第3章 培优课 抛物线焦点弦性质的应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学抛物线焦点弦性质的应用，系统梳理了焦点弦的坐标乘积关系、弦长公式、焦半径倒数和为定值、以弦为直径的圆与准线相切等核心性质，构建从性质推导到解题应用的学习支架。 资料通过对比通法与性质应用的例题设计，培养学生数学思维中的推理与运算能力，结合跟踪训练和延伸探究提升数学眼光的抽象与创新意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，强化数学语言表达与问题解决能力。

培优课　抛物线焦点弦性质的应用 抛物线的焦点弦有很多性质，比如：设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2=，y1·y2=-p2； (2)以弦AB为直径的圆与准线相切； (3)|AB|=x1+x2+p= (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； (4)+=为定值. 运用这些性质可以减少运算，使解决问题变得更加快捷. 一、x1·x2=，y1·y2=-p2的应用 例1　已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·=-12，则抛物线C的方程为(　　) A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x 答案　C 解析　设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 方法一　设直线AB的方程为x=my+， 联立消去x，得y2-2pmy-p2=0， 则y1y2=-p2，x1x2==， 得·=x1x2+y1y2=-p2=-p2=-12，解得p=4(舍负)， 即抛物线C的方程为y2=8x. 方法二　直接运用x1·x2=，y1·y2=-p2， 得·=x1x2+y1y2=-p2 =-p2=-12，解得p=4(舍负)， 即抛物线C的方程为y2=8x. 反思感悟　在选择题中运用推导得出的公式处理，就可以避免小题大做，而且可以事半功倍，起到很好的效果. 跟踪训练1　已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是(　　) A.直角 B.锐角 C.钝角 D.与点A，B位置有关 答案　C 解析　方法一　抛物线C的焦点F的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m的斜率一定存在.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线m的方程为y=kx+1，与抛物线C：x2=4y联立，得x2-4kx-4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=-4，所以·=x1x2+y1y2=x1x2+·=-4+1=-3<0，所以∠AOB为钝角. 方法二　抛物线焦点在y轴上，则x1x2=-p2=-4，y1y2==1，则·=x1x2+y1y2=-4+1=-3<0，故∠AOB为钝角. 二、|AB|=x1+x2+p=的应用 例2　抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程. 解　当焦点在x轴正半轴时，设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，则直线方程为y=-x+. 设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|=，∴=8，∴p=2， 故所求的抛物线方程为y2=4x. 当焦点在x轴负半轴时，设抛物线的方程为y2=-2px(p>0)时， 同理可求得抛物线方程为y2=-4x. 综上，抛物线方程为y2=±4x. 反思感悟　利用|AB|=x1+x2+p= (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解抛物线焦点弦的长度问题. 跟踪训练2　经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p=　　　　.  答案　2 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1+x2=14， ∴14+p=，∴p=2. 三、+=的应用 例3　过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|=2|BF|，则|AB|等于(　　) A.4 B. C.5 D.6 答案　B 解析　因为|AF|=2|BF|，+ =+===1， 解得|BF|=，|AF|=3， 故|AB|=|AF|+|BF|=. 反思感悟　将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题. 跟踪训练3　如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|=4，则线段AB的长为(　　) A.5 B.6 C. D. 答案　C 解析　如图，过点A作AD⊥l，|AD|=|AF|=|AC|=4，|OF|==4×=1， 所以p=2， 因为+=，|AF|=4， 所以|BF|=， 所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=. 四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 例4　求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切. 证明　设抛物线的准线为l，焦点为F，如图，作AA'⊥l于点A'，BB'⊥l于点B'，M为AB的中点，作MM'⊥l于点M'， 则由抛物线定义可知|AA'|=|AF|，|BB'|=|BF|，在直角梯形BB'A'A中， |MM'|=(|AA'|+|BB'|) =(|AF|+|BF|)=|AB|， 即|MM'|等于以AB为直径的圆的半径. 故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 延伸探究　分别以焦半径AF，BF为直径的圆，与y轴有什么关系？ 解　它们都与y轴相切， 证明如下： 设抛物线的准线为l，如图，作AA'⊥l于点A'，交y轴于点E， 取AF的中点M， 作MM'⊥y轴于点M'， 则由抛物线的性质可知|AA'|=|AF|， |OF|=|A'E|， 在直角梯形OFAE中， |MM'|=(|OF|+|AE|)=(|A'E|+|AE|) =|AA'|=|AF|， 即|MM'|等于以AF为直径的圆的半径， 故以AF为直径的圆与y轴相切， 同理可得以BF为直径的圆与y轴相切. 反思感悟　解析几何中的选择题和填空题都很小巧灵活，既考查运算功底(通法)，也考查思维的灵活性(小题小做).为了不“小题大做”，熟悉一些常见的二级结论尤为重要. 跟踪训练4　过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF=60°，则∠MFO的大小为(　　) A.15° B.30° C.45° D.