第2章 2.1.1 倾斜角与斜率（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，通过交通工程“坡度”情境导入，衔接初中“两点确定直线”知识，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解倾斜角定义、范围及斜率公式。 其亮点在于以情境培养数学眼光，用问题链发展数学思维，借数形结合强化数学语言。如坡度类比引入概念，例题结合图形分析倾斜角范围，分层训练助学生深化理解，教师可系统推进教学，提升学生应用能力。

2.1.1 倾斜角与斜率 第二章　 §2.1　直线的倾斜角与斜率 <<< 1.了解直线的倾斜角和斜率的概念(重点). 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率(重点). 学习目标 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k==.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？本节课我们就来学习一下. 导 语 一、直线的倾斜角 二、直线的斜率 课时对点练 三、倾斜角和斜率的应用 随堂演练 内容索引 直线的倾斜角 一 提示　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线. 在平面中，怎样才能确定一条直线？ 问题1 提示　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同. 在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 问题2 1.倾斜角的定义： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 . 2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为 . 正向 0° 0°≤α<180° 知识梳理 (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角；未作旋转时，倾斜角为0°. (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. (3)一条直线的倾斜角必存在且唯一. 注 意 点 <<< 9 (1)(多选)下列命题中，正确的是 A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为-30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) √ 例 1 任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确； 倾斜角不可能为负，故B错误； 倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确； 当α=0°时，sin α=0；当α=90°时，sin α=1，故D错误. 解析 √ 10 (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为 A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α-45° √ √ 11 根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时， l1的倾斜角为α+45°； 当135°≤α<180°时， l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°. 解析 12 直线倾斜角的概念和范围 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的范围. 反 思 感 悟 13 　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　 　.  跟踪训练 1 60°或120° 有两种情况：①如图(1)， 直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°， 即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 解析 (1)　　　　(2) 14 (2)已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　　　　.  135° 设直线l2的倾斜角为α2， l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC=120°，所以α2=120°+α1=135°. 解析 15 二 直线的斜率 提示　tan α==. 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1)已知直线l经过O(0，0)，P(1)，α的正切与O，P的坐标有什么关系？ 问题3 提示　tan α==1-. (2)类似地，如果直线l经过P1(-1，1)，P2(0)，α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？ 问题3 提示　tan α=. (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？ 问题3 1.把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k= .  2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= ， 当x1=x2时，直线P1P2的斜率不存在. 正切值 tan α 知识梳理 3.直线的方向向量与斜率的关系： (1)直线P1P2的方向向量=(x2-x1，y2-y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为=(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率. (2)当x1=x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0，1). (1)当x1=x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)当y1=y2时，直线斜率为0，倾斜角为0°. (3)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关. (4)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (5)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k=. 注 意 点 <<< 21 (课本例1)　如图，已知A(3，2)，B(-4，1)，C(0，-1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 例 2 22 直线AB的斜率kAB==； 直线BC的斜率kBC===-； 直线CA的斜率kCA===1. 由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角； 由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角. 解 23 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (1)A(2，3)，B(4，5)； 例 2 存在.直线AB的斜率kAB==1， 则直线AB的倾斜角α满足tan α=1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α=45°. 解 24 (2)P(-3，1)，Q(-3，10)； 不存在.因为xP=xQ=-3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α=90°. 解 (3)M(2，4)，N(-3，4). 存在.因为yM=yN=4， 所以直线MN的斜率为0，倾斜角α=0°. 解 25 求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k=tan α. (2)利用斜率公式：k=(x1≠x2). 反 思 感 悟 26 (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为　　　.  (2)若过点P(-2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为　　.  跟踪训练 2 由斜率公式k==1，得m=1. 解析 - 1 27 (3)已知直线l的方向向量的坐标为(1)，则直线l的倾斜角为　　　. 设直线l的斜率为k， 则k=所以直线的倾斜角为. 解析 28 倾斜角和斜率的应用 三 提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大. 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？ 问题4 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 _____ 不存在 _____ k的增减性   随α的增大而_____   随α的增大而_____ k>0 k<0 增大 增大 知识梳理 已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； 例 3 如图，由题意可知kPA==-1，kPB==1. 要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞). 解 32 (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 解 33 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 反 思 感 悟 34 已知A(3，3)，B(-4，2)，C(0，-2). (1)求直线AB和AC的斜率； 跟踪训练 3 由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==. 直线AC的斜率kAC==. 故直线AB的斜率为直线AC的斜率为. 解 35 (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 解 36 1.知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围. (2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列说法正确的是 A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 √ √ √ 1 2 3 4 2.