1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第1课时）（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量表示点、直线、平面，通过前情回顾空间向量运算及几何确定方法，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生理解位置向量、方向向量和法向量的概念。 其亮点在于采用“读教材”自主探究、分层练习巩固及几何体实例题型训练，以数学眼光抽象几何对象，用数学思维推理法向量求法，小结系统梳理知识，助力学生深化理解，便于教师高效教学。

第一章 空间向量与立体几何 1.4.1(第一课时) 用空间向量研究 直线、平面的位置关系 前情回顾 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 模长 夹角 平行 当时 垂直 前情回顾 点动成线 线动成面 两点确定一条直线 已知一个点和直线的方向可以确定一条直线 三点确定一个平面的推论： 直线和直线外一点确定一个平面 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 学 习 目 标 1 2 3 能用向量语言表述空间中点、直线和平面. 理解空间中直线的方向向量与平面的法向量. 会求直线的方向向量与平面的法向量. 读教材 阅读课本P26-P28，5分钟后完成下列问题： 1. 空间中点、直线、平面应该如何表示？ 我们一起来探究“空间中点、直线和平面的向量表示”吧！ 2. 说说如何求空间直线的方向向量和平面的法向量？ 新课引入 点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成 空间几何体的基本元素. 点 线 面 空间 向量 几何 要素 对 应 ？ ？ ？ 因此，为了用空间向量解决立体几何问题， 首先要用向量表示空间中的点、直线和平面． 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的向量表示 2 平面的法向量 3 题型训练 新知探究1 问题1 空间向量和点有什么联系？如何用向量表示空间中的一个点P？ 向量终点的坐标 向量的坐标 一一对应 坐标 平面 如图：取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示. 我们把向量称为： 点的位置向量. 空间 以原点作为固定点 向量称为 点的位置向量. 定点 新知探究1 探究1 两点可以确定一条直线，已知一个点和直线的方向也可以确定 一条直线，那么如何用向量表示空间中直线？ 我们知道，空间中给定一个点和一个方向就能唯一确定一条直线， 因此用向量表示直线就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点. A l P B 线→点+方向向量 几何中 向量中 点 方向向量 一个点 一个方向 + 概念 空间向量表示直线 A l P B 进一步，取定空间中任意一点， 可以得到点在直线上的充要条件是存在实数， 使，① 将代入①式， 得. ② 空间直线的 向量表示式 O 推论： 如图, 是直线的方向向量，在上取，设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数 ，使得 即. 练习巩固 解:直线一个方向向量为 直线的方向向量所以(－2，2，2) 为直线的方向向量。 故选B. 练习1 若(2，1，1)，(1，2，2)在直线上，则直线的一个方向向量为(　　) (2，1，1)　　 (－2，2，2) (－3，2，1) (2，1，－1) B　 练习巩固 练习2 已知直线的一个方向向量，且直线过和 两点，的值？ 解:直线过和两点， 所以一个方向向量为 直线的一个方向向量 练习巩固 练习3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则（　 ） A. 以A为基点，点C1的一个位置向量为（1，1，1） B. 以B为基点，点D的一个位置向量为（0，1，0） C. 直线BC1的一个方向向量为（0，1，1） D. 直线B1D的一个方向向量为（1，1，1） AC 方法总结 求直线的方向向量：直线上任意两点构成的非零向量为直线的方向向量。 思考：直线的方向向量是不是唯一的？ 直线的方向向量不是唯一的， 并且直线的方向向量间是平行的。 直线的方向向量 A l P B 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的方向向量 2 平面的法向量 3 题型训练 新知探究2 问题3 两条相交直线可以确定一个平面，一个定点和两个定方向 能否 确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 我们知道，平面可以由内两条相交直线确定，如图，设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得 . 这样，点与向量，不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用. α P 向量表示平面主要用于 求接下来所要学习的： 平面的法向量 新知探究2 探究2 直线和直线外一点确定一个平面，用点和直线的方向向量 能确定平面吗？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 如图，直线,取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量. 给定一个点和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 给定空间一点和一条直线，则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的，由此可以利用点和直线的方向向量来确定平面。 垂直于平面的向量叫做平面的法向量，如图，向量为平面的法向量. 新知探究2 思考 如果另有一条直线，在直线上任取向量，与有什么关系? 由平面法向量的定义可得如下性质： (1)性质1： 平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； 如图，∵向量为平面的法向量， ∴ (2)性质2：一个平面的法向量有无数个， 它们互相平行且长度不一。 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量. ，且据平面法向量的定义也是平面的法向量. 