不确定 答案　B 解析　如图，取AB的中点G，连接MG，则以线段AB为直径的圆与准线l切于点M，MG∥x轴，由题意知F，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k， 联立得y2-y-=0， 由根与系数的关系得y1+y2=， ∴点M，∴kMF==-， ∴kAB·kMF=-1， ∴MF⊥AB，∵∠AMF=60°， ∴∠GAM=∠GMA=30°， ∴∠MFO=∠GMF=30°. 1.知识清单：抛物线焦点弦性质的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错. 1.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是(　　) A.y轴 B.x=-1 C.x=-2 D.不存在 答案　B 解析　抛物线焦点为F(1，0)，即=1，p=2，故抛物线C：y2=4x，准线方程为x=-1，由焦点弦性质知，以弦AB为直径的圆与准线相切，故选B. 2.过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|=6，则|BF|等于(　　) A.9或6 B.6或3 C.9 D.3 答案　D 解析　方法一　设点A为第一象限内的点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，y1>0， 则由题意可得F(2，0)，|AF|=x1+2=6， 则x1=4，由=8x1，得y1=4， 所以kAB==2， 直线AB的方程为y=2(x-2)， 将直线AB的方程代入y2=8x化简得 x2-5x+4=0， 所以x2=1，所以|BF|=x2+2=3. 方法二　由抛物线焦点弦的性质可得， +=， 所以=-=，可得|BF|=3. 3.已知抛物线y=2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2等于(　　) A.- B.- C.-1 D.-2 答案　B 解析　方法一　依题意，直线MN斜率存在， 设其方程为y=kx+， 由消去y整理得x2-kx-=0， ∴x1x2=-. 方法二　y=2x2即x2=y， 由抛物线焦点弦的性质知，x1x2=-p2=-. 4.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1+x2=6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为　　　　.  答案　4 解析　由抛物线的方程y2=4x，可得p=2，故它的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1. 由中点坐标公式可得PQ的中点 M，由于x1+x2=6， 则M到准线的距离为+1=4. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.设AB为过抛物线y2=2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　) A. B.p C.2p D.无法确定 答案　C 解析　当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p. 2.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　) A.-4 B.4 C.p2 D.-p2 答案　A 解析　x1x2=，y1y2=-p2，所以=-4. 3.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦.若|AB|=4，则AB中点的纵坐标是(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　D 解析　如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得|AA'|+|BB'|=|AB|=4， |PQ|==2. 又|PQ|=y0+， ∴y0+=2，∴y0=. 4.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则+的值为(　　) A. B. C.1 D.2 答案　C 解析　由抛物线焦点弦的性质可得， +==1. 5.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：x=-，若过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三个答案均有可能 答案　C 解析　根据结论可知以AB为直径的圆和准线相切， 该抛物线的准线为x=-1， 故这个圆和直线x=-相离. 6.(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)设O为坐标原点，直线y=-(x-1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 答案　AC 解析　A项，直线y=-(x-1)过点(1，0)， 所以抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)， 所以=1，p=2，故A正确； B项，由题意知直线y=-(x-1)的倾斜角为α=120°，所以|MN|===，故B错误； C项，由抛物线焦点弦的性质知C正确； D项，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1>x2， 由消去y并化简得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0， 解得x1=3，x2=， 则y1=-×(3-1)=-2， y2=-×=， 所以|OM|==， |ON|==， 且|MN|=， 所以△OMN不是等腰三角形，故D错误. 7.(5分)已知直线l：y=x-1经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|=　　　.  答案　8 解析　设直线AB的倾斜角为α，则sin α=，由题意知，直线l：y=x-1过点(1，0)，所以=1，解得p=2，则|AB|===8. 8.(5分)若抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AF|+2|BF|的最小值为　　　　.  答案　3+2 解析　由题意知p=2，所以+==1， |AF|+2|BF|=(|AF|+2|BF|)=3++≥3+2， 当且仅当=时，等号成立. 9.(10分)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(5分) (2)若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离.(5分) 解　(1)方法一　因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k=tan 60°=.又F. 所以直线l的方程为y=. 联立 消去y，得x2-5x+=0. 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=5， 而|AB|=|AF|+|BF|=+ =x1+x2+p， 所以|AB|=5+3=8. 方法二　因为抛物线y2=6x，所以p=3， 又直线l的倾斜角α=60°， 所以|AB|===8. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知， |AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+ =x1+x2+p=x1+x2+3=9， 所以x1+x2=6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x=-， 所以M到准线的距离等于3+=. 10.(10分)已知点P(1，m)是抛物线C：y2=2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程；(3分) (2)若|AB|=8，求直线l的斜率.(7分) 解　(1)由题意|PF|=1+=2，p=2， ∴抛物线方程为y2=4x. (2)方法一　由(1)知焦点为F(1，0)， 若直线l斜率不存在，则|AB|=4，不符合题意， 因此设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0)， 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=， |AB|=x1+x2+2=+2=8， 解得k=1或k=-1. 方法二　若直线l的斜率不存在， 则|AB|=4，不符合题意，设直线l的倾斜角为α， 根据焦点弦的性质，|AB|=， 代入可得sin2α==， 即α=45°或135°，则k=tan α=±1. 11.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　易知抛物线中p=，焦点F， 直线AB的斜率k=， 故直线AB的方程为y=， 由抛物线的性质可得弦长|AB|==12， 又O到直线AB的距离d=·sin 30°=， ∴S△OAB=|AB|·d=. 12.(多选)已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是(　　) A.抛物线的准线方程为x=-1 B.若++=0，则2||=||+|| C.若A，F，C三点共线，则y1y2=-1 D.若|AC|=6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 答案　ABD 解析　把点B(1，2)代入抛物线y2=2px，得p=2，所以抛物线的准线方程为x=-1，故A正确； 因为A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F(1，0)， 所以=(x1-1，y1)，=(0，2)， =(x2-1，y2)， 又由++=0，得x1+x2=2， 所以||+||=x1+1+x2+1=4=2||，故B正确； 因为A，F，C三点共线，所以线段AC是焦点弦，所以y1y2=-p2=-4，故C不正确； 设AC的中点为M(x0，y0)， 因为|AF|+|CF|≥|AC|， |AF|+|CF|=x1+1+x2+1=2x0+2， 所以2x0+2≥6，得x0≥2， 即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确. 13.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧.若|AC|=2|AF|，则|BF|等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　抛物线y2=4x的焦点F(1，0)，准线方程l：x=-1，设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，如图，由抛物线的定义可知|AF|=|AD|，|BF|=|BE|，又|AC|=2|AF|，所以|AC|=2|AD|，则∠ACD=. 所以直线AB的倾斜角为， 因为|HF|=p=2，==， 所以|AF|=|AD|=. 又|AB|===， 即|AF|+|BF|=，所以|BF|=4. 14.(5分)如图，过抛物线y=x2的焦点的直线交抛物线与圆x2+(y-1)2=1于A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)四点，且xA<xB<xC<xD，则|AB|·|CD|=　　　　.  答案　1 解析　抛物线y=x2可化为x2=4y，则p=2，由题图可知|AB|=|AF|-1=yA+1-1=yA，|CD|=|DF|-1=yD+1-1=yD，∴|AB|·|CD|=yAyD，又yAyD==1，∴|AB|·|CD|=1. 15.(多选)已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率k>0，B，C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　) A.·=-p2 B.四边形ACBD面积的最小值为16p2 C.+= D.若|AF|·|BF|=4p2，则直线CD的斜率为- 答案　ACD 解析　如图所示， F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ， ∴y1y2=-p2，x1x2=，|AB|=， 设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 同理可得y3y4=-p2， x3x4=，|CD|=. 对于A，·=x3x4+y3y4=-p2=-，故正确； 对于B，四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|==，故其最小值为8p2，故错误； 对于C，+=+=，故正确； 对于D，若|AF|·|BF|==x1x2+(x1+x2)+=4p2， 则(x1+x2)=， ∴x1+x2=7p，即7p+p=， ∴sin2θ=，sin θ=(舍负)， 又k>0，∴θ=， 则直线CD的倾斜角为，其斜率为-，故正确. 16.(12分)如图，A，B，M，N为抛物线y2=4x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1，0). (1)记A，B的纵坐标分别为yA，yB，横坐标分别为xA，xB，求yA·yB，xA·xB的值；(4分) (2)记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，若k2=3k1，则直线AN是否过x轴上一定点，若过定点，求出定点坐标.(8分) 解　(1)由抛物线方程y2=4x， 可知焦点为F(1，0)，直线AB过点F， 所以yA·yB=-p2=-4， xA·xB==1. (2)设M(xM，yM)，N(xN，yN)， 直线MN过焦点F，则yM·yN=-4， ∴=4xM，=4xN， ∵直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，且k2=3k1， ∴=， 即=， 整理得3(yM+yB)=yN+yA， ∴3=yN+yA， 即yN·yA=-12， 设直线AN的方程为y-yA=(x-xA)， ∴y-yA=(x-xA)， 即y-yA=(x-xA)， ∴4x-(yN+yA)y+yN·yA=0， ∴4x-(yN+yA)y-12=0， 令y=0，得x=3， 则直线AN过x轴上一定点，定点坐标为(3，0). 学科网（北京）股份有限公司 $