第2章 直线和圆的方程 章末复习课（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学讲义通过知识框架系统梳理直线与圆的核心内容，分模块呈现两直线平行垂直的判断方法、交点与距离问题、直线与圆及圆与圆的位置关系，突出斜率讨论、几何与代数法等重难点，体现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于例题设计注重易错点突破，如例1讨论直线平行时排除重合情况，培养逻辑推理素养，跟踪训练2用圆系方程求切线体现数学运算能力。分层练习帮助不同学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学，提升学生解决直线与圆问题的综合能力。

一、两直线的平行与垂直 1.判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1=k2⇔l1∥l2. (2)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2=-1⇔l1⊥l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2.通过讨论两直线的平行、垂直关系，提升学生的逻辑推理素养. 例1　(1)已知A，B，C(2-2a，1)，D(-a，0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a=　　　　.  答案　3 解析　kAB==-， ∵lAB∥lCD， ∴kCD存在且kCD==. ∴-=，即a2-2a-3=0. ∴a=3或a=-1. 当a=3时，kAB=-1，kBD==-≠kAB， ∴AB与CD平行； 当a=-1时，kAB=，kBC==， kCD==， ∴AB与CD重合. ∴当a=3时，直线AB和直线CD平行. (2)若点A(4，-1)在直线l1：ax-y+1=0上，则l1与l2：2x-y-3=0的位置关系是　　　　.  答案　垂直 解析　将点A(4，-1)的坐标代入ax-y+1=0， 得a=-，则·=-×2=-1，∴l1⊥l2. 反思感悟　一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且C1B2-C2B1≠0，或A1C2-A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 跟踪训练1　(1)已知直线l1：ax-3y+1=0，l2：2x+(a+1)y+1=0.若l1⊥l2，则实数a的值为　　　　.  答案　-3 解析　由l1⊥l2知，2a-3(a+1)=0， 解得a=-3. (2)已知两直线l1：x+my+6=0，l2：(m-2)x+3y+2m=0，若l1∥l2，则m=　　　　.  答案　-1 解析　1×3-m(m-2)=0，得m=3或-1. 又当m=3时，l1与l2重合； 当m=-1时，l1∥l2，所以m=-1. 二、与直线有关的交点与距离问题 1.两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题. 2.两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养. 例2　(1)若点(1，a)到直线y=x+1的距离是，则实数a的值为(　　) A.-1 B.5 C.-1或5 D.-3或3 答案　C 解析　∵点(1，a)到直线y=x+1的距离是， ∴=，即|2-a|=3， 解得a=-1或a=5，∴实数a的值为-1或5. (2)过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0截得的线段被点P平分，求直线l的方程. 解　设l1与l的交点为A(a，8-2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上， 代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0， 解得a=4，即点A(4，0)在直线l上， 所以直线l的方程为x+4y-4=0. 反思感悟　 跟踪训练2　(1)设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是关于x的方程x2+x-2=0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为(　　) A.2 B. C.2 D. 答案　D 解析　根据a，b是关于x的方程x2+x-2=0的两个实数根， 可得a+b=-1，ab=-2， ∴a=1，b=-2或a=-2，b=1， ∴|a-b|=3， 故两条直线之间的距离d===. (2)已知直线l过直线l1：x-2y+3=0与直线l2：2x+3y-8=0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　方法一　由得 即直线l过点(1，2).设点Q(1，2)，因为|PQ|==>2，所以满足条件的直线l有2条. 方法二　依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x+3y-8+λ(x-2y+3)=0(λ∈R)，即(2+λ)x+(3-2λ)y+3λ-8=0.由题意得=2，化简得5λ2-8λ-36=0，解得λ=-2或λ=，代入得直线l的方程为y=2或4x-3y+2=0，所以直线l有2条. 三、直线与圆的位置关系 1.直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线和圆相交；若d=r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离. (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ=0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离. 2.研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养. 例3　已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：x2+y2-6x+12y+20=0. (1)当m∈R时，证明l与圆C总相交； (2)m取何值时，l被圆C截得的弦长最短？并求此弦长. (1)证明　直线的方程可化为y+3=2m(x-4)， 由点斜式可知，直线恒过点P(4，-3). 由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交. (2)解　圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25. 如图，当圆心C(3，-6)到直线l的距离最大时，弦AB的长度最短. 此时PC⊥l， 又kPC==3， 所以直线l的斜率为-， 则2m=-，所以m=-. 在Rt△APC中，|PC|=，|AC|=r=5. 所以|AB|=2=2. 故当m=-时，l被圆C截得的弦长最短，最短弦长为2. 反思感悟　涉及直线与圆的有关题型 (1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得. (2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解. 跟踪训练3　已知圆C关于直线x+y+2=0对称，且过点P(-2，2)和原点O. (1)求圆C的方程； (2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(-1，0)，若l1，l2被圆C所截得的弦长相等，求直线l1的方程. 解　(1)由题意知，直线x+y+2=0过圆C的圆心，设圆心C(a，-a-2). 由题意，得(a+2)2+(-a-2-2)2=a2+(-a-2)2，解得a=-2. 所以圆心C(-2，0)，半径r=2， 所以圆C的方程为(x+2)2+y2=4. (2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0， 设l1的斜率为k，则l2的斜率为-， 所以l1：y=k(x+1)，即kx-y+k=0， l2：y=-(x+1)，即x+ky+1=0. 由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等， 所以=，解得k=±1， 所以直线l1的方程为x-y+1=0或x+y+1=0. 四、圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系的判断方法：一般利用圆心距与两半径和与差的绝对值大小关系判断两圆的位置关系. 2.圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养. 例4　已知圆C1：x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2：x2+y2-8x+4y+7=0. (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程. 解　(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程， 得(x+2)2+(y-2)2=13，(x-4)2+(y+2)2=13. 圆心与半径长分别为C1(-2，2)，r1=； C2(4，-2)，r2=. 因为|C1C2|==2=r1+r2，所以圆C1与圆C2相切. 由 两式相减得12x-8y-12=0， 即3x-2y-3=0， 就是过切点的两圆公切线的方程. (2)方法一　过C1，C2的直线方程为 =，即2x+3y-2=0， 联立 解得则切点坐标为(1，0). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 则解得 所以所求圆的方程为(x+4)2+=， 即x2+y2+8x-y-9=0. 方法二　由圆系方程，可设所求圆的方程为 x2+y2+4x-4y-5+λ(3x-2y-3)=0. 因为点(2，3)在此圆上， 将点的坐标代入方程解得λ=. 所以所求圆的方程为 x2+y2+4x-4y-5+(3x-2y-3)=0， 即x2+y2+8x-y-9=0. 反思感悟　过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1，此圆系方程不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)，特别地，当λ=-1时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 跟踪训练4　已知圆C1：x2+y2-4x+2y=0与圆C2：x2+y2-2y-4=0. (1)求证：两圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程. (1)证明　圆C1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5， 圆C2的方程可化为x2+(y-1)2=5， ∴C1(2，-1)，C2(0，1)， 两圆的半径均为， ∵|C1C2|==2<2， ∴两圆相交. (2)解　将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程， (x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0， 即x-y-1=0. 学科网（北京）股份有限公司 $