第2章 习题课 对称问题（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦对称问题，系统讲解点点、点线、线线对称的核心原理及应用，通过从基础公式推导到反射、最值问题的递进设计，搭建“概念—方法—应用”的学习支架，帮助学生构建完整知识脉络。 其亮点在于以光的反射、将军饮马等实例为载体，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过逻辑推理（如对称点坐标推导）和模型构建（如距离最值转化）培养数学思维，结合“反思感悟”总结方法，助力学生提升问题解决能力，教师可直接用于课堂教学，提高教学效率。

习题课 对称问题 第二章　直线和圆的方程 <<< 1.学会解决点点、点线、线线对称问题(重点). 2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题(难点). 学习目标 1.点关于点对称 设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的对称点为点P'(x2，y2)，则点Q是点P与 点P'的中点，根据中点坐标公式，有可得对称点P'(x2，y2) 的坐标为(2x0-x1，2y0-y1). 2.点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax+By+C=0(AB≠0)对称的点为P'(x2，y2)，连接PP'，交l于M点，则l垂直平分线段PP'，所以PP'⊥l，且PP'的中点M 在直线l上，故可得解出(x2，y2)即可. 3.直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程. 4.直线关于直线对称 求直线l1：ax+by+c=0关于直线l2：dx+ey+f=0(两直线不平行)的对称直线l3. 第一步：联立l1，l2的方程，求得交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任取异于点P的一点Q(x1，y1)，利用点Q关于直线l2对称求出其对称点Q'(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程. 5.常见的一些特殊的对称 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，-y)，关于y轴的对称点为(-x，y). 点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线y=-x的对称点为(-y，-x). 点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2a-x，y)，关于直线y=b的对称点为 (x，2b-y). 点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y). 点(x，y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y，k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y，x-k). 一、几类常见的对称问题 二、光的反射问题 课时对点练 三、利用对称解决有关最值问题 随堂演练 内容索引 几类常见的对称问题 一 已知直线l：y=3x+3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标； 例 1 设点P关于直线l的对称点为P'(x'，y')，则线段PP'的中点在直线l上，且直线PP'垂直于直线l， 即 所以点P'的坐标为(-2，7). 解 8 (2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程； 9 解方程组 则点在所求直线上. 在直线y=x-2上任取一点M(2，0)， 设点M关于直线l的对称点为M'(x0，y0)， 则 解 10 点M'也在所求直线上. 由两点式得直线方程为=， 化简得7x+y+22=0，即为所求直线的方程. 解 11 (3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程. 在直线l上取两点E(0，3)，F(-1，0)， 则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为E'(6，1)，F'(7，4).因为点E'，F'在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为=， 即3x-y-17=0. 解 12 对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式. 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P'(2a-x，2b-y). (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0. 反 思 感 悟 13 (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”. 设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 反 思 感 悟 14 已知P(-1，2)，M(1，3)，直线l：y=2x+1. (1)求点P关于直线l的对称点R的坐标； 跟踪训练 1 设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， 则有 解得 所以R的坐标为. 解 15 (2)求直线PM关于直线l对称的直线方程. 因为M(1，3)的坐标满足直线l的方程， 又点P关于直线l的对称点为R， 则直线MR即为所求的直线，由两点式得所求直线方程为11x+2y-17=0. 解 16 二 光的反射问题 一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x+6y=25反射后通过点P(-4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所经过的路程. 例 2 18 如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得 所以A的坐标为(4，3). 因为反射光线的反向延长线过A(4，3)， 又由反射光线过P(-4，3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y=3. 解 19 联立解得即交点Q， 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为y=3. 