2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

念压轴挑战 解析：已知正数a,b,c满足a+2b=4,c>1. 因为会6=（品+女）（会+6）-（会 品)×2品-浮。首且仅当即 （a+2b=4, (2a=46 a=42-4,时取等号。 b=4-22 会-号+2929-29 c-1+2≥ 2停c2号-5当且仅当=3时取等号 a=42-4, 所会后2得g当且仅当公2后时液等华 c=3 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 白题 基础过关 1.C解析：根据题意，方程x2+2x-3=0有两个根，即-3和1，则x2+ 2x-3>0的解集为{x|x<-3或x>1}. 2.AB解析：对于A:x2+x+1>0中△=1-4<0，则解集为R,故A正确； 对于B:x2-x+1>0中△=1-4<0，则解集为R,故B正确； 对于C:2+x-1>0中4=1+4=5>0，则解集为x<》或空 },散c结误， 对于D:2-*-1>0中4=1+4=5>0，则解集为xx<2或x> 2},故D错误 1+W5 3.C解析：要使2-8有意义，则有-2x-8≥0且x≠-2，解7 得x<-2或x≥4，所以x的取值范围是{xx<-2或x≥4}. 方法总结解一元二次不等式的一般方法和步骤： (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根 (无实根时，不等式解集为R或☑). (3)求：求出对应的一元二次方程的根， (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集。 4D解折：当0<1时，}>1>0，解(x-0(）0,得1< ,所以不等式()(）k0的解集为{+<} 5C解折：因为a<0,a+2)(+）<0,所以(+2)(+日）>0， 又>0，所以不等式的解集为{：-2或>} a 6.D解析：将不等式x2-(k+1)x+k<0因式分解， 可得(x-1)(x-k)<0, 当k>1时，此时不等式(x-1)(x-k)<0的解集为{x1<x<k}, 因为解集中恰有2个整数解，那么这两个整数解应为2和3，所以 3<k≤4； 18学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 当k=1时，不等式变为(x-1)2<0,因为任何实数的平方都大于或 等于0，所以此时不等式无解，不符合题意； 当k<1时，此时不等式(x-1)(x-k)<0的解集为{xk<x<1}, 因为解集中恰有2个整数解，那么这两个整数解应为-1和0，所以 -2≤k<-1. 重难点拔含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨 论，再比较相应方程根的大小，注意分类讨论思想的应用. 9i0,得/x-1*0, 7.D解析：由+3 解得-3≤x<1. (x+3)(x-1)≤0， 注意分母不为0要求x≠1 因为0≤x≤1推不出-3≤x<1, 且-3≤x<1推不出0≤x≤1， 所以0≤≤1”是普胃0的既不充分也不必复条件 t22t1 2≥2，得-5， 8.C解析：由-5≥ 2≥0，即*+1、 t2s0, 则x（x-2)≤0解得-1≤1<2， (x-2≠0， 则不等式-≥2的解集为1-1≤x<2. x-2 方法总结分式不等式的解法： (1)标准化：移项通分； (2)转化为整式不等式（组） 9.A解析：由题意可知 不等式等价于(-1)(-号)(x+2)<0, 由图可知不等式的解集为{：<-2或-2<0或号<1} 方法总结利用“穿针引线法”解高次不等式的步骤： (1)把不等式变形为右侧为0，且x最高次项系数为正的标准形式； (2)解出不等式对应方程的所有根并在数轴上标出； (3)从右上开始向左下画线，“奇穿偶不穿”； (4)根据图象，写出不等式解集. 10.x10<≤2或26解折：07-7x+12(x-3)(x4)>0,根 据“穿针引线法”可解得0<x<3或x>4, x2-8x+12 2-7x+12≤1→2-7+21≤0 ≥0→ x2-7x+12 1(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)≥0，根据“穿针引线法”可解得x≤2 x2-7x+12≠0， 或3<x<4或x≥6， 0<x<3或x>4, 所以0-7x+12≤1→ x≤2或3<x<4或x≥6， 解得{x0<x≤2或x≥6. 1.解：(1)由2s0,得2-)(x+1)≤0， “x+1 x≠-1， 解得x<-1或x≥2， 则A={x|x<-1或x≥2}； 由B={xlx2+(3-a)x-3a<0}={xl(x+3)(x-a)<0; 当a=时B={(+3)(-3）o}. 第得8={✉-3<兮}： (2)由AUB=A,得BCA,由(1)知B={x|(x+3)(x-a)<0, ①当B=☑时，得a=-3,符合题意； ②当B≠0时，若a>-3,则B={xl-3<x<a}, 由BCA,A={x|x<-1或x≥2}， 可得a≤-1，此时-3<a≤-1； 若a<-3,则B={xla<x<-3},此时BA恒成立，故a<-3符合 题意. 综上所述，实数a的取值范围为{ala≤-1}. 12.B解析：根据图象可得不等式x(x-a)<0的解集为{xl0<x<2. 13.B解析：由关于x的一元二次不等式(x+1)(x-3)<0的解集为 {x|m<x<n}, 可知一元二次方程(x+1)(x-3)=0即x2-2x-3=0的两根为m, n,所以m+n=2,mn=-3, 所以p+g=-(m+n)+mn=-2-3=-5. 14.C解析：不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x<2}, a<0, 则，1+2s b a<0, a'即-3a=b, 1×2= 2a=c, a 由bx2+ax+c>0得-3ax2+ax+2a=a(-3x2+x+2)>0, 即3x2--2>0,解得x<-?或 15.B解析：由题意，得x「45-3(x-15)1>600, 即x2-30x+200<0,所以(x-10)(x-20)<0, 解得10<x<20.又每枚的最低售价为15元，所以15≤x<20. 16B解折：由40-0(40-)540x60%, 解得10≤V≤40，则V的最小值为10. 。重难聚焦 17.A解析：不等式x2-2ax+a>0对Vx∈R恒成立，需满足对应函 数图象开口向上，且判别式小于零 y=x2-2ax+a的图象开口向上，满足条件； △=4a2-4a<0,解得0<a<1, 所以a的取值范围是0<a<1. 18.D解析：当m=0时，不等式为-3x+2≤0，即≥ 3, 先考虑二次项系数是否为0 显然-3x+2≤0在x∈R有解，符合题意； 当m≠0时，命题“3xeR,mx2+2(m-3)x+4≤0”为真命题， 当m<0时，对于y=mx2+2(m-3)x+4,图象开口向下， 显然mx2+2(m-3)x+4≤0在x∈R有解，符合题意； 当m>0时，对于y=mx2+2(m-3)x+4,图象开口向上， 只需4=[2(m-3)]2-4×4×m≥0，解得m≤1或m≥9， 又m>0,所以0<m≤1或m≥9. 综上，实数m的取值范围是m≤1或m≥9. 黑题 能力提升 1.C解析：不等式组 x2-1<0,① 2-3x≥0，②不等式①的解集为 {x|-1<x<1},不等式②的解集为{x|x≤0或x≥3}. 因此不等式组的解集为{x-1<x≤0}. 2B解析：由题意得c<0,-1,2为a+ax+b=0的两个根， 1 a 1 1 散1t2c1K26,即a2<0,b20 y=ax2+bx-c的图象开口向下，AC错误， 1 b -2c1 对称轴为直线x= =- 2a c 一=2>0，D错误 所以B正确 重难点拔1.研究二次函数图象应从“三，点一线一开口”进行分析， “三点”中有一个点是顶点，另两个点是二次函数图象上关于对称 轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直 线：“一开口”是指开口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特 征，分析不等关系成立的条件 3.A解析：当a=0时，不等式即为0>0，此时不等式的解集为⑦，故 D不符合题意； 当a>0时，不等式的解集为{x|x<-1或x>a: 当-1<a<0时，不等式的解集为{x|-1<x<a,故B不符合题意 当a=-1时，不等式即为-(x+1)2>0,此时不等式的解集为②； 当a<-1时，不等式的解集为{xla<x<-1},故C不符合题意. 综上所述，不等式的解集可能为BCD,不可能为A. 4.A解析：当k=0时，不等式x2-6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立； 当k<0时，不等式kx2-6kx+k+8≥0不能恒成立； 当k>0时，要使不等式x2-6kx+k+8≥0恒成立，需△=36k2- 4(k2+8k)≤0，解得0<k≤1. 综上所述，不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，k的取值范 围是0≤k≤1. 