1.4 正方形的性质 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质，通过回顾矩形与菱形性质，结合对比表格明确正方形既是矩形又是菱形的包含关系，以继承旧知提炼新知为支架构建知识脉络。 其亮点在于用对比表格和符号语言培养推理能力（数学思维），例题解析通过全等证明和面积转化发展几何直观（数学眼光），方法总结结构化提升模型意识（数学语言）。如面积例题用中心对称转化阴影面积，帮助学生系统掌握性质应用，教师可高效开展教学。

第一章 特殊平行四边形 1.2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 北师大版·九年级上册 第一章　特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定 第1课时　正方形的性质 北师大版·九年级上册 [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 学习目标 02 目标一 理解菱形的概念，知道菱形具有平行四边形的一切性质． 目标二 掌握菱形的特殊性质，并能用规范的几何语言进行证明． 目标三 会用菱形的对角线计算面积，并解决相关问题． 学习方法 从一般到特殊：先继承平行四边形性质，再研究新增性质． 学习目标 从矩形与菱形的共同结构研究正方形 目标一 从矩形、菱形的性质推导正方形的边、角和对角线性质． 目标二 掌握正方形的对称性、对角线分割规律及面积公式． 目标三 综合运用正方形性质解决线段、角度与面积问题． 学习方法 先继承矩形、菱形的性质，再提炼正方形的特有结论． [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 旧知回顾 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． A D B C 正方形既是矩形，又是菱形． 平行四边形 菱形 矩形 正方形 [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 性质归纳 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的区别与联系 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行且相等 特性 — — 四条边都相等 四条边都相等 角 共性 对角相等，邻角互补 对角相等，邻角互补 对角相等，邻角互补 对角相等，邻角互补 特性 — 四个角都是直角 — 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 对角线互相平分 对角线互相平分 对角线互相平分 特性 — 对角线相等 对角线互相垂直 相等且互相垂直 1.7.2013 本页重点归纳了平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质区别与联系。 大家可以看到，从边、角、对角线和对称性四个维度，我们可以清晰地梳理出它们的共性与特性。特别是要注意，正方形兼具了矩形和菱形的所有性质，是特殊的平行四边形。 在解题时，要灵活运用这些性质，比如看到菱形要立刻想到“四边相等”和“对角线垂直”，看到矩形要想到“四角为直角”和“对角线相等”。 ‹#› 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 正方形性质定理 定理一：正方形的四个角都是直角，四条边相等． 符号语言 ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， AB＝BC＝CD＝DA． B 定理二：正方形的对角线相等且互相垂直平分． 符号语言 ∵ 四边形ABCD是正方形，AC、BD相交于点O， ∴ AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 正方形性质拓展 对角线提供45°角、长度与面积关系 角度 每一条对角线平分一组对角， 对角线与边的夹角是45°． 长度 若边长为a，则每条对角线长为a√2． 面积 若两条对角线长为d₁、d₂，则S＝½d1d2； 正方形中S＝½d²． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 性质拓展 正方形有四条对称轴和一个对称中心 A D B C O 轴对称 共有4条对称轴：两条对角线所在直线；两条过每组对边中点的直线． 中心对称 对角线交点O是对称中心． 正方形绕中心旋转90°、180°、270°后都与原图形重合 [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 特殊性质 在平行四边形性质之外，菱形还有什么特殊性质呢？ 05 定理：菱形的四条边相等．即AB＝BC＝CD＝DA 定理：菱形的两条对角线互相垂直．即AC⊥BD A D C B 教材P17例题 如图，在正方形ABCD中，E在CD上，F在BC的延长线上，且CE＝CF． BE与DF有怎样的关系？请说明理由． A B C D E F [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 定理证明：菱形的四条边相等 06 如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O． 求证：AB＝BC＝CD＝AD． 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， 　　　∴ AB＝CD，AD＝BC（菱形的对边相等）． 　　　又∵ AB＝AD， 　　　∴ AB＝BC＝CD＝AD． B A D C O 例题解析 BE＝DF，且BE⊥DF． 理由：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ BC＝DC，∠BCE＝90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）． ∴ ∠DCF＝180°－∠BCE＝90°． ∴ ∠BCE＝∠DCF． 又∵ CE＝CF， ∴ △BCE≌△DCF（SAS）． ∴ BE＝DF，∠CBE＝∠CDF． 延长BE，交DF于点M． ∵ ∠DCF＝90°， ∴ ∠CDF＋∠F＝90°． ∴ ∠CBE＋∠F＝90°． ∴ 在△BMF中，∠BMF＝90°． ∴ BE⊥DF． M A B C D E F [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 面积公式 菱形的面积有两种常用算法 09 菱形是平行四边形：S＝底×高 设两条对角线长为a，b，S＝½ab 菱形的两条对角线互相垂直，菱形被分成四个直角三角形． B A D C 补充例题 利用正方形的性质求角度 如图，在正方形ABCD中，延长AB至点E，使AE＝AC，连接CE．