微专题01：椭圆常考的二级结论【9个结论+结论推导过程+例题讲解】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年人教A版高二上学期数学常考题型归纳 【微专题01：椭圆中的二级结论】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【结论1：椭圆焦点三角形面积公式】 【结论及其推导过程***】 一、椭圆焦点三角形面积公式结论 设椭圆标准方程为（），其中： 两个焦点为、（焦距，且满足）； 椭圆上任意一点为，则称为焦点三角形，记. 焦点三角形面积有两个核心公式： 1.角度式：； 2.坐标式：. 二、公式推导过程 （一）坐标式推导（基础方法，依赖点坐标） 1.三角形底边长确定： 焦点、在x轴上，两点间距离为底边长：. 2.三角形高的计算： 三角形的高为点到x轴的垂直距离，即高（绝对值保证高为正）. 3.面积公式代入： 根据三角形面积基本公式，代入得： . （二）角度式推导（核心方法，依赖椭圆定义与三角函数） 1.利用椭圆定义： 椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，即，设，，则①. 2.应用余弦定理： 在中，对应用余弦定理： . 已知，代入得：②. 3.化简： 由①式平方得：，即，变形为③. 4.联立方程求： 将③代入②得：，整理得： ， 移项求解：. 由椭圆性质，代入得：④. 5.代入三角形面积公式： 三角形面积公式，将④代入得： . 6.三角函数化简： 利用半角公式，，代入得： . 三、公式适用场景说明 1.坐标式：适用于已知椭圆上点的纵坐标时，直接代入计算，快捷高效； 2.角度式：适用于已知焦点三角形顶角（）时，无需点坐标即可求解，常用于角度相关的几何问题。 两公式本质等价，可通过相互推导，教学中可引导学生根据题目条件灵活选择. （25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【详解】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. （25-26高二上·湖南长沙·期中）已知是椭圆上一点，，是其左、右焦点，若，则的面积为（   ）小试牛刀1 A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：C 【多选题】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．的周长为8 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在两个点，使得 D．的最小值为1 【答案】BD 【分析】先求出，根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形的面积公式即可判断B；求出的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【详解】椭圆C：的长短半轴长分别为，半焦距， 由点P是椭圆上的一个动点，得， 对于A，的周长为，A错误； 对于B，在中，，由余弦定理得， ，则，， 因此的面积为，B正确； 对于C，当点位于椭圆的上下顶点时，最大，此时， 即为等边三角形，的最大值为，因此椭圆C上不存在点，使得，C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 【多选题】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ）小试牛刀3 A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【答案】ABD 【分析】由题设求出，设 再在焦点中，运用余弦定理结合椭圆的定义得到求得即可判断B；设P（x₀，y₀），由=4得代入椭圆方程得从而，故P点共有4个，可判断A、C，求得即可判断D, 【详解】 由题意得，，设 则 在中，由余弦定理得，， 即 ，即 ，解得 故B项正确； 设P（x₀，y₀）， 代入椭圆方程得， 解得 则 故C项错误； 由故P点共有4个，故A项正确； 对于D， 故D项正确. 故选：ABD. 【结论2:焦点三角形顶角与离心率的关系】 【结论内容及其推导过程***】 一、核心结论 设椭圆标准方程为（），焦点为、（），椭圆上任意一点构成焦点三角形，记顶角，离心率为（），则： 1.一般结论：（其中，，）； 2.关键结论（最大顶角）：的最大值为，当且仅当点为椭圆短轴端点时，取得最大值，此时. 二、推导过程 （一）一般情况下与的关系推导 1.明确已知条件： 椭圆定义：，设，，则①； 焦距：； 离心率定义：，即②； 椭圆核心关系：③. 2.应用余弦定理： 在中，对顶角应用余弦定理： 代入，得： 3.化简： 由①式平方得：，展开得，变形为： 4.联立方程推导： 将⑤代入④，得： 移项整理，解出： 代入②③（），得： 此为一般情况下顶角与离心率、线段的关系. （二）最大顶角的推导（关键结论） 1.分析的取值范围： 由均值不等式，对、，有，当且仅当时取等号. 结合，得： 即的最大值为，当且仅当时取得最大值. 2.分析的最大值： 余弦函数在区间上单调递减，因此： 当最小时，最大； 由⑥式，当最大（）时，最小，故最小. 3.代入求最大顶角的余弦值： 将和代入⑥式，得： 4.确定时点的位置： 当时，，即点到两焦点距离相等，结合椭圆对称性，点必在椭圆的短轴端点（或）。 综上，焦点三角形的最大顶角为，且仅当为短轴端点时取得最大值，核心关系为. 三、结论应用说明 1.求离心率范围：若已知焦点三角形顶角的最大值为，则（由变形推导）； 2.判断顶角大小：对于椭圆上任意一点，其构成的焦点三角形顶角，可快速比较不同点对应的顶角大小； （25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设上顶点为，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由椭圆，设上顶点为， 若存在一点使得，则， 可得，其中点为坐标原点， 所以，可得，所以. 故选：B.    （25-26高二上·河南南阳·月考）已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义及余弦定理可得，为椭圆上任意一点，当焦点在轴上时，为上、下顶点时最大，当焦点在轴上时，为左、右顶点时最大，再结合条件，即可求解. 【详解】不妨设焦点在轴上，设椭圆C的方程为， 如图，设，则①， 在中，由余弦定理得，， 又，所以，整理得到， 又，，当且仅当时取等号， 所以当时，取到最小值，此时最大，为椭圆的上顶点或下顶点， 不妨设为椭圆C的上顶点，因为椭圆C上存在点P，使得， 则，所以，    所以，即， 得到，则， 选项A中：，选项B中：，选项C中：， 选项D中：， 故B正确，其它错误， 故选：B． （2022·江西萍乡·三模）设，为椭圆：的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆性质要使题设条件成立只需点在椭圆左右顶点时，此时利用余弦定理可得，进而求的范围. 