2.2 基本不等式-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 2.2基 、白题基础过关 题组1基本不等式的理解 1.·易错题多选给出下列条件：①ab>0;② ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使b+ ≥2成立的条件有 a () A.① B.② C.③ D.④ 2.*下列几个不等式中，不能取到等号的是 ( A.x+1≥2(x>0) B.1x1+2≥22(x≠0) x1 c.4≥1(x<0) x16 D.V2+5+1 ≥2(x∈R) √x2+5 3.*如图，正方形的边长为a+ b(a>0,b>0),请利用1OA1≤ IOBI+IBAI,写出一个简练优 美的含有a,b的不等式 B 为 ,其中“=”成立的条件 为 题组2利用基本不等式比较大小 4.★(2025·广东江门高一月考)已知x>0,A= x-2,B=-1,则A与B的大小关系是() A.A≥B B.A≤B C.A>B D.A<B 5.*(2026·山东枣庄高一期中)已知a,b为 互不相等的正实数，下列四个数中最大的是 () 2 A.√ab B.I C.2 D. a2+b2, L 2 a b 22 本不等式 限时40min1答案P15 题组3利用基本不等式求最值之无条件求最值 6.*(2026·福建泉州高一期中)若x>3,则 y=x+ 4,的最小值为 () x-31 A.5 B.6 C.7 D.8 7.*(2026·江苏苏州高一期中)已知x<0, 则y=5-x-4有 () A.最大值1 B.最小值9 C.最小值1 D.最大值9 8.★(2026·辽宁丹东高一月考)已知x>0, 则y=+2的最小值为 ,此时 X x= 9.★(2026·河北邢台高一月考)若x>0,则 (x+1)(2+)的最小值为 ,此时 x= 10.*★(2026·重庆九龙坡区高三月考)已知 20,y>0,则义+2x+y的最小值为 2x Y 题组4利用基本不等式求最值之有条件求最值 11.已知4a2+b2=6,则ab的最大值为 () A. 4 .2 D.3 12.*多选(2025·浙江绍兴高一月考)已知 x,y为正数，且灯=1，则下列说法正确的是 A.x+y有最小值2 B.x+y有最大值2 C.x2+y2有最小值2 D.x2+y2有最大值2 13.*(2026·河南商丘高一期末)已知正数 m,n满足上+3=2，则m+3n的最小值为 m n A.8 B.7 C.6 D.5 14.*(2026·湖南长沙高一期中)已知实数 0>0,b>0,满足a+2b=4,则1+2的最小 a+1'b+2 值是 >《题中题》上分专题01例2() 1 .2 C.1 D.2 15.*(2025·湖南长沙高一月考)已知正实 数a,b满足√a+√b2+1=4,则a+b2的最小 值是 题组5利用基本不等式证明 16.易错题已知a,b都是正数，求证：a+b+ 1≥√ab+a+√b. 第二章一元二次函数、方程和不等式黑白题学霸 题组6利用基本不等式解决实际问题 17.·(2025·云南昆明高一期中)某生物制药 公司为了节约成本开支，引入了一批新型生物 污水处理器，通过费用开支的记录得知其月处 理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)满 足函数解析式y=2x2-180x+20000.则当每吨 的平均处理成本最低时的月处理量为() A.80吨 B.100吨 C.120吨 D.150吨 18.*(2025·河南南阳高一期中)制作一个面 积为1m2且形状为直角三角形的铁支架，较 经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为 A.4.6m B.4.8m C.5m D.5.2m 19.*某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗 费的精力增多，因此不满意度升高.当住第 n层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高 处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因 此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住 第n层楼时，环境不满意程度为8则此人应 选第 层楼，会有一个最佳满意度. 重难聚焦心 解 重难点利用基本不等式解决恒成立问题 20.*(2026·江苏南京高一月考)当x>1 1 时，不等式x+x-1≥a恒成立，则实数a 的取值范围是 A.{ala≤2} B.{ala≥2} C.{ala≥3} D.{ala≤3} 21.*(2026·福建莆田高一期末)已知x> 0,不等式x2+mx+1>0恒成立，则实数m 的取值范围是 23 学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 黑题能力提升 1.