3.1.1 函数的概念-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 白题 基础过关 限时40min 题组1函数概念的理解 题组2 区间表示与函数的定义域 1.*多选(2026·安徽安庆高一月考)下列 4.*(2026·陕西汉中高一期中)已知区间 说法正确的是 [2a-1,11],则实数a的取值范围是（) A.函数值域中的每一个数都有定义域中的 A.（-∞，6) B.(6,+∞) 一个数与之对应 C.(1,6) D.(-∞，6] B.函数的定义域和值域一定是无限集合 5.*人A教材变式(2026·安徽六安高一期末) C.若函数的定义域只有一个元素，则值域也 函数f(x)= （) 只有一个元素 旋义是 D.对于任何一个函数，如果x的值不同，那么 A.[0,5)U(5,+0) y的值也不同 B.(-∞，5)U(5,+∞) 2.*(2026·福建厦门高一月考)下列不是函 C.[0,+∞) 数图象的是 D.(-∞，-5)U(-5,+∞) 6.*(2026·河北保定高一月考)函数f(x)= 3x2 +(2x-1)0的定义域为 () √1-x A.(-0,1) B.(-∞，1] c.(,2u(分，] D.(,2)u(21 3.*★多选(2026·江苏徐州高一期中)下列 从集合A到集合B的对应关系中，y是x的函 7.*知识迁移(2026·安徽阜阳高三月考)已 数的是 知集合A=[2,4],B=[0,a],若A∩BB∩ A.A=B=R,对应关系f:xy=x2-2x+1 N,则实数a的取值范围为 题组3函数值与函数的值域 BA=B=N,对应关系一y音 8.*(2026·吉林长春高一月考)已知函数 C.A={xlx≥0，B=R,对应关系f:x→y2=x fx)=3x2+2x-1,则f(-2)= （) D.A=R,B={1},对应关系f:x→y=1 A.15 B.7 C.4 D.0 34 第三章函数的概念与性质黑白题学霸 9.*多选(2026·黑龙江哈尔滨高一月考)16.*★多选(2026·河南周口高一月考)下列 下列函数值域是(0，+∞)的为 各组函数是同一个函数的是 A.y=x+1(x>-1) A.f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1 B.y=x2(x>0) B.f(x)=Vx与g(x)=(E)2 C.y=√e2-x+1 C)=与g(x)= D.y=+2 x+1x∈(0，+o) D.f(x)=1x与fx)= 10.*新定义多选(2026·山东青岛高一期 中)若一个函数的定义域与值域相同，则称 重难聚焦川 这个函数为同域函数，则下列函数为同域函 数的是 重难点复合函数、抽象函数定义域问题 ( ) 17.**若函数f(x)的定义域为[-1,3]，则 B.y=-10 函数f(x2-1)的定义域为 () 2x+1 A.[-2,2] B.[0,8] C.y=√x-1 D.y= x-2 C.[-1,8] D.[0,2] 11.*(2026·河北邯郸大名一中高一月考)函 18.*(2026·山东泰安高一期末)函数 数y=3x-3x+4的值域为 y=f(x+2)的定义域为[0,2]，则函数y= x2-x+1 f(2x)的定义域为 ) (a号1 B.6,9] A.[-4,0] B.[-1,0] C.[1,2] D.[4,8] co,3] .,91 19.*(2026·山东聊城高一期中)已知函 数y=f(x)的定义域为[0,1]，则函数y= 12.*写出一个定义域为{x|x≠5}，值域为 {yly≠-1}的函数f(x)= f(+1)的定义域为 2x+1 13.*(2026·广东惠州高一月考)已知函数 A.[1,2] f(x)=ax3+bx+2,且f(-2)=-7,则 B.[-1,0] f(2)= 14.*(2026·山东枣庄滕州一中高一月考) c.【-1,2)u(3o] 已知meR,若函数y=√mx2-2mx+3的值域 D.(1,u(20 为[0，+∞)，则m的取值范围是 题组4判断是否为同一个函数 20,已知函数)=4则f-1) 15.*(2026·安徽芜湖高一期中)下列函数 ；f（f(x)的定义域 中，与函数y=x+2是同一个函数的是 是 21.已知函数f(x)=√4-x,g(x)=2x+ A.y=(√x+2)2 B.y=√x2+2 1,则函数y=f(g(x)的定义域 C.y +2 D.y=V+2 为 35 学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 黑题能力提升 限时30min|答案P26 1.*数学文化多选(2026·广西崇左高一 5.