x≥-2时f(x+2)=1. 由x+(x+2)·+2)≤5可得x+x+2≤5，x≤)，即-2≤x≤ 3 ②当x+2<0,即x<-2时，f(x+2)=-1. 由x+(x+2)·f(x+2)≤5可得x-(x+2)≤5，.x<-2. 综上，不等式的解樂为(，] 5.A解析：a≠0，f1-a)=f(1+a),当a>0时，1-a<1<1+a,则 f1-a)=2(1-a)+a=2-a,f1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a,.2-a= 1-30,即a=2(含)： 当a<0时，1+a<1<1-a,则f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1+a)= 2(1+a)ta=2+3a,-1-a=2+3a,即a=-4 3 3 综上可得，a=-4 6.B解析：由t∈M,可知f(t)=2+1∈[1,3]，且0≤f(2+1)≤1， ①当2t+1∈M即2t+1=1时，f(2t+1)=f(1)=3M,不符合题意. ②当2t+1∈N即t∈(0,1]时， f(2t+1)=6-3(2t+1)=3-6teM, 解得t [行]，符合条件 故：的取值范图为[兮] 7.(2,1山)解析：因为代x)=1Ⅱ V-21 所以x-2>0,解得x>2, 即f(x)的定义域为(2，+∞)， 若y=f(x)f13-x)有意义， 则>2，，解得2<1， 13-x>2, 即y=f(x)-f13-x)的定义域为(2,11). 8.f(x)=x(答案不唯一)解析：若f(x)=kx,则f(x+y)=k(x+y), f八x)+f(y)=kx+y=k(x+y),所以f(x)=x(答案不唯一，只要满足 f八x)=kx,k≠0即可). 9.-3(-0,3)解析：因为函数f(x)=+“的定义域为 x-b +a≥0所以≥-a, (x-b≠0， (x≠b, 而函数f代x)=+的定义域为[3，+0)， x-b 所以-a=3,b<3,即a=-3, 实数b的取值范围为(-∞，3). ◆压轴挑战 4x,0≤x≤ 1 4 1 1 2(1-2x),4x≤2， 10.4解析：依题意可得ff(x)= 13 2(2x-1),2<x<4, 3 4(1-),4≤x≤1. 当0≤≤时，由到)=x,即4k=x,得x=0: 当}≤时，由)=，即2(1-2)=，得=号 2 当}<子时，由)=即22-10=得子 4 当及≤≤1时，由f)=,即4(1-)=，得x=子 4 综上可得，方程f(f(x))=x有4个实数根. 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 第1课时函数的单调性 白题 基础过关 1.B解标析：由a)b）<0知a)b)与a-b异号，即当a<b时， a-b f代a)>fb),或当a>b时fa)<fb),所以f(x)在R上是减函数. 2.BC解析：对于A选项，若函数代x)在R上为增函数，则对于任 意的x1,x2eR且x<x2,则fx1)<f(x2)一定成立，若f3)>f2) 成立，不具有一般性，比如(2)>f(0)不一定成立，所以函数f(x) 在R上不一定是增函数，A错误： 对于B选项，若函数f代x)在R上为减函数，则对于任意的x1,x2∈ R且x<x2,则f(x)>f(x2)一定成立，所以f(3)<f(2)一定成立， 所以若f代3)>f代2)，则函数f(x)在R上不是减函数，故B正确； 对于C选项，若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是增函 数，在区间[0，+0)上也是增函数，则满足对于任意的x1,x2∈R 且x1<x2f(x1)<fx2)一定成立，所以函数f(x)在R上是增函数， 符合增函数的定义，故C正确； 对于D项浸活点-儿10是定义在R上的高数且 f(x)在区间(-0,0]上是增函数，在区间(0，+0)上也是增函数， 而-1<1，但(-1)=f(1),不符合增函数的定义，所以函数(x)在 R上不是增函数，故D错误. 3.ABC解析：A,B选项，y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，且0<x1< x2,故f(x1)>f(x2)fx1)-f(x2)>0,A,B正确； C,D选项，因为x1-x2<0,f(x1)-f(x2)>0,所以(x1-x2)(f(x1)- f2)<0, x)-fx）<0,C正确，D错误 x1-2 重难点拨若函数f(x)在[a,b]上是增函数， 对于任意的，e[a,b](≠)，有孔)）0（或者 x1一x2 (x1-x2)(f(x1)-fx2))>0); 若函数f(x)在[a,b]上是减函数， 对于任意的，西e[a,b](≠)，有))<0（或者 x1-x2 (x1-x2)(f(x1）f(x2))<0) 4.D解析：由函数f(x)的图象可知， 参考答案黑白题学霸29 f(x)单调递增区间是[-4，-1]，[141， 用逗号或者“和”连接 又由图知f(-3)=0>f1)=-2,而-3<1，所以A不正确. 易错提醒如果函数有多个单调区间，在书写时用“，”或“和”隔 开，不能用“U”联结。 5.A解析：对于Af(x)=-x2+x-6的图象开口向下，对称轴为直线 =了，故其单调递增区问为-，分]，故A正确： 11 对于B,f(x)=-x2在区间[0，+∞)上单调递减，故B错误； 对于C(x)=的定义域为x1x≠0，故其在区间(-0，+)上 不具有单调性，故C错误； 对于D,f代(x)=-x+1是R上的减函数，故D错误 （x-4,x≥4， 6.(-0,4]解析：y=|x-41= (-x+4,x<4, 作出函数图象，如图所示： y 0 所以函数y=1x-41的单调递减区间为(-∞，4]. 