5.A解析，=+xt1 1 =x+安+1≥2x￥+1=3，当且仅当x= ,即=1时取得最小值3， 由题意可知2≤x≤2时，=2+bx+c(b,ceR)在x=1时取得最 小值3，则有b=-2,c=4, 则关于x的不等式ax2-(c+b)x+3a<0在0<x≤2上有解，可转化 为关于x的不等式ax2-2x+3a<0在0<x≤2上有解， 因为0<≤2时，不等式可转化为ax+30<2,当a=0时，不等式为 0<2,满足题意，当>0时，不等式化为x+3<2,则2>x+3≥ 3 x a a 2。,325,当且仅当x=3时取等号，所以a<32,即0<a< :当0时，不等式化为：名此时不等式恒成立 综上可知，实数a的取值范围是a<3 √3 6”≤≤10解折：由题可知，是价后每年可销售村衫(8-06) 万件，因为8-0.62r>0,所以0<r<311-% 40080 (8-0.62r）·r%≥ ≤r≤10. 16,整理得3.1P-41r+100≤0，解得，≤5 7.{x1x≤1或2<x≤3或>4}解析：由题意可得， 3x-14x+14-(-6x+8）≥0， x2-6x+8 即2-8x+6≥0，即-0x-3≥0， x2-6x+81 (x-2)(x-4) 参考答案黑白题学霸19 1(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)≥0， 以{x-2≠0， (x-4≠0， 解得x≤1或2<x≤3或x>4. 所以解集为{x|x≤1或2<x≤3或x>4}. 8.解：(1)易知△BEG∽△BDA,△DFH∽△DBA,所以EG=2BG=2x, DH=2FH=2EG=4x. 又因为BD=√JAB2+AD2=√(4√5)2+(85)2=20，所以GH=BD BG-DH=20-x-4x=20-5x, 所以S=2EG·GH=4x(20-5x)=-20x2+80x. 又因为S=ax2+bx,则a=-20,b=80. (2)由(1)可知，20-5x>0解得0<x<4, 因为蓝莓至多能铺满30cm2,若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不 小于35cm2, 1-10x2+40x≤30， 1x2-4x+3≥0， 则-20r2+80≥35，整理可得4-16r+7≤0，解得7≤x≤1或 0<x<4, 0<x<4, 7 3≤x≤2 因为EF=GH=20-5x, 当号≤1时，15≤20-52当3时，≤20-5≤5 35 7 所以≤B≤5或15≤BF≤空（单位：m), 念压轴挑战 9.0或1解析：由已知可得(x-a+2)(x-a)(x-a2)≥0，易知该不等 式对应方程的三个根为x1=a-2<x2=a,x=a2≥0，且a2>a-2恒成 立； 已知x≥0时，不等式(x-a+2)[x2-(a+a2)x+a3]≥0恒成立，则需 满足当a2=0时，解得a=0成立； 当a2>0时，则需满足a=a2,a-2≤0，解得a=1成立. 2.2-2.3阶段综合 黑题 阶段强化 1c舞折oa4日=4(a+)242a 1 =4+2= a a 6, 当且仅当a=,即a=1时取等号，故a+0+1的最小值为6. a 2B解析：因为不等式2-2x-m<0在)≤x≤2上有解， 所以不等式m心-2x在≤≤2上有解， 分离参数 令t=x2-2x=(x-1)2-1,则tm=-1,所以m>-1. 一题多解 网为不等式-2x-m<0在7≤x≤2上有解，且函数y x2-2x-m图象的对称轴为直线x=1,所以1-2-m<0,解得m>-1. 3,A解析：原式=(a+2b)2+2a6≤1+a+26)2_-5 4 ’ 1 当且仅当0=2b, 即 1 时，等号成立 a+2b=1, b24 11 4.B解析：由x>0,y>0,且 =1,可得xy=x+y x y 20学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y. 又因为x+4y=(x+4y) (1+1）=5++≥9， 【xy x y 当且仅当=之，即x=3y=时取等号，所以4y3≥9 x y 5.AC解析：由题意可知 a>0, b -2+1=- a’则{ a=b, -2a=c, (-2)×1=a C 对于A,所以b>0且c<0,故A正确， 对于B,4a+2b+c=4a+2a-2a=4a>0,故B错误； 对于C,不等式bx+c>0→ax-2a=a(x-2)>0曰→x>2,故C正确； 对于D,不等式cx2-bx+a<0曰-2ax2-ax+a=-a(2x-1)(x+1)<0, 又a>0, 可得(2x-1)(x+1)>0,所以”2或x<-1,故D错误 6A解标：由3-1s g3得1220，所以2x+2-3》≤0 x-3 (x-3≠0， 解得-1≤x<3,A={x|-1≤x<3}; 由x2-(a+3)x+3a<0得(x-3)(x-a)<0. “x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A是B的真子集， 当a>3时，B={xl3<x<a,不满足题意； 当a=3时，B={x1(x-3)2<0}=0,不满足题意； 当a<3时，B={xla<x<3},则需满足a<-1. 