**新定义(2026·山东青岛高一月考)对于 月考)南北朝时期杰出的数学家、天文学家 函数f(x),若存在两个常数a,b,使得 祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于 f(a+x)f(a-x)=b,则称f(x)是“平方差关联 中国乃至世界是一个重大贡献，后人将 函数”.已知函数f(x)= “这个精确推算值”用他的名字命名为“祖 3+x是“平方差关联 x 冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率 函数”，则a+b= T=3.1415926535897932384…,如果 6.禁(2025·湖南邵阳高一月考)函数f(x)= 记圆周率π小数点后第n位数字为f(n), √(1-a2)x2+3(1-a)x+6 则下列说法正确的是 ) (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值 A.y=f(n),n∈N是一个函数 范围； B.当n=5时，f(n)=3.14159 (2)若f(x)的定义域为[-2,1]，求实数a C.f(4)=f(8) 的值 D.fn)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2.*(2026·山东泰安二中高一月考)下列四 组函数中，表示同一个函数的一组是() A.f(x)=√x+1·x-1,g(x)=Wx2-1 Bfx)=（x-1)(x+3 x-1 ,g(x)=x+3 C.fx)=x2-1,g(t)=t2-1 D.fx)=√x,g(x)=x 3.*(2026·海南文昌高一月考)已知函数 f(x)=√-x2+4x+5的定义域为集合A,函数 g(x)=x2-2x+5的值域为集合B,则A∩B= ( A.[4,5] B.[-1,5] C.[2,5] D.[2,+o） 4.**易错题(2026·湖北随州高一月考)已知 压轴挑战山 函数f(x+2)的定义域为(-3,4)，则函数g(x) 7.整(2026·江苏南京高 =八)的定义域为 ( √3x-1 fa+b)=a)·fb)且f1)=2,则八 f(0) A.(34) B.(32 f3) f(5) f(2025) f2)f4) 十…十 f(2024) 的值 c.(写，) D.(G1 为 36此时+=6-842，放D错误 √ab 对于C,由基本不等式可得a+b≥2√d>√ab,故C正确， 4C解折：由-y=1可得(+y)产-1=3河≤3（空，解得 -2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2,当且仅当x=y=1时， x+y=2,所以A错误，B正确： 由+y-y=1可变形为(2+y)-1=y≤ 2,解得x2+y2≤2 当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确； 取-=-则可=1.且4-号所以选项D错误 5.4解析：a>0,b>0,∴a+b>0. 1.1.8ab.ab.8a+b.8 /a+b8 又a6=l2a+26atb20+2batb2+at622√2·aib 4,当且仅当a+b=4时取等号，结合ab=1,解得a=2-√3，b=2+√3 或a=2+√3，b=2-√3时，等号成立， 6.5 解析：5xy+y=1,心y≠0且x2=1- 52,-.x2+y2=52+y2 立智2导号组仅气家 5723,即=3 0y2s 时取等号的最小值为号 4 7.43解析：x>0,y>0,x+2y=5, 则x+1)(2+10_2y+2y+1_2+6=2√+6 √xy Vxy xy √xy 由基本不等式得2v网+6≥2,2v·。:45,当且仅当 y 2=6,即=3时等号成立 √xy 又x+2y=5, (x=2, 所以当：=3，或3时，等号成立，故+1)(2+1D的最小值为 y=1y=2 √xy 4W3 8.22解析：因为a>0,b>0, 第三章函数 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 白题 基础过关 1.AC解析：A.函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与 之对应，但不一定只有一个数与之对应，故A正确； B.函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一 定不是空集，如函数f(x)=1,x=1的定义域为1}，值域为{1}，故 B错误： C根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯 一元素与之对应，故C正确； D.