【详解】由椭圆的性质知，当在椭圆左右顶点时最大， 椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时， 此时，，即. 又，. 又，，解得. 又，. 故选：A. （23-24高二上·山东枣庄·月考）已知椭圆：（）的离心率为，左右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为3，则的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设条件得出，在中，令，，由余弦定理得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为椭圆的离心率为，所以，得到， 又，，设，则， 又，得到，所以， 易知，，又点到焦点的最大距离为3，所以，得到， 令，由椭圆定义知， 在中，由余弦定理得， 又，得到，当且仅当时取等号， 所以，故， 又易知，当在椭圆左、右顶点时取等号，所以， 故选：B. 【结论3:椭圆中与坐标有关的焦半径公式】 【结论内容及其推导过程***】 一、核心结论（坐标相关焦半径公式） 焦半径定义：椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离称为焦半径。以下分两种椭圆标准形式给出公式，其中，，离心率（）. （一）焦点在x轴上的椭圆（标准方程：） 左焦点对应的焦半径：； 右焦点对应的焦半径：. （二）焦点在y轴上的椭圆（标准方程：） 上焦点对应的焦半径：； 下焦点对应的焦半径：. 二、推导过程（以焦点在x轴上的椭圆为例，三种方法） 方法一：椭圆第二定义法（经典方法，核心依据离心率几何意义） 1.已知条件： 椭圆标准方程：； 焦点坐标：，； 准线方程：左准线，右准线； 第二定义：椭圆上任意一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比为，即（为点到对应准线的距离）. 2.推导： 对应准线：右焦点对应右准线； 距离计算：点到的距离（因，绝对值可直接去掉）； 应用第二定义：； 化简：代入，得，故. 3.推导： 对应准线：左焦点对应左准线； 距离计算：点到的距离（因，绝对值可直接去掉）； 应用第二定义：. 方法二：距离公式法（直接运算，依赖两点间距离公式） 1.已知条件： 两点间距离公式：若、，则； 点在椭圆上，满足. 2.推导： 代入距离公式：； 代入化简： 展开并整理根号内表达式： 利用和，进一步化简： 因，代入得： 开方化简：因距离非负，且（，），故. 3.推导： 代入距离公式：； 同理化简根号内表达式： 开方得：（因，直接开方）. 方法三：椭圆第一定义法（结合坐标关系，依赖定义） 1.已知条件： 椭圆第一定义：（记，，则①）； 点到两焦点的水平距离关系：. 2.联立方程推导： 由距离公式得：，； 两式相减：，因式分解得②； 代入①式到②式：，化简得③； 联立①③求解： 两式相加得（即）； 两式相减得（即）. 三、焦点在y轴上的椭圆推导说明 三种方法的推导思路完全一致，仅需调整坐标与准线方向： 1.准线方程：垂直于y轴，方程为； 2.距离计算：点到准线的距离为竖坐标差（如到上准线的距离为）； 3.化简结果：焦半径公式变为（上焦点）、（下焦点）. （2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，用弦长公式表示出，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示出，代入题干条件即可求解. 【详解】设，则，由， 消去，得， 注意到，则.于是， 同理，. 因此. 的倾斜角为，∴直线的斜率， 根据弦长公式，可得. 由，可得，故. ． 故选：A （22-23高三上·浙江·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为第一象限内上一点．若，则直线的斜率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合已知条件求出，设点，其中，，根据两点间的距离公式求出点的坐标，进而可求得直线的斜率. 【详解】在椭圆中，，，则，所以，点、， 因为，可得， 设点，其中，且， ， 解得，则，可得，即点， 因此，直线的斜率为. 故选：C. （2022高三·全国·专题练习）已知椭圆，若过左焦点的直线交椭圆于，两点，且，两点的横坐标之和是，求．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用椭圆焦半径公式求得焦点弦长. 【详解】由已知得，， ， 所以离心率， . （2022高三·全国·专题练习）已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．求A，B，C三点到F距离之和为 ；小试牛刀3 【答案】9 【分析】由题意可得出|AF|=a-ey1，|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），因为△ABC的重心在原点O，所以，代入即可得出答案. 【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， 对于椭圆，， 则，因为A（x1，y1）在椭圆上， 所以， 所以， ， 则|AF|=a-ey1，同理|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3）， ∵△ABC的重心在原点O，∴，又a=3，∴|AF|+|BF|+|CF|=9． 故答案为：. 【结论4:椭圆中与倾斜角有关的焦半径及焦点弦长公式】 【结论内容及其推导过程***】 一、核心结论（焦点在x轴上的椭圆） 设椭圆标准方程为（），焦点为、，，离心率.过右焦点的直线倾斜角为（），与椭圆交于（近焦点侧）、（远焦点侧）两点，则： 1.焦半径公式： 近焦点侧：； 远焦点侧：； 2.焦点弦长公式： 二、推导过程（余弦定理+椭圆第一定义） 关键前提 1.椭圆第一定义：椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，即，； 2.焦点三角形构建：对椭圆上任意一点（如），构成，其中，直线的倾斜角为，故中（几何关系：倾斜角为直线与x轴正方向夹角，焦点在左侧，故夹角为），其余弦值为. （一）推导近焦点侧焦半径 1.设变量：设（目标焦半径），由椭圆第一定义得； 2.应用余弦定理：在中，对应用余弦定理： 3.代入已知量：将、、、代入： 4.展开并化简： 左边展开：； 消去，移项整理含的项： 两边除以4：； 代入，解得： （二）推导远焦点侧焦半径 1.设变量：设，由椭圆第一定义得； 2.角度分析：点在直线另一侧，故中（直线倾斜角为，在右侧延长线方向，夹角为），余弦值为； 3.应用余弦定理：对应用余弦定理： 4.代入化简：将、、代入： 展开整理：； 消去，移项得：； 两边除以4，代入，解得： （三）推导焦点弦长公式 1.焦点弦长（、在两侧，长度直接相加）； 2.代入焦半径公式，通分化简： 分子：； 分母：； 故： 3.离心率形式：代入、，得： （四）特殊情况验证（，通径） 此时，焦半径公式化简为，弦长，与通径结论一致，验证公式正确性. 三、左焦点及y轴焦点结论（类比推导） （一）过左焦点 角度关系：中，余弦值为； 焦半径公式： 弦长公式不变：. （二）焦点在y轴上的椭圆（） 角度关系：倾斜角对应竖轴投影，替换为； 焦半径公式： 弦长公式： （2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则 ；若，则 ．经典例题例题 【答案】 【分析】求出F坐标，写出直线l的方程，联立直线l方程和椭圆方程，解出A和B的坐标，利用弦长公式或两点间距离公式即可计算，本题也可利用其特殊的几何关系简化计算． 【详解】， ∵， ∴过F且倾斜角为的直线l过椭圆的上顶点，当时，如图： ， 直线l的方程为， 由得，解得， ， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． （25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ．小试牛刀1 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. （2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，且，则= ．小试牛刀2 【答案】或 【分析】本题先是利用直线的斜率求出，再由以及椭圆定义求出的长，最后利用余弦定理即可求得结果． 【详解】直线的斜率为， ， ； 又，设， ，又， ； 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或． 当时，； 当时，． 故答案为：或． （2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为．则 ．小试牛刀3 【答案】或 【分析】根据题意，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后由，代入计算，即可得到结果. 【详解】    因为，，所以，， 设， 所以椭圆方程可化为，即， 所以直线方程为， 联立，消去可得， 则， 所以， 令，则，化简可得， 解得，所以，或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及一元二次方程根与系数的关系，难度较大，解答本题的关键在于将转化为. 【结论5:椭圆中焦比与离心率的关系】 【结论内容及其推导过程***】 一、核心前提 1.椭圆：（），右焦点，离心率； 2.焦半径公式（过，倾斜角）： 长焦半径：； 短焦半径：； 3.焦比定义：（）。 二、简洁推导 1.代入焦比定义，约去： 2.代入，约去： 3.变形求解： 三、核心结论 1.焦比与离心率、倾斜角关系：； 2.离心率表达式：。 （特殊情况：时（通径）；时（水平弦）） （25-26高二上·河南郑州·期中）已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为 .经典例题例题 【答案】 【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】依题设椭圆方程，求出相关点坐标，设，利用求得，即得，代入椭圆方程计算即得离心率. 【详解】不妨设椭圆方程为，如图，，设， 由可得，解得，即， 因点在椭圆上，可得，解得. 故答案为：. （2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为，过点作直线交椭圆于，两点，若直线的倾斜角为45°，且，则椭圆的离心率是 ．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】如图，设，，由，，椭圆的定义及余弦定理可得，据此可得答案. 【详解】如图，为椭圆右焦点，由题可得， 设，则，又，则由余弦定理： . 设，则，又，则由余弦定理： . 从而， 所以. 故答案为：    （25-26高二上·湖北襄阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义及勾股定理即可求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， ，设，则，， 过的直线与椭圆交于，两点， ，，，， ，在直角三角形中，由勾股定理得， 即，化简得， ，，在直角三角形中， 由勾股定理得，即， 化简得，即. 故选：C. 【结论6：与焦点三角形两个底角有关的离心率结论】 【结论内容及其推导过程**】 一、核心前提 1.椭圆标准方程：（）； 2.焦点与焦距：、，，； 3.焦点三角形：设椭圆上点构成，底角为、（顶角，满足）； 4.离心率定义：（）； 5.椭圆第一定义：. 二、推导过程（核心方法：正弦定理） 1.对应用正弦定理： 正弦定理核心关系：（为三角形外接圆半径）. 由此得： ①，②，③. 2.结合椭圆第一定义化简： ①+②得：④. 由③得：⑤. 将⑤代入④：，整理得： ⑥. 3.三角函数化简（半角形式）： 因，故. 利用和角公式与和化积公式： ， . 代入⑥式，约去（不为0），得： 。 三、核心结论 1.角和形式：（直接关联底角与离心率）； 2.半角形式：（化简后更易计算）。 四、特殊情况验证 1.底角相等（，焦点三角形为等腰三角形）： 此时为椭圆短轴端点（顶角最大），代入半角形式： ，即. 结合顶角，得，与之前焦点三角形最大顶角结论一致，验证成立. 2.底角为特殊角（如，）： ，，， 则（符合椭圆离心率范围）. （25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率为 .经典例题例题 【答案】 【分析】根据直线方程求出倾斜角，然后求出焦点三角形的内角，利用余弦定理建立关于的齐次式即可得解. 【详解】将代入得，所以直线过左焦点， 由题知，，所以， 所以，所以，故， 由椭圆定义可得， 由余弦定理可得， 即，即，解得（负值已舍去）. 故答案为： （2026高三·全国·专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，，且，，则椭圆的离心率为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】利用同角关系及两角差的正弦公式求得的值，然后利用正弦定理，再利用椭圆的定义和合比性质求解离心率即可. 【详解】因为，所以. 又，所以或， 当时， ，与矛盾，舍去. 所以，所以 ， 设，由正弦定理得，故， 所以， 又，所以，所以. 故答案为： （25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是 .小试牛刀2 【答案】/ 【分析】根据给定条件，可得，结合椭圆的定义及离心率公式求解即可. 【详解】依题意，直线经过椭圆的左焦点，且， 由，得，则， 因此，所以离心率. 故答案为： （2025高三·全国·专题练习）在椭圆上，为焦点三角形，如图．小试牛刀3    （1）若，则的面积是 ； （2）若，则椭圆离心率 ． 【答案】 / 【分析】由焦点三角形面积公式、离心率公式计算即可求解. 【详解】（1）由焦点三角形面积公式，得，即． （2）由公式，得． 故答案为：，. 【结论7:与椭圆第三定义有关的结论】 【结论内容及其推导过程****】 一、核心前提 1.椭圆标准方程： 焦点在x轴：（）； 焦点在y轴：（）； 2.椭圆中心：坐标原点； 3.斜率定义：两点、，直线斜率（）。 二、椭圆第三定义及核心结论 （一）原始定义（核心定值关系） 定义表述：平面内，若动点与椭圆长轴端点、连线的斜率乘积为定值，则动点的轨迹为椭圆（除去、）。 定量结论： 椭圆类型 长轴端点坐标 斜率乘积定值 焦点在x轴 、 焦点在y轴 、 （二）拓展结论（教学高频考点） 1.过原点的弦斜率关系： 焦点在x轴：椭圆上任意两点、关于原点对称（弦过原点），则； 焦点在y轴：同理，。 2.中点弦斜率关系： 焦点在x轴：设弦中点为，则； 焦点在y轴：同理，。 三、推导过程（以焦点在x轴为例） （一）原始定义推导（斜率乘积定值） 1.设动点，长轴端点、； 2.计算斜率： 3.斜率乘积化简： 4.代入椭圆方程：由，得，代入上式： 即证明斜率乘积为定值。 （二）拓展结论推导（中点弦斜率关系） 1.设弦中点为，、，则： 2.、在椭圆上，满足： 3.①-②作差化简（点差法）： 因式分解： 4.代入中点条件与斜率定义： ，； 代入化简得： 四、焦点在y轴的椭圆推导说明 1.原始定义推导：长轴端点、，斜率乘积，代入椭圆方程，化简得； 2.中点弦推导：同理用点差法，最终得。 五、核心结论总结（表格版） 结论类型 焦点在x轴椭圆 焦点在y轴椭圆 原始定义（长轴端点） 过原点弦 中点弦（中点） （25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设出点的坐标，再代入斜率公式，结合点在椭圆上，即可化简求解. 【详解】设，，， ，即，则， 所以椭圆的离心率. 故选：B （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得：，再结合椭圆方程，整理可得离心率． 【详解】根据题意可得， 设，则， 所以，， 因为直线，的斜率之积为， 所以， 因为点在椭圆上， 所以，即， 所以， 所以， 所以，即 所以离心率， 故答案为：． （24-25高三上·江西南昌·期末）已知椭圆上有一异于顶点的点分别是椭圆的左、右顶点，且两直线的斜率的乘积为，则椭圆的离心率为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】由题意可知，，设，利用线的斜率的乘积为计算即可. 【详解】由题意可知，，设， 则， 于是 所以， 所以. 故答案为：. （2024·福建泉州·模拟预测）设A，B为椭圆C：的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，D在直线上．小试牛刀3 (1)求直线，的斜率的乘积； (2)证明：； (3)过右焦点F作x轴的垂线，E为上异于F的任意一点，直线交C于M，N两点，记直线，，的斜率分别为，，，是否存在，，的某个排列，使得这三个数成等差数列？若存在，加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在；证明见解析 【分析】（1）根据斜率公式结合点在椭圆上即可求解； （2）由椭圆的对称性，不妨设位于第一象限或长轴右端点，设直线，的倾斜角分别为，，则，结合（1）及基本不等式可得，根据正切函数的单调性即可证明； （3）设，①当D在x轴上时，可得；②当D不在x轴上时，设，，直线：，与椭圆方程联立，证明即可． 【详解】（1）不妨设，，设， 则直线，的斜率分别为，， 所以． 又因为，所以， 故， 即直线，的斜率的乘积为． （2）由椭圆的对称性，不妨设P位于第一象限或长轴右端点， 设直线，的倾斜角分别为，， 则． 由（1）知，，故， 从而， 当且仅当时等号成立，此时P为C的右顶点． 因为， 又因为，且， 所以． （3）设， ①当在轴上时，，不妨设，， ，，，从而； ②当不在轴上时，设，，直线：， 由得，所以． 由消去，得， 因为直线过点，则， 从而，（*）， 又 ． 将（*）式代入上式，得． 综上，可得，即，，或，，成等差数列． 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 【结论8：与椭圆焦点三角形内心有关的结论】 【结论及其推导过程】 一、核心前提 1.椭圆基础参数：标准方程（），焦点、，，离心率； 2.焦点三角形定义：椭圆上任意一点与两焦点构成，记、、，由椭圆第一定义得； 3.内心定义：的内心是三条内角平分线的交点，也是内切圆圆心，满足： 到三边距离相等（即内切圆半径）； 坐标公式：任意三角形内心坐标为，其中为三角形三边长度（对应顶点对边），为顶点坐标. 二、核心结论（表格结构化呈现） 结论类型 具体结论 内心坐标公式 （焦点在x轴） 内切圆半径公式 或（） 内心到焦点的距离 ，（，） 特殊位置内心坐标 当为短轴端点时， 内心轨迹性质 内心的轨迹是椭圆，方程为 三、推导过程（分结论详细推导） （一）内心坐标公式推导 1.明确三边与顶点坐标： 三边长度：对边为，对边为，对边为； 顶点坐标：、、. 2.代入内心坐标公式： 3.化简计算： 分母：（由）； 分子：； 结合焦半径公式、，得； 代入： 分子：，故： 最终内心坐标：. （二）内切圆半径公式推导 1.三角形面积关系：任意三角形面积（为内切圆半径，为半周长）； 2.焦点三角形相关量： 面积（已证结论）； 半周长； 3.求解： （三）特殊位置内心坐标推导（为短轴端点） 1.代入、到内心坐标公式： 2.同理，时，内心坐标为. （四）内心轨迹性质推导 1.由内心坐标，反解点坐标： 2.因在椭圆上，满足； 3.代入化简： 整理得： 即内心的轨迹是中心在原点、焦点在x轴的椭圆. （2024·四川·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（    ）经典例题例题 A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到，再求短轴长度即可. 【详解】 如图，连接在和中， 利用角平分线定理可得 由等比定理可得从而. 故椭圆的短轴长为，故B正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理构建图形，然后利用角平分线定理和等比定理得到，再求解短轴长度即可． （21-22高三上·江西新余·期末）已知椭圆为C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且的内心，若的面积为，则椭圆的离心率e为 ．小试牛刀1 【答案】/0.6 【分析】设延长线交轴于点，作轴于，由内角平分线定理得，再由三角形面积求得点纵坐标，把与的纵坐标联系起来可得结论． 【详解】如图，设延长线交轴于点，作轴于，不妨设在第一象限， ，， 是内心，则， 所以，，，． 故答案为：． （2024高三下·全国·专题练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为第一象限内椭圆上一点，的内心为点，则直线与的斜率之积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设P、I的坐标，根据两点求距离公式求出，由椭圆的定义求出，根据内切圆的性质求出点I的坐标，结合两点表示斜率公式化简计算即可求解. 【详解】设，， 则，易知， 故， 则由椭圆的定义可得． 设A，，分别为的内切圆与边，，的切点， 则，根据内切圆的性质知，，， 因此， 得，解得． 在中，，解得， 因此， 故. 故选：D． （23-24高三下·河北·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为第一象限内椭圆上一点，的内心为，且，则椭圆的离心率为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】结合内切圆得性质，并设结合余弦定理求出，再借助离心率公式计算即可. 【详解】如图由的内心为可知该内切圆的半径为， 设该内切圆与的三边的切点为,所以, 又，所以,, 设 在中由余弦定理可得：， 化简得： 由的内心为可知， 在椭圆中易知,即即， 联立，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：.    【结论9：椭圆的切点弦结论】 【结论及其推导过程】 一、核心前提 1.椭圆标准方程： 焦点在x轴：（）； 焦点在y轴：（）； 2.外点定义：椭圆外一点（满足或）； 3.切点弦定义：过点引椭圆的两条切线，切点分别为、，则直线称为椭圆关于外点的切点弦. 二、核心结论（表格结构化呈现） 椭圆类型 外点满足条件 切点弦的方程 焦点在x轴 焦点在y轴 拓展结论（教学高频考点） 1.切点弦斜率公式（焦点在x轴）： 若，则； 2.切点弦与中心连线斜率关系（焦点在x轴）： （为椭圆中心），与椭圆第三定义拓展结论一致； 3.切点弦长度公式（焦点在x轴）： （化简后：）. 三、推导过程（以焦点在x轴为例，核心方法：切线方程性质） （一）核心推导：切点弦方程 1.设切点坐标：设两条切线的切点为、； 2.椭圆上一点的切线方程：椭圆上任意一点（）的切线方程为： 3.外点在切线上：因点在两条切线上，故满足： 对切点：①； 对切点：②； 4.直线方程判定：方程①、②表明，点、都在直线上； 5.唯一直线结论：过两点、的直线有且只有一条，故切点弦的方程为： （二）拓展推导：切点弦斜率公式 1.由切点弦方程，整理为斜截式： 当时，； 2.对比斜截式，直接得斜率： （三）拓展推导：斜率关系 1.计算：（）； 2.乘积计算： 与椭圆第三定义的中点弦斜率关系一致，体现知识联动性。 四、焦点在y轴的椭圆推导说明 1.椭圆上一点的切线方程为； 2.外点在切线上，故、； 3.同理可得切点弦方程为，斜率公式为. （2024·全国·模拟预测）设P为圆O：上任意一点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，点O，P到直线AB的距离分别为，，则的值为 ．经典例题例题 【答案】 【分析】设，，，根据题意写出直线AB的方程，再利用点到直线距离公式分别写出，，进而求出即可. 【详解】设，，， 由题意，得椭圆在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 两条切线均过点，则，， 所以直线AB的方程为，即． 所以，．所以． 因为，所以．所以．因为，所以． 【点睛】关键点点睛：与椭圆切线有关的结论：若点在椭圆上，则是椭圆在点处的切线方程；若点在椭圆外，则是椭圆经过点的两条切线的切点所在直线方程. （2024·山西太原·一模）已知椭圆，为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线，，，的斜率分别为，，，，若，则的最小值是 .小试牛刀1 【答案】5 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到方程，求出，证明椭圆在处的切线方程为，从而得到椭圆在点和的切线方程，得到切点弦方程为，对照系数结合得到的轨迹方程，计算出，，求出，得到点轨迹的渐近线，先得到，设，则，联立双曲线方程，由根的判别式得到不等式，即得结果. 【详解】因为，故不关于轴对称且的横纵坐标不为0， 所以直线方程斜率一定存在， 设直线的方程为， 联立方程，消去y可得， 则，设，， 则，， 可得 ， 且，，由，可得， 即，解得， 下面证明椭圆在处的切线方程为， 理由如下： 当时，故切线的斜率存在，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得：， 所以， 把代入，得：， 于是， 则椭圆的切线斜率为，切线方程为， 整理得到， 其中，故，即， 当时，此时或， 当时，切线方程为，满足， 当时，切线方程为，满足， 综上：椭圆在处的切线方程为； 可知：椭圆在点的切线方程为， 椭圆在点的切线方程为， 由于点为与的交点， 故，， 所以直线为， 因为直线的方程为，对照系数可得，， 又，故，整理得， 又在第一象限， 故点的轨迹为双曲线位于第一象限的部分， ，同理可得， 则， 又由于，，，故， 设，则， 则两式联立得， 由得，， 检验，当时，，又， 解得，满足要求. 故的最小值为4 故的最小值是5 故答案为：5. 【点睛】结论点睛：过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：； 过椭圆上一点的切线方程为； 过椭圆外一点的切点弦方程为； 过双曲线上一点的切线方程为； 过双曲线外一点的切点弦方程为. （22-23高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线、，、为切点，则直线过定点 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】求得过椭圆上一点处的切线方程，再根据题意，求得的方程，即可由相交直线系方程，求得直线恒过的定点. 【详解】若过椭圆上任意一点作切线，则其斜率存在， 不妨设其为， 联立椭圆方程可得：， 则， 即， 又该方程 因为，则，故可得， 故此时过椭圆上一点的切线方程为， 即，，即； 当时，显然过点的切线方程也满足， 综上所述，过椭圆上任意一点的切线方程为：； 设，则，，， 则切线的方程为，切线的方程为， 又点在上，故， 可得A、B都在直线上， 即，， 令，解得，故直线AB过定点． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中直线恒过定点的问题，处理问题的关键是熟练掌握过椭圆上一点的切线方程的推导以及其形式，属综合困难题. （2022高三·全国·专题练习）已知为椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，则的值为 .小试牛刀3 【答案】0 【分析】设，，可得切线，的方程，再将点代入两切线方程中可得直线的方程为，而，所以可得直线过，从而可得结果 【详解】解：由可得，所以，所以右焦点为， 设，，则切线，的方程分别为，， 因为切线，过点， 所以，，所以直线的方程为， 因为，所以，所以点在直线上， 所以三点共线，所以， 故答案为：0 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二上学期数学常考题型归纳 【微专题01：椭圆中的二级结论】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【结论1：椭圆焦点三角形面积公式】 【结论及其推导过程***】 一、椭圆焦点三角形面积公式结论 设椭圆标准方程为（），其中： 两个焦点为、（焦距，且满足）； 椭圆上任意一点为，则称为焦点三角形，记. 焦点三角形面积有两个核心公式： 1.角度式：； 2.坐标式：. 二、公式推导过程 （一）坐标式推导（基础方法，依赖点坐标） 1.三角形底边长确定： 焦点、在x轴上，两点间距离为底边长：. 2.三角形高的计算： 三角形的高为点到x轴的垂直距离，即高（绝对值保证高为正）. 3.面积公式代入： 根据三角形面积基本公式，代入得： . （二）角度式推导（核心方法，依赖椭圆定义与三角函数） 1.利用椭圆定义： 椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，即，设，，则①. 2.应用余弦定理： 在中，对应用余弦定理： . 已知，代入得：②. 3.化简： 由①式平方得：，即，变形为③. 4.联立方程求： 将③代入②得：，整理得： ， 移项求解：. 由椭圆性质，代入得：④. 5.代入三角形面积公式： 三角形面积公式，将④代入得： . 6.三角函数化简： 利用半角公式，，代入得： . 三、公式适用场景说明 1.坐标式：适用于已知椭圆上点的纵坐标时，直接代入计算，快捷高效； 2.角度式：适用于已知焦点三角形顶角（）时，无需点坐标即可求解，常用于角度相关的几何问题。 两公式本质等价，可通过相互推导，教学中可引导学生根据题目条件灵活选择. （25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高二上·湖南长沙·期中）已知是椭圆上一点，，是其左、右焦点，若，则的面积为（   ）小试牛刀1 A． B． C．4 D．5 【多选题】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．的周长为8 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在两个点，使得 D．的最小值为1 【多选题】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ）小试牛刀3 A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【结论2:焦点三角形顶角与离心率的关系】 【结论内容及其推导过程***】 一、核心结论 设椭圆标准方程为（），焦点为、（），椭圆上任意一点构成焦点三角形，记顶角，离心率为（），则： 1.一般结论：（其中，，）； 2.关键结论（最大顶角）：的最大值为，当且仅当点为椭圆短轴端点时，取得最大值，此时. 二、推导过程 （一）一般情况下与的关系推导 1.明确已知条件： 椭圆定义：，设，，则①； 焦距：； 离心率定义：，即②； 椭圆核心关系：③. 2.应用余弦定理： 在中，对顶角应用余弦定理： 代入，得： 3.化简： 由①式平方得：，展开得，变形为： 4.联立方程推导： 将⑤代入④，得： 移项整理，解出： 代入②③（），得： 此为一般情况下顶角与离心率、线段的关系. （二）最大顶角的推导（关键结论） 1.分析的取值范围： 由均值不等式，对、，有，当且仅当时取等号. 结合，得： 即的最大值为，当且仅当时取得最大值. 2.分析的最大值： 余弦函数在区间上单调递减，因此： 当最小时，最大； 由⑥式，当最大（）时，最小，故最小. 3.代入求最大顶角的余弦值： 将和代入⑥式，得： 4.确定时点的位置： 当时，，即点到两焦点距离相等，结合椭圆对称性，点必在椭圆的短轴端点（或）。 综上，焦点三角形的最大顶角为，且仅当为短轴端点时取得最大值，核心关系为. 三、结论应用说明 1.求离心率范围：若已知焦点三角形顶角的最大值为，则（由变形推导）； 2.判断顶角大小：对于椭圆上任意一点，其构成的焦点三角形顶角，可快速比较不同点对应的顶角大小； （25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高二上·河南南阳·月考）已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2022·江西萍乡·三模）设，为椭圆：的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高二上·山东枣庄·月考）已知椭圆：（）的离心率为，左右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为3，则的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【结论3:椭圆中与坐标有关的焦半径公式】 【结论内容及其推导过程***】 一、核心结论（坐标相关焦半径公式） 焦半径定义：椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离称为焦半径。以下分两种椭圆标准形式给出公式，其中，，离心率（）. （一）焦点在x轴上的椭圆（标准方程：） 左焦点对应的焦半径：； 右焦点对应的焦半径：. （二）焦点在y轴上的椭圆（标准方程：） 上焦点对应的焦半径：； 下焦点对应的焦半径：. 二、推导过程（以焦点在x轴上的椭圆为例，三种方法） 方法一：椭圆第二定义法（经典方法，核心依据离心率几何意义） 1.已知条件： 椭圆标准方程：； 焦点坐标：，； 准线方程：左准线，右准线； 第二定义：椭圆上任意一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比为，即（为点到对应准线的距离）. 2.推导： 对应准线：右焦点对应右准线； 距离计算：点到的距离（因，绝对值可直接去掉）； 应用第二定义：； 化简：代入，得，故. 3.推导： 对应准线：左焦点对应左准线； 距离计算：点到的距离（因，绝对值可直接去掉）； 应用第二定义：. 方法二：距离公式法（直接运算，依赖两点间距离公式） 1.已知条件： 两点间距离公式：若、，则； 点在椭圆上，满足. 2.推导： 代入距离公式：； 代入化简： 展开并整理根号内表达式： 利用和，进一步化简： 因，代入得： 开方化简：因距离非负，且（，），故. 3.推导： 代入距离公式：； 同理化简根号内表达式： 开方得：（因，直接开方）. 方法三：椭圆第一定义法（结合坐标关系，依赖定义） 1.已知条件： 椭圆第一定义：（记，，则①）； 点到两焦点的水平距离关系：. 2.联立方程推导： 由距离公式得：，； 两式相减：，因式分解得②； 代入①式到②式：，化简得③； 联立①③求解： 两式相加得（即）； 两式相减得（即）. 三、焦点在y轴上的椭圆推导说明 三种方法的推导思路完全一致，仅需调整坐标与准线方向： 1.准线方程：垂直于y轴，方程为； 2.距离计算：点到准线的距离为竖坐标差（如到上准线的距离为）； 3.化简结果：焦半径公式变为（上焦点）、（下焦点）. （2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （22-23高三上·浙江·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为第一象限内上一点．若，则直线的斜率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2022高三·全国·专题练习）已知椭圆，若过左焦点的直线交椭圆于，两点，且，两点的横坐标之和是，求．小试牛刀2 （2022高三·全国·专题练习）已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．求A，B，C三点到F距离之和为 ；小试牛刀3 【结论4:椭圆中与倾斜角有关的焦半径及焦点弦长公式】 【结论内容及其推导过程***】 一、核心结论（焦点在x轴上的椭圆） 设椭圆标准方程为（），焦点为、，，离心率.过右焦点的直线倾斜角为（），与椭圆交于（近焦点侧）、（远焦点侧）两点，则： 1.焦半径公式： 近焦点侧：； 远焦点侧：； 2.焦点弦长公式： 二、推导过程（余弦定理+椭圆第一定义） 关键前提 1.椭圆第一定义：椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，即，； 2.焦点三角形构建：对椭圆上任意一点（如），构成，其中，直线的倾斜角为，故中（几何关系：倾斜角为直线与x轴正方向夹角，焦点在左侧，故夹角为），其余弦值为. （一）推导近焦点侧焦半径 1.设变量：设（目标焦半径），由椭圆第一定义得； 2.应用余弦定理：在中，对应用余弦定理： 3.代入已知量：将、、、代入： 4.展开并化简： 左边展开：； 消去，移项整理含的项： 两边除以4：； 代入，解得： （二）推导远焦点侧焦半径 1.设变量：设，由椭圆第一定义得； 2.角度分析：点在直线另一侧，故中（直线倾斜角为，在右侧延长线方向，夹角为），余弦值为； 3.应用余弦定理：对应用余弦定理： 4.代入化简：将、、代入： 展开整理：； 消去，移项得：； 两边除以4，代入，解得： （三）推导焦点弦长公式 1.焦点弦长（、在两侧，长度直接相加）； 2.代入焦半径公式，通分化简： 分子：； 分母：； 故： 3.离心率形式：代入、，得： （四）特殊情况验证（，通径） 此时，焦半径公式化简为，弦长，与通径结论一致，验证公式正确性. 三、左焦点及y轴焦点结论（类比推导） （一）过左焦点 角度关系：中，余弦值为； 焦半径公式： 弦长公式不变：. （二）焦点在y轴上的椭圆（） 角度关系：倾斜角对应竖轴投影，替换为； 焦半径公式： 弦长公式： （2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则 ；若，则 ．经典例题例题 （25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ．小试牛刀1 （2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，且，则= ．小试牛刀2 （2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为．则 ．小试牛刀3 【结论5:椭圆中焦比与离心率的关系】 【结论内容及其推导过程***】 一、核心前提 1.椭圆：（），右焦点，离心率； 2.焦半径公式（过，倾斜角）： 长焦半径：； 短焦半径：； 3.焦比定义：（）。 二、简洁推导 1.代入焦比定义，约去： 2.代入，约去： 3.变形求解： 三、核心结论 1.焦比与离心率、倾斜角关系：； 2.离心率表达式：。 （特殊情况：时（通径）；时（水平弦）） （25-26高二上·河南郑州·期中）已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为 .经典例题例题 （2025高三·全国·专题练习）如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ．小试牛刀1 （2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为，过点作直线交椭圆于，两点，若直线的倾斜角为45°，且，则椭圆的离心率是 ．小试牛刀2 （25-26高二上·湖北襄阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【结论6：与焦点三角形两个底角有关的离心率结论】 【结论内容及其推导过程**】 一、核心前提 1.椭圆标准方程：（）； 2.焦点与焦距：、，，； 3.焦点三角形：设椭圆上点构成，底角为、（顶角，满足）； 4.离心率定义：（）； 5.椭圆第一定义：. 二、推导过程（核心方法：正弦定理） 1.对应用正弦定理： 正弦定理核心关系：（为三角形外接圆半径）. 由此得： ①，②，③. 2.结合椭圆第一定义化简： ①+②得：④. 由③得：⑤. 将⑤代入④：，整理得： ⑥. 3.三角函数化简（半角形式）： 因，故. 利用和角公式与和化积公式： ， . 代入⑥式，约去（不为0），得： 。 三、核心结论 1.角和形式：（直接关联底角与离心率）； 2.半角形式：（化简后更易计算）。 四、特殊情况验证 1.底角相等（，焦点三角形为等腰三角形）： 此时为椭圆短轴端点（顶角最大），代入半角形式： ，即. 结合顶角，得，与之前焦点三角形最大顶角结论一致，验证成立. 2.底角为特殊角（如，）： ，，， 则（符合椭圆离心率范围）. （25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率为 .经典例题例题 （2026高三·全国·专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，，且，，则椭圆的离心率为 .小试牛刀1 （25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是 .小试牛刀2 （2025高三·全国·专题练习）在椭圆上，为焦点三角形，如图．小试牛刀3    （1）若，则的面积是 ； （2）若，则椭圆离心率 ． 【结论7:与椭圆第三定义有关的结论】 【结论内容及其推导过程****】 一、核心前提 1.椭圆标准方程： 焦点在x轴：（）； 焦点在y轴：（）； 2.椭圆中心：坐标原点； 3.斜率定义：两点、，直线斜率（）。 二、椭圆第三定义及核心结论 （一）原始定义（核心定值关系） 定义表述：平面内，若动点与椭圆长轴端点、连线的斜率乘积为定值，则动点的轨迹为椭圆（除去、）。 定量结论： 椭圆类型 长轴端点坐标 斜率乘积定值 焦点在x轴 、 焦点在y轴 、 （二）拓展结论（教学高频考点） 1.过原点的弦斜率关系： 焦点在x轴：椭圆上任意两点、关于原点对称（弦过原点），则； 焦点在y轴：同理，。 2.中点弦斜率关系： 焦点在x轴：设弦中点为，则； 焦点在y轴：同理，。 三、推导过程（以焦点在x轴为例） （一）原始定义推导（斜率乘积定值） 1.设动点，长轴端点、； 2.计算斜率： 3.斜率乘积化简： 4.代入椭圆方程：由，得，代入上式： 即证明斜率乘积为定值。 （二）拓展结论推导（中点弦斜率关系） 1.设弦中点为，、，则： 2.、在椭圆上，满足： 3.①-②作差化简（点差法）： 因式分解： 4.代入中点条件与斜率定义： ，； 代入化简得： 四、焦点在y轴的椭圆推导说明 1.原始定义推导：长轴端点、，斜率乘积，代入椭圆方程，化简得； 2.中点弦推导：同理用点差法，最终得。 五、核心结论总结（表格版） 结论类型 焦点在x轴椭圆 焦点在y轴椭圆 原始定义（长轴端点） 过原点弦 中点弦（中点） （25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .小试牛刀1 （24-25高三上·江西南昌·期末）已知椭圆上有一异于顶点的点分别是椭圆的左、右顶点，且两直线的斜率的乘积为，则椭圆的离心率为 ．小试牛刀2 （2024·福建泉州·模拟预测）设A，B为椭圆C：的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，D在直线上．小试牛刀3 (1)求直线，的斜率的乘积； (2)证明：； (3)过右焦点F作x轴的垂线，E为上异于F的任意一点，直线交C于M，N两点，记直线，，的斜率分别为，，，是否存在，，的某个排列，使得这三个数成等差数列？若存在，加以证明；若不存在，请说明理由． 【结论8：与椭圆焦点三角形内心有关的结论】 【结论及其推导过程】 一、核心前提 1.椭圆基础参数：标准方程（），焦点、，，离心率； 2.焦点三角形定义：椭圆上任意一点与两焦点构成，记、、，由椭圆第一定义得； 3.内心定义：的内心是三条内角平分线的交点，也是内切圆圆心，满足： 到三边距离相等（即内切圆半径）； 坐标公式：任意三角形内心坐标为，其中为三角形三边长度（对应顶点对边），为顶点坐标. 二、核心结论（表格结构化呈现） 结论类型 具体结论 内心坐标公式 （焦点在x轴） 内切圆半径公式 或（） 内心到焦点的距离 ，（，） 特殊位置内心坐标 当为短轴端点时， 内心轨迹性质 内心的轨迹是椭圆，方程为 三、推导过程（分结论详细推导） （一）内心坐标公式推导 1.明确三边与顶点坐标： 三边长度：对边为，对边为，对边为； 顶点坐标：、、. 2.代入内心坐标公式： 3.化简计算： 分母：（由）； 分子：； 结合焦半径公式、，得； 代入： 分子：，故： 最终内心坐标：. （二）内切圆半径公式推导 1.三角形面积关系：任意三角形面积（为内切圆半径，为半周长）； 2.焦点三角形相关量： 面积（已证结论）； 半周长； 3.求解： （三）特殊位置内心坐标推导（为短轴端点） 1.代入、到内心坐标公式： 2.同理，时，内心坐标为. （四）内心轨迹性质推导 1.由内心坐标，反解点坐标： 2.因在椭圆上，满足； 3.代入化简： 整理得： 即内心的轨迹是中心在原点、焦点在x轴的椭圆. （2024·四川·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（    ）经典例题例题 A．2 B． C． D． （21-22高三上·江西新余·期末）已知椭圆为C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且的内心，若的面积为，则椭圆的离心率e为 ．小试牛刀1 （2024高三下·全国·专题练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为第一象限内椭圆上一点，的内心为点，则直线与的斜率之积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高三下·河北·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为第一象限内椭圆上一点，的内心为，且，则椭圆的离心率为 ．小试牛刀3 【结论9：椭圆的切点弦结论】 【结论及其推导过程】 一、核心前提 1.椭圆标准方程： 焦点在x轴：（）； 焦点在y轴：（）； 2.外点定义：椭圆外一点（满足或）； 3.切点弦定义：过点引椭圆的两条切线，切点分别为、，则直线称为椭圆关于外点的切点弦. 二、核心结论（表格结构化呈现） 椭圆类型 外点满足条件 切点弦的方程 焦点在x轴 焦点在y轴 拓展结论（教学高频考点） 1.切点弦斜率公式（焦点在x轴）： 若，则； 2.切点弦与中心连线斜率关系（焦点在x轴）： （为椭圆中心），与椭圆第三定义拓展结论一致； 3.切点弦长度公式（焦点在x轴）： （化简后：）. 三、推导过程（以焦点在x轴为例，核心方法：切线方程性质） （一）核心推导：切点弦方程 1.设切点坐标：设两条切线的切点为、； 2.椭圆上一点的切线方程：椭圆上任意一点（）的切线方程为： 3.外点在切线上：因点在两条切线上，故满足： 对切点：①； 对切点：②； 4.直线方程判定：方程①、②表明，点、都在直线上； 5.唯一直线结论：过两点、的直线有且只有一条，故切点弦的方程为： （二）拓展推导：切点弦斜率公式 1.由切点弦方程，整理为斜截式： 当时，； 2.对比斜截式，直接得斜率： （三）拓展推导：斜率关系 1.计算：（）； 2.乘积计算： 与椭圆第三定义的中点弦斜率关系一致，体现知识联动性。 四、焦点在y轴的椭圆推导说明 1.椭圆上一点的切线方程为； 2.外点在切线上，故、； 3.同理可得切点弦方程为，斜率公式为. （2024·全国·模拟预测）设P为圆O：上任意一点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，点O，P到直线AB的距离分别为，，则的值为 ．经典例题例题 （2024·山西太原·一模）已知椭圆，为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线，，，的斜率分别为，，，，若，则的最小值是 .小试牛刀1 （22-23高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线、，、为切点，则直线过定点 ．小试牛刀2 （2022高三·全国·专题练习）已知为椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，则的值为 .小试牛刀3 1 学科网（北京）股份有限公司 $