第2章 2.2.1 直线的点斜式方程（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过射击手托枪位置与瞄准方向的生活实例导入，衔接斜率公式推导过程，构建“定点+斜率→方程”的知识支架，帮助学生理解方程与直线的对应关系。 其亮点在于以问题驱动探究，如“如何确定定点与斜率的关系”，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过逻辑推理推导方程，结合例题与分层练习（随堂演练、课时对点练）培养数学思维。课堂小结梳理知识清单与方法，助力学生系统掌握，也为教师提供清晰教学路径，提升教学效率。

2.2.1 直线的点斜式方程 第二章　 §2.2　直线的方程 <<< 1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(重点) 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.(难点) 学习目标 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作要求，则托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向. 导 语 一、求直线的点斜式方程 二、直线的斜截式方程 课时对点练 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 随堂演练 内容索引 求直线的点斜式方程 一 提示　根据过两点的直线的斜率公式得=k，即y-y0=k(x-x0). 给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 问题1 我们把方程 称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程. 方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的 ，简称点斜式. y-y0=k(x-x0) 点斜式方程 知识梳理 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y=y0.特别地，x轴的方程是y=0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地，y轴的方程是x=0. 注 意 点 <<< 8 (课本例1)　直线l经过点P0(-2，3)，且倾斜角α=45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 例 1 直线l经过点P0(-2，3)，斜率k=tan 45°=1，代入点斜式方程得y-3=x+2. 解 画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1=-1，则y1=4，得点P1的坐标为(-1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如图所示. 9 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(-4，3)，斜率k=3； 例 1 由点斜式方程可知， 所求直线的点斜式方程为y-3=3(x+4). 解 10 (2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°. 由题意知，直线的斜率k=tan 135°=-1， 故所求直线的点斜式方程为y-4=-(x+1). 解 11 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0). (2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x=x0除外. 反 思 感 悟 12 求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，-3)，倾斜角是直线y=x的倾斜角的2倍； 跟踪训练 1 ∵直线y=x的斜率为， ∴直线y=x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y+3=(x-2)， 即x-y-2-3=0. 解 13 (2)经过点P(5，-2)，且与y轴平行； 与y轴平行的直线，其斜率k不存在， 不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x=5. 解 14 (3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点. 过P(-2，3)，Q(5，-4)两点的直线斜率 kPQ===-1. ∵直线过点P(-2，3)， ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2)，即x+y-1=0. 解 15 二 直线的斜截式方程 提示　由点斜式方程得y-b=k(x-0)， 即y=kx+b. 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 问题2 1.直线l与y轴的交点(0，b)的 叫做直线l在y轴上的截距. 2.把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 纵坐标b 知识梳理 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 注 意 点 <<< 19 已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程. 例 2 由斜截式方程知，直线l1的斜率k1=-2， 又因为l∥l1，所以kl=-2. 由题意知，l2在y轴上的截距为-2， 所以直线l在y轴上的截距b=-2. 由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2. 解 20 本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程. 延伸探究 1 ∵l1⊥l，直线l1：y=-2x+3， ∴l的斜率为. ∵l与l2在y轴上的截距互为相反数， 直线l2：y=4x-2，∴l在y轴上的截距为2. ∴直线l的方程为y=x+2. 解 21 若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积. 延伸探究 2 令x=0得y=-2，令y=0得x=-1. 所以所求三角形的面积为S=×|-2|×|-1|=1. 解 22 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 反 思 感 悟 23 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 三 (课本例2)　已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，试讨论： (1)l1∥l2的条件是什么？ 