当x的值不同时，y的值可能相同，如函数y=x2,当x=1或x= -1时，y=1,故D错误 2.C解析：由函数的定义可知，函数的每一个自变量对应唯一的函 数值. 选项C中，当x>0时，x的任一取值，y都有两个值与之对应，不符 合函数的概念，所以C选项不是函数的图象； 选项A,B中，x的任一取值，y都有唯一的值与之对应，所以A,B 24学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 2 当且仅当}会且子=6，即ab=时等号成立。 所以上+：+b的最小值为22. a b2 9C解析：-4≥ ≥2即为+≤0，所以《x+2)（1）≤0，故-2≤5 ∴x-1 x-1≠0， 1,故解集为{x|-2≤x<1}. 一题多解取x=1,则A选项错误； 取x=-3,则B选项错误： 取x=2,则D选项错误 10.B解析：解不等式x2-x-2>0得x<-1或x>2,所以A={x|x<-1 或x>2},所以0.A={x|-1≤x≤2}. 11.C解析：因为N={x|x2-x-6≥0={xlx≤-2或x≥3，而M= {-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}. 12.A解析：求解a2>a可得a>1或a<0,据此可知“a>1”是“a2>a” 的充分不必要条件 13.B解析：解1x-11<1,得0<x<2,解不等式x2-5x<0,可得0<x<5, 故由x2-5x<0推不出Ix-11<1: 由1x-1|<1能推出x2-5x<0,故“x2-5x<0”是“1x-1|<1”的必要 不充分条件： 14.-4解析：设t=2a+b,原题转化为求t的最小值， 原不等式可化为对任意的-2≤x≤2，tx2+(t-2a)x-a-1≤0， 不妨取x=一2 1 得 42(-20)-a-1≤0，得≥-4， 11 2a+b≥-4必然成立，接下来证明下界-4可以取到 当t=-4时，原不等式可化为-4x2+(-4-2a)x-a-1≤0， 即-a+(1)门+0， 观察可知，当a=0时，-(2x+1)2≤0对-2≤x≤2一定成立，当且 仅当日时原等号. 此时，a=0,b=-4,说明t=-4时，a,b均可取到，满足题意， 故2a+b的最小值为-4. 的概念与性质 表示的是函数的图象： 选项D中，对x在给定范围内的任一取值，y都有唯一的值与之对 应，所以D表示的是函数的图象： 3.AD解析：对于A,因为y=x2-2x+1=(x-1)2≥0，所以对于A中 任何一个元素，在集合B中都有相对应的一个元素，即y是x的函 数，故A正确： 对于B,因为1EA,但：B,即y不是x的函数，故B错误； 对于C,当x=4时，由y2=4,解得y=±2，即y不是x的函数，故C 错误； 对于D,当集合A中任取一个元素时，集合B中都有唯一元素1与 之对应，即y是x的函数，故D正确. 4.A解析：根据区间的定义，可知2a-1<11,解得a<6. 5.A解析：要使函数代)=压有意义，只需满足x≥0，解得 x-5 (x-5≠0， x≥0且x≠5， 所以函数f(x)= 卡Y75的定义域是[0,5)U(5,+∞). 6D解析：由题意可得0。解得<1且x≠分，即函数八x) (2x-1≠0， 的定义城为(，)u(分 7.(0,2]解析：由区间的定义知a>0, 当0<a<2时，则B∩N≠，A∩B=☑，满足题意； 当a=2时，则AnB={2},BnN={0,1,2},满足题意； 当a>2时，则AnB=A或AnB=[2,a],则A年N显然不成立，[2， a]N显然不成立， {0,1,2}C(BnN)N显然不合题意. 综上，0<a≤2. 易错提醒求给定解析式的函数定义域的方法： 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含 式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际 问题，定义域应使实际问题有意义 8.B解析：f(-2)=3×(-2)2+2×(-2)-1=7. 9.AB解析：对A,因为x>-1,所以y=x+1>0,A正确； 对B,因为x>0,所以y=x2>0,B正确； 对cv√号 2,C错误； 对D,y=*+2 .1 =1+ x+1 x+1 因为xe(0,+0),所以x+1e(1,+m),x+e(0,1), 所以y者-1对e1,2.D错视 1 10,ABD解析：对于A,因为y=1了的定义城与值域均为R,所 以y=1了是同域函数，A正确： 于B,因为y=的定义域与值域均为(-0,0)U(0,+0 以y=10是同域函数，B正确， 对于C,对于函数y=√x-1,其定义域为[1，+∞)，当x=1时，y= 0,所以y=√x-I不是同域函数，C错误； 对于，因为y-225-2由0得72， x-2x-2 所以y的定义鼓与值城均为(-，2)U(2,+a).