1.3 矩形的判定 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦矩形的判定，通过复习菱形定义及矩形性质，引导学生从性质逆命题出发生成判定猜想，经辨析、证明得出定义法、对角线判定、三个直角判定的知识支架，衔接旧知与新知。 其亮点是以“性质逆命题→猜想辨析→定理证明”为主线，培养数学思维（推理意识）和创新意识。知识梳理清晰呈现判定路径，例题解析结合平行四边形性质综合应用，提升学生推理能力与应用意识。教师可利用结构化资源高效教学，学生能理解判定逻辑并解决实际问题。

第一章 特殊平行四边形 1.2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 北师大版·九年级上册 第一章　特殊平行四边形 1.3 矩形的性质与判定 第2课时　矩形的判定 北师大版·九年级上册 [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 学习目标 02 目标一 理解菱形的概念，知道菱形具有平行四边形的一切性质． 目标二 掌握菱形的特殊性质，并能用规范的几何语言进行证明． 目标三 会用菱形的对角线计算面积，并解决相关问题． 学习方法 从一般到特殊：先继承平行四边形性质，再研究新增性质． 学习目标 从性质的逆命题生成矩形判定 目标一 探究并证明矩形的两个判定定理． 目标二 区分矩形的性质与判定，明确适用前提． 目标三 能根据已知条件选择定义法、角判定或对角线判定． 学习方法 交换条件与结论，检查反例，补足必要前提． [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 旧知回顾 矩形的特殊性质：这些结论能反过来使用吗？ A D B C O 矩形 ⇒ 四个角都是直角． 矩形 ⇒ 对角线相等． 你能写出矩形性质定理的逆命题吗？它们都是真命题吗？为什么？ 与同伴进行交流． 条件　⇄　结论 [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 猜想·辨析 两个候选命题需要不同的前提 候选一 有四个角都是直角的四边形是矩形． 进一步简化：有三个角是直角已经足够． 候选二 对角线相等的四边形是矩形吗？ 不一定；需要补入“平行四边形”前提． [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 定理证明 有三个角是直角的四边形是矩形． 证明：在四边形ABCD中， ∵ ∠A＝∠B＝90°， ∴ ∠A＋∠B＝180°，∴ AD∥BC． 又∵ ∠B＝∠C＝90°， ∴ ∠B＋∠C＝180°，∴ AB∥CD． ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 又∵ ∠B＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形． A D B C [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 边：对边平行且相等 菱形具有平行四边形 的所有性质 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相平分 A B C D 对称性：中心对称， 对称中心是两条对角线的交点 定理证明 对角线相等的平行四边形是矩形 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝DC，AB∥DC． 在△ABC和△DCB中， AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB， ∴ △ABC≌△DCB（SSS）． ∴ ∠ABC＝∠DCB． 又∵ AB∥DC，∴ ∠ABC＋∠DCB＝180°． ∴ ∠ABC＝∠DCB＝90°． ∴ 平行四边形ABCD是矩形． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 特殊性质 在平行四边形性质之外，菱形还有什么特殊性质呢？ 05 定理：菱形的四条边相等．即AB＝BC＝CD＝DA 定理：菱形的两条对角线互相垂直．即AC⊥BD A D C B 知识梳理 判定矩形的三条路径 定义法 平行四边形＋一个直角 判定一 平行四边形＋对角线相等 判定二 四边形＋三个直角 [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 定理证明：菱形的对角线互相垂直 07 如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O．求证：AC⊥BD． 证明：∵ AB＝AD， 　　　∴ △ABD是等腰三角形． 　　　又∵ 四边形ABCD是菱形， 　　　∴ OB＝OD（菱形的对角线互相平分）． 　　　在等腰三角形ABD中， 　　　∵ OB＝OD， 　　　∴ AO⊥BD（等腰三角形三线合一）， 　　　即AC⊥BD． B A D C O 随堂辨析 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形是矩形的是（　　）． A．∠A＝∠B　　　B．∠A＝∠C C．AC＝BD　　　 D．AB⊥BC A D B C O 答案：B． [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 定理证明：菱形的对角线互相垂直 07 如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O．求证：AC⊥BD． 证明：∵ AB＝AD， 　　　∴ △ABD是等腰三角形． 　　　又∵ 四边形ABCD是菱形， 　　　∴ OB＝OD（菱形的对角线互相平分）． 　　　在等腰三角形ABD中， 　　　∵ OB＝OD， 　　　∴ AO⊥BD（等腰三角形三线合一）， 　　　即AC⊥BD． B A D C O 随堂辨析 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形是矩形的是（ B　）． A．∠A＝∠B　　　B．∠A＝∠C C．AC＝BD　　　 D．