*(2026·山东枣庄高一月考)若0<a<1, 0<b<1,且a≠b,则a+b,2√ab,2ab,a2+b2中 最小的一个是 () A.2ab B.2√ab C.a2+b2 D.a+b 2.已知a>0,b>0,且a+h=1,则3ab 的最大 a+4b 值为 () A君 8 D.3 3.*（2026·安徽合肥高一期末)已知α>0， b>0,2a+6-3=0,则21+1的最小值为 2a+1b A.2 B.1 3 4.*(2025·江西吉安高一月考)已知x,y为正 实数，且y=1,则+6+3的最小值为() xy A.24 B.25 C.6+42 D.62-3 5.学科融合(2026·天津河东区高三月考) “明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过 程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一 个串联电路图，电源电压为6V,定值电阻R 的阻值为2Ω，滑动变阻器R'的阻值范围是 12到62，已知纯电阻电路（如下图）的一个 功率公式为P=R(I为电路中通过的电 流)，闭合开关移动滑动变阻器滑片，则' 的功率的最大值为 () A A. B.4 W 8 D.6W 24 限时30min1答案P17 6.*(2026·北京昌平区高一期中)若x>1, 则y= x2-x+1 的最小值为 ,此时 x-1 尤= 7.(2025·广东佛山高一月考)已知正实数 a,b满足a+2b+5=ab,且不等式，m≥10-2ab 2a+ba+2b+5 恒成立，则实数m的取值范围是 8.整（2026·山西临汾高一月考)已知正数x, y满足x+y=6,若不等式a≤亡+少恒成 x+1y+2 立，则实数a的取值范围是 9.★*(2026·湖南常德高一月考)已知x>2, y>0,xy=y+4. (1)求x+y的最小值； (2)求(x-1)2+y2的最小值； (3)求+，4的最小值 4-y 压轴挑战 解 10.已知正数a,b,c满足a+2b=4,c>1, 则c+cc2v2 2a b 2 c-1 的最小值为对于D,当c=a,b<0时，a-c<c-b,故D错误 3D晨折：由已知：-9gy()+(》 又-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5， 则 ()≤9,9≤8(4)≤9 3- 2088 40 注意不等号的方向 所以-1-)+骨（列≤20， 即{z|-1≤z≤20}. 4.AB解析：选项A:因为x>y>z,所以x+2y+z<x+2x+x=4x,已知x+ 2y+z=0,代入得0<4x→x>0,选项A正确； 选项B:同理x+2y+z>z+2z+z=4z,代入x+2y+z=0,得0>4z→z<0, 选项B正确； 选项C:xy>yzy(x-z)>0,因为x-z>0,故符号由y决定： 若y>0,则xy>yz, 若y<0,则xy<yz, 若y=0,则xy=yz,因此xy>yz不一定成立，选项C错误； 选项D:因为>，故0<y,得行又K0,两边乘负题 :不等号变向，得品选项D错误 5.ABD解析：因为a+b+c=d+e+f,a+b+e>c+d+f,所以e-c>c-e,所以 e>c. 又因为a+b+fKc+d+e,所以c-ffc,所以c>f,所以e>c>f,C错误 又因为ate<b,所以a<b,e<b,所以b>e>c,b>e>f,b>c>f均成立， ABD正确. 6.D解析：原式的分子和分母同时除以x,得文=1。 -2y1-互' ,12<3, 由条件得2<-2y<6,4<x<2,所以2- 所以1-24，所以<子 x 4412 易错提醒求分式取值范围时，若分母含变量，常通过分离常数或 换元转化为单一变量的范围，本题需要注意不等号的方向 44 77%1, 7. 4.44 7771, 解析：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进 k∈N 44 7+7k1, 入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以{4,4,4 77k7≥1， k∈N" 8.b≥c>a解析：由 *c=30-a+6,得6=2aa+5, b-c=a2-4a+4, c=a2+1, b-c=a2-4a+4=(a-2)2≥0， a=2时，b=c,a≠2时，b>c, 所以c>a.所以b≥c>a. 9.解：(1)第一种方案，两次加油共花费30×5+30×4=270（元），两次 共加了60升燃油，所以平均价格为270 4.5(元/升)； 60 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两次共加了 (,2）-90升)然油，所以子均价格为贺-9（元升） 54/ (2)由题意可得第一种方案，两次加油共花费(30m+30n)元，两次 共加了60升燃油，所以平均价格为30m+30_m”(元/升)； 60 2 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两次共加了 200+ 、 、20升燃迪，所以平均价格为0（元/升）. 