第1章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦空间中点、直线和平面的向量表示这一核心知识点，从空间中点的位置向量入手，通过共线向量建立直线的方向向量及向量表示式，进而借助平面向量基本定理和法向量定义构建平面的向量表示，形成从点到线再到面的完整知识支架。 资料以问题驱动引导学生抽象数学概念，如通过正方体模型实例探究方向向量和法向量，培养数学眼光和思维。例题与课时对点练结合，助力教师落实概念教学，学生可通过练习巩固运算与推理能力，实现课中高效授课与课后查漏补缺。

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 学习目标　1.会用向量语言描述直线和平面.2.理解直线的方向向量和平面的法向量.3.会求直线的方向向量和平面的法向量.(重点) 导语 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面. 一、空间中点的向量和直线的向量表示 问题1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. 问题2　空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l？ 提示　如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta， ① 将=a代入①式，得=+t. ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 知识梳理 1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta，即=+t. 2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 例1　(1)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　　，直线BC1的一个方向向量为　　　　. 答案　(0，0，1)　(0，1，1)(答案不唯一) 解析　因为DD1∥AA1=(0，0，1)， 故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； 因为BC1∥AD1=(0，1，1)， 故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1). (2)已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和B(-1，2，z)两点，则y-z等于(　　) A.0 B.1 C. D.3 答案　A 解析　∵A(0，y，3)，B(-1，2，z)， ∴=(-1，2-y，z-3)， ∵直线l的一个方向向量为m=(2，-1，3)， 故设=km. ∴解得 ∴y-z=0. 反思感悟　理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点确定的向量都可以作为直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 跟踪训练1　(1)(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是(　　) A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(-3，0，1) 答案　AB 解析　∵=(1，1，3)，M，N在直线l上，∴向量(1，1，3)，(2，2，6)都可作为直线l的方向向量. (2)已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 答案　A 解析　由题意知a∥b，则设b=λa，λ∈R，即(-4，2x2，6x)=λ(2，-1，3)=(2λ，-λ，3λ)， 所以解得x=-1. 二、空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，两条直线确定的平面为α，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得=xa+yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}. 注意点： (1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量. 例2　(课本例1)　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量. 解　(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1， 所以n1=(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量. (2)因为AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2). 因此=(-3，2，0)=(0，-2，2). 设n2=(x，y，z)是平面MCA1的法向量， 则n2⊥n2⊥. 所以 所以 取z=3，则x=2，y=3. 于是n2=(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量. 例2　(课本例3)　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？ 解　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)， 所以=(-3，4，0)=(-3，0，2). 设n=(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·=0，n·=0， 即所以 取z=6，则x=4，y=3. 所以，n=(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量. 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得=(0，4，0)=(-3，0，-2). 设点P满足=λ(0≤λ≤1)，则=(-3λ，0，-2λ)， 所以=+=(-3λ，4，-2λ). 令n·=0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=此时A1P⊄平面ACD1，这样的点P存在. 所以，当=即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1. 例2　已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量. 