7.2.1 相关系数&7.2.2 成对数据的线性相关性分析(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“相关系数与成对数据的线性相关性分析”核心知识点，从实际问题（如聚丙烯期货与现货价格相关系数）引入，系统讲解样本相关系数的概念、计算公式及性质（取值范围、正负相关、线性相关程度），构建从具体实例到抽象概念再到应用的学习支架。 该资料以“数学抽象”明确相关系数统计含义，通过“数据分析”比较多组成对数据相关性，实例丰富（如木材体积与树龄、野生动物数量与植物覆盖面积），题型分层（判断、计算、应用）并总结通性通法。课中辅助教师引导学生直观理解，课后练习题及解析帮助学生查漏补缺，提升数据分析能力与数学建模意识。

2.1　相关系数 2.2　成对数据的线性相关性分析 课标 要求 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系（数学抽象）. 2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性（数据分析）. 　　据隆众资讯数据统计，2020～2022年截止到10月底的数据显示，聚丙烯期货价格及现货价格二者相关系数为88.70%，其中2020年二者相关系数高达90.86%，2021年降至83.97%，2022年截止到10月底二者相关系数为65.23%. 【问题】　什么是相关系数，如何计算，它有什么作用？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　样本（线性）相关系数 1.样本相关系数的概念 一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），记r＝ ＝，称r为随机变量X和Y的样本（线性）相关系数. 2.相关系数r的计算公式 r＝. 3.样本相关系数的性质 （1）样本相关系数r的取值范围为　[－1，1]　； （2）｜r｜值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越　强　；｜r｜值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越　弱　； （3）当r＞0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量　正　相关； （4）当r＜0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量　负　相关； （5）当r＝0，此时称两个随机变量线性　不相关　. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若相关系数为0，则说明两变量x，y之间没任何关系.（　×　） （2）两个变量相关系数越大，说明它们的相关性越强.（　×　） （3）求回归方程时，最好用相关系数判断一下两变量相关性的强弱.（　√　） 2.两个变量X，Y的样本相关系数r＝－0.996 2，则下列说法中正确的是（　　） A.X与Y正相关 B.X与Y具有较强的线性相关关系 C.X与Y不具有线性相关关系 D.X与Y的线性相关关系还需进一步确定 解析：B　X与Y负相关，又｜r｜非常接近1，所以X与Y具有较强的线性相关关系，故选B. 3.已知一组成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等），若这组成对样本数据的样本相关系数为－1，则所有的样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）满足的方程可以是（　　） A.y＝－x＋1　　　　　　B.y＝x－1 C.y＝x＋1 D.y＝－x2 解析：A　若这组样本数据的相关系数为－1，则样本数据为线性相关，排除D，又相关系数为－1，所以样本数据为负相关，排除B、C（B、C为正相关）.故选A. 4.已知求得甲、乙、丙3组不同数据的线性相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中　乙　（填“甲、乙、丙”中的一个）组数据的线性相关性最强. 解析：两个变量的相关系数的绝对值越接近于1，它的线性相关性越强.在甲、乙、丙所给的数值中－0.98是相关系数绝对值最大的值，即乙的线性相关性最强. 题型一　相关关系的判断 某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 （1）请作出这些数据的散点图； （2）你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ （3）若近似呈线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系. 解：（1）以x轴表示树木的树龄，y轴表示木材体积，可得相应的散点图如图所示. （2）由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄近似成线性相关关系. （3）近似拟合直线如图所示. 通性通法 1.两个变量X和Y具有相关关系的判断方法 （1）散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断； （2）表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； （3）经验法：借助积累的经验进行分析判断. 2.判断两个变量X和Y之间是否具有线性相关关系，常用的方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响. 1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是（　　） A.正方体的棱长和体积 B.单位圆中角的度数和所对弧长 C.亩产量为常数时，土地面积和总产量 D.