2.1 等式性质与不等式性质-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

(3)证明：若M中的所有元素构成K列， 考虑K列中形如(x,y:)(x,y:∈{1,2,7,8})的项，这样的项共有 16个， 由题知其下一项为(x+1,y1),x1y1∈{3,4,5,6}，共计16个， 而(x1,y41)≠(3,3)，(6,3)，(3,6)，(6,6)， 第二章 一元二次2 2.1等式性质与不等式性质 白题 基础过关 170<x+y≤190， 1.D解析：由题意得 x>y: 2.B解析：矩形的面积S=.242 =x(12-x)≥20，故表示“该矩 2 形的面积不小于20”的是x(12-x)≥20. 3.C解析：依题意，M-N=(2x-1)2-（3x2-4)=x2-4x+5=(x-2)2+ 1>0,所以M>N. 4.A≥B解析：因为a>0,6>0,所以A-B=（2a+26厂a+b2a6 1,1）2a+b 2_(a+b)2-4aba2-2ab+b2_(a-b)2 a+62ab(a+b)2a6(a+b)2ab(a+b)≥0， 当且仅当a=b时，等号成立，故A≥B. 方法总结比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的 主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差—变 形—判断正、负。 5.ABC解析：因为a>b>0,c>d, 对于A选项，a-b>0,A错； 对于B选项，不妨取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=-2=bd,B错； 对于C选项，取c=0,则ac2=0=bc2,C错； 对于D选项，由题意可知，2+1>0，由不等式的基本性质可得 D对 6.D解析：对于A,因为a>b>c>0,所以a+a>b+a>b+c,即2a>b+c, 故A错误； 对于B,取a=3>b=2>c=1>0,则a(b-c)=3<b(a-c)=4,故B错误； 对于C,由a>b>c>0,得a-c>b-c>0, 所以1.1 a-c b-c' a-c b-c 为a-o)b-e)>0,所以aba的 a-c b-c 故C错误； 对于D,由a>b>c>0,得a-c>b-c>0,所以(a-c)3>(b-c)3,故D正确， 方法总结判断不等式是否成立，主要是利用不等式的性质和特殊 值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值 验证的方法更简单」 7xB展惭图为P=a1-(or）广+子30ca1-(o号）广片 3 P 4>0,则Q>0:由Q=(a+a+1)(a-a+1)=(a2+1)'-a2=a+a+ 1≥1，所以P≥Q. 8.{a+2bl-4<a+2b<0解析：由于2<a<4,-3<b<-2, 则-6<2b<-4,所以2-6<a+2b<4-4, 即-4<a+2b<0. 9{引}解折：由3，所以宁 7x3 1 11 3则·23：3，即x3,同理1 14学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个(x,y),有12个(x1y1)与之相对应，矛盾. 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列 函数、方程和不等式 又12，所以1y4.所u号号 10.B解析：不妨设商品原价格为10000a, 则方案甲两次降价后的价格为10000a(1-m%)(1-n%)= a(100-m)(100-n), 方案乙两次降价后的价格为1000(1-”%)' (月 又a(1o0-n")°-a(10-m(10-m)=a[1000-10(m+m)+ (2"）']-a1000-10(m+n)+m]=a(m空"）°-amm- 因为m>n>0,故不能取“=” 所以a(100-m+n） 2 -a(100-m)(100-n)>0, 2 即a(1o-2） >a(100-m)(100-n), 所以方案乙两次降价后的价格最高： 。易错聚焦 山C解折：因为<，所以2<4 又1a<3,所以2<12，则若8+1,3<g1<13 易错提醒在利用不等式性质求取值范围时，需注意只有同向不等 式才能相加，且要保证方向一致；注意需要和转化为0x 12.{a1-1<a<2}解析：由条件可知， 设a=(a+2b)+(2a-b0,可解出a=（a+26)+号(2a-b). 因为号号如 所以两式相加得-l<a<2. 易错提醒对于多个不等式构成的关系，我们常用待定系数法或整 体加减法求解，否则容易扩大范围。 黑题 能力提升 1.D解析：某地平流层是地球表面以上10km(不含)到50km(不 含)的区域， 所以10<x<50,即有20<x+10<60,0<x-10<40,-10<x-20<30, -20<x-30<20,只有D选项符合条件. 2.B解析：对于A,当b<0时，a2b<ab2,故A错误； 对于B,当b<0时，2a6 1、1 11111) 当6>0时666ada->0,则/ ab ab' 故B正确； 对于C,当b<0时，a3>b3,故C错误； 对于D,当c=a,b<0时，a-c<c-b,故D错误 3D晨折：由已知：-9gy()+(》 又-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5， 则 ()≤9,9≤8(4)≤9 3- 2088 40 注意不等号的方向 所以-1-)+骨（列≤20， 即{z|-1≤z≤20}. 