解　答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该平面的法向量). ∵D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)， ∴=(1，2，0)=(-1，0，2)， 设平面SCD的法向量为n=(x，y，z)， 则 令x=1，则y=-z= ∴n= 即平面SCD的一个法向量为n= ∵x轴⊥平面SAB， ∴m=(1，0，0)即为平面SAB的一个法向量. 反思感悟　求平面法向量的步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如. (2)设平面的法向量为n=(x，y，z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 跟踪训练2　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1， A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量. 解　设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2). (1)设平面BDD1B1的法向量为n=(x1，y1，z1)， ∵=(2，2，0)=(0，0，2)， ∴ 令x1=1，则y1=-1，z1=0， ∴平面BDD1B1的一个法向量为n=(1，-1，0).(答案不唯一) (2)设平面BDEF的法向量为m=(x2，y2，z2). ∵=(2，2，0)=(1，0，2)， ∴ 令x2=2，则y2=-2，z2=-1， ∴平面BDEF的一个法向量为m=(2，-2，-1).(答案不唯一) 1.知识清单： (1)空间中点、直线、平面的向量表示. (2)直线的方向向量. (3)平面的法向量. 2.方法归纳：待定系数法、赋值法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性. 1.(多选)下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是(　　) A.=+k B.=+k C.=+k D.=+k 答案　AB 解析　由点P在直线上的充要条件可得，A，B符合题意. 2.在空间直角坐标系中，直线l过点A(1，0，-1)且以μ=(3，2，4)为方向向量，M(x，y，z)为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是(　　) A.== B.== C.== D.== 答案　C 解析　由题意得=(x-1，y，z+1)∥μ， 则==. 3.若n=(2，-3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是(　　) A.(0，-3，1) B.(2，0，1) C.(-2，-3，1) D.(-2，3，-1) 答案　D 解析　由题意可得要求平面α的一个法向量， 即求与n共线的一个向量. 易知(2，-3，1)=-(-2，3，-1). 4.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e=(1，2，-3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　　　　　　　　　　. 答案　x+2y-3z=0 解析　由题意得e⊥ 则·e=(x，y，z)·(1，2，-3)=0， 故x+2y-3z=0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为(　　) A.(1，1，0) B.(1，0，1) C.(0，0，1) D.(1，1，1) 答案　D 解析　由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以=(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1). 2.已知直线l的一个方向向量m=(3，-2，1)，且直线l经过A(a，2，-1)和B(-2，3，b)两点，则a+b等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　A 解析　因为=(-2-a，1，b+1)，直线l的一个方向向量为m=(3，-2，1)，所以与m共线，所以==解得a=-b=-所以a+b=-2. 3.已知平面α内有两点M(-2，3，1)，N(2，4，1)，若平面α的一个法向量为n=(6，a，6)，则a等于(　　) A.- B. C.-24 D.24 答案　C 解析　由题可得=(4，1，0)，因为平面α的一个法向量为n=(6，a，6)，所以n⊥ 所以n·=(6，a，6)·(4，1，0)=6×4+a×1+6×0=0，解得a=-24. 4.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论中正确的是(　　) A.直线BD1的一个方向向量为(-2，2，2) B.直线BD1的一个方向向量为(2，2，2) C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D.平面B1CD的一个法向量为(1，-1，-1) 答案　AC 解析　由题意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1). 对于A，B项，可知=(-1，1，1)， 所以向量(-2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确； 对于C项，设平面B1CD1的法向量为n=(x，y，z)，则 又=(0，-1，1)=(-1，0，1)， 所以 令x=1，可得n=(1，1，1)，故C正确； 对于D项，设平面B1CD的法向量为m=(a，b，c)，则 又=(0，-1，1)=(-1，0，0)， 所以 令b=1，得m=(0，1，1)，故D不正确. 5.已知平面α内有一个点A(2，-1，2)，它的一个法向量为n=(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A.(1，-1，1) B. C. D. 答案　B 解析　对于选项A=(1，0，1)， 则·n=(1，0，1)·(3，1，2)=5≠0，故排除A； 对于选项B= 则·n=·(3，1，2)=0，故B正确； 同理可排除C，D. 6.(多选)已知空间中A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(-1，2，1)三点，则下列说法正确的是(　　) A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是 C.在方向上的投影向量是(-2，-1，0) D.