AB⊥BC A D B C O [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 教材P6例题 例1：综合运用边、角和对角线性质 10 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD＝60°，BD＝6． （1）求AB和AC的长； （2）求菱形ABCD的面积． B A D C O 教材P14例2 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 例题分析 例1（2）：菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝6．求菱形的面积 12 （2） B A D C O 例题解析 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD． 又∵ △ABO是等边三角形，AB＝4， ∴ OA＝OB＝AB＝4． ∴ AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝8． ∴ AC＝BD． ∴ 平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． ∴ ∠ABC＝90°． 在Rt△ABC中， BC＝√（AC²－AB²）＝√（8²－4²）＝4√3． ∴ S＝AB·BC＝4×4√3＝16√3． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 教材P7随堂练习 随堂练习：先独立完成，再交流方法 13 提示：对角线互相垂直且互相平分，注意构造直角三角形． 第1题：在菱形ABCD中，AB＝5 cm，AO＝4 cm，求BD的长． 第2题：菱形ABCD的周长为40 cm，一条对角线长10 cm． （1）求这个菱形每一个内角的度数． （2）求这个菱形另一条对角线的长． 补充例题 如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD，交AD的延长线于点E，且CE＝AC． 求证：四边形ABCD是矩形． [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 随堂练习 第1题：在菱形ABCD中，AB＝5 cm，AO＝4 cm，求BD的长． 14 解：∵ 四边形ABCD是菱形， 　　∴ AC⊥BD，BO＝OD． 　　在Rt△AOB中，AB＝5 cm，AO＝4 cm， 　　∴ BO＝√(AB²－AO²) 　　　　 ＝√(5²－4²) 　　　　 ＝3（cm）． 　　∴ BD＝2BO＝6（cm）． B A D C O 例题解析 法一： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD＝BC，AE∥BC． 又∵ CE∥BD， ∴ 四边形BCED是平行四边形． ∴ CE＝BD． 又∵ CE＝AC， ∴ AC＝BD． ∴ 平行四边形ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）． [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 随堂练习 第2题：菱形ABCD的周长为40 cm，一条对角线长10 cm． 15 解：菱形的边长为40÷4＝10（cm）． 　一条对角线长为10 cm，所以它的一半为5 cm， 　恰好等于菱形边长的一半． 　　由30°—60°—90°直角三角形的性质，得 　　菱形的内角为60°、120°， 　　另一条对角线的长为10√3 cm． B A D C O 例题解析 法二： 由四边形BCED是平行四边形，得BC＝DE． 又∵ AD＝BC，∴ AD＝DE． ∵ CE＝CA，∴ △CAE是等腰三角形． ∴ CD⊥AE． ∴ ∠ADC＝90°． 又∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ 四边形ABCD是矩形 （有一个角是直角的平行四边形是矩形）． [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 补充练习讲评 已知菱形的周长为8，两邻角的度数之比为1∶2，求菱形的面积 17 解析：∵ 菱形的两邻角的度数之比为1∶2，两邻角的和为180°， 　　　∴ ∠ABC＝60°，∠BAD＝120°． 　　　∵ 菱形的周长为8， 　　　∴ 边长AB＝BC＝2． 方法一：由上知△ABC是等边三角形， 　　　　∴ 菱形的对角线AC＝2，AO＝½AC＝1． 　　　　在Rt△AOB中，BO＝√(AB²－AO²)＝√(2²－1²)＝√3， 　　　　∴ BD＝2BO＝2√3． 　　　　∴ ＝½AC·BD＝½×2×2√3＝2√3． B A D O C 课本P14随堂练习 已知：在平行四边形ABCD中，M是AD边的中点，且MB＝MC． 求证：四边形ABCD是矩形． A D B C M 先独立完成，再交流使用了哪个判定 [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 补充练习讲评 已知菱形的周长为8，两邻角的度数之比为1∶2，求菱形的面积 18 方法二：如图，过点C作CE⊥AB于点E． 　　　　∵ ∠ABC＝60°， 　　　　∴ ∠BCE＝30°， 　　　　则BE＝½BC＝1． 　　　　在Rt△BEC中，CE＝√(BC²－BE²) 　　　　　　　　　　　 ＝√(2²－1²) 　　　　　　　　　　　 ＝√3． 　　　　∴ ＝AB·CE＝2×√3＝2√3． B A D O C E 随堂练习解析 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝DC，AB∥DC． ∵ M是AD的中点，∴ AM＝DM． 又∵ MB＝MC， ∴ △ABM≌△DCM（SSS）． ∴ ∠A＝∠D． 又∵ AB∥DC，∴ ∠A＋∠D＝180°． ∴ ∠A＝∠D＝90°． ∴ 四边形ABCD是矩形． A D B C M [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的性质：先继承，再发现特殊 概念 平行四边形 ＋邻边相等 特殊性质 四边相等 对角线垂直 计算工具 S＝底×高 S＝1/2ab A B C D 课堂小结 课堂小结 [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． $