日照时间与水稻的亩产量 解析：D　不确定性是相关关系的一个重要特征.A、B、C为函数关系，而D为相关关系. 2.对变量X，Y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图如图①；对变量U，V有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图如图②.由这两个散点图可以判断（　　） A.变量X与Y正相关，U与V正相关 B.变量X与Y正相关，U与V负相关 C.变量X与Y负相关，U与V正相关 D.变量X与Y负相关，U与V负相关 解析：C　由两个散点图的形状判断，X与Y负相关，U与V是正相关. 题型二　相关系数的性质 （1）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性（　D　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 （2）对四组不同数据进行统计，获得如图所示的散点图，对它们的样本相关系数进行比较，正确的是（　A　） A.r2＜r4＜0＜r3＜r1　　　B.r4＜r2＜0＜r1＜r3 C.r4＜r2＜0＜r3＜r1 D.r2＜r4＜0＜r1＜r3 解析：（1）｜r｜越接近1，相关性越强，故选D. （2）由给出的四组数据的散点图可以看出，图①和图③中的成对数据是正相关的，样本相关系数大于0，图②和图④中的成对数据是负相关的，样本相关系数小于0，图①和图②中的点相对更加集中于一条直线附近，所以相关性更强，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2＜r4＜0＜r3＜r1. 通性通法 　　两个变量间的线性相关关系可以通过成对样本数据的相关系数r进行定量分析： ｜r｜越接近1，成对数据的线性相关程度越强； ｜r｜越接近0，成对数据的线性相关程度越弱. 特别地，当｜r｜＝1时，成对数据的散点落在一条直线上，此时两个变量满足线性关系，但不是相关关系，而是函数关系. 当r＝0时，成对数据之间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系. 当r＞0时，两变量正相关；当r＜0时，两变量负相关. 　如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据计算得到相关系数为r1；方案二：剔除点（10，32），根据剩下的数据计算得到相关系数为r2，则（　　） A.0＜r1＜r2＜1 B.0＜r2＜r1＜1 C.－1＜r1＜r2＜0 D.－1＜r2＜r1＜0 解析：A　由散点图可知，变量x和y成正线性相关，所以0＜r1＜1，0＜r2＜1.在剔除点（10，32）之后，可看出x和y的线性相关程度更强，r2更接近1，所以0＜r1＜r2＜1.故选A. 题型三　样本相关系数的计算 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得xi＝60，yi＝1 200，（xi－）2＝80，（yi－）2＝9 000，（xi－）（yi－）＝800. （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相关系数（精确到0.01）. 附：样本相关系数r＝，≈1.414. 解：（1）由已知得样本平均数＝yi＝60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12 000. （2）样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相关系数 r＝＝＝≈0.94. 通性通法 样本相关系数的计算 　　由公式r＝＝代入样本数据后直接计算，其中＝xi，＝yi，点（，）又称样本中心点. 为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A，B，C三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下： A类 第X次 1 2 3 4 5 分数Y（满分150） 145 83 95 72 110 B类 第X次 1 2 3 4 5 分数Y（满分150） 85 93 90 76 101 C类 第X次 1 2 3 4 5 分数Y（满分150） 85 92 101 100 112 经计算知A类，B类的样本相关系数分别为r1＝－0.45，r2＝0.25.请计算出C类学生的样本相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生的学习成绩最稳定.（结果保留两位有效数字，｜r｜越大认为成绩越稳定） C类的参考数据：·≈64， 样本相关系数r＝. 解：根据C类学生的数据，得＝3，＝98， 则（xi－）·（yi－）＝62，所以C类学生的样本相关系数r3≈≈0.97， 从上述所求样本相关系数可知，从C类学生中抽到的学生的成绩最稳定. 1.已知相关关系：①正相关，②负相关，③不相关.则图（1）（2）（3）分别反映的两变量间的相关关系是（　　） A.①②③　　　　　　 B.②③① C.②①③ D.①③② 解析：D　对于题图（1），图中的点带状分布，且从左到右上升，是正相关关系①；对于题图（2），图中的点没有明显的带状分布，两变量不相关③；对于题图（3），图中的点带状分布，且从左到右是下降的，是负相关关系②.故选D. 2.对于线性相关系数r，叙述正确的是（　　） A.r∈（－∞，＋∞），且r越大，相关程度越大 B.r∈（－∞，＋∞），且｜r｜越大，相关程度越大 C.r∈[－1，1]，且r越大，相关程度越大 D.r∈[－1，1]，且｜r｜越大，相关程度越大 解析：D　相关系数r是来衡量两个变量之间的线性相关程度的，线性相关系数是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大.故选D. 3.