精品解析：辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高二开学考试 数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3. 函数的单调递减区间为（ ） A B. C. D. ， 4. 定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知样本数据均为正数，其方差，则样本数据的平均数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 8. 如图，在棱长均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平面，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数a，b满足，则（ ） A. b的取值范围是 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值 10. 小荣爱好篮球，他记录了在7月份的10次训练成绩和8月份的20次训练成绩.通过计算，他发现7月份的训练成绩的平均值为94，方差为2.3；8月份的训练成绩的平均值为97，方差为1.1.下列说法正确的是（ ） A. 小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为96 B. 小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为95.5 C. 小荣这两个月的30次训练成绩的方差为2.5 D. 小荣这两个月的30次训练成绩的方差为3.5 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的平分线交于点，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 若，则为直角三角形 D. 若的内切圆的圆心为，则周长的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为__________. 13. 先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴___________． 14. 已知锐角的面积为，点分别在上，且对任意恒成立，则_____________________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 已知函数对任意实数m，n，都有，且当时，有． （1）求的值； （2）求证：在R上为增函数； 16. 已知函数（为常数，）． （1）当取何值时，函数奇函数； （2）当时，若方程在上有实根，求实数取值范围． 17. 如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，． （1）求和的值，并用表示； （2）若，，，求与夹角的余弦值． 18. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）求的最大值； （3）若AB边上的中线CD长为，求的面积． 19. 已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高二开学考试 数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用列举法表示集合，再求两个集合的交集. 【详解】因为，所以. 故选：A 2. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】整理题干中的等式，根据基本不等式中隐藏“1”的解题方法，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：B. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】应用分段函数性质结合二次函数单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 4. 定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数满足，可得函数的周期为4，，再根据是定义在上的偶函数，，代入利用对数的性质即可得答案． 【详解】因为， 所以是一个周期为4的周期函数. 因为是定义在上的偶函数，∴ 所以. 因为，所以 所以. 所以. 故选：A. 5. 已知样本数据均为正数，其方差，则样本数据的平均数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的计算公式计算即可. 【详解】设样本数据的平均数为， 则方差， 所以，即， 因为样本数据均为正数，所以，故. 故选：C. 6. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故． 故选：D． 7. 已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【详解】根据题意，得， 当，，时，，此时， 所以. 故选：B. 8. 如图，在棱长均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，先证明平面，进而得到，然后分析出要使平面，只需.通过计算得到，进而在中求出，即可得解. 【详解】 如图所示，取中点，连接. 是正三棱柱，为线段的中点， ，， 平面，平面，. ,平面， 平面，平面，. 要使平面，只须. 设三棱柱的棱长为， 则，. 在中，，， . 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数a，b满足，则（ ） A. b的取值范围是 B. 的最小值为 C. 最小值为2 D. 的最小值 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：根据题意可得，，运算求解即可；对于BCD：根据题意结合基本不等式分析判断，注意等号成立的条件. 【详解】对于选项A：因为正数a，b满足， 则，，解得，，故A正确， 对于选项B：因为， 整理可得，解得，或（舍去）， 当且仅当时，等号成立， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 所以2不是的最小值，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 10. 小荣爱好篮球，他记录了在7月份的10次训练成绩和8月份的20次训练成绩.通过计算，他发现7月份的训练成绩的平均值为94，方差为2.3；8月份的训练成绩的平均值为97，方差为1.1.下列说法正确的是（ ） A. 小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为96 B. 小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为95.5 C. 小荣这两个月30次训练成绩的方差为2.5 D. 小荣这两个月的30次训练成绩的方差为3.5 【答案】AD 【解析】 【分析】根据分层抽样的平均数公式及方差公式计算判断. 【详解】由题意可得小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为， 则他这两个月的30次训练成绩的方差为. 故选：AD 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的平分线交于点，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 若，则为直角三角形 D. 