4.AB解析：选项A:因为x>y>z,所以x+2y+z<x+2x+x=4x,已知x+ 2y+z=0,代入得0<4x→x>0,选项A正确； 选项B:同理x+2y+z>z+2z+z=4z,代入x+2y+z=0,得0>4z→z<0, 选项B正确； 选项C:xy>yzy(x-z)>0,因为x-z>0,故符号由y决定： 若y>0,则xy>yz, 若y<0,则xy<yz, 若y=0,则xy=yz,因此xy>yz不一定成立，选项C错误； 选项D:因为>，故0<y,得行又K0,两边乘负题 :不等号变向，得品选项D错误 5.ABD解析：因为a+b+c=d+e+f,a+b+e>c+d+f,所以e-c>c-e,所以 e>c. 又因为a+b+fKc+d+e,所以c-ffc,所以c>f,所以e>c>f,C错误 又因为ate<b,所以a<b,e<b,所以b>e>c,b>e>f,b>c>f均成立， ABD正确. 6.D解析：原式的分子和分母同时除以x,得文=1。 -2y1-互' ,12<3, 由条件得2<-2y<6,4<x<2,所以2- 所以1-24，所以<子 x 4412 易错提醒求分式取值范围时，若分母含变量，常通过分离常数或 换元转化为单一变量的范围，本题需要注意不等号的方向 44 77%1, 7. 4.44 7771, 解析：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进 k∈N 44 7+7k1, 入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以{4,4,4 77k7≥1， k∈N" 8.b≥c>a解析：由 *c=30-a+6,得6=2aa+5, b-c=a2-4a+4, c=a2+1, b-c=a2-4a+4=(a-2)2≥0， a=2时，b=c,a≠2时，b>c, 所以c>a.所以b≥c>a. 9.解：(1)第一种方案，两次加油共花费30×5+30×4=270（元），两次 共加了60升燃油，所以平均价格为270 4.5(元/升)； 60 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两次共加了 (,2）-90升)然油，所以子均价格为贺-9（元升） 54/ (2)由题意可得第一种方案，两次加油共花费(30m+30n)元，两次 共加了60升燃油，所以平均价格为30m+30_m”(元/升)； 60 2 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两次共加了 200+ 、 、20升燃迪，所以平均价格为0（元/升）. 200.200m+n m n 且m+n_2mn_（mt+n)2-4mn.(m-n 、>0,所以选择第二种加油方 2m+n2(m+n） 2(m+n) 案比较经济划算， 2.2基本不等式 白题 基础过关 1.ACD 解析：用基本不等式的前提是“一正，二定，三相等”，即当 心，只均为正数时，可得名+分≥2（当且仅当a=6时等号成立》 a’b 此时只需a,b同号即可，所以①③④均满足要求. 易错提醒利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个 条件： (1)“一正”：各项必须为正数； (2)“二定”：要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定 值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条 件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发 生错误的地方 2D解折：对于A,当且仅当左即1时等号成立 时于B,当且仅当x,即x=±2时等号成立 对于C,当且仅当。即8时等号成立： 对于D,当且仅当√+5=1，即2=-4时等号成立，无解， √x2+5 故等号不成立 3.a+6s层+6 2≤√2(a>0,b>0)a=b解析：正方形的边长为a+b(a> 0,b>0),由勾股定理可得IOA|=√2(a+b),IOB1=IBA1=√a2+b2 因为10A1≤10B1+IBA1,所以√2(a+b)≤√a2+b2+√a2+b,整理 得≤，®环，当且仅当a=6时取等号. 2≤√2 解析：因为x>0,A=x-2,B=-1,所以A-B=x-2士 x 2·-2=0,即4≥B,当且仅当=1时等号成立 5.C解析：因为a,b为互不相等的正实数，所以a2+b2>2ab,则 2ah>a4+2ab=a+b所以g+6a2)则3 2 a+b 2 “2>而，由基本不等式可得，1< 2=d,所以 1 atb 2 ab 参考答案黑白题学霸15第二章一元二次函数 2.1等式性质 白题 基础过关 题组1用不等式（组）表示不等关系 1.·(2026·广东中山高一月考)甲班的分数 大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大 于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分 别为x,y,则用不等式组表示为 () A. 170≤x+y≤190， (170≤x+y≤190， B. (x<y (x>y C. 170<x+y≤190， (170<x+y≤190， D. x<y x>y 2.*(2026·陕西咸阳高一月考)已知某矩形 的周长为24，且其中一条边长为x,则下列表 示“该矩形的面积不小于20”的是（） A.x(12-x)>20 B.x(12-x)≥20 C.x(24-x)>20 D.x(24-x)≥20 题组2比较代数式的大小 3.