7.[0,1)解析：当x<0时，f(x)=-2x+1单调递减； 当x≥0时，f(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,在区间[0,1)上单调递 增，在区间(1，+∞)上单调递减. 8(号0）小，（侵+）解桥：当≥0时）=-3+2，对称 轴为直线x=2, 3 )在[0，)上单调递减，(？，+)上单调递增； 当x<0时，(x)=x2-3·(-x)+2=x2+3x+2 对称轴为直线x=一2 3 x)在(-“，子)上单调递减，(，0）上单调递增， 综上所述✉)的递蜡区间为（子，0），(3，+=)， 9.解：(1)因为(x)=x+m的图象经过点(1,5)， 所以代1)=1+m=5,解得m=4,所以(x)=+4（x≠0)： 注意函数的定义域要求x≠0 (2)f(x)在(0,2)上单调递减证明如下： 设Vx1,2∈(0,2)，且x1<x2, 则fx1)x)三x1-2+ 44（x1-x2)(x1x2-4) X1 %2 12 利用单调性的定义进行证明 因为0<x1<x2<2,所以x1-x2<0,0<x1x2<4, 所以)（-40，则)-，)>0， X1X2 即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,2)上单调递减. 0学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 方法总结1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值； (2)作差； (3)定号； (4)判断. 2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、 图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性（导数在选择性必 修第二册中学习) 10.D解析：函数f(x)=x2-2ax+3的对称轴是直线x=a,开口向上， :f代x)=x2-2ax+3在区间(-∞，11上单调递减， .对称轴是直线x=a在区间(-0,1]的右侧或对称轴为直线x=1, .a≥1. 11.BCD解析：设Hx1,x2∈R,x1<x2, 则有f(x)fx2),所以-fx,)>fx2),选项A成立； 取f(x)=x,则选项B,C不成立； 取a=-1,则y=-f(x)在R上是减函数，D不成立. 12.C解析：y=fx)是定义在R上的减函数，a≠0，a与2a的大小 关系不能确定，从而f代a),f(2a)关系不确定，故A错误； a2-a=a(a-1),a<0或a>1时，a2>a; 0<a<1时，a2<a,故f(a2)fa)关系不确定，故B错误； a2+a-a=a2>0,a2+a>a,∴f(a2+a)<f(a),故C正确； a2+a-a-1=a2-1=(a+1)(a-1),a<-1或a>1时，a2+a>a+1: -1<a<1时，a2+a<a+1,故f(a2+a)f(a+1)关系不确定，D错误 13.ABD解析：若a=0,f(x)=lxl,此时A满足； 若a>0,当x>0时，()=x-4为增函数，当x<0时，f(x)=-气+ :))在(-，@)上单调递减，(a,0)上单调递增，此时 D满足； 若a<0,当x0时x)=x+,此时)在(0，Va)上单调递 减，（√一a,+o)上单调递增， 当x<0时，x)=-x+为减函数，此时B满足 14.(子，2）解析：者a=0,则八)=-4为一次函数，在(1,3)单 调，不符合题意， 当a≠0时x)=ar2-4r+a为二次函数，对称轴为直线x=2 a 要使x)=ax-4+a在区间(1,3)上不单调，则1<2<3， 解得2 <a<2,综上可得a<2 15.(1,+）解析：y=ax+1_a(x+1)-a+11-a -=a x+1 x+1 x+1 函数y在1，+)上是增函数1a0,解得aL 16.(1,4)解析：当x<0时，函数f(x)=-x2+2在(-∞，0)上单调递 增，f(x)<2; 当x≥0时，函数f(x)=x+2在[0，+∞)上单调递增，f(x)≥2，因 此函数f(x)在R上是增函数，不等式f(2x-4)>f(x2-3x)台2x 4>x2-3x,即x2-5x+4<0,解得1<x<4,所以原不等式的解集为(1， 4). 令易错聚焦 17.A解析：因为函数f(x)是定义在(0,1)上的减函数， 1 由2-1(3) 2x-1>x-3’ 得0<2x-1i,解得号<1 注意满足定义域条件 1 0<x 31, 易错提醒》利用函数单调性解决问题时，要先求出函数的定义域， 再进行求解 x2-2ax+6,x≤1， 18.C解析：因为函数f(x)= 是R上的减函数， 函数f(x)=x2-2ax+6在(-∞，1]上为减函数，则a≥1， 函数f(x)=a在(1，+0)上为减函数，则>0， 7 且有1-2a+6≥0，解得a≤3， 对于分段函数，需要考虑端点处的取值 综上所述，实数。的取值范描是1，子] 易错提醒分段函数是一个函数，利用函数单调性解决问题时，要 注意考虑端点处的取值 黑题 能力提升 1.AD解析：因为函数y=9+12x-4x2的图象的对称轴为直线x= ,开口向下，故函数在区间(3，+∞)上单调递减，A正确； 3 函数y女在区间(-，1.(1，+)上单调递增，但在区 间(-∞，1)U(1,+∞)上不单调递增，例如，0<2，但f0)=1> f(2)=-1,故B错误； 函数y=√8+2x-x要有意义，则-x2+2x+8≥0，解得-2≤x≤4，即 函数的定义域为[-2,4]，故在区间(-∞，1]上单调递增错误， 故C错误； f(x)是定义在R上的减函数，若a>b,则f(a)<fb).