200.200m+n m n 且m+n_2mn_（mt+n)2-4mn.(m-n 、>0,所以选择第二种加油方 2m+n2(m+n） 2(m+n) 案比较经济划算， 2.2基本不等式 白题 基础过关 1.ACD 解析：用基本不等式的前提是“一正，二定，三相等”，即当 心，只均为正数时，可得名+分≥2（当且仅当a=6时等号成立》 a’b 此时只需a,b同号即可，所以①③④均满足要求. 易错提醒利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个 条件： (1)“一正”：各项必须为正数； (2)“二定”：要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定 值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条 件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发 生错误的地方 2D解折：对于A,当且仅当左即1时等号成立 时于B,当且仅当x,即x=±2时等号成立 对于C,当且仅当。即8时等号成立： 对于D,当且仅当√+5=1，即2=-4时等号成立，无解， √x2+5 故等号不成立 3.a+6s层+6 2≤√2(a>0,b>0)a=b解析：正方形的边长为a+b(a> 0,b>0),由勾股定理可得IOA|=√2(a+b),IOB1=IBA1=√a2+b2 因为10A1≤10B1+IBA1,所以√2(a+b)≤√a2+b2+√a2+b,整理 得≤，®环，当且仅当a=6时取等号. 2≤√2 解析：因为x>0,A=x-2,B=-1,所以A-B=x-2士 x 2·-2=0,即4≥B,当且仅当=1时等号成立 5.C解析：因为a,b为互不相等的正实数，所以a2+b2>2ab,则 2ah>a4+2ab=a+b所以g+6a2)则3 2 a+b 2 “2>而，由基本不等式可得，1< 2=d,所以 1 atb 2 ab 参考答案黑白题学霸15 /a+b"atb a2+67 N2>2>,2因此，最大的数为2 a b 6C解析：由3，得x-3>0,则y=x-3+4 4 3+3≥2√x-3)·x3+ 3=7,当且仅当x=5时取等号 7.B解析：因为x<0,所以-x>0, 注意各项必须为正数 根据基本不等式可知，(-)+()≥2√(-)·()=4， 当且仅当-x=-4,即x=-2取等号， 4 故y=5-年≥5+4=9， 即函数y=5-兰有最小值9 &.22+12解析：因为D0,则y-+2=x+2+1≥22+1，等号 成立时x=√2， 故当x=2时，y++2有最小值22+1. 32号解：由0，得(+2+）32x≥3+ 22r=3+2w5, x 当且仅当2x=即-受时取等号， 所以当x=子时.(+1(2+)取得最小值3+25 10.3解析：因为x>0,y>0, 所以之2y2+122经·%+3， 2x y 2x y 当且仅当5，即=之时等号成立. 2x y 所以之+2x+y的最小值为3. 2x y 11.B解析：由题意得6=42+b2=(2a)2+62≥2·2a·b,即ab≤之， 3 当且仅当2a=b,即a=分，b=3或a=月 2,6=-3时等号成立， 所以b的最大值为号 12.AC解析：x,y为正数，且y=1,则有x+y≥2√y=2,x2+y2≥ 2xy=2,当且仅当x=y=1时等号成立，所以x+y有最小值2，x2+ y2有最小值2. 13.A解折：因为22-2，所以a+3=日a+30)(+)- m n 当且仅当m=n=2时，取得等号. 方法总结在利用基本不等式求最值时，若已知条件是“和”或 “积”为定值，常将已知等式化为“1”的形式，再将目标式乘这个 “1”,展开后再用基本不等式求解. 14.C解析：实数a>0,b>0,满足a+2b=4, 16学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 故a+1+26+2=9,即+1+2(6+2）-L, 9 9 将已知条件配凑成k(a+1)+t(b+2)的形式 故品2g(品)儿a1+2+21-+8 2(b+2)、5, 2(a+1),2(b+2)5,4 9a+≥g+2√96+2)·9a+9+ 一十 -=1, 当且仅当2a+》-2+2,即a=2,6=1时，等号成立， 9(b+2)9(a+1)1 故。的最小值为1 1 157解析：由宁≤ 图可蜘知a+Y6+I≤、 a+b2+1 2 21 当且仅当a=√+1，即a=4,b=√3时，等号成立. 所以a+b2+1(a+VB+1)2 2≥ 2 =4,即a+b2≥7，当a=4,b=√3时， a+b2的最小值是7. 16.证明：由a,b都是正数，则a+1≥2a,b+1≥26，a+b≥2√ad,所 以2(a+b+1)=(a+b)+(a+1)+(b+1)≥2（√ad+a+b),即a+ b+1≥√ab+√a+b,当且仅当a=b=1时取等号， 易错提醒利用基本不等式求最值或证明不等式时，注意等号能否 同时成立 17.B解析：依题意，每吨的平均处理成本兰=2x+10000 x 18022.100 -180=220, 当且仅当x=10000,即x=100时取等号，所以当每吨的平均处理 成本最低时的月处理量为100吨. 18.C解析：设一条直角边为xm,由于面积为1m2,所以另一条直 角边为子所以斜边长为+（丁m 所以月长为+子+( x √22·(2)=22+243(m),当且仅当=2且 (2)广，即时版等号。 所以较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为5m 19.3解析：设此人应选第n层楼，此时的不满意程度为y, 由题意知y=n+8,因为+8≥2，，8-4， n 当且仅当n=8,即n=2w2时取等号，但考虑到neN, n 所以当a=2时，=2+受-6，当=3时，y=3+弩-号，即此人应 817 选第3层楼，不满意度最低. 。重难聚焦 20D解析：因为1，所以11≥2-10 x-1 1=3, 当且仅当x-1=1,即x=2时，取得等号. x-1 由不等式x+,≥a恒成立，可得a≤3，所以实数。的取值范围 是{ala≤3. 21.m>-2解析：由x>0,不等式x2+mx+1>0恒成立，可得m>-x- 对x>0恒成立， .1 ≤-2x· 1 =-2,当且仅当x=,即 x=1时取等号. 所以m>-2. 黑题 能力提升 1.A解析：因为0<a<1,0<b<1,且a≠b,a+b>2√ab,a2+b2>2ab, 2ab-2ab=2ab(1-ab), 由条件可知，0<ab<1,则0<√ab<1, 所以2ab-2ab>0,即2ab<2√ab, 所以四个数中最小的是2ab. 2.D解析：由a>0,b>0,可得3b=3 3 a+46a+464,1’ ab a b 自a6=1可0+日-a+w)(任名）-508≥5+ 2号， 当组仅当曾名即a=子6写时等号成之， 2 所以，3≤31 g3,即， 即。+6的最大值为了 a b 3.B解析：因为2a+b-3=0,可得2a+1+6 44=1, 且a>0,b>0,可知2a+1>0, /b2a+1 2 V4(2a+1)）·46=1, -+2 当且仅当 22然即a-62啡号成立， 的装小值为1 所以 4.B解析：因为x,y为正实数，且xy=1,所以+6y+3_*+6r+3(+） xy xy 9yx4托_ xyx”y x y 25, 3 x= ’ 当且仅当名y'即2 时，等号成立， x+y=1,y= 5 所以+6+3的最小值为25. xy 5.C解析：由题知，总电阻R点=R+R'=2+R', 电路电流I尸R。2+R 所以蒂动变阻器功率为P=fR-()》R=2 (2+R)2= 36R′ 36 R4R4R+R4 ，4, 4 因为R+≥2，√R是4，当组仅当R产即R=2n时，等号 4 成立，此时R'=22满足12到62的范围， 所以t时P限大，且为名()。 632解折：由-1>0，则y--11-(-1+1≥ x-1 2013, 当且仅当1一即=2时取等号，放y的是小值为3 7.{mlm≥-18解析：由题意， m0-2a的.2at62ab》）-(+）2a*0. a+2b+5 ab 因为(2)2aw)=024s9≥1022g=18, 当且仅当0=6，即a=6=3+y2四时取等号， 6=a 2 所以- (g+2a6)≤-18 所以不等式6产缸成立，只需m≥-18即可 8.a≤4解析：因为x+y=6, 所以t x2y2(x+1)2-2(x+1)+1(y+2)2-4(y+2)+4 x+1y+2 x+1 y+2 1 4 14 =x+1+ +1 2+y+2+ y+2 434 x+1y+2' 所以6=3+1+ 4 x+1y+ =3++12(1+4 -32y+2 9 (x+i+y+2)=g+9x+i 4(x+1)32 2 +2x4+=4,当且仅当y=4,x=2时等 9(y+2)92√9(x+1)9(y+2) 号成立，所以 =4,故a≤4. x+1y+2 重难点拔 723414 解题关健是先得到￥+户 +1中2再进一步结 合乘“1”法即可顺利得解。 9.解：(1)因为x>2,y>0,y=y+4, 所以x=1+4,所以 =1+4>2, y 解得0<y<4, y y>0, .4 所以x+y=1++y≥1+2 2y=5,当且仅当号y,即y=2,x 4 3时取等号， 所以x+y的最小值为5. (2(x-1)2y=16+y≥2 √分=8，当且仅当9，即7 /16 2,x=3时取等号， 所以(x-1)2+y2的最小值为8. (3)因为=1+子2且0ey<4所以4-n0 4 44 所以+4y1+y4 =1+(42442）=1+1+4++ 4-y y'4-y 1≥3+2 4-Y.y=5, y 4-y 当且仅当4y=,即y=2,x=3时取等号， y4-y1 所以的是小值为5 参考答案黑白题学霸17○ 念压轴挑战 解析：已知正数a,b,c满足a+2b=4,c>1. 