已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为（　　） A.＝1.5x＋2 B.＝－1.5x＋2 C.＝1.5x－2 D.＝－1.5x－2 解析：B　结合散点图可知，变量x，y之间是负相关，且纵截距大于0，故选B. 4.在一组成对样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线Y＝X＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　） A.－1　　　B.0 C.　　　D.1 解析：D　因为所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线Y＝X＋1上，且X，Y的变化趋势相同，所以样本相关系数为1. 5.某厂生产A产品的产量X（单位：件）与相应的耗电量Y（单位：度）的统计数据如表所示： X 2 3 4 5 6 Y 2 3 5 7 8 经计算≈16.12.则（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5）的样本相关系数r约为　0.99　.（结果保留两位小数） 解析：从表中数据可知，＝4，＝5，所以（xi－）·（yi－）＝16，所以r＝≈≈0.99. 1.如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其相关系数r的绝对值应接近于（　　） A.0.5　　 　B.2 C.0　　 　D.1 解析：D　相关系数｜r｜越接近于1，相关程度越高.故选D. 2.第一组样本点为（－5，－8.9），（－4，－7.2），（－3，－4.8），（－2，－3.3），（－1，－0.9），第二组样本点为（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9），第一组变量的线性相关系数为r1，第二组变量的线性相关系数为r2，则（　　） A.r1＞0＞r2 B.r2＞0＞r1 C.r1＜r2＜0 D.r2＞r1＞0 解析：A　观察第一组样本点，Y随X的增大而增大，故r1＞0；观察第二组样本点，Y随X的增大而减小，故r2＜0.综上：r1＞0＞r2.故选A. 3.为了对变量x与y的线性相关性进行检验，由样本点（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10）求得两个变量的样本相关系数为r，则下面说法中正确的是（　　） A.若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝1 B.若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝－2 C.若｜r｜越大，则变量x与y的线性相关性越强 D.若｜r｜越小，则变量x与y的线性相关性越强 解析：C　若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则x与y是函数关系，且直线斜率为负数，所以r＝－1，故A、B说法均错误；若｜r｜越大，则变量x与y的线性相关性越强，故C说法正确，D说法错误.故选C. 4.某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取8位同学，他们的数学、物理成绩（单位：分，满分100分）的散点图如图所示： 根据以上信息，有下列结论： ①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②从全班同学中随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高； ③从全班同学中随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.其中正确的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：C　由散点图，知两个变量具有线性相关关系，所以①正确；利用统计知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，所以②错误，③正确.所以正确结论的个数为2，故选C. 5.〔多选〕如图是根据X，Y的观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量X，Y具有线性相关关系的图是（　　） 解析：AD　由题图知，B、C的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系；A中Y随X的增大而减小，各点整体呈下降趋势，X与Y负相关；D中Y随X的增大而增大，各点整体呈上升趋势，X与Y正相关. 6.〔多选〕甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假对某地10个自然村进行社会调查.他们先走访了5个自然村，发现了一个有趣的现象，其中3个村庄附近天鹅比较多，婴儿出生率也比较高，另外2个村庄附近天鹅比较少，婴儿出生率也比较低，也听说当地流传着一个说法“天鹅带来了孩子”，于是他们对另外5个村庄进行了估计，下列说法不正确的是（　　） A.如果村庄附近的天鹅多，则这个村庄的婴儿出生率一定高 B.如果村庄婴儿出生率比较低，则这个村庄附近的天鹅一定比较少 C.村庄附近的天鹅数与婴儿出生率具有相关性 D.村庄附近的天鹅数与婴儿出生率一定成正比 解析：ABD　从调查现象来看，村庄附近的天鹅数与婴儿出生率具有相关性，是相关关系而不是确定性的关系，因此A、B、D都是不正确的. 7.下表给出了5组数据，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据（－5，－3），则应去掉第　3　组数据. 第i组 1 2 3 4 5 xi －5 －4 －3 －2 4 yi －3 －2 4 －1 6 解析：画出散点图如图所示，则应去掉第3组数据（－3，4）. 