若经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于 A.2 B.1 C.-1 D.-2 √ 由题意知，tan 45°=得m=2. 解析 1 2 3 4 3.已知A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，则x=　　　，直线AB的倾 斜角为　　　.  因为A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，所以kAB=kBC， 即=解得x=3， 设直线AB的倾斜角为θ， 由tan θ=1得θ=所以直线AB的倾斜角为. 解析 3 1 2 3 4 4.经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是　　 　　 . (其中m≥1)  当m=1时，倾斜角α=90°； 当m>1时，tan α=>0， ∴0°<α<90°.故0°<α≤90°. 解析 0°<α≤90° 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B AC D A C -2 题号 11 12 13 14 　15 答案 B A B 　B 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若直线l与x轴平行， 则直线l的斜率k==0，∴m=1. (2)若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在，∴m=-1. (3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)，故k= =解得m=. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)由题意可知，直线l的斜率k=1， =1，解得m=0. (5)由题意可知，直线l的斜率k>0， >0，解得-1<m<1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD=60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以kOD=kBC=tan 60°=. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB=kCD=0， 由菱形的性质，知∠COB=30°，∠OBD=60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC=tan 30°=kBD=tan 120°=-. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率.因为点M在函数x+2y=6的图象上， 且1≤x≤3，所以可设该线段为AB， 且AB 又kNA=-kNB= ∪. 基础巩固 1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 A.(4，2)与(-4，1) B.(0，3)与(3，0) C.(3，-1)与(2，-1) D.(-2，2)与(-2，5) √ D项，因为x1=x2=-2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知点A(1)，B(33)，则直线AB的倾斜角θ是 A.60° B.30° C.120° D.150° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 kAB== ∴tan θ=且0°≤θ<180°， ∴θ=30°. 解析 3.(多选)已知点A(2，-1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可以为 A.(3，0) B.(-3，0) C.(0，-3) D.(0，3) √ 设在x轴上点P的坐标为(m，0)或在y轴上点P的坐标为(0，n)，因为直线PA的倾斜角为45°，可得kPA=1，得==1， 解得m=3，n=-3，故点P的坐标为(3，0)或(0，-3). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.下列可作为斜率k=-的直线的方向向量的是 A.(2，3) B.(3，2) C.(-3，-2) D.(-3，2) √ 斜率为k=-的直线的一个方向向量为a=所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量.经验证D中向量与共线. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°， 所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0， 即k1<0，k2>k3>0. 解析 6.若某直线的斜率k∈(-∞]，则该直线的倾斜角α的取值范围是 A. B. C.∪ D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线的斜率k∈(-∞]， ∴k≤tan ∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪. 解析 7.已知直线l经过(1，0)，(2)两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三 倍，则直线m的倾斜角是　　　.  由直线l经过(1，0)，(2)两点， 则直线l的斜率k1== 设直线m的倾斜角为α，所以直线m的斜率k2=tan α= 因为0≤α<π，所以α=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若点P(3，m)在过点A(2，-1)，B(-3，4)的直线上，则m=　　　.  由点P(3，m)在过点A(2，-1)和B(-3，4)的直线上， 可得=即==-1，解得m=-2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -2 9.已知直线l经过两点A(-1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ 若直线l与x轴平行， 则直线l的斜率k==0， ∴m=1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)直线l与y轴平行？ 若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在， ∴m=-1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1). 直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)， 故k=即=解得m=. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)直线的倾斜角为45°？ 由题意可知，直线l的斜率k=1， 即=1，解得m=0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (5)直线的倾斜角为锐角？ 由题意可知，直线l的斜率k>0， 即>0，解得-1<m<1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD=60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD=kBC=tan 60°=. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB=kCD=0， 由菱形的性质，知∠COB=30°，∠OBD=60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC=tan 30°=kBD=tan 120°=-. 解 11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(a，b)是直线l上任意一点， 则平移后得到点A'(a-2，b+2)， 于是直线l的斜率k=kAA'==-1. 解析 12.已知点A(2，3)，B(-3，-2)，若直线l过点P(1，1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 A. B. C. D.{k|k<2} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵kAP==2， kBP==如图， 又直线l与线段AB始终没有交点， ∴斜率k的取值范围是. 解析 13.过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的取值范围是则实数m的取值范围是 A.(0，2] B.(0，4) C.[2，4) D.(0，2)∪(2，4) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由直线的倾斜角α的取值范围是 得直线的斜率存在时，k<-1或k>1. 当m≠2时，k== ∴<-1或>1， 解得0<m<2或2<m<4. 当直线的斜率不存在时，m=2符合题意. 综上，实数m的取值范围是(0，4). 解析 14.若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则+的值为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A，B，C三点共线，∴kAB=kAC， 即=即ab=2a+2b， 两边同除以ab，得1=+即+=. 解析 15.已知f(x)=log2(x+1)，且a>b>c>0，则的大小关系是 A.>> B.>> C.>> D.>> 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为表示经过点O(0，0)和点A(x，f(x))的直线的斜率，所以的几何意义可以表示为3个斜率，作函数f(x)=log2(x+1)的图象，如图所示. 因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与坐标原点O相连，如图所示，可得>>. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知实数x，y满足方程x+2y=6，当1≤x≤3时，求的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 的几何意义是过M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率.因为点M在函数x+2y=6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB， 且AB又kNA=-kNB= 所以∪. 解 第二章　 §2.1　直线的倾斜角与斜率 <<< $