又-b>-a,所 以f(-b)<f(-a),所以fa)+f(-b)<fb)+f(-a),故D正确. 2.B解析：由题意得-x2+8x>0,解得0<x<8, 故f(x)= 1一的定义域为(0,8)， √-x2+8x 一先讨论函鼓的定义城 由于y=二在(0，+0)上单调递减， 由复合函数单调性可知， 再根据复合函数的单调性进行求解 只需求解t=-x+8x在(0,8)内的单调递增区间即可， t=-x2+8x开口向下，对称轴为直线x=4,故(0,4)即为所求 方法总结对于复合函数y=f(g(x),若y=f(u)与u=g(x)的单调 性相同，则y=f(g(x)为单调递增函数；若y=f(u)与u=g(x)的单 调性相反，则y=(g(x))为单调递减函数，简记为“同增异减”. 3C解析：fx)=+1-】 1+,若f(x)在区间(-2，+∞)上单调递 嘴，则收2解≤2 4.B解析：由题意，函数f(x)在区间(-∞，+∞)上是增函数， 又由a+b≤0，可得a≤-b且b≤-a, 所以f(a)≤f(-b)且fb)≤f-a), 所以f(a)+fb)≤f(-a)+f(-b). 5.D解析：由函数f(x)满足对Hx1,x2eR且1≠x2, 都有)）0 x1-x2 可得函数f(x)在R上单调递增， 2a≥1， 解得 .4 因此1-3a<0 -1+4a+1≤1-3a+3, 则实数。的取值范围是[分，号] 6(-,5)和（号+） 解析：由题意， 因为fx)= (x+5)(2-x),x≥-5， (x+5)(x-2),x<-5, 作出y=f(x)的图象如下图所示， y=fx) 0 由图象可知，f(x)=|x+51(2-x)的单调递减区间是(-0，-5)和 (+） ((a+1)x+1,x≥0， 7.解：(1)已知f(x)= ((1-a)x+1,x<0. ~在R上是塔数一行0 a∈(-1,1) (2)当a=1时，fx)=1x1+x+1= (2x+1,≥0，作出图象，如图所示 (1,x<0, x2+1≥1，又f1-x)>f(x2+1),.可得 3-2-10123 1-x>x2+1,解得-1<x<0.故所求不等式 -1 的解集为(-1,0). -2 重难点拨1.利用单调性求参数的取值（范围）的思路： 根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组）)或先得到 其图象的增减，再结合图象求解对于分段函数，要注意衔接点的取值 2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内， 然后利用函数的单调性解决 (2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱 去“” 念压轴挑战 8.D解析：函数f(x)满足对任意的x1,x2e(0,+∞)，x1≠x2,都 有)-）<0， x1-x2 令g()-,则g)-g)）-）, X12 先把所给式子转化为我们熟悉的形式 不妨设x1>x2>0,则有g(x1)<g(x2),∴g(x)在(0，+∞)上单调递 减， 由到2,2,0，可得-2-20 由定义域可知：-2>0，所以2， (x>0, 注意定义域的限制 八2，即g(x>g(-2》,故>D,解得2 x2-2 (x<x2-2, 重难点拔本题的关健是构造函数g(x),将抽象条件转化为单 调性. 第2课时函数的最大（小）值 白题 基础过关 1.BD解析：对于A,B选项，由函数f(x)图象可得，在[-4，-1]和 [1,3]上单调递减，在[-1,1]上单调递增，故A错误，B正确； 对于C选项，由图象可得，函数f(x)在区间(-1,3)上的最大值为 3,无最小值，故C错误； 对于D选项，由图象可得，函数f(x)在区间[-1,3]上有最大值3， 有最小值-2，故D正确 参考答案黑白题学霸31 2.AC解析：函数f代x)=x-1在区间[1,3]上单调递增，所以x)= 在区间[1,3]上的最大值为3)=号，最小值为)=0 3.B解析：由题意可知函数的定义域为(-∞，3]， 可知f代x)=2x-√3-x在定义域上单调递增， 可知f(3)=6,所以f(x)e(-0,6]. 4.B解析：设t5fx)(>2)x 把t当做新的自变量 所以y=+在(2，+m)上单调递增， 则y=+1>2+ 15 22’ 所以函数P到=大的值城是(3+) 5.A解析：y=f(x)=x2-2x-3,可得对称轴为直线x=1, 且f1)=-4且为最小值， 又由f0)=f(2)=-3, 函数y=x2-2x-3的定义域为[0，a],值域为[-4，-3]， 可得1≤a≤2， 即a的取值范围是[1,2]. 6.A解析：函数代x)=2+m=2+m-2 x+1 x+1 当m=2时，f(x)=2,不满足函数f(x)在区间[0,1]上最大值为1， 不符合题意； 当m>2时，函数代r)=24+m在区间[0,1]上单调递减， x+1 所以最大值为f(0)=m=1,不符合题意； 当m<2时，函数代x)=2+m在区间[0,1]上单调递增， x+1 所以最大值为1)=2空-1，解得m=0:综上所述，实数m=0 7.A解析：当x=0时，f(0)=a2,因为f(x)的最小值为f(0), 所以f(x)在区间(-0,0]上单调递减，故a≤0，且a2≤x+1+a,在 (0,+∞)上恒成立. 又+≥2，反，=2，当且仅当=1时等号成立，所以a≤2， X x 解得-1≤a≤2. 综上，a的取值范围是[-1,0]. 8.6解析：由题可知，函数y在区间(0,6]上单调递增，在区间(6， 16]上单调递减， 因此函数在x=6时取得最大值，即该流水线上工人的数量应为6 ,.（0,号]解析：由题设，当≥a时)= 当x<a时f(x)=2a-x,∴f（x)= (2a-x,x<a, (x,x≥a. .函数f(x)在区间[4,5]上的最大值是5，∴.若a≥5，则f(x)在区 间[4,5]上单阔递减，最大值为4)=2a-4=5,可得a=?(合 去)： 若4<a<5,则f(x)在区间[4，a)上单调递减，在区间[a,5]上单调 递增，面4)=2a-45)=5,此时2a-4≤5即可，可得a≤号， 9 .4<a≤29 若a≤4，则f(x)在区间[4,5]上单调递增，且f(5)=5符合题意.综 2学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 上，a≤2 9 重难点拔求函数最值的四种常用方法： （1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值 (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高，点、最低，点，求出最值 (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等” 的条件后用基本不等式求出最值 (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点 值，求出最值（导数在选择性必修第二册中学习）. ◇重难聚焦 10.B解析：不等式x-2x-2-a≤0a≥x-2Wx-2,当xe[4,9]时， √xe[2,3], 则x-2x-2=(x-1)-3e[-2,1],依题意，a≥-2， 所以实数a的取值范围是[-2，+o). 1.{m0cm<号或m<0解折：要使e[1,3】)<-m+5恒 成立，.mx2-mx+m-6<0. 则a(）广，：-6c0在61,3上成立 1112.3 令g(x)=m(x2)+4m-6,e[1,3],m0 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 6 g(x)=g(3)=7m-6<0,则0<m<7 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数， ∴g(x)m=g(1)=m-6<0,解得m<6,故m<0. 综上所述，m的取值范围是{m0<m<或m<0} 一题多解当我们得出mx2-mx+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立时， 也可以化简为(x2-x+1)m-6<0, 因为x>1,所以其中x2-x+1=x(x-1)+1>0, 所以有m<2-+灯 6 对x∈[1,3]上恒成立， 6 6 令g(x)= x2-x+1 1123 xe[1,3], x2+4 则g(x)在xe[1,3]上单调递减， 6 所以m<g(x)=g(3)=7, 所以m的取值范围为m<号且m≠0， 黑题 能力提升 1.B解析：“函数f代x)在[-1,1]上有最大值”不能推出“函数f(x) 在[-1,1]上单调”， 如函数y=x2在[-1,1]上有最大值1，但函数y=x2在[-1,1]上不 单调，所以充分性不成立： 若“函数f(x)在[-1,1]上单调”则“函数f代x)在[-1,1]上有最大 值为f(-1)或f(1)”,必要性成立， 所以函数f(x)在[-1,1]上有最大值”是“函数f(x)在[-1,1]上 单调”的必要不充分条件 2AD解折：对于A,由)=2，可得名2，解得x=14,故A正确， 对于B,x)=*+21+8的定义域为(-0,6)U(6,+0),所以 x-6x-6 f(x)在(-∞，6)上单调递减，且f(x)<1,f(x)在(6，+∞)上单调递 减，且fx)>1,故f(x)在(-∞，6)U(6,+∞)上不是单调函数，故 B错误； 对于C,由B可得，当x∈[2,6)时，f(x)≤f(2)=-1,当x∈(6,8] 时，fx)≥f(8)=5,所以f(x)的值域是(-∞，-1]U[5,+∞)，当 x=6时，f(x)无意义，故C错误； 1 当x∈N且xe[0,6)时，-7=f5)≤fx)≤f0)=-3,当xeN且 xe(6,+∞)时，1<f(x)≤f(7)=9,所以若xeN,则函数f(x)有最 小值也有最大值，故D正确. (1 3.A解析：因为函数f(x)= 文<0的最小值为0， x+a,x≥0 且当<0时八x)=#>0 所以当x≥0时f(x)=x+a的最小值为0. f(x)=x+a在[0，+∞)上单调递增，所以f(0)=a=0. 4B解析：因为最值在0)=6，)=1a6,f(受）=6-于中取， 端点和对称轴 所以最值之差与a有关，与b无关 5.D解析：根据题意，函数f(x)的定义域为[4，+∞)， 且由于y=√x-4在区间[4，+0)上单调递增， y=V√x2-2x=√(x-1)2-1在区间[4，+)上单调递增， 所以函数f(x)在区间[4，+)上单调递增， 所以f(x)n=f(4)=22. 6.C解析：令g(x)f' 1 则g()=+2+10(+1)2+9 x+1 x+1 (x+1)+9 +1 令+1，则te[1,9],原函数化为y=4+2(1≤1≤9)。 该函数在[1,3]上单调递减，在[3,9]上单调递增， 又当t=1时，y=10,当t=3时，y=6,当t=9时，y=10, :函数g()=+2x+10（0≤≤8)的值域为[6,101， x+1 则不数到400≤：≤)的值城为[品石】 7.A解析：当a<0时，(x)在(-∞，a)上单调递增，此时f(x)无最 小值，不合题意； 1,x<0, 当a=0时)={(x-2)2,x≥0， 当x≥0时f(x)n=f(2)=0,又x<0时f(x)=1, f代x)存在最小值0，满足题意； 当0<a<2时f(x)在(-o,a),(a,2)上单调递减，在(2，+o)上单 调递增， 若f(x)存在最小值，则-a2+1≥f2)=0,解得-1≤a≤1，∴.0<a≤1； 当a≥2时代x)在(-，a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增， 若f(x)存在最小值，则-a2+1≥f代a)=(a-2)2,不等式无解； 综上所述，实数a的取值范围为[0,1]，则a的最大值为1. 8,B解祈：因为xe1,4时，y=x+4在1,2上单调递减，在2 4]上单调递增， 所以x+4e[4,5], 当≥5时)=a--4+a=2a-（x+4）, x 此时✉)的最大值24-4=5，所以a=号，舍去： 4 当a≤4时f(x)=x+ -a+a=x+4≤5，符合题意； 当4<a<5时，f(x)x=max{l4-al+a,l5-al+a, 则l4-al+a≥15-al+a,或14-al+a<l5-al+a, (14-al+a=5 (15-al+a=5 9 9 解得a=2或4<a<2, 综上，实数。的取值范围是(，号] 9.57600解析：由题意， 该公司的月利润f(x)=R-10000-80x= -x2+520x-10000,0≤x≤400， 50000-30x,x>400, 故函数y=f(x)在[0,260]上单调递增，在(260，+∞)上单调递减， 故f代x)m=f260)=57600,即该公司的月利润的最大值为57600元 方法总结实际应用题中求最值，通常先建立函数模型（注意分 段)，再分别求各段的最值，最后比较得出整体最值二次函数最值 注意对称轴与定义域的位置关系 解折认)=≥0， (-x2,x<0, 因为y=-x2在(-∞，0)上单调递增，y=x2在[0，+∞)上单调递 增，且代x)连续，所以f(x)在R上单调递增， 因为4f(x)=4xlxl=2x|2xl=f(2x)， 所以不等式f(x2+t)≤4f(x)台f(x2+t)≤f(2x)台x2+t≤2x, 所以对任意x∈[t,t+1],t≤-x2+2x恒成立，即t≤(-x2+2x)im 因为y=-x2+2x=-(x-1)2+1的图象开口向下， 所以s+2, (≤-(+1)2+2(t+1) 解得0ss-1+5 2 最小值在端点处取得 11.-3(0,1)解析：当x=-1时，a=x2=(-1)2=1,b=-(-1)2+2× (-1)=-3, 所以a>b,a+b=1-3=-2<0, 所以f(a,b)=a+b-max{a,b}=1-3-1=-3; 因为a=x2,b=-x2+2x,所以a+b=x2-x2+2x=2x, 当a+b=2x≥0时，解得x≥0， 当a>b时，即x2>-x2+2x,解得x<0或x>1; 所以当0≤x≤1时，a≤b; 当x>1时，a>b,a+b≥0，可得g(x)=f(a,b)=a=x2, 当0≤x≤1时，a+b≥0，a≤b,可得g(x)=f(a,b)=b=-x2+2x; 当x<0时，a>b,a+b<0,可得g(x)=fa,b)=a+b-a=-x2+2x; 可得四=仁以引 因为y=x2在(1，+∞)上单调递增，y=-x2+2x=-(x-1)2+1在 (-∞，1]上单调递增，且函数g(x)在x=1处连续，因此g(x)在 R上单调递增， 要使g(x)>g(x2),则x>x2,解得0<x<1, 所以实数x的取值范围是(0,1). 12.解：(1)因为不等式f(x)<0的解集为(2,3)，所以2,3为方程x2+ bx+c=0的两根， 由根与系数的关系可得2+3=-b,2×3=c,所以b=-5,c=6. (2)由(1)可知，f(x)=x2-5x+6且满足x∈[0,1]，x2-5x+6> 2x+m恒成立， 等价于m<(x2-7x+6)m, 7 当0≤x≤1时，函数y=-7x+6图象的对称轴为直线x=2,开 口向上， 参考答案黑白题学霸33 所以函数y=x2-7x+6在[0,1]上单调递减， 所以当x=1时，y有最小值0 所以m<0,实数m的取值范围为(-，0). (x+3,x≤1， 13.解：(1)当k=1时，f(x)= 31 3 m+3 2'或 m+- -1= 2 m≤1 m>1, 解得m=-或m=2,所以实数m的值为-或2 3 (2)当x≤1时f(x)=x+3,值域为(-∞，4].分以下两种情形来讨 论： 情形一：若0<k≤1，此时瓜≤1，则)=x+-1在区间(1，+） 上单调递增，此时f代x)的值域为(k,+∞)，所以函数f代x)的值域 为(-0,4]U(k,+∞)=R,满足题意.所以0<k≤1满足题意. 情形二：若1，此时>1，则x)=+-1在区间(1，]上单 调递减，在区间（仄，+∞）上单调递增，此时f代x)的值域为[2仄- 1,+∞)，所以f(x)的值域为(-0,4]U[2仄-1，+0)，由题意可 得2瓜-1≤4，解得k≤行，所以1<k≤空综上，k的取值范固是 14.解：(1)令x-1=t,可得x=t+1, 由f代x-1)=x2-6x+7可得f代t)=(t+1)2-6(t+1)+7=2-4t+2, 所以函数f代x)的解析式为f代x)=x2-4x+2. (2)由(1)可得g(x)=f(x)+ax=x2+(a-4)x+2, 易知函数g()的图象关于直线：4对称，且开口向上， 当2≤2，即a≥0时，此时函数g()在[2,4]上单调递增， 因此g(x)mn=g(2)=2a-2; 当2<<4，即-4a<0时，函数g()在[2.]上单调递减。 在[2,4]单调递增： (4a=-41 因此g(x)m=g(2 2-dt2a-2 当≥4，即a≤-4时，此时两数g()在[2,4]上单调递减， 因此g(x)mm=g(4)=4a+2. 综上可知，函数g(x)在[2,4]上的最小值为g(a)= [2a-2,a≥0， 号2a-24kaw, 4a+2,a≤-4. (3)易知a(x)=+3+3 2=x+,h(x)在(3，+∞)上单调递增， 因此对任意名e[2,4],满足A(x)≤6(4)=9恒成立。 