例 3 若l1∥l2，则k1=k2，此时l1，l2与y轴的交点不同， 即b1≠b2； 反之，若k1=k2，且b1≠b2， 则l1∥l2. 解 25 (2)l1⊥l2的条件是什么？ 若l1⊥l2，则k1k2=-1； 反之，若k1k2=-1， 则l1⊥l2. 解 26 已知直线l1：y=-x+和l2：6my=-x+4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 例 3 当m=0时，l1：4y-5=0；l2：x-4=0，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y=-x+. 由-=-，得m=±；由≠，得m≠且m≠， 所以当m=-时，l1与l2平行；又-·=-1无解. 故当m=-时，l1与l2平行；当m=0时，l1与l2垂直. 解 27 若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2=-1. 反 思 感 悟 28 (1)当a为何值时，直线l1：y=-x+2a与直线l2：y=(a2-2)x+2平行？ 跟踪训练 2 由题意可知，=-1，=a2-2， ∵l1∥l2，∴ 解得a=-1， 故当a=-1时，直线l1：y=-x+2a与直线l2：y=(a2-2)x+2平行. 解 29 (2)当a为何值时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直？ 由题意可知，=2a-1，=4， ∵l1⊥l2，∴4(2a-1)=-1，解得a=. 故当a=时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直. 解 30 1.知识清单： (1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为-2，则此直线的方程为 A.y=x+2 B.y=-x+2 C.y=-x-2 D.y=x-2 √ ∵直线l的倾斜角为60°，∴k=tan 60°=， ∴直线l的方程为y=x-2. 解析 1 2 3 4 2.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为 A.9 B.-9 C. D.- √ 由y+=(x-1)， 得y=x-9， ∴l在y轴上的截距为-9. 解析 1 2 3 4 3.若直线y=kx+b通过第一、三、四象限，则有 A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 √ ∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示， 由图知，k>0，b<0. 解析 1 2 3 4 4.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a=　 　.  由题意可知a·(a+2)=-1， 解得a=-1. 解析 -1 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D A A D BC y=-x+4或y=-x-4 题号 8 11 12 13 14 答案 y=x+5 BC D y=±x-6 y=x-2-1 题号 　15 答案 　y=-x+ 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵l1∥l2， ∴两直线的斜率相等. ∴m2-2=-1且2m≠1， ∴m=±1. (2)∵l1⊥l2，∴2m-1= ∴m=. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2， 经检验符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y-2=k(x-2)， 令y=0，得x= 由三角形的面积为2， ××2=2. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得k=. 可得直线l的方程为y-2=x-2). 综上可知，直线l的方程为x=2或y=x+1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由y=kx+2k+1， 得y-1=k(x+2). 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(-2，1). (2)设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若要使当-3<x<3时， 直线上的点都在x轴上方， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得-≤k≤1. 所以实数k. 基础巩固 1.过点P(2，-1)，且倾斜角为90°的直线方程为 A.y=-1 B.x=2 C.y=2 D.x=-1 √ 过点P(2，-1)，且倾斜角为90°的直线垂直于x轴， 其方程为x=2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.直线y=ax+1的倾斜角为120°，则实数a的值为 A. B.- C. D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线y=ax+1的倾斜角为120°，因此该直线的斜率k=a， 又k=tan 120°=-， 所以a=-. 解析 3.已知直线l过点(-3，4)且方向向量为(1，-2)，则l在x轴上的截距为 A.-1 B.1 C.-5 D.5 √ 因为直线l的方向向量为(1，-2)， 所以直线l的斜率k=-2， 又直线l过点(-3，4)， 所以直线方程为y-4=-2(x+3)， 令y=0，得x=-1， 所以l在x轴上的截距为-1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.过点(-1，3)且垂直于直线y=x+的直线方程为 A.y-3=-2(x+1) B.y-3=-2(x-1) C.y-3=-(x+1) D.y-3=(x+1) √ 所求直线与已知直线垂直， 因此所求直线的斜率为-2， 故方程为y-3=-2(x+1). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.以A(2，-5)，B(4，-1)为端点的线段的垂直平分线的方程是 A.y-(-3)=2(x-3) B.y-3=2(x-3) C.y-3=-(x-3) D.y-(-3)=-(x-3) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由A(2，-5)，B(4，-1)， 知线段AB的中点坐标为(3，-3)， 又由斜率公式可得kAB==2， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为k=-=-， 所以线段AB的垂直平分线的方程为y-(-3)=-(x-3). 