所以y 是同城属数D正确 1.B解析：由题意可得y=3+,1 x2-x+1" 由于数-1=()广+子子 233 14 所以0< 一 x2-x+13’ 。131 2.、1 51(答案不唯一）解析：因为x)=1的定义域为x1比大 0},值域为{yly≠0}，图象关于(0,0)对称，所以结合反比例函数 核型可得所求的隔数可以为风)，51（答案不唯-） 13.11解析：当x=-2时， f-2)=a(-2)3+(-2b)+2=-7,得8a+2b=9, 所以f(2)=a·23+2b+2=8a+2b+2=9+2=11 14.m≥3解析：由函数y=√mx2-2mx+3的值域为[0，+o),则 (m>0, 。解得m≥3. 4=4m2-12m≥0 15.D解析：对A,y(√x+2)的定义域为[-2，+∞)， 判断是否为同一个函数，需要先判断定义域是否相同 y=x+2的定义域为R,故A错误； 对B,y=√+2=Ix+2,故B错误； 对C,y= +2的定义域为(-0,0)U(0,+∞)，故C错误； x 对D,y=+2=x+2,故D正确. 16.AC解析：A选项f(x)=x2-2x-1与g(s)=2-2s-1定义域相 同、对应关系相同、值域也相同，A选项是同一个函数. B选项，f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0，+∞)，不是同一 个函数. C选项，f(x)和g(x)的定义域都为{xlx≠0}，f(x)=1(x≠0)， g(x)=1(x≠0)， 对应关系相同，值域也相同，C选项是同一个函数， D选项，f(x)的值域为[0，+∞)，g(x)的值域为R,不是同一个函 数 ⊙重难聚焦 17.A解析：因为函数f代x)的定义域为[-1,3]， 所以-1≤x2-1≤3， 若f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x)的定义域由a≤g(x)≤b求出 解得-2≤x≤2，即f(x2-1)的定义域是[-2,2]. 18.C解析：函数y=f(x+2)的定义域为[02]， 若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈ [a,b]上的值域 有x+2∈[2,4]，即函数y=f(x)的定义域为[2,4]， 令2≤2x≤4，解得1≤x≤2，函数y=f2x)的定义域为[1,2]. 19.C解析：因为y=f(x)的定义域是[0,1]，所以0≤x≤1， 根据抽象函数定义域求法， 在这y中，1 2x+1 1 解得-1≤x≤0且x≠-2 则定义娘为[1，宁)儿（号] 重难点拔求抽象函数定义域的方法： (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定 义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为 g(x)在x∈[a,b]上的值域. 20.-4(-0,-3)U(-3,1)U(1,+0)解析：因为(x)=1- 4 44 所以-1)=1-（-22， 4 所以ff-1)=2)=1-2-4: 因为f()*的定义域为(-的，)U(1,+m 且f代x)=4-4(1-x) 3 参考答案黑白题学霸t25 1 4+0, 1-x 所以 解得x≠1，x≠-3， -3-x≠0， 1-x≠0， 所以函数ffx))的定义域是(-∞，-3)U(-3,1)U(1,+∞). 21. 「311 22 解析：由函数f(x)=√4-x,则满足4-x2≥0，可得 -2≤x≤2， 即函数f(x)的定义域为[-2,2]，对于函数y=f(g(x),令-2≤ B(x)≤2，即-2≤2x+1≤2，解得-2≤x≤) 所以函数yg()的定义域为[-，] 题多解由f代x)=√4-，g(x)=2x+1, 可得f(g(x)=√4-(2x+1)7=√-4x2-4x+3, 令-4x2-4x+3≥0，解得- 3 2≤x≤2 所以g()的定义城为2,2」 T311 黑题 能力提升 1.ACD解析：对于A,对于任意n∈N·,均存在唯一的f(n)与之对 应，符合函数的定义，可知y=f代(n),neN是一个函数，故A正确； 对于B,C,因为f(4)=5f(5)=98)=5,故B错误，C正确； 对于D,由定义可知fn)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故D正确. 2.C解析：对于Af(x)的定义域为[L+∞)g(x)的定义域为(- -U[1+o) 先分析定义域，定义域不同，则不是同一个函数 定义域不同，所以不是同一个函数； 对于B,f(x)的定义域为(-∞，1)U(1,+o),g(x)的定义域为R, 定义域不同，所以不是同一个函数： 对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,定义域相同，对应 关系也相同，所以是同一个函数： 对于D(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,定义域相同， f(x)=√？