8.已知（yi－）2是（xi－）2的4倍，（xi－）·（yi－）是（xi－）2的1.5倍，则样本相关系数r＝　0.75　. 解析：由r＝，得r＝0.75. 9.当且仅当线性相关系数r满足　｜r｜＝1　时，数据点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）在一条直线上. 解析：当数据点（xi，yi）在一条直线上时，Y只受X的影响，即数据点完全线性相关，此时｜r｜＝1. 10.某大学生在国家提供的税收、担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数y（单位：万元）与时间t（单位：年）的数据，列表如下： t 1 2 3 4 5 y 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 依据表中给出的数据，判断y与t的线性相关程度，请计算样本相关系数r并加以说明.（计算结果精确到0.01，若｜r｜≥0.75，则线性相关程度很高） 附：样本相关系数r＝. 参考数据：≈7.547. 解：由题表可知，＝3，＝4.7， 则（ti－）（yi－）＝14.7，（ti－）2＝10，（yi－）2＝22.78. 所以r＝＝＝≈0.97＞0.75， 故创收利润数y与时间t的线性相关程度很高. 11.已知两组数据a1，a2，…，a10和b1，b2，…，b10，其中1≤i≤10且i∈Z时，ai＝i；1≤i≤9且i∈Z时，bi＝ai，b10＝a，我们研究这两组数据的相关性，在集合{8，11，12，13}中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则a＝（　　） A.8　　　　B.11 C.12　　　　D.13 解析：B　设点的坐标为（ai，bi），1≤i≤10且i∈Z，由题意得前9个点位于直线y＝x上，a10＝10，则要使相关性最强，b10应最接近10，四个选项中11最接近10，故选B. 12.〔多选〕某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为l1：＝0.68x＋，计算其相关系数为r1.经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到的回归直线方程为l2：＝x＋0.68，相关系数为r2，以下结论中，正确的是（　　） A.r1＞0，r2＞0 B.r1＞r2 C.＝0.12 D.0＜＜0.68 解析：ACD　由图可知两变量呈现正相关，故r1＞0，r2＞0，且r1＜r2，故A正确，B错误；又回归直线l1：＝0.68x＋必经过样本中心点（3.5，2.5），所以＝2.5－0.68×3.5＝0.12，C正确；回归直线l2：＝x＋0.68必经过样本中心点（3，2），所以2＝×3＋0.68，所以＝0.44，也可直接根据散点图判断0＜＜0.68（比较两直线的倾斜程度），故A、C、D正确. 13.在某地区随机抽取了8对母女的身高数据，如表： 母亲身高 X/cm 154 157 158 159 160 161 162 163 女儿身高 Y/cm 155 156 159 162 161 164 165 166 下列说法正确的序号为　①②③④　. ①8个成对样本数据呈正相关； ②成对样本数据中变量X和变量Y的样本相关系数r约为0.963； ③用关于均值和为零点（，）平移后的成对样本数据（x1－，y1－），（x2－，y2－），…，（x8－，y8－）与原始成对样本数据相关性完全相同； ④用样本相关系数r可以估计总体两个变量的相关系数. 解析：由成对样本数据可得，＝（154＋157＋…＋163）÷8＝159.25，＝（155＋156＋…＋166）÷8＝161，－8＝59.5，－8＝116，xiyi－8 ＝80，∴r＝＝≈0.963，②正确；由r≈0.963＞0，8个成对样本数据呈正相关关系，①正确；平移后的成对样本数据所对应平面直角坐标系中的散点图与原始的成对样本数据所对应的散点图形状完全一致，故相关性完全相同，③正确；根据统计学思想，④正确. 14.野生菌是天然绿色食品，有丰富的营养价值和药理作用，某省野生菌种类多样，产量巨大，占全世界食用菌的一半以上，占全国三分之二以上，被誉为“真菌王国”，松茸是野生菌中的贵族，大量出口国外，国际市场需求量随松茸价格的波动而变化.现从近10年中随机选取6年的国际市场需求量y（单位：百吨）与松茸平均价格x（单位：美元/千克）的数据，如表： 松茸平均 价格x 25 35 38 40 47 55 国际市场 需求量y 12.3 10.3 9.2 8.6 7.2 6.4 （1）请用相关系数说明可以用线性回归模型拟合市场需求量y与松茸平均价格x的关系；（精确到0.001） （2）求y与x的线性回归方程y＝x＋；（精确到0.1） （3）当yi＞（为预测需求量，i＝1，2，…，6），则称该年松茸国际市场“利好”，若从这6年中随机抽取3年，记3年中有Z年“利好”，求Z的分布列. 参考数据：xiyi＝2 052，－6＝528，≈110. 参考公式：r＝， ＝，＝－. 解：（1）＝（25＋35＋38＋40＋47＋55）＝40，＝（12.3＋10.3＋9.2＋8.6＋7.2＋6.4）＝9， 所以r＝＝＝≈－0.982. 因为r＝－0.982（｜r｜接近1），所以y与x呈负相关，可以用线性回归模型拟合市场需求量y与松茸平均价格x的关系. （2）＝＝＝≈－0.2，＝－＝9－（－0.2）×40＝17，所以y＝－0.2x＋17. （3）由（2）可知 x 25 35 38 40 47 55 y 12.3 10.3 9.2 8.6 7.2 6.4 12 10 9.4 9 7.6 6 所以当x＝25，35，55时，属于“利好”， 故Z的可能取值为0，1，2，3，则P（Z＝0）＝＝，P（Z＝1）＝＝，P（Z＝2）＝＝，P（Z＝3）＝＝， 所以Z的分布列为 Z 0 1 2 3 P 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $