7.3 独立性检验问题-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

§3独立性检验问题 3.1独立性检验3.2 独立性检验的基本思想⊕3.3独立性检验的应用 白题 基础过关 限时：30min 题组12×2列联表 4.某市政府为了了解市民收入与旅游意愿时，随 1.假设有两个变量X和Y,他们的取值分别为 机抽取了3000人进行调查，计算发现2= X1,X2和Y1,Y2,其列联表为： 6.023,则根据这一数据查阅下表，市政府断言 Y 市民收入增减与旅游意愿有关系的把握是 Y Y, 总计 ( X a 21 73 (X2>k) 0.1000.025 0.0100.001 X2 8 25 33 k 2.7065.024 6.63510.828 总计 b 46 106 A.90% B.95% 则表中a,b的值分别是 C.97.5% D.99.5% A.94,96 B.54,52 5.(多选)(2024·河南濮阳高二期末)某农科院 C.52,50 D.52,60 研制出了一种防治玉米病虫害的新药.为了解 2.在2×2列联表中，下列哪两个比值相差越大， 该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米 两个分类变量有关系的可能性就越大( 种子（其中一部分用该药做了处理）进行试 A.a与c B.a与C 验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的 c+d a+b atb 'c+d 概率为0.8.未填写完整的2×2列联表如下，则 C.a与c ( a+d b+c D4卢e 题组2独立性检验的基本思想及应用 用该药处理 抗病虫害情况 3.(2024·江西上饶高二期末)下列关于独立性 情况 抗病虫害 不抗病虫害 总计 检验的说法正确的是 ( 经过处理 60 A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相 未经过处理 14 关关系的一种检验 B.独立性检验可以100%确定两个变量之间 总计 100 是否具有某种关系 附：X2= n (ad-bc)2 C.利用X2独立性检验推断吸烟与患肺病的 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 关联中，有99%的把握认为吸烟与患肺病 A.这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗 有关系时，则我们可以说在100个吸烟的 病虫害的有6粒 人中，有99人患肺病 B.这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 D.对于独立性检验，随机变量X的值越小， C.X2的值约为13.428 判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 D.有99.9%的把握认为该新药有效 选择性必修第一册·BS黑白题166 6.近年来，为了提升青少年的体质，各地区学校 过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生 采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育 各100名. 运动时间；现调查某地区中学生（包括初中生 (1)完成给出的2×2列联表； 和高中生)对增加体育运动时间的态度，所得 报考意向 数据统计如下表所示： 性别 有报考意向 无报考意向 总计 对增加体育运动时间的态度 学段 男 喜欢 不喜欢 总计 女 初中生 90 20 110 总计 高中生 60 30 90 (2)根据独立性检验，判断是否有90%的把握 总计 150 50 200 认为学生有报考军事类院校的意向与性 则X2= (精确到小数点后3位)； 别有关 (填“有”或“没有”)99%的把握认为 参考公式及数据：X2= 学段与对增加体育运动时间的态度有关联. n (ad-bc)2 ,n=a+b+c+d. 附：X2= n (ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(X2>k) 0.25 0.15 0.10 0.05 P(X2>k) 0.0500.0100.005 1.323 2.072 2.7063.841 3.8416.635 7.879 7.已知2×2列联表如下： 温度 产量 低于30℃高于30℃ 总计 高产量 15 m 15+m 低产量 5 15 20 总计 20 15+m 35+m 若X2=m+35 4(m>0),则m= n (ad-bc)2 (:2=(a+b)（c+date(6+d,其中n= a+b+c+d） 8.(2025·江苏常州高二期末)近年来，解放军 强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中 优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高 考，很多高考毕业学生报考了军事类院校从 某地区内学校的高三年级中随机抽取了 900名学生，其中男生500人，女生400人，通 第七章黑白题167 黑题应用提优 限时：50min 1.在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收 集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病 Y Y 总计 有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过 X 10 18 28 0.01的前提下认为这个结论是成立的.下列说 X2 m 26 m+26 法中正确的是 ( 总计 m+10 44 m+54 A.100个心脏病患者中至少有99人打鼾 当X与Y的关系最弱时，整数m的取值为( B.1个人患心脏病，则这个人有99%的概率 A.8 B.9 C.14 D.19 打鼾 5.（多选)在一次遇到恶劣气候的飞行航程中，调查 C.100个心脏病患者中一定有打鼾的人 男、女乘客在飞机上晕机的情况，如下表所示： D.100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都 性别 晕机 不晕机 总计 男 没有 nu 15 几1+ 女 6 n22 2+ 2.(2024·广东肇庆高二期末)已知某独立性检 总计 n利 28 46 n (ad-bc)2 验中，由x2-a+b)（c+ate)(6+d,n=a+ 则下列说法正确的是 ( b+c+d计算出X2=X2,若将2×2列联表中的数 A. n11、6 n1+n2+ 据a,b,c,d分别变成2a,2b,2c,2d,计算出的 B.X2<2.706 X2=X3,则 ( C.有90%的把握认为，在恶劣气候飞行中，晕 A.X3=X好 B.X3=2X2 机与否与性别有关 C.X=2X3 D.x3=4X2 D.没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与 3.(2024·福建泉州高二期末)已知两个分类变 否与性别有关 量X,Y的数据列联表如下，则下列能说明X 6.某人工智能服务商提供了A,B两种会员服务 套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司 与Y有关联的是 用户.后台随机调取m名会员的基本信息，统 Y Y=0 Y= 总计 计发现照买B套餐的用户数占点用户数的。 购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户 X=0 100 a d X=1 200 b e 数的子倍，购买A套餐的用户中公司用户数是 总计 300 个人用户数的一半.根据独立性检验，有99.5% 的把握认为购买的套餐类型与用户类型有关 A.b=2a B.2c=3b 系，则m的最小值为 C.a=2b D.e=2d 4.假设有两个变量X与Y,它们的可能取值分别 P(X2>k)0.050 0.0100.005 0.001 为x1,x2}和{1，y2},其2×2列联表为 3.841 6.635 7.87910.828 选择性必修第一册·BS黑白题168 7.武汉热干面既是中国四大名面之一，也是湖北8.(2025·辽宁辽阳高二期末)为了了解某社区 武汉最出名的小吃之一.某热干面店铺连续 消费者网上购物的情况，该社区采用问卷调查 10天的销售情况如下（单位：份）： 形式对800名消费者进行调查，这800名消费 套餐一：120,100,140,140,120,70,150,120， 者中中老年人的人数为300，青年人的人数为 110,130 500,其中中老年人喜欢网上购物的人数是中 套餐二：80,90,90,60,50,90,70,80,90,100 老年人不喜欢网上购物的人数的2倍，青年人 (1)分别求套餐一、套餐二的均值、方差，并判 喜欢网上购物的人数是中老年人喜欢网上购 断两种套餐销售的稳定情况， 物的人数的2倍. (2)假定在连续10天中每位顾客只购买了一 网上购物情况 份，根据已知内容填写下列2×2列联表， 并据此判断能否有95%的把握认定顾客 年龄段 喜欢网上 不喜欢网 总计 性别与套餐选择有关？ 购物 上购物 性别 套餐一 套餐二 总计 青年人 男顾客 400 中老年人 女顾客 500 总计 总计 (1)请将上面2×2列联表补充完整，并判断是 n (ad-bc)2 否有99.9%的把握认为该社区消费者是否 附：X2=(a+b)(c+d(a+e)(b+d)' n=a+ 喜欢网上购物与年龄有关； b+c+d. (2)按人数比例采用分层随机抽样的方法从该 社区喜欢网上购物的消费者中抽取6人对 P(X2>k) 0.0500.0100.001 网上购物方向进行调查，再从这6人中随 k 3.841 6.63510.828 机抽取4人进行合影，记这4人中青年人的 人数为X,求随机变量X的分布列和期望 附：2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+ b+c+d. P(X2>k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 进阶突破拔高练P16 第七章黑白题169盒（x:列2=(3-4)2+(4-42+(4-4)24+(4-42+5-42=2， 6 所以r= =√0.9≈0.95， √20xw2 因为0.95>0.75，所以Y与X具有较强的线性相关关系 (2)由(1)得8=8=03，d=4-03x5=25, 所以线性回归方程为Y=0.3X+2.5。 当A指标为7时，B指标的估计值为0.3×7+2.5=4.6. (3)该城市的交通管理部门需要进行治理理由如下： 由题意得(x-3s,x+3s)=（-1,11), 因为13>11，所以该城市的交通管理部门需要进行治理 §3独立性检验问题 3.1独立性检验+ 3.2独立性检验的基本思想+ 3.3独立性检验的应用 白题 基础过关 1.D解析：根据列联表知，a=73-21=52,又a+8=b,所以b=60,故 选D. 2.B解析：当1ad-bcl的值越大时，两个分类变量有关系的可能性就越 大，因为2+ab-c2-cdac ad-be a c c+d a+b (a+b)(c+d)'atb c+d (a+b)(c+d)'a+d b+c a+06da0因此，当46与相差越大 ab-cd a c a2tac-be-cd 时，两个分类变量有关系的可能性就越大故选B. 3.D解析：对于A,独立性检验是通过X计算来判断两个变量存在关 联的可能性的一种方法，并非检验二者是否线性相关，故错误； 对于B,独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故错误； 对于C,99%是指“吸烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非吸烟人 中患肺病的发病率，故错误； 对于D,根据X2计算的定义可知该选项正确.故选D. 4.C解析：，X2=6.023>5.024,.可断言市民收人增减与旅游意愿有 关系的把握为97.5%.故选C 5.AD解析：由条件可将2×2列联表补充完整如下： 用该药处理 抗病虫害情况 情况 抗病虫害 不抗病虫害总计 经过处理 60 6 66 未经过处理 20 14 34 总计 80 20 100 由上表可知A正确，B错误；由表可知X2=100x(60x14-20x6)2 66×34×80×20 14.439>10.828,因此有99.9%的把握认为该新药有效，故C错误 D正确故选AD. 6.6.061没有解析：x2=200x(90x30-60×20)2200 6.061，因为 150×50×110×90 33 6.061<6.635,所以没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间 的态度有关联， 7.5解析：X2= (35+m)(15×15-5m)2m+35 (m>0),解得m=5.故 20×(15+m)×20×(15+m) 4 答案为5. 8.解：(1)根据已知条件，填写2×2列联表如下： 报考意向 性别 有报考意向 无报考意向 总计 勇 100 400 500 女 100 300 400 总计 200 700 900 参考答案 (2)x2=900×(100x300-400×100)2 ≈3.214>2.706， 200x700×400×500 所以有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意向与性别有关 黑题应用提优 1.D解析：由题意可知这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为“打鼾与忠心脏病有关”这只是一个概率，即打鼾与患 心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D. 2.B n (ad-bc)2 解析：因为好=(a+b（c+dae6+d,所以x号 2n(2a×2d-2b×2c)2 2n (ad-bc)2 （(2a+2b)(2c+2d)(2a+2c)(2b+2d)=(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)= 2X?.故选B. 3.C解析：对于A,当b=2a时，I100b-200al=0:对于B,当2c=3b时 可得b=2a,则1100b-200a|=0:对于C,当a=2b时，1100b-200a|= I150al;对于D,当e=2d时，200+b=200+2a,即b=2a,此时 I100b-200al=0.由以上分析可知，选项C能说明X与Y有关联.故 选C. 4.C解析：在两个变量的列联表中，当1ad-bcl的值越小时，认为两个 分类变量有关的可能性越小 令1ad-bcl=0,得10x26=18m,解得m≈14.4. 又m为整数，所以当m=14时，X与Y的关系最弱，故选C. n11+6=n+1, 15+n2=28, n1=12, n2=13, 5.ABD解析：由列联表数据，知 +15=+'解得 n+1=18, 6+n2m=n2+, n+1+28=46. n1+=27, n2+=19, n1++n2+=46, n1112466 ,即A正确.列联表如下： n1 =279m2 19 性别 晕机 不晕机 总计 男 12 15 27 女 6 13 19 总计 18 28 46 ∴X2= 46×(12×13-6×15)2 ≈0.775<2.706，即B正确.且没有理由认 18×28×19×27 为，在恶劣气候飞行中，晕机与否与性别有关，即D正确，故选ABD 四方法总结 用X2的大小以及临界值可以判断两事件相关与否.独立性检验没有 直观性，必须依靠X2作判断.解决问题时，首先把握题目中的叙述，结 合求得的X2值与临界值进行比较，结合可信程度的值分析出错的概 率情况. 6.170解析：由题意可得用户类型与购买的套餐类型2×2列联表 如下： 套餐 用户类型 A B 总计 2 3 个人用户 10m 10m 2m 1 公司用户 1 10m 10n 3 总计 10m 10m m 24 13 2 mx X2= （0x10m2- m >7.879,解得m>165.459,又 3 7 21 2 mx- 2m10mx10m 因为m必须是10的倍数，所以m的最小值为170.故答案为170 7.解：(1)套餐一：均值：120 0-20+20+20+0-50+30+0-10+10-120, 10 黑白题099 方差：0×(0+400+400+400+0+2500+900+0+100+10)=480 套餐二：均值：80 0+10+10-20-30+10-10+0+10+20=80, 10 方差：10×(0+100+100+400+90+100+100+0+10+400)=20 因为220<480，所以套餐二销量相对稳定 (2)补全列联表如下： 性别 套餐一 套餐二 总计 男顾客 400 300 700 女顾客 800 500 1300 总计 1200 800 2000 因为X2= 2000×(400×500-300×800)2 ≈3.663<3.841 1200x800×700×1300 所以没有95%的把握认定顾客性别与套餐选择有关， 8.解：(1)根据题意可得2×2列联表如下： 网上购物情况 年龄段 喜欢网上 不喜欢网 总计 购物 上购物 青年人 400 100 500 中老年人 200 100 300 总计 600 200 800 x2_800×(400×100-200x100)2 ≈17.778>10.828， 500×300×600×200 所以有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年龄 有关 (2)根据题意可得从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取的6人中， 4人是青年人，2人是中老年人， 再从这6人中随机抽取4人，则X的可能取值为2,3,4. CiC3 2 P(X=2)= P(K=3)= c2C2 C 5 C哈 15,P(X=4)= C41 C哈15 所以X的分布列为 2 3 4 2 8 1 P 51515 8 18 8 则EX=2× 2 +3x5+4x153,即随机变量X的期望为？ 专题探究7概率与统计的综合应用 黑题 专题强化 1.解：(1)由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知(2a+ 0.020+0.030+0.040)×10=1,解得a=0.005. (2)由频率分布直方图，知晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，所以 晋级成功的人数为100×0.25=25，填表如下： 晋级成功晋级失败总计 男 16 34 50 女 9 41 50 总计 75 100 所以X2=100x(16x41-34×9)2 =≈2.613<2.706，所以没有90%的把握 25×75×50x50 认为能否晋级成功与性别有关 选择性必修第一册·BS (3)由(2)知晋级失败的频率为1-025=075=，将频率视为概 率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级 失败的概率为 3 易知8(4，） 则P(X=0)= ()°(4)2 P(X=1)=C4 )'()广a P(X=2)=C ((4器 P(X=3)=C4 P(X=4)= ()广()” 所以X的分布列如表： 0 1 2 34 1 3 272781 2566412864256 3 则EX=4× 4 =3 (6-i(y:y) Etyi-nty 2.解：(1)设t=lnX,b= 则名= 含4-02 含(4-2 968-5×2.56×76 0.06 =-80,a=y-6t=280.8.Y=280.8-80lnX 令Y≤40，得hX≥3.01，X≥e301≈20.3，.至少应开放21条滑道. (2)设事件A=“小红排队时间总和恰为120分钟”， 则4个VR体验项目选取3个，或超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目 选取1个，梦想大舞台等3个演出活动选取2个，则P(A)= C4+C2C35 C3421 (3)方式①：中奖次数X~B(3,0.3),EX=0.9 方式②：设中奖次数为Y,Y=0,1,2,3. P(Y=0)=0.8×0.7×0.6=0.336,P(Y=1)=0.2×0.8×0.7+0.8×0.3× 0.8+0.8×0.7×0.4=0.528,P(Y=2)=0.2×0.2×0.8+0.2×0.8×0.3+0.8× 0.3×0.2=0.128,P(Y=3)=0.2×0.2×0.2=0.008, EY=0×0.336+1×0.528+2×0.128+3×0.008=0.808. EX>EY,所以选方式①. 3.解：(1)被调查的女性用户人数为500-300=200， 其中偏好铅酸电池电动车的女性用户人数为20x；-120, 偏好石墨烯电池电动车的女性用户人数为200-120=80， 所以2×2列联表为： 对两种电池电动车的偏好 性别 偏好石墨烯电 偏好铅酸电池 总计 池电动车 电动车 男 200 100 300 女 80 120 200 总计 280 220 500 根据列联表中的数据可以求得X2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 500×(200×120-80×100)2 300×200×280×220 ≈34.632 由于X2=34.632>7.879,所以有99.5%的把握认为该市电动车用户对 这两种电池的电动车的偏好与性别有关 黑白题100