3.2 函数的基本性质 阶段综合-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 3.2 黑题阶段强化 1.*下列函数中，既是奇函数，又在(0，+0) 上为增函数的是 () A.y=t+4 B.y=x2-4x C.y=1x-21 D.y=1 2.*已知函数f(x)+x3是偶函数，且f(1)=2, 则f(-1)= A.-2 B.0 C.2 D.4 3.*(2026·河北石家庄高一期中)在数学的 学习和研究中，常用函数的图象来研究函数 的性质，也常用函数的解析式来研究函数图 象的特征如图，其对应的函数可能是() 1 1 A.f(x)= B.f(x)=- |x-11 1x1-1川 C.fx)=2-1 1 D.fx)=+1 1 4.*(2026·四川遂宁高一期末)定义在R上 的奇函数f(x)满足f(x+1)-f(-x)=0,且当 0<x≤2时(x)=42+1,则f(3)+f(1)+ f(4)的值为 A.0 B.-1C.-2 D.2 5.*多选(2025·江西南昌高一月考)对任意 两个实数a,b,定义min{a,b}= a,a≤b, 若 (b,a>b, f(x)=2-x2,g(x)=x2-2,下列关于函数F(x)= min{f(x),g(x)}的说法正确的是( A.函数F(x)是偶函数 52 介段综合 限时45min1答案P37 B.方程F(x)=0有两个解 C.函数F(x)在(-0，-√2)上单调递减 D.函数F(x)有最大值为0，无最小值 6.*已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤ 0时，f(x)=3x2-2x+m,则f(x)在[1,2]上的 最大值为 A.1 B.8 C.-5 D.-16 7.**(2026·河南新乡高一期中)函数f(x)= 2x2-2x+2 的最大值为M,最小值为m,则M+ x2+1 m等于 >《题中题》上分专题04例2() A.2 B.4 C.6 D.8 8.转高观点多选(2026·广东河源高一期 末)狄利克雷是德国著名数学家，函数 (1,x为有理数， D(x)= 被称为狄利克雷函 0,x为无理数 数，下面给出关于狄利克雷函数D(x)的结论 中正确的是 A.若x是无理数，则D(D(x))=0 B.函数D(x)的值域是[0,1] C.D(-x)=D(x) D.若T≠0且T为有理数，则D(x+T)=D(x) 对任意的x∈R恒成立 9.*函数f(x)=x(Ixl-2)在[m,n]上的最小 值是-1，最大值是3，则n-m的最大值 是 10.**(2026·云南昆明高一期末)已知f(x) 是R上的奇函数，且f(-1)=0,f(x)在 (-∞，0)上单调递减，则不等式xf(x)>0的 解集为 11.*已知函数f(x)=x2+bx+c. (1)若函数f(x)是偶函数，且f(1)=0,求 f(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[-1,3] 上的最大值、最小值； (3)要使函数f(x)在[-1,3]上是单调函 数，求b的取值范围. 12.#1新定义(2026·河北保定高一月考)若 函数f(x)在区间[a,6]上的值城恰为[6， ],则称区间[a,61为的-个“倒玻区 间”.已知定义在[-2,2]上的奇函数g(x), 当x∈[0,2]时，g(x)=-x2+2x. (1)求g(x)的解析式； (2)若关于x的方程g(x)=-mx-m在(0， 2)上恰有两个不相等的根，求m的取值 范围； (3)求函数g(x)在定义域内的所有“倒域 区间”. 第三章函数的概念与性质黑白题学霸 13.整(2026·陕西西安高一期末)已知函数 f(x)的定义域为(-1,1)，f(x)+f(y)= f).且当xe(-1,0时>0 (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)解不等式：f2x-1)>fx); (3)已知f(-})-1,g(x)=2+c+1,若对 e【写1,3e[-1,2,做得 f(x)>g(x2)成立，求实数b的取值范 围 压轴挑战山 14.(2026·广东中山高三月考)已知函 数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1) 是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x2+x, 则f(2024)+f(2025)+f(2026)= A.4 B.2 C.0 D.-2 15.禁知识迁移多选(2026·江苏泰州中学 高一期末)尼知函数e)=+士+1， 对任意实数x1,x2,x3 [分，3小，使得以 fx)f代x2),f(x3)数值为边长可构成三 角形，则实数a的取值范围为 53所以1-x2<0,x7+1>0,x2+1>0,x1x2<1,即1-x1x2>0, 所以fx1)-f(x2) 2(1-*)(1-）<0,即fx)<)， (x2+1)(x3+1) 因此f(x)在[-1,1]上单调递增. (3)由(1)(2)知，f(x)是在[-1,1]上单调递增的奇函数， 所以由f(a-1)+f(a2-1)<0,得f(a-1)<-f(a2-1)=f(1-a2), (-1≤a-1≤1， 0≤a≤2， 因此需满足{-1≤1-a2≤1，解得{-√2≤a≤2，即0≤a<1, a-1<1-a2, -2<a<1, 故实数a的取值范围为[0,1). 15.解：(1)f(x)是定义域为[-2a,4a-2]的偶函数， .-2a+4a-2=0,解得a=1,则函数f(x)的定义域为[-2,2]. .·当0≤x≤4a-2时，f(x)=-x+3-x, 即当0≤x≤2时，f(x)=-x+√3-x,令-2≤x<0,则0<-x≤2， f(-x)=x+√3+. f(x)是偶函数，f(x)=f-x)=x+3+x, -x+W3-x,0≤x≤2 ∴f(x)的解析式为f(x)= (x+√3+x,-2≤x<0. (2)当0≤x≤2时，f(x)=-x+√3-x. 函数y=-x,y=√3-x在[0,2]上都是减函数， .函数f(x)在[0,2]上是减函数. 函数f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数，则f代-x)=f(x)=f1x), ∴.f(t+1)<f(1-2t),即f(lt+11)<f11-2tl), -3≤t≤1， -2≤t+1≤2， 1 3 -2≤1-24≤2，即2≤1≤2，解得0<1≤1， t+11>11-2l,0<2, .关于t的不等式f(t+1)f(1-2)的解集为(0,1]. ©压轴挑战 16.AD解析：因为m(x)=(x-1)f(x)是奇函数，以m(0)=(0- 1)f(0)=0→f(0)=0,故A正确； 因为n(0)=0)+0=0,所以m()的定义域中肯定没有元素0， n(x) 故B错误； 由m(x)=(x-1)f代(x)是奇函数，n(x)=f(x)+x是偶函数， 可得：(-x-1)f(-x)=-(x-1)f(x)→(x+1)f(-x)=(x-1)f(x), f(-x)-x=f(x)+x→(x+1)f(-x)=(x+1)f(x)+2x(x+1), 两式相减得：(x+1)f(x)+2x(x+1)-(x-1)f(x)=0→f(x)= -x(x+1), 所以m(x)=-x(x-1)(x+1)<0,解集为(-1,0)U(1,+∞)，故C 错误； ,所以函数f(x)的 值域为 故D正确 3.2阶段综合 黑题 阶段强化 1.D解析：函数)=x+产在(0,2)上单调通诚，在(2，+m)上单 调递增，不符合题意： 由于函数f(x)=x2-4x关于x=2对称，所以函数f(x)为非奇非偶 函数，不符合题意； 函数f(x)=Ix-21= x-2,x≥2，可得函数f(x)关于直线x=2对 (2-x,x<2, 称，所以函数f代x)为非奇非偶函数，不符合题意； 函数女)1头，所以酒数 一x x 是奇西数，又函数士在(0，+)上单调递增，所以 符合题意， 2.D解析：f(x)+2为偶函数，f(-x)-x2=f(x)+x, .f-1)-1=f1)+1=3,f(-1)=4. 3B解折：因为函数)=一的定义域为1k1， 函数4的定义城为R, 函数列=与到=的定义拔均为≠1， 1 由图知f(x)的定义域为{xlx≠±1}，排除选项A,D, 对于x)=,当x=0时0)=-1，不符合图象0)=1，所以 x2-11 排除选项C. 4.C解析：因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f代x), 因为f(x+1)-f-x)=0,所以f(x+1)=f-x)=fx), 所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以fx)是周期为2的函数， 因为r(3)4x(分）)1-2， 所以(3)1+2)=(3)-2. f1)=f(0+1)=-f(0)=0; f(4)=f(0)=0. 所以/(3)1)+4)=-2*0+0=-2 5.ABD解析：根据题意，F(x)= 2-,x(-0,2]U[5,+)由函数解析式可知，F(x)= (x2-2,xe(-2,w2), F(-x),函数F(x)为偶函数，选项A正确； 当x∈(-0，-√2]U[2,+0)时，根据F(x)=0,解得x=±2，此 时方程有两个解，当x∈(-√2,2)时，由F(x)=0,解得x=±2， 不合题意，所以此时方程无解，所以方程F(x)=0有两个解，选项 B正确； 根据二次函数的性质，函数F(x)在(-0，-√2)上单调递增，选项 C错误； 根据函数的解析式及二次函数的性质可得，函数F(x)的单调增区 间为(-∞，-√2)和(0,2)； 单调减区间为(-√2,0)和（√2，+∞），所以函数F(x)无最小值，且 F(x)=F(2)=F(-√2)=0，选项D正确。 6.C解析：f代x)是定义在R上的奇函数， f0)=0.又x≤0时f(x)=3x2-2x+m, ∴f0)=0=m,.x≤0时fx)=3x2-2x. 设x>0,则-x<0,则f(-x)=3x2+2x,则fx)=-f(-x)=-3x2-2x, 即当x>0时f(x)=-3x2-2x, f(x)在[1,2]上单调递减，f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)= -5. 7.B解析：由代)=24-2x+2=2 2x x2+1 x2+11 设局数定义战为R则（小名， 所以g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以g(x)+ g(x)i0, 奇函数在对称区间上的最大值与最小值互为相反数，常用于解决 最值问题 参考答案黑白题学霸37 因为f(x)=g(x)+2,所以M+m=g(x)mr+2+g(x)m+2=4. 8.CD解析：对于A,.当x为有理数时，D(x)=1;当x为无理数 时，D(x)=0, .当x为有理数时，D(D(x))=D(1)=1;当x为无理数时， D(D(x))=D(0)=1, 即不管x是有理数还是无理数，均有D(D(x))=1,故A不正确； 对于B,函数D(x)的值域为{0,1}不是[0,1]，故B不正确； 对于C,:有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理 数， .对任意x∈R,都有D(-x)=D(x),故C正确； 对于D,若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T 也是无理数， .根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T,D(x+T)= D(x)对任意的x∈R恒成立，故D正确！ 9.4+√2解析：函数f(x)=x(1x1-2)= x(x-2)x≥0：的图象如图所示， (-x(x+2),x<0 当x≥0时，令x(x-2)=3,得x1=-1(舍去)， 32-10八1 23 x2=3, 当x<0时，令-x(x+2)=-1,得x3=-1-√2，x4=-1+√2（舍去），结 合图象可得(n-m)mx=x2-x3=3-(-1-√2)=4+2. 10.(-1,0)U(0,1)解析：因为f(x)是R上的奇函数，且f(-1)= 0,则f(1)=-f(-1)=0, 又f(x)在(-∞，0)上单调递减， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递减， 则当x<-1或0<x<1时，f(x)>0,当-1<x<0或x>1时，f(x)<0; 不等式x>0,即>0，或0， fx)>0f(x)<0, 解得0<x<1或-1<x<0, 所以不等式f(x)>0的解集为(-1,0)U(0,1). 