解析 6.(多选)已知直线l：y=x-1，则 A.直线l过点(，-2) B.直线l的斜率为 C.直线l的倾斜角为60° D.直线l在y轴上的截距为1 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，将(，-2)代入y=x-1，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由y=x-1，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则tan α=，可得α=60°，故C正确； 对于D，由y=x-1，令x=0，可得直线l在y轴上的截距为-1，故D不正确. 解析 7.已知斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方 程为　　　 .  设l：y=-x+b，令x=0，得y=b；令y=0，得x=b. 由题意，得·|b|·=6， ∴b2=16，∴b=±4.故直线l的方程为y=-x±4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y=-x+4或y=-x-4 8.直线l的斜率k为方程x2-2x+1=0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为　　 　.  由题意，方程x2-2x+1=0的根为1， 所以k=1，又在y轴上的截距为5， 则直线l的方程为y=x+5. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y=x+5 9.求满足下列条件的m的值. (1)直线l1：y=-x+1与直线l2：y=(m2-2)x+2m平行； ∵l1∥l2， ∴两直线的斜率相等. ∴m2-2=-1且2m≠1， ∴m=±1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)直线l1：y=-2x+3与直线l2：y=(2m-1)x-5垂直. ∵l1⊥l2，∴2m-1=， ∴m=. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经检验符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y-2=k(x-2)，令y=0，得x=， 由三角形的面积为2，得××2=2. 解得k=. 可得直线l的方程为y-2=(x-2). 综上可知，直线l的方程为x=2或y=x+1. 解 11.(多选)同一坐标系中，直线l1：y=ax+b与l2：y=bx-a大致位置正确的是 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为l1：y=ax+b，l2：y=bx-a， 对于A，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b<0， 而l2的斜率b>0，矛盾，故A错误； 对于B，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0， 而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，符合题意，故B正确； 对于C，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b>0， 而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，符合题意，故C正确； 对于D，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b>0， 而l2的斜率b<0，矛盾，故D错误. 解析 12.已知直线l：y=xsin θ+cos θ的图象如图所示，则角θ是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 结合图象易知，sin θ<0，cos θ>0，则角θ是第四象限角. 解析 13.在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成60°角的直线方程为 　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y=±x-6 由题意知，直线与y轴相交成60°角， 则直线的倾斜角为30°或150°， 可得直线斜率为tan 30°=或tan 150°=-， 即k=±， 所以所求直线方程为y=±x-6. 解析 14.已知直线y=x-1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点(2，-1)，则直线l的方程为　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y=x-2-1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为已知直线的斜率为， 即tan α=，所以α=30°， 所以直线l的斜率k=tan β=tan 2α=tan 60°=， 又l过点(2，-1)， 所以l的方程为y-(-1)=(x-2)， 即y=x-2-1. 解析 15.数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(-1，0)，C(0，3)，AB=AC，则 △ABC的欧拉线的斜截式方程为　　 　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y=-x+ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为AB=AC，所以△ABC外心，重心，垂心都位于线段BC的垂直平分线上， 设线段BC的垂直平分线的斜率为k，则k·kBC=-1， 因为kBC==3，所以k=-， 又因为BC的中点坐标为， 所以△ABC的欧拉线方程为y-=-， 化成斜截式为y=-x+. 解析 16.已知直线l：y=kx+2k+1. (1)求证：直线l恒过一个定点； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由y=kx+2k+1，得y-1=k(x+2). 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(-2，1). 证明 (2)当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若要使当-3<x<3时， 直线上的点都在x轴上方， 需满足 解得-≤k≤1.所以实数k的取值范围是. 解 第二章　 §2.2　直线的方程 <<< $