因为会6=（品+女）（会+6）-（会 品)×2品-浮。首且仅当即 （a+2b=4, (2a=46 a=42-4,时取等号。 b=4-22 会-号+2929-29 c-1+2≥ 2停c2号-5当且仅当=3时取等号 a=42-4, 所会后2得g当且仅当公2后时液等华 c=3 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 白题 基础过关 1.C解析：根据题意，方程x2+2x-3=0有两个根，即-3和1，则x2+ 2x-3>0的解集为{x|x<-3或x>1}. 2.AB解析：对于A:x2+x+1>0中△=1-4<0，则解集为R,故A正确； 对于B:x2-x+1>0中△=1-4<0，则解集为R,故B正确； 对于C:2+x-1>0中4=1+4=5>0，则解集为x<》或空 },散c结误， 对于D:2-*-1>0中4=1+4=5>0，则解集为xx<2或x> 2},故D错误 1+W5 3.C解析：要使2-8有意义，则有-2x-8≥0且x≠-2，解7 得x<-2或x≥4，所以x的取值范围是{xx<-2或x≥4}. 方法总结解一元二次不等式的一般方法和步骤： (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根 (无实根时，不等式解集为R或☑). (3)求：求出对应的一元二次方程的根， (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集。 4D解折：当0<1时，}>1>0，解(x-0(）0,得1< ,所以不等式()(）k0的解集为{+<} 5C解折：因为a<0,a+2)(+）<0,所以(+2)(+日）>0， 又>0，所以不等式的解集为{：-2或>} a 6.D解析：将不等式x2-(k+1)x+k<0因式分解， 可得(x-1)(x-k)<0, 当k>1时，此时不等式(x-1)(x-k)<0的解集为{x1<x<k}, 因为解集中恰有2个整数解，那么这两个整数解应为2和3，所以 3<k≤4； 18学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 当k=1时，不等式变为(x-1)2<0,因为任何实数的平方都大于或 等于0，所以此时不等式无解，不符合题意； 当k<1时，此时不等式(x-1)(x-k)<0的解集为{xk<x<1}, 因为解集中恰有2个整数解，那么这两个整数解应为-1和0，所以 -2≤k<-1. 重难点拔含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨 论，再比较相应方程根的大小，注意分类讨论思想的应用. 9i0,得/x-1*0, 7.D解析：由+3 解得-3≤x<1. (x+3)(x-1)≤0， 注意分母不为0要求x≠1 因为0≤x≤1推不出-3≤x<1, 且-3≤x<1推不出0≤x≤1， 所以0≤≤1”是普胃0的既不充分也不必复条件 t22t1 2≥2，得-5， 8.C解析：由-5≥ 2≥0，即*+1、 t2s0, 则x（x-2)≤0解得-1≤1<2， (x-2≠0， 则不等式-≥2的解集为1-1≤x<2. x-2 方法总结分式不等式的解法： (1)标准化：移项通分； (2)转化为整式不等式（组） 9.A解析：由题意可知 不等式等价于(-1)(-号)(x+2)<0, 由图可知不等式的解集为{：<-2或-2<0或号<1} 方法总结利用“穿针引线法”解高次不等式的步骤： (1)把不等式变形为右侧为0，且x最高次项系数为正的标准形式； (2)解出不等式对应方程的所有根并在数轴上标出； (3)从右上开始向左下画线，“奇穿偶不穿”； (4)根据图象，写出不等式解集. 10.x10<≤2或26解折：07-7x+12(x-3)(x4)>0,根 据“穿针引线法”可解得0<x<3或x>4, x2-8x+12 2-7x+12≤1→2-7+21≤0 ≥0→ x2-7x+12 1(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)≥0，根据“穿针引线法”可解得x≤2 x2-7x+12≠0， 或3<x<4或x≥6， 0<x<3或x>4, 所以0-7x+12≤1→ x≤2或3<x<4或x≥6， 解得{x0<x≤2或x≥6. 1.解：(1)由2s0,得2-)(x+1)≤0， “x+1 x≠-1， 解得x<-1或x≥2， 则A={x|x<-1或x≥2}； 由B={xlx2+(3-a)x-3a<0}={xl(x+3)(x-a)<0; 当a=时B={(+3)(-3）o}.