第3章 3.1.1 椭圆及其标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦椭圆及其标准方程核心知识点，通过问题驱动梳理椭圆定义（类比圆的定义）、标准方程推导（分焦点在x轴和y轴两种情况）及焦点三角形应用，为后续圆锥曲线学习搭建逻辑支架。 资料以神舟飞船轨道情境引入，结合细绳画椭圆实验培养数学眼光，通过方程推导过程渗透推理能力，例题与分层练习强化数学语言表达，课中辅助教师突破难点，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

3.1.1　椭圆及其标准方程 学习目标　1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导(难点).3.会求简单的椭圆的标准方程(重点). 导语 椭圆是一种很美的数学曲线，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.例如，神舟十九号载人飞船在进入太空后，先以椭圆轨道运行，后经过变轨调整为圆形轨道.那么，椭圆上的点满足什么条件，如何精确地画出一个椭圆呢？今天我们来研究一番. 一、椭圆的定义 问题1　取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示　椭圆，笔尖(动点)到两个定点的距离的和等于常数. 知识梳理 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值. (2)定值必须大于两定点间的距离. (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在. 例1　(1)设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则动点M的轨迹是(　　) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 答案　A 解析　∵|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=6， 由椭圆定义知，动点M的轨迹为椭圆. (2)已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点P(x，y)满足|PA|+|PB|=1，则动点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.不存在 答案　D 解析　由题设知|PA|+|PB|=1<|AB|=2， 则动点P的轨迹不存在. 反思感悟　椭圆定义的理解 (1)椭圆定义中包含一动点和两定点. (2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离. 跟踪训练1　下列说法中正确的是(　　) A.到点M(-4，0)，N(4，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B.到点M(0，-4)，N(0，4)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C.到点M(-4，0)，N(4，0)的距离之和等于11的点的轨迹是椭圆 D.到点M(0，-4)，N(0，4)的距离相等的点的轨迹是椭圆 答案　C 解析　由椭圆定义知，C正确. 二、椭圆的标准方程 问题2　观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 提示　观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(-c，0)，(c，0). 根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF1|+|MF2|=2a}.因为|MF1|=，|MF2|=， 所以+=2a. ① 为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得=2a-. ② 对方程②两边平方，得 (x+c)2+y2=4a2 -4a+(x-c)2+y2， 整理，得a2-cx=a， ③ 对方程③两边平方，得 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2， 整理，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)， ④ 将方程④两边同除以a2(a2-c2)，得 +=1， ⑤ 由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0， 所以a2-c2>0. 令b=， 那么方程⑤就是+=1(a>b>0). ⑥ 我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程. 问题3　如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，-c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 提示　+=1(a>b>0). 知识梳理 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2=a2-c2 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上. 例2　(课本例1)　已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点求它的标准方程. 解　由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 由椭圆的定义知c=2， 2a=+=2 所以a=. 所以b2=a2-c2=10-4=6. 所以，所求椭圆的标准方程为+=1. 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. 解　(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为+x2=1. (2)方法一　由题意得椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)， 由椭圆的定义知， 2a=+ =2， 即a=， 又c=2，所以b2=a2-c2=6， 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 方法二　由题意得椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)， 由题意知 解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. (3)方法一　(分类讨论法) ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 依题意，有解得 由a>b>0，知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 依题意，有解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 方法二　(待定系数法) 设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 则解得 所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1， 故椭圆的标准方程为+=1. 反思感悟　(1)求椭圆标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解. (2)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，-)，； (2)过点(，-)，且与椭圆+=1有相同的焦点. 解　(1)方法一　(分类讨论法) ①若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. ②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得解得 则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去. 