求∠BCE的度数． A B C D E [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 教材P6例题 例1：综合运用边、角和对角线性质 10 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD＝60°，BD＝6． （1）求AB和AC的长； （2）求菱形ABCD的面积． B A D C O 例题解析 ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABC＝90°，AB＝CB， ∴ ∠CAB＝∠ACB＝45°． 在△ACE中，∵ AC＝AE， ∴ ∠ACE＝∠AEC＝½（180°－∠CAE）＝67.5°． ∴ ∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝67.5°－45°＝22.5°． A B C D E [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 面积公式 菱形的面积有两种常用算法 09 菱形是平行四边形：S＝底×高 设两条对角线长为a，b，S＝½ab 菱形的两条对角线互相垂直，菱形被分成四个直角三角形． B A D C 补充例题 利用正方形的性质求面积 将五个边长都为4 cm的正方形按如图所示的方式摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分的面积和为________。 💡 思路点拨：利用正方形的中心对称性，将阴影部分进行旋转或平移，可发现阴影面积之和等价于一个正方形的面积。 [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 面积公式 菱形的面积有两种常用算法 09 菱形是平行四边形：S＝底×高 设两条对角线长为a，b，S＝½ab 菱形的两条对角线互相垂直，菱形被分成四个直角三角形． B A D C 例题解析 连接AH，AF. ∵ ∠EAG＝∠HAF＝90°， ∴∠HAE＝∠FAG. ∵ ∠AHE＝∠AFG＝45°，AH＝AF，∠HAE＝∠FAG， ∴△AHE ≌ △AFG， ∴ S△AHE＝S△AFG， ∴S四边形AEHG＝S△AHF＝¼ S正方形， ∴S阴影＝4 × ¼ × S正方形＝16 cm². 💡 思路点睛 本题核心在于利用“图形旋转”与“全等变换”思想，将不规则阴影面积巧妙转化为规则图形面积。 [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 教材P7随堂练习 随堂练习：先独立完成，再交流方法 13 提示：对角线互相垂直且互相平分，注意构造直角三角形． 第1题：在菱形ABCD中，AB＝5 cm，AO＝4 cm，求BD的长． 第2题：菱形ABCD的周长为40 cm，一条对角线长10 cm． （1）求这个菱形每一个内角的度数． （2）求这个菱形另一条对角线的长． 教材P18随堂练习 练习1：在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF、DF．你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明． 先独立完成，再交流使用了哪些性质 练习2：在菱形ABCD中，将A、C沿对角线AC分别移到A′、C′，得到正方形A′BC′D．已知菱形ABCD的面积为120 cm²，正方形A′BC′D的面积为50 cm²，求AC的长． [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 随堂练习 第1题：在菱形ABCD中，AB＝5 cm，AO＝4 cm，求BD的长． 14 解：∵ 四边形ABCD是菱形， 　　∴ AC⊥BD，BO＝OD． 　　在Rt△AOB中，AB＝5 cm，AO＝4 cm， 　　∴ BO＝√(AB²－AO²) 　　　　 ＝√(5²－4²) 　　　　 ＝3（cm）． 　　∴ BD＝2BO＝6（cm）． B A D C O 随堂练习解析 练习1 例如证明△ABF≌△ADF： ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝AD，∠BAF＝∠DAF＝45°． 又∵ AF＝AF， ∴ △ABF≌△ADF（SAS）． [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 拓展练习 由周长与角的比求菱形面积 16 已知菱形的周长为8，两邻角的度数之比为1∶2， 则菱形的面积为（　　）． A．8√3　　B．8　　C．4√3　　D．2√3 B A D C O 随堂练习解析 练习2 正方形A′BC′D的面积为50 cm²． 设正方形的对角线为d，则½d²＝50， ∴ d＝10． ∴ BD＝10． 菱形ABCD的面积为120 cm²， ∴ ½·AC·BD＝120． ∴ ½·AC·10＝120， ∴ AC＝24 cm． [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 补充练习讲评 已知菱形的周长为8，两邻角的度数之比为1∶2，求菱形的面积 17 解析：∵ 菱形的两邻角的度数之比为1∶2，两邻角的和为180°， 　　　∴ ∠ABC＝60°，∠BAD＝120°． 　　　∵ 菱形的周长为8， 　　　∴ 边长AB＝BC＝2． 方法一：由上知△ABC是等边三角形， 　　　　∴ 菱形的对角线AC＝2，AO＝½AC＝1． 　　　　在Rt△AOB中，BO＝√(AB²－AO²)＝√(2²－1²)＝√3， 　　　　∴ BD＝2BO＝2√3． 　　　　∴ ＝½AC·BD＝½×2×2√3＝2√3． B A D O C 方法总结 运用正方形性质的四条常用路径 遇到正方形的边和角 四边相等、四个直角，常用于全等与勾股． 遇到对角线 联想四条半对角线相等且两两垂直． 遇到角度 联想 45° 和等腰直角三角形． 遇到面积 边长平方；或两条对角线乘积的一半． [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的性质：先继承，再发现特殊 概念 平行四边形 ＋邻边相等 特殊性质 四边相等 对角线垂直 计算工具 S＝底×高 S＝1/2ab A B C D 课堂小结 包含关系：正方形既是矩形，也是菱形 边角：对边平行、四边相等、四角直角 对角线：相等且互相垂直平分，并平分对角 对称性：4条对称轴、中心对称 正方形的性质 课堂小结 [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． $