11.解：(1).函数f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)恒成立，即x2-bx+c= x2+bx+c,2bx=0,对x∈R恒成立，.b=0,f(x)=x2+c,∴f(1)= 1+c=0,∴.c=-1,f(x)=x2-1. (2)由(1)知f(x)=x2-1,x∈[-1,3].当x=0时，f(x)取得最小 值，为-1，当x=3时f(x)取得最大值，为8. (3)x）=+x+c图象的对称轴为直线x=-之，要使函数x)在 【-1,3上是单调函数需-分≤-1成-号≥3，解得6≥2成0≤ -6..b的取值范围是(-∞，-6]U[2,+∞). 12.解：(1)当x∈[-2,0)时，则-x∈(0,2]， 由奇函数的定义可得g(x)=-g(-x)=-[-(-x)2+2(-x)]=x2+ 2x, （-x+2x,0≤x≤2， 所以g(x)={x+2x,-2≤x<0. (2)方程g(x)=-mx-m即x2-(m+2)x-m=0,设h(x)=x2-(m+ 2)x-m,0<x<2, fh(0)=-m>0, h(2)=-3m>0, 由题意知4=(m+2)2+4m>0,解得23-4<m<0. ag22 (3)因为g(x)在区间[a,b]上的值域恰 [6] a<b, 其中a≠6且a≠0,6≠0，所以11则0<6， b a (ab>0, 8学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 所以0<a<b≤2或-2≤a<b<0. ①当0<a<b≤2时，因为函数g(x)在[0,1]上单调递增， 在[1,2]上单调递减， 故当xe[0,2]时，g(x)m=g(1)=1,则≤1，所以1≤a<2,所以 1≤a<b≤2， 1 g(b)=-b2+2b= b’ (a=1, （a-d+2a=,解得6=1+5 则 2 1≤a<b≤2， 所以g()在1,2内的筒嫩区间为，15]： ②当-2≤a<b<0时，g(x)在[-2，-1]上单调递减，在[-1,0]上单 调递增， 故当xe[-2,0]时6()8(-1)=-1，所以≥-1，所以-25 b≤-1，所以-2≤a<b≤-1， 1 g(a)=a2+2a=- 1+W5 则 g(b)=b2+26= 1解得{ a=- 2’ 6, b=-1, -2≤a<b≤-1， 所以g(x)在[-2，-1]内的“倒域区间”为 缘上所述，函数✉)在定义效内的倒骏区间为1,125]和 [ 13.解：(1)f(x)为奇函数理由如下： 令x=y=0,则f0)+f0)=f0), 解得f(0)=0. 令y=-x,则f(x)+f-x)=f(0)=0, 即f(-x)=-f(x), 又f(x)的定义域关于原点对称，所以(x)为奇函数 (2)令-1<x1<x2<1, 则-停） 因为-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,-1<x1x2<1, 则1-x1x2>0, 因为x2-x1-(1-x1x2)=x1x2-x1+x2-1=(x1+1)(x2-1)<0, 所以0点需1 因为当xe(-1,0)时f(x)>0,f(x)为奇函数， 所以当x∈(0,1)时，f代x)<0, (）<0,即f)), 所以f八1-xx) 因为x<2,所以f(x)在(-1,1)上为减函数 因为f2x-1)fx),所以-1<2x-1<x<1, 解得0<x<1, 即不等式f(2x-1)>f代x)的解集为(0,1). (3)因为vxe[3写]，3xe[-1,2, 使得(x1)>g(x2）成立， 所以f(x1）mn>g（x2）i血， 由上可知)mf(）=f(）=-1,即g(）)<- 因为6()=++1图象的对称轴为=名e-1,2], ①当号≤-1，即6≥2时，8()在[-1,2]上单调递增， 则g(x2）=g(-1)=2-b,所以2-b<-1,解得b>3,所以b>3; ②当号≥2，即6≤-4时，8()在[-1,2]上单调递减。 则g(x2）mm=g(2)=5+2b, 所以5+2b<-1,解得b<-3,所以b≤-4； ③当-4<b<2时，g(x)在[-1,2]上先减再增， 则g(=(台）1所以1 ，b2 41, 解得b<-22或b>2W2,所以-4<b<-2√2： 综上所述，实数b的取值范围是(-0，-22)U(3,+0). 方法总结对于含有x,y的抽象函数的一般解题思路是：观察函数 关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项； 抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有x,y双 变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的 关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条 件以及选项来决定 念压轴挑战 14.B解析：因为f(x+1)是偶函数，所以f(x+1)=f(-x+1),所以 fx+2)=f代-x), 即f(2)=f0)=02+0=0, 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f代-x)=f(x), 即fx+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),所以函数f(x) 以4为周期， 即f(2024)=f(506×4)=f(0)=0,f(2025)=f(506×4+1)= f1)=12+1=2, f2026)=f(506×4+2)=f2)=f(0)=0, 所以f(2024)+f2025)+f2026)=2. 解析：要想对任意实数 名西西e[日]，使得以))数值为边长可胸 成三角形，只需2f(x)n>f(x)s, 设g(x)=x 1 -a, 当∈[片，1)时，函数g()单调递减，当e(1,3]时，函数 g(x)单调递增， 因为e)=2-ag3)-9G(兮）-9。 101 所以g(x)e2-a,3a 当2-a≥0时，即a≤2时， 1 f(x)=x+-a+1=g(x)+1, 此时)e3-a,号]， 因此由2(）寸()2(3-o)>号a=a<而a≤2， 5 所以a<3 当<0时，即当≥时， 1 此时)=x+安a+1=-g()+1, 此时)e[a子，a-i小， 因t由2(d=2(a号）》>a-1=o号而a≥9所 11 以a73' 若2-a<0c9时，即2a<时， 即当≤a<时， 显然此时∫(x)=1, f(x)mm=a-2+1=a-1, 由2y()()=2x1>a-1→a<3,显然8≤a<3, 若a-2<10 智a→a<，即当2<时， 8 显然此时f(x)血=1f(x)r3a+13 10 3a, 因此由y(>fp2x1>5ao>3所以3<a. 7 8 综上所述：实数a的取值范围为(-。，)U(仔，3）U 3.3幂函数 白题 基础过关 1.AC解析：由幂函数的定义知，只有A和C是幂函数， 2B解析：由题意得2=4，解得心=2，故)=，所以f(分） (日) 3.C解析：由函数f(x)=(m2-m+1)·x”为幂函数，可得 m2-m+1三 f(x)为幂函数，所以它是形如y=x“的函数 即m2-m=0,解得m=0或m=1, 当m=0时，f(x)=1,此时f(x)的图象不过点(2,2)，舍去； 当m=1时f代x)=x,此时f(x)的图象过点(2,2)，所以m=1. 4.2解析：由m-11=1,得m=0或2.当m=0时，f(x)=x°的定义域 不为R; 当m=2时，f(x)=x2的定义域为R,所以m=2. 5.D解析：由题图可知，C:在第一象限内单调递减，则指数x的值 满足<0； C2:在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数α的值 满足0<a<1; C,:在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数α的值 满足>1. 6.A解析：由题意得2m2-1=1,得m三 先根据暴函数的定义求出m的值，之后再进行判断 当m=1时，f(x)=x的图象不经过第三象限； 当m=-1时，(x)=x的图象经过第三象限综上，m=-1. 7.B解析：由幂函数y=x“的图象恒过点(1,1)，知B选项满足条件 8.C解析：设fx)=x,将(2,2)代人得2”=2，解得α=2 1 故f(x)=x2,其定义域为[0，+∞)，由幂函数的常见函数图象可 知，C正确. 参考答案黑白题学霸t39