综上，所求椭圆的标准方程为+=1. 方法二　(待定系数法) 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 将两点(2，-)，代入， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. (2)因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同， 所以其焦点在y轴上， 且c2=25-9=16. 设它的标准方程为+=1(a>b>0). 因为c2=16，且c2=a2-b2， 所以a2-b2=16. ① 又点(，-)在椭圆上， 所以+=1， 即+=1. ② 由①②得b2=4，a2=20， 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 三、椭圆的焦点三角形 例3　已知P为椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积. 解　由已知得a=2，b=， 所以c===3， 从而|F1F2|=2c=6，在△F1PF2中， |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|. ① 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4， 即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|. ② 由①②得|PF1|·|PF2|=4. 所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=. 延伸探究　若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”，求△F1PF2的面积. 解　由已知得a=2，b=， 所以c===3. 从而|F1F2|=2c=6. 在△F1PF2中，由勾股定理可得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2， 即|PF2|2=|PF1|2+36， 又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=4， 所以|PF2|=4-|PF1|. 从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+36， 解得|PF1|=. 所以=·|PF1|·|F1F2| =××6=， 即△F1PF2的面积是. 反思感悟　椭圆焦点三角形的常用结论 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，焦点三角形的周长为2a+2c. 跟踪训练3　设P为椭圆C：+=1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|=3∶4，那么△GPF1的面积为(　　) A.24 B.12 C.8 D.6 答案　C 解析　∵P为椭圆C：+=1上一点， |PF1|∶|PF2|=3∶4， |PF1|+|PF2|=2a=14， ∴|PF1|=6，|PF2|=8. 又|F1F2|=2c=2=10， |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2， ∴△PF1F2是直角三角形， =|PF1|·|PF2|=24. ∵△PF1F2的重心为点G， ∴=3，∴△GPF1的面积为8. 1.知识清单： (1)椭圆的定义及其应用. (2)椭圆的标准方程. (3)椭圆的焦点三角形. 2.方法归纳：分类讨论、待定系数法. 3.常见误区： (1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系. (2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程. 1.点P为椭圆+=1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|=3，则|PF2|等于(　　) A.13 B.1 C.7 D.5 答案　D 解析　由已知得a=4， |PF2|=2a-|PF1|=8-3=5. 2.已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+x2=1 答案　A 解析　由已知得c=1，又由点P(2，0)在椭圆上， 可得a=2，则b2=3， ∴椭圆的方程为+=1. 3.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　) A.(0，+∞) B.(0，2) C.(1，+∞) D.(0，1) 答案　D 解析　∵方程x2+ky2=2， 即+=1表示焦点在y轴上的椭圆， ∴>2，故0<k<1. 4.已知点A，B是椭圆C：+=1上关于原点对称的两点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若|AF1|=2，则|BF1|等于(　　) A.1 B.2 C.4 D.5 答案　C 解析　因为|OA|=|OB|，|OF1|=|OF2|， 所以四边形AF1BF2是平行四边形， 所以|BF1|=|AF2|. 由椭圆的定义得|AF2|=2×3-|AF1|=6-2=4， 所以|BF1|=4. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(-3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|+|PB|=2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　) A.当a=2时，点P的轨迹不存在 B.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a=3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 答案　AC 解析　当a=2时，2a=4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确； 当a=4时，2a=8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|=6，B错误，C正确； 当a=3时，2a=6=|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 2.过点P和点Q的椭圆的标准方程是(　　) A.+x2=1 B.+y2=1或+x2=1 C.+y2=1 D.以上都不对 答案　A 解析　设椭圆方程为 Ax2+By2=1(A>0，B>0，A≠B)， 由题意得解得 所以此椭圆的标准方程为+x2=1. 3.已知曲线C：+=1，则“a>0”是“曲线C是椭圆”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若曲线C是椭圆，则有 解得a>0，且a≠2， 故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件. 4.设P为椭圆+=1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是(　　) A.4 B.6 C.9 D.12 答案　C 解析　|PF1|+|PF2|=2a=6， |PF1|·|PF2|≤=9， 当且仅当|PF1|=|PF2|=3时取等号. 5.若椭圆+=1的焦距为2，则m的值为(　　) A.5 B.5或8 C.5或3 D.3 答案　C 解析　当椭圆+=1的焦点在x轴上时， 则有m-4=12，解得m=5； 当椭圆+=1的焦点在y轴上时， 则有4-m=12，解得m=3， 所以m的值为5或3. 6.P是椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|=12，则∠F1PF2的大小为(　　) A.60° B.30° C.120° D.150° 答案　A 解析　由椭圆的定义得 |PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=2， ∴(|PF1|+|PF2|)2=64， ∵|PF1|·|PF2|=12，∴|PF1|2+|PF2|2=40， 在△F1PF2中， 由余弦定理得cos∠F1PF2==， ∵0°<∠F1PF2<180°， ∴∠F1PF2=60°. 