概念 平面的法向量 方法1：待定系数法 ①设向量：设平面的法向量为; ②选向量：在平面内选取两个不共线的向量; ③列方程：由列出方程； ④赋非零值：取中的一个为非零值(常取±1)； ⑤解方程组：解方程组； ⑥得结论：得到平面的一个法向量. 注：一般选两个式子都有的坐标赋值； 选取的值不一样，只是法向量的长度不一样； 概念 平面的法向量 方法3：叉乘法(只适合选择题、填空题，不可用于解答题) 已知两个不共线的空间向量与, 设向量为向量与确定平面的法向量,则 ； ； ； 注：其中符号 方法2：定义法 几何体中利用线段,只需证明线面垂直，取该直线的方向向量即为平面的法向量。 练习巩固 练习1 判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线的方向向量是唯一的． (　　) (2)若点，是平面上的任意两点，是平面的法向量，则 .(　　) (3)由空间点和直线的方向向量能表示直线上的任意一点． (　　) (4)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． (　　) × √　 √　 √　 练习巩固 练习2 判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量.( ) (2)若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量.( ) (3)在空间直角坐标系中，(0，0，1)是坐标平面的一个法向量.( ) (4)一个平面的所有法向量都是同向的.( ) × √　 √　 × 练习巩固 练习3 已知(0,1,1)，(－1,1,1)，(1,0,0)，则平面的一个法向量为(　　) ．(0，1，－1) ．(－1，0，1) ．(1，1，1) ．(－1，0，0) 解：设平面的法向量为， 由，，可得 ，， 1，所以(0，1，－1)。 练习巩固 练习4 已知直线的一个方向向量为，且过点M(1，0，－1). 若平面α过直线与点N（1，2，3），求平面α的一个法向量？ 解: 依题意，（0，2，4），显然 与不共线， 设平面α的一个法向量为， 则 取2，得－4，1， 因此是平面α的一个法向量. 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的方向向量 2 平面的法向量 3 题型训练 方向向量和法向量的应用 题型1 题型探究 例1 如图，在长方体中，是的中点.以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 解：(1)∵AB=4， BC=3， CC1=2,， M是AB的中点， ∴M(3，2，0)， A1(3，0，2). ∴ =(0，－2，2) ∴直线A1M的方向向量为=(0，－2，2). (1)求直线A1M的方向向量；(2)求平面BCC1B1的法向量；(3)求平面MCA1的法向量. 方向向量和法向量的应用 题型1 题型探究 例1 如图，在长方体中，是的中点.以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 解：(2)因为轴垂直于平面， 所以是平面的一个法向量. (1)求直线A1M的方向向量；(2)求平面BCC1B1的法向量；(3)求平面MCA1的法向量. 方向向量和法向量的应用 题型1 题型探究 例1 在长方体中，是的中点. 解：(3)是的中点， ，的坐标分别为，，. 因此，. 设是平面的法向量，则， 所以所以 取，则，.于是是平面的一个法向量. (1)求直线A1M的方向向量；(2)求平面BCC1B1的法向量；(3)求平面MCA1的法向量. 方向向量和法向量的应用 题型1 题型探究 例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点， 在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量. 解：(1)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0), B（2，2，0），D1（0，0，2），E（1，0，2）. 设平面BDD1B1的法向量为＝（x1，y1，z1）， ∵ ＝（2，2，0）， ＝（0，0，2）， 则 即 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝0， ∴平面BDD1B1的一个法向量为＝（1，－1，0）. 方向向量和法向量的应用 题型1 题型探究 例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点， 在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量. 解：(2)∵ ＝（2，2，0）， ＝（1，0，2）， 设平面BDEF的法向量为＝（x2，y2，z2）. 则 即 令x2＝2，则y2＝－2，z2＝－1， ∴平面BDEF的一个法向量为＝（2，－2，－1）. 方向向量和法向量的应用 题型1 题型探究 例3 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°， SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，试建立适当的坐标系， 求：平面SCD的一个法向量. 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴，y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0）， D（ ，0，0），S（0，0，1）. 方向向量和法向量的应用 题型1 题型探究 例3 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°， SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，试建立适当的坐标系， 求：平面SCD的一个法向量. 在平面SCD中， ＝（ ，1，0）， ＝（1，1，－1）. 设平面SCD的法向量是＝（x，y，z），则⊥ ，⊥ ， 所以 得方程组 所以 令y＝－1，得x＝2，z＝1，所以＝（2，－1，1）. 所以＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量. 课堂小结 用空间向量研究直线、平面的位置关系 求直线方向向量和平面的法向量 点线面的向量表示 点 线 面 OP=xa+yb 平面的法向量： 点→点的位置向量 线→直线的方向向量 平面→平面的法向量 感谢聆听! $