由“对任意x1∈[2,4]，总存在x2∈[2,4]，使得h(x1)≤g(x2)” 可得h(x,)≤g(x2)m即可， 19 因此g(x2)mar≥ 4 又因为g(x2）m=maxg(2),g(4){, 由(2)中分析可知当g(4)=4a+2≥g(2)=2a-2,即a≥-2， 4学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 所以只需满足4+2≥19即可，解得≥ 6 当g(2)>g(4),即a<-2,因此只需满足2a-2≥？，解得a≥与 8 a<-2矛盾，舍去； 所以实数α的取值范围为 念压轴挑战 15.B解析：由已知得f(x)=24+2+1+ 21 r1 =2x++京+ (+)+2(+）-2. 令=+，因为xe1,21,所以re[2,],所以y=+2x-2, 所以，当1=2时=2+2x2-2=6,当=时，7=（月八+ 2x3-27即e=6f 所以对任意x,x2∈[1,2]： 考虑f(x,)和f(x2)的差最大的情况 )-)f(mfe)。-76=. 13 所以对任意E1,2】,海有)-，》≤-子m+分，等 241 即4-7m-1≥0，解得m≤-1或m≥4，所以实数m的取值范 围是(-，1小u[4,+=） 16.（-0,2]解析：因为函数f(x)是定义在[1，+0)上的单调函 数， 设g(x),则)=2且三)-2+ 令x=4,可得1=)-2+，所以=2-2+，即2-+1=2， 可得1=1为该方程唯一解，所以x)=2-1+1,且在[1，+0） 上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(1)=2, 因为f代x)≥k恒成立，所以k≤2， 所以实数k的取值范围为(-∞，2]。 重难点拨1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就 是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外经 常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁 的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数 3.2.2奇偶性 白题 基础过关 1.C解析：函数y=f代x)(x∈R)是奇函数，∴f代-a)=-f代a),即奇 函数y=f代x)(xeR)的图象必定经过点(-a,f(a). 2.B解析：若f(x)是偶函数，则函数f(x)的定义域关于原点对称， 若函数f(x)的定义域关于原点对称，但f(-x)=f(x)不一定成立， 比如f(x)=x的定义域为R,但不是偶函数， 所以“函数fx)的定义域关于原点对称”是“函数f(x)为偶函数” 的必要不充分条件学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 3.2 函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 白题 基础过关 限时40min1答案P29 题组1函数单调性概念的理解 区间是 1.*若定义在R上的函数f(x)对任意两个不 相等的实数a,b,总有代a)fb) <0成立，则 a-b 必有 A.f(x)在R上是增函数 A.[-4,-1]U[1,4] B.f(x)在R上是减函数 B.[-1,1] C.函数f(x)先增后减 C.[-2,2] D.函数f(x)先减后增 D.[-4,-1],[1,4] 2.*多选下面说法正确的是 5.★下列选项中正确的是 A.若定义在R上的函数f(x)满足f(3)> A.函数f(x)=-x2+x-6的单调递增区间为 f(2),则函数f(x)是R上的增函数 B.若定义在R上的函数f(x)满足f(3)> (,2] f(2),则函数f(x)不是R上的减函数 B.函数f(x)=-x2在区间[0，+∞)上单调递 C.若定义在R上的函数f(x)在区间 增 (-0,0]上是增函数，在区间[0，+0)上 也是增函数，则函数f(x)在R上是增函数 C.函数f代x)=在区间(-0，+0)上单调递减 D.若定义在R上的函数f(x)在区间 D.函数f(x)=-x+1是增函数 (-∞，0]上是增函数，在区间(0，+∞)上 6.★(2026·山东潍坊高三月考)函数y= 也是增函数，则函数f(x)在R上是增函数 1x-41的单调递减区间为 3.*多选(2025·黑龙江牡丹江高一期末) 7.★(2025·天津红桥区高一期中)已知函数 若函数y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，且0< -2x+1,x<0, f(x)= 则f(x)的单调递增 x1<x2,则下列选项正确的是 -x2+2x+1,x≥0， A.f(x1)>f(x2) 区间为 B.f(x1)-f(x2)>0 8.(2026·天津滨海新区高一月考)函数 C.(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0 f(x)=x2-31x1+2的单调递增区间 D.f)-)0 是 x1-x2 9.*(2026·贵州贵阳高一期中)已知函数 题组2函数单调性的判断与证明 4.*易错题(2026·山东德州高一月考)若函 f代x)=x+m的图象经过点(1,5). 数f(x)的图象如图所示，则其单调递增 (1)求f(x)的解析式； 42 第三章函数的概念与性质黑白题学霸 (2)判断f(x)在(0,2)上的单调性，并用单调14.人A教材变式(2026·陕西榆林高一期 性的定义加以证明. 中)若函数f(x)=ax2-4x+a在区间(1,3)上 不单调，则实数a的取值范围是 15.**北师教材变式(2025·湖北武汉高一月 考)若函数)y=a+1在[1，+0)上为增函数， x+1 则实数a的取值范围是 16.*(2025·江苏苏州高一期中)已知函数 x+2,x≥0， f(x)= 则不等式f(2x-4)> 题组3函数单调性的应用 -x2+2,x<0, 10.*(2026·山东济南高一期末)已知函数 f(x2-3x)的解集为 f(x)=x2-2ax+3在区间(-0,1]上单调递 视 减，则实数a的取值范围是 ( 易错聚焦川 解 A(m,2] B.[2,+】 易错点1忽略对定义域的讨论 C.(-∞，1] D.[1,+o) 17.**(2026·江西赣州高一期中)已知函 11.*多选已知函数f(x)在R上是增函数， 数f(x)是定义在(0,1)上的减函数，则 则下列说法错误的是 ( ) A.y=-f(x)在R上是减函数 满足(2x-1)<f(x-3)的x的取值范围 在R上是诚函数 B.y=fx) 是 ( C.y=[f(x)]2在R上是增函数 A(令) D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数 12.(2026·江苏南通启东中学高一月考) c(3 D.(分) 函数y=f(x)为定义在R上的减函数，若a≠0， 则 易错点2对分段函数单调性理解错误 A.f(a)>f(2a) B.f(a2)zf(a) 18.*(2026·江苏南京高一期中)已知函 C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+a)>f(a+1) x2-2ax+6,x≤1， 13.*多选(2026·湖北襄阳高一期中)函数 数f(x)= e 是R上的减 f八)=ll-名(aeR)的大致图象可能为 函数，则实数a的取值范围是( A,) B.[1,+∞) c.,] D.(1,+∞) 43 学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 黑题能力提升 限时35min|答案P31 1.*多选下列命题中正确的是 (z B(分] A.函数y=9+12x-4x2在区间(3，+0)上单 调递减 n.[2] B.函数)1-在区间(-0,1)U(1,+)上 6.*(2026·安徽芜湖高一期中)函数f(x)= 是增函数 1x+51(2-x)的单调递减区间是 7.装已知函数f(x)=alx+x+1,x∈R C.函数y=√8+2x-x2在区间(-0,1]上单调 (1)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取 递增 值范围； D.已知f(x)是定义在R上的减函数，若a> (2)当a=1时，解不等式f(1-x)>f(x2+1). b,则f(a)+f(-b)≤f(-a)+f(b) >>《题中题》上分专题07例2 2.*(2026·河北石家庄高一月考)函数f(x)= 的单调递减区间是 √-x2+8x A.(4,+∞) B.(0,4) C.(4,8) D.(-∞，4) 3.”若函数f代x)=+1在区间(-2，+0)上单 x-h 调递增，则实数k的取值范围是 ( A.（-∞，-1) B.{-2} C.（-∞，-2] D.（-0,-2) 4.**北师教材变式(2026·山东济南高一月 考)已知f(x)在区间(-∞，+∞)上是增函数， 压轴挑战 a,beR且a+b≤0，则下列不等式中正确的 是 8.禁新定义(2026· A.f(a)+f(b)-f(a)+f(b) 若定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足对 B.f(a)+f(b)=f(-a)+f(-b) 任意的x1,x2∈（0，+∞)，x1≠x2,都有 C.f(a)+f(b)-f(a)+f(b) x2f(x1)-x1f八x2 D.f(a)+f(b)=f(-a)+f(-b) <0,则称函数f(x)具有 x1一x2 5.钟(2026·山西太原高一期末)函数f(x)= 性质破晓.已知函数f(x)具有性质破晓， -x2+4ax+1,x<1, 则不等式f)≥八-2)，2fx)】 的解为 1-3a 满足对任意的x1,x2∈R且 x2 +3,x≥1 ( 名*，都有八) A.(2,2) B.(√2，+∞) >0,则a的取值范围 x1-x2 C.(0,2) D.（2,+∞) 是 >>《题中题》上分专题07例1( 44 第三章函数的概念与性质黑白题学霸 第2课时 函数的最大（小）值 白题 基础过关 限时30min1答案P31 题组1函数最值的理解 6.*（2026·辽宁锦州高一期末)若函数 1.★多选(2026·江西九江高一月考)如图 八)=2+m在区间[0,1]上的最大值为1，则 是函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象，则下列 x+1 说法正确的是 ) 实数m= () A.f(x)在[-4，-1]U A.0 B.1 C.2 D.0或1 [1,3]上单调递 7.(2026·江西赣州高三月考)若函数f(x) 减 [(x+a)2,x≤0， B.f(x)在[-1,1]上 1 的最小值为f(0),则a的取 x+-+a,x>0 单调递增 C.f(x)在区间(-1,3)上的最大值为3，最小 值范围是 值为-2 A.[-1,0] B.[-1,2] D.f(x)在区间[-1,3]上有最大值3，有最小 C.(-∞，-2]U[-1,0]D.(-∞，-1]U[2,+∞) 值-2 8.*(2025·湖北武汉高一月考)某车间一条 2.多选函数f(x)=x1在区间[1,3]上的 流水线上的生产效率y与工人数量x之间的 关系近似于函数y=-x2+12x+64(0<x≤16， ( x∈N*),则为了保证生产效率最高，该流水 A.最小值为0 B.最小值为3 线上工人的数量应为 C.