综上所述a<-1. 7.A解析：x2-x-2>0的解集为{x|x<-1或x>2, 2x2+(5+2k)x+5k=(2x+5)(x+k)<0, 当<时，2+(5+29+5<0的解集为{：-三<4， 2 因为关于x的不等式组：2>0， 的整数解只有-2， (2x2+(5+2k)x+5k<0 所以-2<-k≤3，即-3≤k<2; 当k=5时，2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为空集，不满足题意； 2 当时，2+(5+2)+5<0的解集为{x-k<-},不满 足题意 综上，k的取值范围为-3≤k<2. 8.{xlx≤-3或x=-1或1<x≤2}解析：原不等式等价于 1(x+3)(x+1)2(x-1)2匹(x-2)(x-4)2≤0， x-1≠0， x-4≠0， 如图所示： 由高次不等式“奇穿偶不穿”的原则可知，原不等式的解集为 {x|x≤-3或x=-1或1<x≤2{. 1 9.k≥9解析：方程41x|+ 1x11 可转化为=(41+) x+一 当o0时，方程为k=(4+)(+）=4++5:2.3 二次函数与一 白题了基础过关 题组1不含参数的一元二次不等式的解法 1.*(2026·安徽宿州高一期末)不等式x2+ 2x-3>0的解集为 () A.{x|-3<x<1} B.{x1-1<x<3} C.{xlx<-3或x>1}D.{xlx<-1或x>3} 2.多选下列不等式中解集为R的是（) A.x2+x+1>0 B.x2-x+1>0 C.x2+x-1>0 D.x2-x-1>0 3.*(2026·吉林长春高一月考)若要使 -2-8有意义，则x的取值范围是( ) x+2 A.{x|-2≤x≤4} B.{x|-2<x≤4} C.{x|x<-2或x≥4} D.{xlx≤-2或x≥4} 题组2含参数的一元二次不等式的解法 4.★(2026·河北保定高一月考)若0<t<1, 则关于x的不等式(x-)(x)<0的解集 为 A{✉x< B.{x>或x<} c.{✉<或or}D.{x<} 5.*★(2026·河南安阳高一月考)若a<0,则 关于x的不等式a(x+2)(x+)<0的解集为 a{✉a<-2 B.{-2<d c.{>或x<-2 D.{xx-2或K1》 第二章一元二次函数、方程和不等式黑白题学霸 元二次方程、不等式 限时40min1答案P18 6.*(2026·安徽宿州高一月考)若关于x的 不等式x2-(k+1)x+k<0的解集中恰有2个 整数解，则实数k的取值范围为() A.-2<k≤-1或3<k≤4 B.-2≤k≤-1或3≤k≤4 C.-2≤k<-1或3≤k<4 D.-2≤k<-1或3<k≤4 题组3分式不等式及高次不等式的解法 7.知识迁移(2026·河南南阳高一月考)设 R,则0≤≤1”是≤0的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.*(2026·湖南衡阳高一期末)不等式 ≥2的解集为 x-5」 () A.{x|-1≤x≤2} B.{xlx≤-1} C.{x|-1≤x<2} D.xlx>2 9.*(2026·河南南阳高一月考)不等式 x(x-1)(3x-2)(x+2)2<0的解集为（) A{<-2或-20或子<1 B{-20度0e✉号l) 2 C.{x-2<x<0或0<x<3或1 D0或0c号或号r1) 25 学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 10.*★(2025·江苏苏州高一月考)不等式0< 。≤1的解集为 x2-7x+12 11.*知识迁移(2026·河南焦作一中高一月 考)已知aeR,集合A={✉2≤0}，B= {xlx2+(3-a)x-3a<0}. (1)当a=时，求A和B; (2)已知AUB=A,求实数a的取值范围. 题组4三个“二次”关系的理解及应用 12.★(2025·湖南长沙高一期中)已知函数 y=x(x-a)的图象如图所示，则不等式x(x a)<0的解集为 () 72x A.{xl0≤x≤2}B.{x0<x<2} C.{x|x≤0或x≥2}D.{x|x<0或x>2} 13.*(2026·重庆渝中区高一月考)已知关 于x的一元二次不等式(x+1)(x-3)<0的 解集为{x|m<x<n},且一元二次方程x2+ px+g=0的两根为m和n,则p+g的值为 A.5B.-5 C.2D.-2 14.*（2026·福建漳州高一月考)已知关于 x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x< 2},则关于x的不等式bx2+ax+c>0的解集 为 () 26 A.0 B.R 题组5一元二次不等式的实际应用 15.*(2026·安徽合肥高三月考)某商店售 卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为 15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出 45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减 少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元 以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价 x(单位：元)的取值范围是 () A.10<x<20 B.15≤x<20 C.16<x<20 D.15≤x<25 16.*(2026·广东佛山高一月考)为配制一 种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出 VL用水补满，搅拌均匀，第二次倒出于VL 后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量 不超过容积的60%，则V的最小值为 ( A.5 B.10 C.15 D.20 重难聚焦W 解 重难点 恒成立与能成立问题 17.*(2026·湖南长沙高一期末)关于x 的不等式x2-2ax+a>0对Hx∈R恒成 立，则a的取值范围是 ( A.0<a<1 B.0<a<2 C.0<a<2 1 D.a>0 18.*(2026·山东临沂高一期末)若 3x∈R,mx2+2(m-3)x+4≤0，则实数m 的取值范围为 () A.1<m<9 B.m<0 C.m<1或m>9 D.m≤1或m≥9 黑题 能力提升 1x2-1<0, 1.*不等式组 的解集是( x2-3x≥0 A.{xl-1<x<1} B.{x11<x≤3} C.{xl-1<x≤0} D.{x|x≥3或x<1} 2.*(2026·安徽六安高一期中)不等式cx2+ ax+b>0的解集为{x-1<x<},则函数y= ax2+bx-c的图象大致为 :个pi布 3.*(2026·湖南邵阳高一期中)关于x的 元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集不可 能为 >《题中题》上分专题02例1( A.xlx<ax>-1 B.xl-1<x<a C.xla<x<-1 D.☑ 4.*(2026·山东菏泽高一月考)已知关于x 的不等式x2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成 立，则k的取值范围是 () A.0≤k≤1 B.0<k≤1 C.k<0或k>1 D.k≤0或k≥1 5.*(2025·天津南开中学高一月考)已知 2≤x≤2时，y=+bx+c(b,c∈R)与2= 心+x+1在同一点取得相同的最小值若关于x 的不等式ax2-(c+b)x+3a<0在0<x≤2上有 解，则实数a的取值范围是 A.a< .B.a7 4 C.>3 4 D.a> 3 7 6.*某服装公司生产的衬衫，在某城市年销 售8万件，现该公司在该市设立代理商来销 售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额r% 的代理费.为此，该衬衫每件价格要提高到 第二章一元二次函数、方程和不等式黑白题学霸 限时30min1答案P19 80 元才能保证公司利润.由于提价，每年 1-r%1 将少销售0.62r万件，如果代理商每年收取的 代理费不少于16万元，则r的取值范围 是 7.*(2026·江苏苏州高一月考)不等式 3x2-14x+14≥1的解集为 x2-6x+8 8.（2025·河北石家庄高一月考)如图，某蛋 糕店制作一块长为8√5cm,宽为45cm的矩 形双拼水果蛋糕ABCD,点E,F,M,N分别在 线段AB,AD,BC,CD上（不包含端点），点G, Q,H,P均在线段BD上，要在矩形EFHG与矩 形MNPQ两个区域中分别铺满等面积的蓝莓 与芒果两种水果.设BG=DP=x(单位：cm),铺 满水果的区域面积为S(单位：cm). (1)已知S=ax2+bx,求常数a,b的值； (2)已知芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满 30cm2,若要求该蛋糕铺满水果的区域面 积不小于35cm2,求EF的取值范围. 压轴挑战Ⅲ 9.熱(2025·重庆巴蛋 x≥0时，关于x的不等式(x-a+2)[x2-(a+ a2)x+a3]≥0恒成立，则实数a的值 为 27