第1章 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间中直线、平面垂直的向量表示及应用，通过类比直线、平面平行的向量表示导入，引导学生探究方向向量、法向量关系，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点是采用坐标法与基向量法证明垂直，如正三棱柱中证明线线垂直，体现数学思维的推理与运算能力，反思感悟总结方法步骤培养模型观念。随堂演练结合正方体等实例，助学生提升逻辑思维，教师可高效开展教学。

第3课时 空间中直线、平面的垂直 第一章　1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 <<< 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系(重点). 学习目标 类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 导 语 一、直线与直线垂直 二、直线与平面垂直 课时对点练 三、平面与平面垂直 随堂演练 内容索引 直线与直线垂直 一 提示　垂直. 如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 问题1 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔ ⇔ . u1⊥u2 u1·u2=0 知识梳理 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 注 意 点 <<< 8 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1.求证：AB1⊥MN. 例 1 9 方法一　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得AB CNB1 ∵M为BC的中点，∴M. 证明 10 ∴==(1，0，1)， ∴·=-+0+=0. ∴⊥ 即AB1⊥MN. 证明 11 方法二　设=a=b=c， 则由已知条件和正三棱柱的性质， 得|a|=|b|=|c|=1，a·c=b·c=0， =a+c=(a+b)=b+c， =-=-a+b+c， ∴·=(a+c)·=-+cos 60°+0-0+0+=0. ∴⊥即AB1⊥MN. 证明 12 证明两直线垂直的基本步骤 (1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. (2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 反 思 感 悟 13 　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E为AC的中点. 求证：BD1⊥EB1. 跟踪训练 1 14 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1， 则B(1，1，0)，D1(0，0，1)， EB1(1，1，1). =(-1，-1，1)，= ∴·=(-1)×+(-1)×+1×1=0， ∴⊥∴BD1⊥EB1. 证明 15 二 直线与平面垂直 提示　平行(共线). 如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 问题2 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔ ⇔∃λ∈R，使得 . u∥n u=λn 知识梳理 　(课本例4)　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1 =1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 例 2 19 设=a=b=c，则{a，b，c}为空间的一个基底， 且=a+b-c=b-a=c. 因为AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°， 所以a2=b2=c2=1，a·b=b·c=c·a=. 在平面BDD1B1上，取为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得=λ+μ. 证明 20 所以·=λ·+μ·=λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=0. 所以是平面BDD1B1的法向量. 所以A1C⊥平面BDD1B1. 证明 21 　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 例 2 22 方法一　设该正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)， B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a). 所以=(-a，-a，a)， =(0，2a，2a)=(-2a，2a，0). 证明 23 设平面B1AC的法向量为m=(x，y，z)， 则 取x=1，则y=1，z=-1，故m=(1，1，-1). 又=(-a，-a，a)=-a(1，1，-1)=-am. 所以∥m， 所以EF⊥平面B1AC. 证明 24 方法二　由方法一可知=(-a，-a，a) =(0，2a，2a)=(-2a，2a，0). 因为·=(-a，-a，a)·(0，2a，2a) =(-a)·0+(-a)·2a+a·2a=0， ·=(-a，-a，a)·(-2a，2a，0)=2a2-2a2+0=0， 所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC=A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 证明 25 方法三　设=a=c=b， 连接BD(图略)， 则=+=+) =+)=+-) =(b+c-a). 因为=+=a+b， 证明 26 所以·=(b+c-a)·(a+b) =(b2-a2+c·a+c·b) =(|b|2-|a|2+0+0)=0， 所以⊥即EF⊥AB1. 同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C=B1，AB1，B1C⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 证明 27 向量法证明线面垂直的两种思路 (1)应用判定定理：选取基向量或建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量与另两个相交直线的方向向量的数量积均为零，从而证得结论. (2)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论. 反 思 感 悟 28 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE. 跟踪训练 2 29 连接C1D， ∵C1在平面ABC内的射影为D， ∴C1D⊥平面ABC， 又BD，AC⊂平面ABC， ∴C1D⊥BD，C1D⊥AC， 又△ABC为等边三角形，D为AC的中点， ∴BD⊥AC， 则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴， 证明 30 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(0，0)， C(0，-1，0)，C1(0，0)， EA1(0，2)， ∴=(0，0)= =(0，-3，-). 证明 31 方法一　设平面BDE的法向量为m=(x，y，z)， ∵ 不妨取z=1，则y=则m=(01)， ∴平面BDE的一个法向量为m=(01)， ∵=(0，-3，-)， ∴=-m，∴∥m，∴A1C⊥平面BDE. 证明 32 方法二　∵·=0·=-=0， ∴⊥⊥即BD⊥A1C，DE⊥A1C， 又BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE， ∴A1C⊥平面BDE. 证明 33 平面与平面垂直 三 提示　垂直. 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 问题3 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔ ⇔ . n1⊥n2 n1·n2=0 知识梳理 　(课本例5)　证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：如图，l⊥α，l⊂β， 求证：α⊥β. 例 3 37 如图，取直线l的方向向量u，平面β的法向量n. 因为l⊥α， 所以u是平面α的法向量. 因为l⊂β，而n是平面β的法向量， 所以u⊥n. 所以α⊥β. 证明 38 如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC. 例 3 39 如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设PA=PB=PC=3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)， ∴=(0，-1，-1)=(1，-1，-1). 设平面EFG的法向量为n=(x，y，z)， 则有n⊥n⊥. ∴令y=1，得z=-1，x=0，即n=(0，1，-1). 证明 40 显然=(3，0，0)是平面PBC的一个法向量. 又n·=0，所以n⊥ 即平面EFG的法向量与平面PBC的法向量互相垂直， ∴平面EFG⊥平面PBC. 证明 41 证明面面垂直的两种方法 (1)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. (2)几何法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. 反 思 感 悟 42 　如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 跟踪训练 3 43 取AB的中点O，CD的中点M， 连接OM，则OM⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD=AB， OM⊂平面ABCD， 所以OM⊥平面PAB， 又PA=PB，所以PO⊥AB， 以点O为原点，OP，OB，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 证明 44 设AP=a，AD=b， 则A(0，-a，0)，B(0，a，0)， P(a，0，0)，C(0，a，b)， D(0，-a，b)， 所以=(0，0，b)=(a，a，0)， =(0，0，b)=(a，-a，0)， 设n1=(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量， n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 证明 45 则由 z1=0，令x1=1， 则y1=-1，即n1=(1，-1，0)， 同理z2=0，令x2=1， 可得y2=1，即n2=(1，1，0). 因为n1·n2=1-1=0， 所以平面PAD⊥平面PBC. 证明 46 1.知识清单： (1)直线与直线垂直的向量表示及应用. (2)直线与平面垂直的向量表示及应用. (3)平面与平面垂直的向量表示及应用. 2.方法归纳：转化法、法向量法. 3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若平面α，β的法向量分别为a=(2，-1，0)，b=(-1，-2，0)，则α与β的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 √ a·b=-2+2+0=0， ∴a⊥b，∴α⊥β. 解析 1 2 3 4 2.已知平面α的法向量为a=(1，2，-2)，平面β的法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于 A.4 B.-4 C.5 D.-5 √ ∵α⊥β，∴a⊥b， ∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5. 解析 1 2 3 4 3.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是　　　. 垂直 1 2 3 4 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)， 则EFP(0，0，1)， B(1，1，0)，C(0，1，0)， ∴==(-1，0，0)， =(0，1，-1)， 设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)， 解析 1 2 3 4 则 令y=1，则z=1， ∴平面PBC的一个法向量为n=(0，1，1). ∴=-n， ∴∥n，∴EF⊥平面PBC. 解析 1 2 3 4 4.在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC= SB=则直线SC与BC是否垂直　　　.(填“是”或“否”)  是 1 2 3 4 如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则由AC=2，BC= SB= 得B(-2，0)，S(0，0，2)，C(0，2，0)， =(0，2，-2)=(-0，0). 因为·=0， 所以SC⊥BC. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C D C A ABC 0 题号 8 11 12 13 14 15 答案 (-2，4，1)或 (2，-4，-1) AC D ABD A 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA=AB=BC=1，则A(0，0，0)， B(1，0，0)，P(0，0，1). 因为∠ABC=60°，AB=BC， 所以△ABC为正三角形. 所以CE= 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设D(0，y1，0)， = 由AC⊥CD·=0， 即-+=0， 解得y1=则D 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =. = ·=-×+×=0⊥即AE⊥CD. 9. (2)方法一　由(1=(1，0，0)= 设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)， 令y=2，则n=(0，2，-. = 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. =n∥n， 所以PD⊥平面ABE. 方法二　由(1==. ·=×+×(-1)=0， ⊥即PD⊥AE. 由(1=(1，0，0)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. ·=0，所以PD⊥AB. 又AB∩AE=A，AB， AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设AB=AS=1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)， S(0，0，1)，E. 方法一　连接AC，设AC与BD相交于点O， 连接OE，则O. =(0，0，1)= 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 = 又E∉AS，所以OE∥AS. 又AS⊥平面ABCD， 所以OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABCD. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　设平面BDE的法向量为n1=(x，y，z). =(-1，1，0)，= 所以 令x=1， 可得平面BDE的一个法向量为n1=(1，1，0). 因为AS⊥平面ABCD， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以平面ABCD的一个法向量为n2==(0，0，1). 因为n1·n2=0， 所以平面BDE⊥平面ABCD. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵平面ADEF⊥平面ABCD， 平面ADEF∩平面ABCD=AD， AF⊥AD，AF⊂平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD， ∴AF⊥AC. 