*(2026·河北保定高一月考)已知M= (2x-1)2,N=3x2-4,则下面正确的是（) A.M<NB.M≤NC.M>ND.M≥N .B=2 1.1 4.★*★设A=。十。 +6a>0,b>0,则A,B 的大小关系为 题组3不等式性质的理解及应用 5.*多选若a>b>0,c>d,则下列结论错误的 是 () A.a-b<O B.ac>bd C.ac2>bc2 》品 6.*人A教材变式已知a>b>c>0,则（) A.2a<b+c B.a(b-c)>b(a-c) c.11 D.(a-c)3>(b-c)3 a-c b-c 20 方程和不等式 与不等式性质 限时25min 7."已知P=a+a+l,Q=a-at1aeR,则 P,Q的大小关系为 () A.P>Q B.P≥QC.P<Q D.P≤Q 8.*人A教材变式(2026·广东汕尾高一期末) 已知2<a<4,-3<b<-2,则a+2b的取值范围 为 9.*(2026·安徽合肥高一月考)已知3<x<7, 1<y<2,则的取值范围是 2 题组4不等式性质的实际应用 10.*(2026·江苏扬州高一月考)某商场计 划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价 m%,第二次降价n%.方案乙：两次均降价 空”%，其中a>n0那么两次降价后价格 最高的方案为 A.甲 B.乙 C.甲和乙价格相同 易错聚焦川 易错点误用不等式的性质 11.*★(2026·广东汕头高三期末)已知1< 1 a<3,40 -<b< 的取值范围是( ) b a+b 6下7 B 5 a+b A.5< 26<14 C318 D 12.*已知实数a,b满足-3<a+2b<2,-1< 2a-b<4,则a的取值范围为 黑题能力提升 1.*学科融合(2026·辽宁锦州高三期末)平 流层是地球大气层的第2层，位于对流层之 上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且 几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域.某 地平流层是地球表面以上10km(不含)到 50km(不含)的区域，下述不等式中x能表示 平流层高度的是 () A.Ix+101<50 B.1x-101<50 C.1x-201<30 D.Ix-301<20 2.*(2026·江苏南京高三月考)若a>1b|>0, c∈R则下列结论一定成立的是 () A.a2b>ab2 B.1、1 C.a3<b3 D.a-c>c-b 3.*(2026·湖北武汉高一月考)已知实数x, y满足-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5，则z=9x- y的取值范围是 ( A.{z-7≤z≤26} B.{zl1≤z≤15} C.{z|4≤z≤15} D.{zl-1≤z≤20} 4.*多选(2026·福建厦门高一期末)若x> y>z,且x+2y+z=0,则 A.x>0 B.z<0 C.xy>yz D.之>名 x-y x-z 5.*多选有外表一样，质量不同的六个小球， 它们的质量分别是a,b,c,d,e,f,已知a+b+ c=d+e+f,a+b+e>c+d+f,a+b+f<c+d+e,a+e<b. 则下列判断正确的有 () A.b>c>f B.b>e>f C.c>e>f D.b>e>c 6.*易错题已知2<x<4,-3<y<-1,则龙的 x-2Y 取值范围是 第二章一元二次函数、方程和不等式黑白题学霸 限时30min|答案P14 7.*用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板， 随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越 大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为 前一次的(6eN),已知一个铁钉受击3 次后全部进入木板，且第一次受击后进入木 板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实 例中提炼出一个不等式组： 8.*(2026·吉林通化高三月考)若实数a,b, c满足b+c=3a2-4a+6,b-c=a2-4a+4,试确 定a,b,c的大小关系是 9.接(2026·浙江宁波高一月考)港珠澳大桥 通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用 自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次 油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有 两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的 燃油：第二种方案，每次加200元的燃油 (1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升， 第二次加油时燃油的价格为4元/升，请 计算出每种加油方案的平均价格（平均 价格=总价格÷总升数). (2)分别用m,n(m≠n)表示刘先生先后两次 加油时燃油的价格，请计算出每种加油方 案的平均价格，选择哪种加油方案比较经 济划算？并说明理由， 21