由光的性质可知， 光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|， 由A(4，3)，P(-4，3)知，|AP|=4-(-4)=8， 即光线从O点到达P点所经过的路程为8. 解 20 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解. 反 思 感 悟 21 　如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是 A.2 B.6 C.3 D.2 跟踪训练 2 √ 22 由题意知，AB所在直线的方程为x+y-4=0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，点P关于y轴的对称点为C(-2，0)，则光线所经过的路程为|CD|=2. 解析 23 利用对称解决有关最值问题 三 在直线l：x-y-1=0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差的绝对值最大； 例 3 25 如图，设点B关于l的对称点B'的坐标为(a，b)，连接BB'，则kBB'·kl=-1，即×1=-1， ∴a+b-4=0， ① ∵BB'的中点在直线l上， ∴--1=0，即a-b-6=0. ② 由①②得 ∴点B'的坐标为(5，-1). 解 26 于是AB'所在直线的方程为=， 即2x+y-9=0. 易知||PB|-|PA||=||PB'|-|PA||， 当且仅当P，B'，A三点共线时，||PB'|-|PA||最大. 联立直线l与AB'的方程，解得x=，y=， 即直线l与AB'的交点坐标为. 故点P的坐标为. 解 27 (2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小. 28 如图，设点C关于l的对称点为C'， 可求得C'的坐标为(1，2)， ∴AC'所在直线的方程为=，即x+3y-7=0. 易知|QA|+|QC|=|QA|+|QC'|，当且仅当Q，A，C'三点共线时，|QA|+|QC'|最小. 联立直线l与AC'的方程，解得x=，y=， 即直线AC'与l的交点坐标为. 故点Q的坐标为. 解 29 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差的绝对值最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A'，得直线A'B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 反 思 感 悟 30 已知两点A(1，3)，B(4，5)，动点M在直线y=x上运动，则|MA|+|MB|的最小值为　　　　.  跟踪训练 3 31 根据题意画出图象，如图， 设点A关于直线y=x的对称点为A'(x，y)， 所以 解得即A'(3，1)， 连接A'B，则|A'B|即为|MA|+|MB|的最小值， |A'B|==. 解析 32 1.知识清单： (1)常见的对称问题. (2)光的反射问题. (3)利用对称解决有关最值问题. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若点P(3，4)和点Q(a，b)关于直线x-y-1=0对称，则 A.a=1，b=-2 B.a=2，b=-1 C.a=4，b=3 D.a=5，b=2 √ 由 解析 1 2 3 4 2.点(3，9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标是 A.(-1，-3) B.(17，-9) C.(-1，3) D.(-17，9) √ 设点(3，9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为(a，b)， 则由 所以该点的坐标为(-1，-3). 解析 1 2 3 4 3.直线x-2y+1=0 关于直线x=1对称的直线方程是 A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 √ 1 2 3 4 直线x-2y+1=0与x=1的交点为(1，1)， 在直线 x-2y+1=0上任取一点， 点关于直线x=1的对称点为， 可知所求直线方程即为(1，1)和所在直线的方程，则y-1=-(x-1)，即 x+2y-3=0. 解析 1 2 3 4 4.已知A(3，0)，B(0，3)，从点P(0，2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为 A.2 B.6 C.3 D. √ 1 2 3 4 由题意知直线AB的方程为x+y=3，点P(0，2)关于x轴的对称点为P1(0，-2)， 设点P(0，2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图， ∴ 解得∴P2(1，3)， ∴光线所经过的路程为|PQ|+|QM|+|MP|=|P1P2|==. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D ACD C A C CD 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 10 B B AC C 　x-4y-1=0 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5，1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(-3，5). 由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y-7=0. P. 令x=0，得M1M2与y轴的交点Q.所以当P和Q△MPQ的周长最小. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)如图，设B(m，0)，点A关于x轴的对称点为A'(1，-2)，点B关于直线x-y+3=0的对称点为B'(-3，m+3). 根据光学知识，知点C在直线A'B上，点C又在直线B'A上，且直线A'B的方程为y=x-m). x=. 又直线AB'的方程为y-2=x-1)， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得x=. =即3m2+8m-3=0， 解得m=-3. 当m= 当m=-3时，点B在直线x-y+3=0上，不能构成三角形.综上，符合题意的△ABC只有1个. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)得m= 则直线A'B的方程为3x+y-1=0， 即直线BC的方程为3x+y-1=0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设A关于直线l的对称点为A'(m，n)， 故A'(-2，8). 