第2章 再练1课(范围：§2.1～§2.3)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线方程核心内容，涵盖斜率、倾斜角、平行垂直关系、对称问题及定点与面积最值。通过练习题导入，先回顾§2.1~§2.3基础知识点，再过渡到综合应用，搭建从概念到解题的学习支架。 其亮点在于分层设计题目，结合数学眼光（如12题几何直观转化距离问题）、数学思维（15题均值不等式推理求最值）和数学语言（规范推导对称点方程组）。采用讲练结合，学生能巩固基础提升能力，教师可利用分层练习高效教学。

再练一课(范围：§2.1~§2.3) 第二章　直线和圆的方程 <<< 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B D A ACD AD 题号 9 10 11 12 答案 BD 3 [-1，0)∪(0，1]　∪ 2 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)当直线MN的倾斜角为锐角时， k=>0，解得-<m<4； 当直线MN的倾斜角为钝角时， k=<0，解得m<-m>4， 所以当直线MN的倾斜角为锐角时，-<m<4，为钝角时， m<-m>4. 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)因为直线MN的一个方向向量为a=(0，-2 025)， 所以直线的斜率不存在， 所以m+3=2m-1， 且3m+5≠1， 解得m=4. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)因为直线l'与直线l平行，直线l的方程为x+y+1=0， 故可设直线l'的方程为x+y+C=0(C≠1)， 因为点A(2，3)在直线l'上， 所以2+3+C=0，即C=-5， 所以直线l'的方程为x+y-5=0. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设点A关于直线x+y+1=0的对称点为A'(m，n)， 所以点A'的坐标为(-4，-3)， 所以反射光线所在直线方程为y+3=x+4)，即4x-5y+1=0. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)直线l的方程(m+1)x+y-2m-3=0变形为m(x-2)+x+y-3=0， 故直线l恒过定点(2，1). (2)由(m+1)x+y-2m-3=0， 依题意m+1≠0，即m≠-1， 令x=0，得到y=2m+3，令y=0，得到x= 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 m>-1， 所以S△ABO=2m+3)·= 令m+1=t>0，得到S△ABO===2t++2≥2+2=4， 当且仅当2t=即t=m=- 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直线l+=1， 又A(4，0)，B(0，2)， |AB|==2 所以当△ABO的面积最小时，△ABO的周长为6+2 此时直线l+=1. 一、单项选择题 1.已知A(-3，-1)，B(0，2)，C(m，4)三点在同一直线上，则实数m的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ ∵A(-3，-1)，B(0，2)，C(m，4)三点在同一直线上， ∴直线AB的斜率和直线AC的斜率相等， 即=，∴m=2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.已知直线l1：x-y+2=0，直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为直线l1：x-y+2=0的斜率k1=， 且l2⊥l1，可知直线l2的斜率k2=-， 所以l2的倾斜角为. 解析 3.若过点P(1，-1)且斜率为k的直线l与直线y=-2x+3的交点位于第一象限，则k的取值范围是 A.(-4，2) B.(-∞，-4]∪[2，+∞) C.(-∞，-4)∪(2，+∞) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题知直线l的方程为y+1=k(x-1)，显然k≠-2. 将其与y=-2x+3联立得 故交点坐标为. 因为交点在第一象限，则 解得k<-4或k>2. 故k的取值范围是(-∞，-4)∪(2，+∞). 解析 4.下列说法错误的是 A.若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1，0) B.若直线的一个方向向量为(a，a+1)，则该直线的斜率k= C.若两条直线互相垂直，其中一条直线的一个方向向量为v=(x0，y0)，则 另一条直线的一个方向向量为a=(y0，-x0) D.任何直线一定存在方向向量 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直线垂直于y轴，则(1，0)是该直线的一个方向向量，故A正确； 若a=0，直线的一个方向向量为(0，1)，则该直线的斜率不存在，故B错误； 若两条直线互相垂直，则他们的方向向量互相垂直，若v=(x0，y0)是其中一条直线的一个方向向量，因为x0y0+y0(-x0)=0，所以a=(y0，-x0)能作为另一条直线的一个方向向量，故C正确； 任何直线一定存在方向向量，从直线上任取两个不相同的点所得到的向量，都是直线的方向向量，故D正确. 解析 5.点(1，1)关于直线l：x+y+2=0对称的点的坐标为 A.(-1，-1) B.(-2，-2) C.(0，0) D.(-3，-3) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设点M(1，1)关于直线l：x+y+2=0对称的点N的坐标为(x，y)， 则MN中点的坐标为， 利用对称的性质得kMN==1， 且++2=0， 解得x=-3，y=-3， ∴点N的坐标为(-3，-3). 解析 6.已知直线l1：3x-4y+7=0与直线l2：6x-(m+1)y+1-m=0平行，则l1与l2之间的距离为 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为直线l1：3x-4y+7=0与直线l2：6x-(m+1)y+1-m=0平行， 所以=≠，解得m=7. 于是直线l2：6x-8y-6=0，即l2：3x-4y-3=0， 所以l1与l2之间的距离为=2. 解析 二、多项选择题 7.已知两条直线l1，l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y-11=0，则下列结论正确的是 A.若l1∥l2，则a=6 B.若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为 C.若l1⊥l2，则a=- D.若a≠6，则直线l1，l2一定相交 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，两条直线l1，l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y-11=0， 若l1∥l2，则3×8-4a=0，解得a=6，经检验，满足两直线平行，故A正确； 对于B，若l1∥l2，则a=6，直线l2的方程即为3x+4y-=0，所以两条平行直线间的距离d==，故B错误； 对于C，若l1⊥l2，则3a+4×8=0，解得a=-，故C正确； 对于D，由选项A得，若a≠6，则直线l1，l2一定相交，故D正确. 解析 8.某县相邻两镇在同一平面直角坐标系下的坐标分别为A(-3，-4)，B(6，3)，交通枢纽C(0，-1)，计划经过C修建一条马路l(l看成一条直线，l的斜率为k)，则下列说法正确的是 A.若A，B两个镇到马路l的距离相等，则k=或 B.若A，B两个镇到马路l的距离相等，则k=或 C.若A，B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为 D.若A，B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为∪(1，+∞) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若A，B两个镇到马路l的距离相等， 当l与直线AB平行时，k==； 当直线AB与l相交时，直线过AB的中点， 又AB的中点为，所以k==，故k=. 若A，B两个镇位于马路的两侧， 则kAC==1，kBC==， 故k的取值范围为∪(1，+∞). 解析 9.△ABC的三个顶点坐标分别为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是 A.边BC与直线3x-2y+1=0平行 B.边BC上的高所在的直线的方程为3x+2y-12=0 C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y-13=0 D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 直线BC的斜率为=， 而直线3x-2y+1=0的斜率为， 所以两直线不平行，A错误； BC边上高所在直线的斜率为-， 又直线过点A(4，0)， 则所求直线的方程为y=-(x-4)， 即3x+2y-12=0，B正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时，方程为x+y-13=0， 当直线过原点时，方程为y=x， 即7x-6y=0，C错误； 过点A且平分△ABC面积的直线过边BC的中点，坐标为(3，5)，D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 因为一条中线所在直线的斜率为1，所以此中线所在直线的倾斜角为45°， 可得该等边三角形的三边所在直线的倾斜角分别为75°，15°，135°，因为tan 135°=-1， tan 75°=tan(45°+30°)===2+， tan 15°=tan(45°-30°)===2-， 即该等边三角形的三边所在直线的斜率分别为2+，2-，-1， 所以该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知直线l经过A(-cos θ，sin2θ)，B(0，1)两个不同的点，则直线l的 斜率的取值范围为　 　　　　　，直线l的倾斜角的取值范围是 　　　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [-1，0)∪(0，1] ∪ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当cos θ=0时，sin2θ=1-cos2θ=1，此时A，B两点重合，不符合题意，所以cos θ≠0， 所以直线l的斜率为k==cos θ∈[-1，0)∪(0，1]，因此直线l的倾斜角的取值范围是∪. 解析 12.已知0<x<2，0<y<1，则+++ 的最小值是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设P(x，y)，O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)， 因为0<x<2，0<y<1，则点P(x，y)在矩形ABCO的内部，如图所示， 可得+++ =|OP|+|CP|+|AP|+|BP| =(|OP|+|BP|)+(|CP|+|AP|)≥|OB|+|AC|=2， 当且仅当P为OB， AC的交点时，等号成立. 解析 四、解答题 13.已知坐标平面内M(m+3，3m+5)，N(2m-1，1)两点. (1)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当直线MN的倾斜角为锐角时， k=>0，解得-<m<4； 当直线MN的倾斜角为钝角时， k=<0， 解得m<-或m>4， 所以当直线MN的倾斜角为锐角时，-<m<4，为钝角时，m<-或m>4. 解 (2)若直线MN的一个方向向量为a=(0，-2 025)，求m的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为直线MN的一个方向向量为a=(0，-2 025)， 所以直线的斜率不存在， 所以m+3=2m-1，且3m+5≠1， 解得m=4. 解 14.已知点A(2，3)，直线l：x+y+1=0. (1)求过点A，且与直线l平行的直线l'的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为直线l'与直线l平行，直线l的方程为x+y+1=0， 故可设直线l'的方程为x+y+C=0(C≠1)， 因为点A(2，3)在直线l'上， 所以2+3+C=0，即C=-5， 所以直线l'的方程为x+y-5=0. 解 (2)光线通过点A，经直线l反射，其反射光线通过点B(1，1)，求反射光线所在直线的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设点A关于直线x+y+1=0的对称点为A'(m，n)， 由题意得解得 所以点A'的坐标为(-4，-3)， 所以反射光线所在直线方程为y+3=(x+4)，即4x-5y+1=0. 解 15.直线l的方程为(m+1)x+y-2m-3=0(m∈R). (1)证明：无论m为何值，直线l过定点； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直线l的方程(m+1)x+y-2m-3=0变形为m(x-2)+x+y-3=0， 由 故直线l恒过定点(2，1). 证明 (2)已知O是坐标原点，若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当△ABO的面积最小时，求△ABO的周长及此时直线l的截距式方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(m+1)x+y-2m-3=0， 依题意m+1≠0，即m≠-1， 令x=0，得到y=2m+3，令y=0，得到x=，由得m>-1， 所以S△ABO=(2m+3)·=， 令m+1=t>0，得到S△ABO===2t++2≥2+2=4， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当且仅当2t=，即t=时取等号，此时m=-，直线l的方程为+=1， 又A(4，0)，B(0，2)，|AB|==2， 所以当△ABO的面积最小时，△ABO的周长为6+2，此时直线l的截距式方程为+=1. 解 第二章　直线和圆的方程 <<< $