平面ABC的一个法向量是(1，-2，5) 答案　BCD 解析　=(2，1，0)=(-1，2，1)， =(-3，1，1)， 若与共线， 设=λ则 方程无解，故与不共线，A错误； 与同向的单位向量是==B正确； 在方向上的投影向量是·=·=(-2，-1，0)，C正确； 设平面ABC的法向量是n=(x，y，z)， 则 令y=-2，则n=(1，-2，5)，D正确. 7.(5分)在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1=(2，1，1)与n2=(0，2，1)为其法向量，若α∩β=l，则直线l的一个方向向量为　　　　.(写出一个方向向量的坐标)  答案　(答案不唯一) 解析　设直线l的方向向量为d=(x，y，z)， 则所以 令y=1，则z=-2，x=所以直线l的一个方向向量为d=. 8.(5分)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a=　　　　. 答案　-1 解析　设平面ABC的法向量是n=(x，y，z)， 又=(-1，1，0)=(-1，0，1)， 所以取x=1，得n=(1，1，1)， 因为P(a，1，1)在平面ABC内=(a-1，1，1)， 则n·=a-1+1+1=0，解得a=-1. 9.(10分)已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，-2). (1)写出直线BC的一个方向向量；(4分) (2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式.(6分) 解　(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)， 即(-2，2，-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一) (2)由题意得=(x-2，y-2，z-2)， ∵是平面α的法向量， 则·=0， 即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0. ∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0. 化简得x-y+z-2=0. 10.(10分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=6，AA1=3，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD；(5分) (2)平面ACC1A1.(5分) 解　(1)以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线 分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(6，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，3)，A1(6，0，3)， 所以=(0，0，3)， 因为DD1⊥平面ABCD， 所以为平面ABCD的一个法向量， 所以平面ABCD的一个法向量为 =(0，0，3).(答案不唯一) (2)设平面ACC1A1的法向量为m=(x，y，z)， 因为=(-6，2，0)=(0，0，3)， 所以 令x=1，则m=(1，3，0)， 所以平面ACC1A1的一个法向量为 m=(1，3，0).(答案不唯一) 11.在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC=CB=1，PC=2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是(　　) A. B.(11) C.(1，1，1) D.(2，-2，1) 答案　A 解析　因为P(0，0，2)，A(1，0，0)，B(0，1，0)， 所以=(1，0，-2)=(-1，1，0)， 设平面PAB的法向量为n=(x，y，1)， 由即 解得所以n=(2，2，1). 又=n， 因此，平面PAB的一个法向量为. 12.(多选)已知直线l1的方向向量a=(2，4，x)，直线l2的方向向量b=(2，y，2)，若|a|=6，且a⊥b，则x+y的值是(　　) A.1 B.-1 C.3 D.-3 答案　AD 解析　因为|a|==6，所以x=±4. 因为a⊥b，所以a·b=2×2+4y+2x=0， 即y=-1-x，所以当x=4时，y=-3； 当x=-4时，y=1.所以x+y=1或x+y=-3. 13.从点A(2，-1，7)沿向量a=(8，9，-12)的方向取线段长||=34，则B点的坐标为(　　) A.(18，17，-17) B.(-14，-19，17) C. D. 答案　A 解析　设B点坐标为(x，y，z)， 则=λa(λ>0)， 即(x-2，y+1，z-7)=λ(8，9，-12)， 因为||=34， 即=34，解得λ=2， 所以x=18，y=17，z=-17. 14.(5分)若ABC是平面α内三点，设平面α的法向量为a=(x，y，z)，则x∶y∶z=　　　　. 答案　2∶3∶(-4) 解析　由已知得= = ∵a是平面α的法向量， ∴a·=0，a·=0， 即解得 ∴x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4). 15.(5分)已知在空间直角坐标系中，A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)，点M(x，y，2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则+的最小值为　　　　. 答案　 解析　依题意=(-2，3，0)=(0，-3，6)=(x-2，y，2)， 设平面ABC的法向量为m=(a，b，c)， 则 令c=1，得m=(3，2，1)， 依题意，m·=0，则3x+2y=4， 则+=(3x+2y) =≥ = 当且仅当x=4-y=2-4时取等号. 16.(12分)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果=(2，-1，-4)=(4，2，0)=(-1，2，-1). (1)求证：是平面ABCD的法向量；(6分) (2)求平行四边形ABCD的面积.(6分) (1)证明　因为·=(-1，2，-1)·(2，-1，-4)=0·=(-1，2，-1)·(4，2，0)=0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD=A， 所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量. (2)解　因为||== ||==2 ·=(2，-1，-4)·(4，2，0)=6， 所以cos〈== 故sin〈= S▱ABCD=||·||sin〈=8. 学科网（北京）股份有限公司 $