过A作AH⊥BC于H(图略)， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则BH=1，AH=CH=3， ∴AC=2 ∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB. ∵AB∩AF=A，AB， AF⊂平面FAB，∴AC⊥平面FAB. ∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)存在.理由如下： 由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点， x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(0，20)，E(-12). 假设在线段BE上存在一点P满足题意， 则易知点P不与点B，E=λ，则λ>0， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P. 设平面PAC的法向量为m=(x，y，z). = =(0，20)，得 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x=1，则z= ∴m=PAC的一个法向量. 同理，可求得n=BCEF的一个法向量. 当m·n=0，即λ=平面PAC⊥平面BCEF， 故存在满足题意的点P，=. 基础巩固 1.设l1的一个方向向量为a=(1，3，-2)，l2的一个方向向量为b=(-4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于 A.1 B. C. D.3 √ 因为l1⊥l2，所以a·b=0， 即1×(-4)+3×3+(-2)×m=0， 所以2m=9-4=5，即m=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设a，b分别是两条直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a⊥α，b⊥β，则a是平面α的一个法向量，b是平面β的一个法向量， 则由a⊥b得α⊥β，必要性满足，反之若α⊥β，则法向量a⊥b，充分性满足，应是充要条件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知n1=(x，2)，n2=(-3-2)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则x等于 A.-7 B.-1 C.1 D.7 √ 因为α⊥β，所以n1⊥n2，所以n1·n2=×(-3)+x×+2×(-2)=0，解得x=7. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知点A(0，1，0)，B(-1，0，-1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为 A.(1，0，-2) B.(1，0，2) C.(-1，0，2) D.(2，0，-1) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知=(-1，-1，-1)=(2，0，1)=(x，-1，z)，又PA⊥平面ABC， 所以有·=(-1，-1，-1)·(x，-1，z)=0， 得-x+1-z=0. ① ·=(2，0，1)·(x，-1，z)=0，得2x+z=0， ② 联立①②得x=-1，z=2， 故点P的坐标为(-1，0，2). 解析 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于 A.BD B.AC C.A1D D.A1A √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1，则C(0，1，0)，B(1，1，0)， A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E ∴==(-1，1，0)，=(-1，-1，0) =(-1，0，-1)，=(0，0，-1)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵·=(-1)×+(-1)×+0×1=0， ∴CE⊥BD. 又∵·=-1≠0， ·=-≠0·=-1≠0， ∴CE与AC，A1D，A1A均不垂直. 解析 6.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若=(2，-1，-4)=(4，2，0)=(-1，2，-1)，则下列结论正确的有 A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为·=-2-2+4=0， 所以⊥所以AP⊥AB，A正确； 因为·=-4+4+0=0， 所以⊥所以AP⊥AD，B正确； 因为AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A， AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD， 所以是平面ABCD的一个法向量，C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =-=(2，3，4)， 设=λ=(-λ，2λ，-λ)， 即此方程组无解，D错误. 解析 7.已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有　　对. 因为a·b=(0，1，1)·(1，1，0)=1≠0，a·c=(0，1，1)·(1，0，1)=1≠0，b·c=(1，1，0)·(1，0，1)=1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中互相垂直的有0对. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 8.在△ABC中，A(1，-2，-1)，B(0，-3，1)，C(2，-2，1).若向量n所在的直线与平面ABC垂直，且|n|=则n的坐标为　　　　 　　　 　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-2，4，1)或(2，-4，-1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，得=(-1，-1，2)，=(1，0，2). 设n=(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直， ∴可得 ∵|n|=∴= 解得y=4或y=-4. 当y=4时，x=-2，z=1；当y=-4时，x=2，z=-1. ∴n的坐标为(-2，4，1)或(2，-4，-1). 解析 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. (1)求证：AE⊥CD； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA=AB=BC=1， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1). 因为∠ABC=60°，AB=BC，所以△ABC为正三角形. 所以CE= 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设D(0，y1，0)，则= 由AC⊥CD得·=0，即-+=0， 解得y1=则D所以=. 又=所以·=-×+×=0， 所以⊥即AE⊥CD. 证明 (2)求证：PD⊥平面ABE. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由(1)知=(1，0，0)= 设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)， 则 令y=2，则n=(0，2，-). 又=显然=n，所以∥n， 所以PD⊥平面ABE. 证明 方法二　由(1)知==. 所以·=×+×(-1)=0， 所以⊥即PD⊥AE. 由(1)知=(1，0，0)，所以·=0，所以PD⊥AB. 又AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS=AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设AB=AS=1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)， S(0，0，1)，E. 方法一　连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE， 则O. 因为=(0，0，1)= 所以= 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又E∉AS，所以OE∥AS. 又AS⊥平面ABCD， 所以OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABCD. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　设平面BDE的法向量为n1=(x，y，z). 因为=(-1，1，0)= 所以 令x=1， 可得平面BDE的一个法向量为n1=(1，1，0). 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为AS⊥平面ABCD， 所以平面ABCD的一个法向量为 n2==(0，0，1). 因为n1·n2=0，所以平面BDE⊥平面ABCD. 证明 11.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM A.和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和MN垂直 D.和AC，MN都不垂直 √ √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略). 设正方体的棱长为2a(a>0)， 则M(0，0，a)，A(2a，0，0)， C(0，2a，0)，O(a，a，0)， N(0，a，2a)，A1(2a，0，2a). ∴=(-a，-a，a)=(0，a，a)， =(-2a，2a，0)=(0，0，2a). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴·=0·=0， ·=2a2≠0， ∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直. 解析 12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，M是棱AA1上一点，且平面MBD⊥平面OC1D1，则等于 A. B. C. D.1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则B(1，1，0)，D(0，0，0)，O D1(0，0，1)，C1(0，1，1)， 设M(1，0，t)，0≤t≤1， 则== =(1，1，0)=(1，0，t)， 解析 设平面OC1D1的法向量为m=(x，y，z)，则 解得y=0，令z=1，得x=2，则m=(2，0，1)， 设平面MBD的法向量为n=(a，b，c)， 则 令c=1，则a=-t，b=t，故n=(-t，t，1)， 由题意得m·n=(2，0，1)·(-t，t，1)=-2t+1=0，解得t=故=1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是 A.MN与CC1垂直 B.MN与平面ACC1A1垂直 C.MN与DC平行 D.MN与平面BDA1平行 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设AB=2，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)， M(1，2，1)，N(0，1，1)， 解析 对于A=(-1，-1，0)=(0，0，2)， 则·=0，所以MN⊥CC1，故A正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B=(-2，2，0)，则·=0，所以MN⊥AC，又AC∩CC1=C，AC，CC1⊂平面ACC1A1，所以MN⊥平面ACC1A1，故B正确； 解析 对于C=(0，2，0)，若MN与DC平行， 则存在唯一实数λ，使得=λ所以无解， 所以MN与DC不平行，故C错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D=(2，2，0)=(2，0，2)， 设平面BDA1的法向量n=(x，y，z)， 则有 可取n=(1，-1，-1)， 因为·n=-1+1+0=0，且MN⊄平面BDA1， 所以MN∥平面BDA1，故D正确. 解析 14.已知梯形CEPD如图1所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体.已知当点F满足=λ(0<λ<1)时，平面DEF⊥ 平面PCE，则λ的值为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以A为坐标原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴C(4，4，0)，D(0，4，0)，E(4，0，2)，P(0，0，4)，F(4λ，0，0)， 则=(4，0，-2)=(4，4，-4)， =(4(λ-1)，0，-2)=(4，-4，2)， 若m=(x，y，z)是平面DEF的一个法向量， 则令z=2， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可得m= 若n=(a，b，c)是平面PCE的一个法向量， 则令c=2，可得n=(1，1，2)， 由平面DEF⊥平面PCE，得m·n=0， 即++4=0，解得λ=. 解析 15.在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=AB=AC=AA1=1.已知G，E分别为A1B1和CC1的中点，D，F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为 A. B. C.[1) D. 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 建立如图所示的空间直角坐标系， 则EG 设F(x，0，0)，D(0，y，0)且x，y∈(0，1)， 则== 由于GD⊥EF， 所以·=0，即x+2y-1=0，x=1-2y， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以||=== 又因为x，y∈(0，1)，所以1-2y∈(0，1)， 得y∈所以||∈ 即线段DF长度的取值范围为. 解析 16.如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2. (1)求证：AC⊥BF； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD， AF⊥AD，AF⊂平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD， ∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图略)， 则BH=1，AH=CH=3，∴AC=2 ∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB. ∵AB∩AF=A，AB，AF⊂平面FAB，∴AC⊥平面FAB. ∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 存在.理由如下： 由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(0，20)，E(-12). 假设在线段BE上存在一点P满足题意， 则易知点P不与点B，E重合，设=λ， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则λ>0，P. 设平面PAC的法向量为m=(x，y，z). 由==(0，20)， 得 即令x=1，则z= 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴m=为平面PAC的一个法向量. 同理，可求得n=为平面BCEF的 一个法向量. 当m·n=0，即λ=时，平面PAC⊥平面BCEF， 故存在满足题意的点P，此时=. 解 第一章　1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 <<< $