=1xl,对应关系不同，所以不是同一个函数 3.A解析：-x2+4x+5≥0得-1≤x≤5，故集合A=[-1,5], g(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4≥4，故集合B=[4,+0), 故A∩B=[4,5]. 4.C解析：因为函数f(x+2)的定义域为(-3,4)， 所以f(x)的定义域为(-1,6 由-3<x<4推出-1<x+2<6,即f(x)的定义域 又因为3x-1>0,即”3， 所以函数g)的定义域为（行，6）】 易错提醒复合函数f(g(x)的定义域也是解析式中x的范围，不 要和f(x)的定义域相混. 1 5.2 解析因为-平是平方差关联函数， /9+6a a+x 3+a-x=b,化简得 a-x 02*1s6, AA 存在两个常数a,b使该式恒成立，所以9+6a=0,此时b=1 则/9+6a= 3 0,解得a=-2'故a+b=分 1 (b=1, (b=1, 6.解：(1)①若1-a2=0,则a=±1， 26学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 当a=1时，f(x)=√6，定义域为R,满足题意： 当a=-1时f(x)=√6x+6,定义域不为R,不满足题意 ②若1-a2≠0，则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数. f(x)的定义域为R,…g(x)≥0对x∈R恒成立， ∫1-a2>0, (-1<a<1, 5 a=9(1-a)2-24(1-a2)≤0(a-1)(1la+5)s0i≤a<1. 综合①@，得实数0的取位范围为【小 (2)命题等价于不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集为[-2,1]， 显然1-a2≠0，.1-a2<0且x1=-2,x2=1是方程(1-a2)x2+3(1- a)x+6=0的两根， 3(a-1 x1+x2= 1-a2 2=-1，d2-3a+2=0,解得a=2 6 1a2=4, x1·x2= =-2 1-a2 念压轴挑战 7.2026解析：因为fa+b)=f(a)·f(b), 所以a+D_c=f1), f(a) f(a) 又1)=2，所以a+D-2, f(a) 四，3)5) f八2025) f0)f2)'f4)f2024) 2+2+…+2=2x2026 2 2026. 3.1.2函数的表示法 白题 基础过关 1.C解析：已知正方形的周长为x,则对角线长为 4*,从而外接圆 1√2√2 的半径为y=2×4t=8(>0) 2.D解析：首先一开始离自己家的距离最小，则A,B错误； 开始是走，所以在前段的时间内离家的距离增加较慢，而后是跑， 所以后面这段时间内离家的距离增加较快，故C错误，D正确. 3.A解析：由表中数据可知，f(12)=10, 所以ff代12))=f(10)=12. 4.D解析：f(2x-1)=4x+6, t+1 .令2x-1=t,则x=2, f)=4x 2+6=2+8, .f(x)=2x+8. 5.C解析：令x-1=t,则x=t+1, f(t)=(t+1)2+(t+1)-2=2+3t, 所以f(x+1)=(x+1)2+3(x+1)=x2+5x+4. 6.A解析：因为f八g(x))=9x+3,g(x)=3x+1, 所以f(3x+1)=9x+3=3(3x+1),则f(x)=3x. 7.AC解析：设f(x)=kx+b, 则ff代x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+b+b. 因为ff(x)=4x-21, 所u低a1低仁2 (b=-7(b=21, 所以f(x)=2x-7或f(x)=-2x+21. 8.f(x)=x2-2x(x≥1)8解析：令t=x+1,t≥1，则x=(t-1)2, 所以f(x+1)=f(t)=(t-1)2-1, 所以f(x)=(x-1)2-1=x2-2x(x≥1)， 则f(4)=42-2×4=8. 9.解：(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=0,得c=0,则f(x)=