因为P为直线l上的一点，则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当B，P，A'三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值，为|A'B|，点P即是直线A'B与直线l的交点， 故所求的点P的坐标为(-2，3). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则||PB|-|PA||≤|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|-|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y=x-2， 故所求的点P的坐标为(12，10). 基础巩固 1.已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(-2，-3)，则点P(x，y)到原点的距离是 A.4 B. C. D. √ 根据中点坐标公式得解得 所以点P的坐标为(4，1)， 则点P(x，y)到原点的距离d==. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选)已知P(4，5)与Q(-2，7)关于直线l对称，则下列说法中正确的是 A.直线l过P，Q的中点 B.直线PQ的斜率为 C.直线l的斜率为3 D.直线l的一个方向向量的坐标是(1，3) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 对于A，因为P(4，5)与Q(-2，7)关于直线l对称，所以直线l过P，Q的中点，故A正确； 对于B，直线PQ的斜率为=-=-，所以直线l的斜率为3 ，故B错误，C正确； 对于D，因为直线l的斜率为3，所以直线l的一个方向向量的坐标是(1，3)，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.点P(2，5)关于直线l：x+y+1=0的对称点的坐标为 A.(6，-3) B.(3，-6) C.(-6，-3) D.(-6，3) √ 设点P(2，5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)， 则 故点P(2，5)关于直线l的对称点的坐标为(-6，-3). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知直线l：ax+by+c=0与直线l'关于直线x+y=0对称，则l'的方程为 A.bx+ay-c=0 B.bx-ay+c=0 C.bx+ay+c=0 D.bx-ay-c=0 √ 在l的方程中以-x代替y，以-y代替x，即得l'的方程， 则l'：a(-y)+b(-x)+c=0， 即bx+ay-c=0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线方程是 A.2x+3y+7=0 B.3x-2y+2=0 C.2x+3y+8=0 D.3x-2y-12=0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线斜率不变， ∴设对称后的直线l'方程为2x+3y+c=0(c≠-6)， 又点(1，-1)到两直线的距离相等， ∴=，化简得|c-1|=7， 解得c=-6(舍去)或c=8， ∴l'的方程为2x+3y+8=0， 即直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线方程是2x+3y+8=0. 解析 6.(多选)一束光线自点(2，3)射入，经y轴反射后过点(3，0)，则下列点在反射光线所在直线上的是 A.(-9，8) B.(3，1) C.(-7，6) D.(-12，9) √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点(2，3)关于y轴的对称点为点(-2，3)，则反射光线所在直线经过点(-2，3)和点(3，0)， 所以反射光线所在的直线方程为=，即3x+5y-9=0. 对于A，当x=-9时，y=≠8，所以A错误； 对于B，当x=3时，y=0≠1，所以B错误； 对于C，当x=-7时，y=6，所以C正确； 对于D，当x=-12时，y=9，所以D正确. 解析 7.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.现有一目标球从点A(-2，3)无旋转射入，经过x轴(桌边)上 的点P反弹后，经过点B(5，7)，则点P的坐标为　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x，0)，A点关于x轴对称的点为A'(-2，-3)， 则kA'P==，kA'B==， 由题意知A'，B，P三点共线， ∴kA'P=kA'B，即=，解得x=， 故P点的坐标为. 解析 8.如图，光线从P(a，0)(a>0)出发，经过直线l：x-2y=0反射到Q(b，0)，该光线又在Q点被x轴反射，若反射光线恰与直线l平行，且b≥22，则实数a的最小值是　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P关于直线l的对称点为P'(x0，y0)， 则 即P'， 因为在Q点被x轴反射后的反射光线恰与直线l平行， 所以kP'Q=-=-， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 化简得a=b， 因为b≥22，所以a=b≥×22=10， 即实数a的最小值是10. 解析 9.已知点M(3，5)，在直线l：x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5，1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(-3，5).由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y-7=0. 解方程组得交点P. 令x=0，得M1M2与y轴的交点Q. 所以当P和Q的坐标分别为时，△MPQ的周长最小. 解 10.已知直线l：x-y+3=0，一束光线从点A(1，2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的△ABC的个数； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设B(m，0)，点A关于x轴的对称点为A'(1，-2)，点B关于直线x-y+3=0的对称点为B'(-3，m+3). 根据光学知识，知点C在直线A'B上，点C又在直线B'A上，且直线A'B的方程为y=(x-m). 由得x=. 又直线AB'的方程为y-2=(x-1)， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由得x=. 所以=，即3m2+8m-3=0， 解得m=或-3.当m=时，符合题意； 当m=-3时，点B在直线x-y+3=0上，不能构成三角形.综上，符合题意的△ABC只有1个. 解 (2)求直线BC的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得m=， 则直线A'B的方程为3x+y-1=0， 即直线BC的方程为3x+y-1=0. 解 11.已知点(1，-1)关于直线l1：y=x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，-1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为 A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0 C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=0 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(a，b)，则解得所以A(-1，1). 设点B(2，-1)到直线l2的距离为d， 当d=|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又=-=-=， 所以直线l2的方程为y-1=(x+1)， 即3x-2y+5=0. 解析 12.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)间的距离.结合上述观点，可得f(x)=+的最小值为 A.2 B.5 C.4 D.8 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)=+ =+， ∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(-2，4)与B(-1，3)的距离之和， 设点A(-2，4)关于x轴的对称点为A'， 则A'(-2，-4).要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|+|MB|的最小值， 利用对称思想可知|MA|+|MB|≥|A'B|==5，当且仅当A'，M，B三点共线时等号成立， 即f(x)=+的最小值为5. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)已知直线l1：x+y=0，l2：2x-3y-6=0，则下列说法正确的是 A.直线l1与l2相交于点 B.直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为 C.直线l2关于原点O对称的直线方程为2x-3y+6=0 D.直线l2关于直线l1对称的直线方程为3x-2y+6=0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 解得x=，y=-， A选项正确； 直线l2：2x-3y-6=0与x轴的交点为(3，0)， 与y轴的交点为(0，-2)， 直线l1过原点，由图可知，直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为×3×=，所以B选项错误； 解析 由上述分析可知，直线l2关于原点O对称的直线过点(-3，0)，(0，2)， 所以直线l2关于原点O对称的直线方程为y-2 =(x-0)，即2x-3y+6=0，所以C选项正确； 解析 点(3，0)关于直线x+y=0的对称点是(0，-3)， 点(0，-2)关于直线x+y=0的对称点是(2，0)， 所以直线l2关于直线l1对称的直线方程为+=1，即3x-2y-6=0，所以D选项错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边让马饮水后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(-1，-4)，若将军从点A(-1，2)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马”的最短总路程为 A. B. C.2 D.10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 设点B关于直线x+y=3的对称点为C(a，b)， 由题意可得 解得即C(7，4)， 在直线x+y=3上取点P，由对称性可得|PB|=|PC|， 所以|PA|+|PB|=|PA|+|PC|≥|AC|==2， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马”的最短总路程为2. 解析 15.若函数y=的图象上存在两点P，Q关于点(1，0)对称，则直线PQ的方程是　　　 　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x-4y-1=0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，设P，Q， 又线段PQ的中点是(1，0)， 所以整理得 所以p，q为方程x2-2x-1=0的根， 解得x=1±， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以P，Q 或P，Q. 由两点式得直线PQ的方程为x-4y-1=0. 解析 16.已知直线l：x-2y+8=0和两点A(2，0)，B(-2，-4). (1)在直线l上求一点P，使|PA|+|PB|最小； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A关于直线l的对称点为A'(m，n)， 则 故A'(-2，8). 因为P为直线l上的一点， 则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|， 当且仅当B，P，A'三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值，为|A'B|，点P即是直线A'B与直线l的交点， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则 故所求的点P的坐标为(-2，3). 解 (2)在直线l上求一点P，使||PB|-|PA||最大. A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则||PB|-|PA||≤|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|-|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y=x-2， 则 故所求的点P的坐标为(12，10). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第二章　直线和圆的方程 <<< $