最大值为8 D.最大值为4 9.*已知a∈R,函数f(x)=|x-al+a在区间 [4,5]上的最大值是5，则a的取值范围 3.*(2026·重庆沙坪坝区高一期中)函数 是 f(x)=2x-√3-x的值域为 ( A.(-∞，3) B.(-∞，6] 重难聚焦心 C.(3,+0) D.[6,+∞) 4.*(2026·四川德阳高一期中)若函数f(x) 重难点 恒成立与存在性问题 的值域是(2，+∞)，则函数F(x)=f(x)+ 10.*(2026·黑龙江哈尔滨高一月考)若 f(x) 关于x的不等式x-2vx-2-a≤0在x∈ 的值域是 ) [4,9]时有解，则实数a的取值范围是 A.[2,+∞) B. ( n.+m】 A.[-3,+∞) B.[-2,+∞) C.(2,+∞) C.[1,+0) D.[6,+∞) 题组2函数最值的应用 11.*(2026·吉林长春高一期末)设函数 5.*(2026·江西九江高一期末)函数y=x2 f(x)=mx2-mx-1(m≠0)，若对于xe 2x-3的定义域是[0，a],值域是[-4，-3]，a [1,3],f(x)<-m+5恒成立，则m的取值 的取值范围是>《题中题》上分专题03例1() 范围是 >>《题中题》上分专题08例1 A.[1,2]B.[1,3]C.[1,4]D.[1,+∞) 45 学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 黑题能力提升 限时50min|答案P32 1.*(2025·天津南开区高一月考)“函数 7.幸(2026·江苏宿迁高一期中)设函数f(x)= f(x)在[-1,1]上有最大值”是“函数f(x)在 (-ax+1,x<a, 若f(x)存在最小值，则a的最大 [-1,1]上单调”的 (x-2)2,x≥a, A.充分不必要条件 值为 B.必要不充分条件 A.1 B.-1 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 e D.、② 2 2.*多选(2026·山东济南高三月考)已知 8.(2026·陕西宝鸡高一月考)已知a∈R, 数八)6下列选项正确的是( 4 函数f(x)=x+--a+a在区间[1,4]上的 A.若f(x)=2,则x=14 最大值是5，则a的取值范围是 （) B.函数f(x)在定义域内是减函数 C.若xe[2,8],则f(x)的值域是[-1,5] A2] D.若x∈N,则函数f代(x)有最小值也有最大值 3.*(2026·广东江门高一月考)已知函数 B(=] 1 f(x)= x<0, ’的最小值为0，则a= C.3) x+a,x≥0 o.] ( A.0 B.1 C.-1 D.2 9.*(2026·广东惠州高一期末)某公司生产 4.(浙江高考)若函数f(x)=x2+ax+b在区 A产品，每月的固定成本为10000元，每生产 间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M 一件A产品需要增加投入80元，该产品每月 m的值 ( 的总收入R(单位：元)关于月产量x(单位： A.与a有关，且与b有关 1600x-x2,0≤x≤400， 件)满足函数：R= 则该公 B.与a有关，但与b无关 60000+50x,x>400, C.与a无关，且与b无关 司的月利润的最大值为 元 D.与a无关，但与b有关 10.*(2026·山东枣庄高一期中)已知函数 5.*★(2025·辽宁沈阳高二期末)函数f(x)= f(x)=xlxl,若对任意xe[t,t+1],不等式 f(x2+t)≤4f(x)恒成立，则实数t的取值范 √x-4+√x2-2x的最小值为 围是 A.0 B.4 C.2 D.22 11.接(2026·广东东莞高一月考)定义f(a,b) 6.函数f代x)= x+1 0≤x≤8)的值域 x2+2x+10 a+b-maxa,b},a+b<0,其中max{a,b 为 max{a,b},a+b≥0 表示a,b中较大的数.对Vx∈R,设a=x2) 哈 B.[6,8] b=-x2+2x,函数g(x)=f(a,b),则g(-1) e0】 ;若g(x)>g(x2),则实数x的取 D.[6,10] 值范围是 46 第三章函数的概念与性质黑白题学霸 12.(2026·四川内江高一月考)已知函数14.禁(2026·江苏无锡高一期中)已知函数 f(x)=x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为 f(x-1)=x2-6x+7,函数g(x)=f(x)+ax. (2,3) (1)求函数f(x)的解析式； (1)求b,c的值； (2)求函数g(x)在[2,4]上的最小值； (2)在[0,1]上，函数f(x)的图象总在一次 (3)已知函数h(x)=+3,对任意e[2, 函数y=2x+m的图象的上方，求实数m 的取值范围。 4],总存在x2∈[2,4]，使得h(x1)≤ g(x2),求实数a的取值范围. >《题中题》上分专题08例2 视 压轴挑战 13.*(2025·河南郑州高一月考)已知函数 15.禁(2026·江苏南京高一期末)已知函 x+3,x≤1， 数fx)= #产，若对任意x, 2x2+2.1+x4 f(x)= +1,>0) [1,21,都有x))≤m㎡-m+ 2’ (1)若k=1,m)2求实数m的值； 则实数m的取值范围是 () (2)若函数f(x)的值域为R,求k的取值范 A-1,4] 围。 B(,1u以，+】 c（1,4) D.(-,-1u(,+m） 16.禁(2026·浙江衢州高一期末)已知函 数f(x)是定义在[1，+∞)上的单调函数， 函数g(x)=f(x)-2x+,且有f(g(x) =2,若f(x)≥k恒成立，则实数k的取值 范围为 47