7.(5分)已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且经过点P(2，)，同时|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，则椭圆的标准方程为　　　　　　.  答案　+=1 解析　由已知，可设椭圆的方程为 +=1(a>b>0)，椭圆经过点P(2，)， 则+=1(a>b>0)，(*) 又|PF1|+|PF2|=2|F1F2|， 由椭圆定义得2a=4c，即a2=4c2， 因为a2-b2=c2，所以b2=3c2，代入(*)式 得c2=2，所以a2=8，b2=6， 所以椭圆的标准方程为+=1. 8.(5分)已知椭圆+=1(a>2)的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在椭圆上，PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则a=　　　　.  答案　 解析　根据椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a， 由PF1⊥PF2，得△PF1F2为直角三角形， ∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2， 又∵△PF1F2的面积为2， ∴·|PF1|·|PF2|=2，则|PF1|·|PF2|=4， ∴(2a)2=(|PF1|+|PF2|)2 =|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4c2+8， 可得a2-c2=2=b2， 由+=1可得b2=a2-4， ∴a2-4=2， 解得a=. 9.(10分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2=120°，|PF1|=2+，|PF2|=2-. (1)求椭圆C的方程；(5分) (2)求△PF1F2的面积.(5分) 解　(1)由椭圆的定义得，2a=|PF1|+|PF2|=4， ∴a=2， 在△PF1F2中，由余弦定理可得， |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°， ∴4c2=15， ∴c=，b2=a2-c2=4-=， 故椭圆C的方程为+4y2=1. (2)=|PF1||PF2|sin 120°=×(2+)×(2-)×=. 10.(10分)已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程；(4分) (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.(6分) 解　(1)方法一　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4+11b2-16=0， 故b2=1或b2=-(舍去)，a2=5， 故椭圆M的标准方程为+y2=1. 方法二　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 则2a=+ =2， 所以a=，因为c=2，所以b2=a2-c2=1. 故椭圆M的标准方程为+y2=1. (2)由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)， 则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1， 解得y0=±.又+=1， 所以=，x0=±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为. 11.已知椭圆C：+=1上一点P到左焦点F的距离为8，O为坐标原点，若点M满足=+，则||等于(　　) A.6 B.4 C. D.2 答案　B 解析　设椭圆C的右焦点为F2，连接PF，PF2，取PF的中点为N，如图所示， 由椭圆定义可知|PF|+|PF2|=2a=12，又|PF|=8，可得|PF2|=4. 易知=+=2， 所以||=2||， 又因为O为FF2的中点， 所以ON∥PF2，且|ON|=|PF2|=2， 可得||=4. 12.(多选)已知P是椭圆E：+=1上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　) A.点P的纵坐标为3 B.∠F1PF2> C.△F1PF2的周长为4(+1) D.△F1PF2的内切圆半径为 答案　CD 解析　由已知得a=2，b=2，c=2， F1(-2，0)，F2(2，0). 设P(m，n)， 则=·2c·|n|=3， 解得n=±，故A错误； 由+=1，解得m2=. 不妨设m>0，n>0，则P， ∴|PF1|2=+=+2， |PF2|2=+=-2， ∴|PF1|2+|PF2|2-(2c)2=×2-16=>0， ∴cos∠F1PF2=>0， ∴∠F1PF2<，故B错误； △F1PF2的周长=2a+2c=4(+1)，故C正确； 设△F1PF2的内切圆半径为r， 则×4(+1)r=3， ∴r=，故D正确. 13.(5分)如图，椭圆C：+y2=1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则△PF1F2的周长是　　　　.  答案　4+2 解析　因为M，O，N分别为PF1，F1F2，PF2的中点，所以MO∥PN，|MO|=|PN|，则四边形OMPN是平行四边形，所以|MP|=|ON|，由四边形OMPN的周长为4可知， |PF1|+|PF2|=2(|PM|+|PN|)=4， 即2a=4，所以a=2，则c==， 于是△PF1F2的周长是2a+2c=4+2. 14.(5分)在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(-3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆+=1上，则=　　　　.  答案　 解析　由椭圆的方程得a=5，b=4，c=3. 则△ABC的顶点A(-3，0)和C(3，0)分别为椭圆的左、右焦点，顶点B在椭圆+=1上， ∴|BC|+|AB|=2a=10， ∴由正弦定理可知===. 15.已知F1是椭圆+=1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)为定点，则|PA|+|PF1|的最小值是(　　) A.9- B.6- C.3+ D.6+ 答案　B 解析　如图所示，设点F2为椭圆的右焦点，则F2(2，0)， 连接F2A并延长交椭圆于点P'，连接P'F1，PF2. ∵|PF1|+|PF2|=2a=6， ∴|PF1|=6-|PF2|， ∴|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|=6+(|PA|-|PF2|). 当点P位于P'时，|PA|-|PF2|最小， 其值为-|AF2|=-， 此时|PA|+|PF1|的最小值为6-. 16.(13分)某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，研究发现，某种鱼群在距A岛、B岛距离之和为8海里处洄游，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求鱼群的洄游路线曲线C的标准方程；(5分) (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？(8分) 解　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c=4，则c=2，a=4，故b=2， ∴曲线C的标准方程为+=1. (2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|=3， 得=3， ∴ 解得或 ∴点P的坐标为(2，3)或(2，-3). 学科网（北京）股份有限公司 $