若的内切圆的圆心为，则周长的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式化简目标式求解出判断A，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，再结合圆的面积公式求出外接圆面积判断B，结合题意求出，再得到，利用余弦定理求出，，结合勾股定理得到为直角三角形判断C，作出符合题意的图形，结合内心的性质得到，再利用正弦定理得到，结合两角差的正弦公式表示出周长，最后利用正弦函数的性质求解最大值判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，由正弦定理得， 可得， 化简得， 由两角和的正弦公式得，故， 而，则，得到，解得， 而，可得，故A正确， 对于B，设外接圆的半径为， 则由正弦定理得， 解得，由圆的面积公式得外接圆的面积为，故B错误， 对于C，如图，作出符合题意的图形， 因为，所以， 而的平分线交于点，则， 得到，即，故， 在中，由余弦定理得，解得，故， 满足，则直角三角形，故C正确， 对于D，如图，作出符合题意的图形， 因为，所以， 因为的内心为，所以，故， 设，则， 在中，由正弦定理得，， 则， 得到的周长为 ， 因为，所以， 则，可得，故D正确． 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据函数单调性分析可知函数的对称中心为，进而可得，结合乘“1”法求最值. 【详解】对于函数， 令，解得且，可知函数的定义域为， 因为 ， 可知函数的对称中心为， 由题意可知：直线经过点， 则，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 13. 先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴___________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简整理函数，然后根据函数的变换得到函数，令，求得函数的对称轴. 【详解】由题意可得：， 函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 纵坐标不变可得函数的图象， 函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象， 所以， 令，，解得：，， 故答案为：， 14. 已知锐角的面积为，点分别在上，且对任意恒成立，则_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可推出，以及， ，结合三角形的面积关系可得和，继而结合数量积的定义求解，即得答案. 【详解】由题意知锐角的面积为，则，即得， 表示直线上的一点到点D的向量， 故表示直线上一点到点D的距离， 由于对任意恒成立，则的模即为D到直线的最短距离， 则，同理可得， 由于，则，即得， 由，得， 由锐角可知A为锐角，故为钝角， 故， 故， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． （1）求的值； （2）求证：在R上为增函数； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数. 【小问1详解】 由， 故此令，则， 则. 【小问2详解】 设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以， 故，即， 故此函数为R上增函数. 16. 已知函数（为常数，）． （1）当取何值时，函数为奇函数； （2）当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可； （2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化为方程在上有根，结合单调性可求得结果. 【小问1详解】 若为奇函数，则， 即， ，，，解得：. 【小问2详解】 当时，，， ， 当时，，又在上单调递增， 当时，， 令，则方程在上有实根， 在上有实根，又在上单调递增， ，. 17. 如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，． （1）求和的值，并用表示； （2）若，，，求与夹角的余弦值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用基底表示，结合以及平面向量基本定理求出即可表示； （2）利用第一问求出，，再利用数量积的运算律以及向量夹角公式即可. 【小问1详解】 因为，，， 则，， 所以，， 所以，， 因为 ， 所以，解得， 所以， ； 【小问2详解】 因为，，， 所以，，， 因为，， 所以． ， ． 因为， 所以与夹角的余弦值为． 18. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）求的最大值； （3）若AB边上的中线CD长为，求的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)先根据正弦定理对进行边角互化，再根据余弦定理，即可得到值，进而得到角C的值； (2)利用正弦定理，将"求的最大值问题"转化为"求的最大值问题"，再 转化为"求的最大值问题", 最后利用辅助角公式可得结果； (3)因为为边上的中线，所以，两边平方可得到边的关系，结合(1)式结论，可求得的值，从而得到的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理,可得， 整理可得，由余弦定理得，所以,所以. 因为在中，，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理可得，可得，. 因为,所以. , 所以，其中. 所以，当时，取得最大值，最大值为. 【小问3详解】 由题可知，， 由(1)知，即，① 因为为边上的中线，所以， 两边平方得：， 所以，② ②①可得，可得， 所以的面积． 19. 已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）先把直线与直线所成的角转化为直线与直线所成的角，即为或其补角，再利用直角三角形的边角关系求解. （3）将四棱柱补成正四棱柱，利用线面角的概念明确直线与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求的长. 【小问1详解】 在四棱锥中，连接，，由平面， 平面，得，由正方形，得， 而，，平面，所以平面. 【小问2详解】 由正方形，得，而平面， 平面，则平面，又平面， 平面平面，因此. 直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角. 由平面，平面，得，而, ，，平面，则平面. 又平面，因此，， 则，，， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【小问3详解】 在四棱锥中，平面，四边形是正方形， 将四棱锥补形为正四棱柱，平面即平面， 在平面内过作于，连接， 由平面，得，而，，平面， 则平面，是直线与平面所成的角. 取中点，连接，，由是的中点，则， 平面，而平面，则. 设，则EG＝，DG＝， 则DE＝，而DF＝， 由直线与平面所成角的正弦值为， ， 整理得，解得或，所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $