第1章 1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量概念、线性运算及运算律，以滑翔伞运动场景导入，通过类比平面向量自然过渡到空间向量，搭建从平面到空间的知识支架，系统梳理概念、运算及运算律的内在逻辑。 其亮点在于采用类比迁移与数形结合，通过问题驱动（如空间向量概念的类比提出）、实例分析（长方体中向量表示）和分层训练，培养学生数学眼光（空间观念）与数学思维（推理能力），助力学生构建知识体系，教师可提升教学效率。

第1课时 第一章　1.1.1　空间向量及其线性运算 <<< 空间向量及其线性运算 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算(重点). 学习目标 你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？ 导 语 一、空间向量的有关概念 二、空间向量的加减运算 课时对点练 三、空间向量的数乘运算 随堂演练 内容索引 空间向量的有关概念 一 提示　平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，类比平面向量的定义，我们可以得到，空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致. 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 问题1 1.在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的 或 . 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的____表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作其模记为 或 . 大小 方向 长度 模 长度 |a| || 知识梳理 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做 ，记为0 单位向量 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为___ 共线(平 行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量_____，即对于任意向量a，都有0 a 相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量.在空间， 且_____的有向线段表示同一向量或相等向量 零向量 模为1 相等 -a 互相平行或重合 平行 ∥ 相同 相等 同向 等长 相反 (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同. (3)空间向量不能比较大小. (4)已知向量a，b，c，其中b≠0，若a∥b，b∥c，则a∥c. 注 意 点 <<< 9 　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量满足||>||，则> D.相等向量其方向必相同 √ 例 1 A中，单位向量长度相等，方向不确定； B中，|a|=|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小. 解析 10 (2)(多选)下列命题为真命题的是 A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c √ √ 11 A为假命题，根据向量相等的定义知， 两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，在正方体ABCD-A1B1C1D1中的方向相同，模也相等，； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，向量平行不一定具有传递性，当b=0时，a与c不一定平行. 解析 12 空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 反 思 感 悟 13 　(多选)下列说法错误的是 A.空间任意两个向量的模能比较大小 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 跟踪训练 1 √ √ √ 14 对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个实数，所以任意两个向量的模可以比较大小； 对于选项B，其终点构成一个球面； 对于选项C，空间向量可以用有向线段表示，但空间向量不是有向线段； 对于选项D，两个向量不相等， 它们的模可能相等. 解析 15 二 空间向量的加减运算 提示　共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致. 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？由此，对空间向量的运算有什么启发呢？ 问题2 空间向量的加法、减法运算及运算律 加法 运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接， 为和 图形叙述   平行 四边形 法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，________ _____为和 图形叙述   首指向尾 共起点对 角线 知识梳理 减法 运算 几何意义 语言叙述 共起点，连终点，方向指向 向量 图形叙述   运算律 交换律 a+b=____ 结合律 (a+b)+c=________ 被减 a+(b+c) b+a (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点. (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即+++…+. (3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即+++…+=0. (4)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 注 意 点 <<< 20 　(1)(多选)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是 A.-- B.+- C.-- D.-+ √ 例 2 √ 21 A中---； B中+-+； C中----=≠； D中-+++=+≠. 解析 22 (2)对于空间中的非零向量其中一定不成立的是 A.+ B.- C.||+||=|| D.||-||=|| √ 23 根据空间向量的加减法运算， 对于A+恒成立； 对于C，当方向相同时，有||+||=||； 对于D，当方向相同且||≥||时，有||-||=||； 对于B，由向量减法可知-又为非零向量，所以B一定不成立. 解析 24 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 反 思 感 悟 25 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. (1)+-； 跟踪训练 2 +-+++如图中向量. 解 26 (2)--. 如图，连接GF， 因为E，F，G分别是BC，CD，DB的中点， 所以 所以--++++如图中向量. 解 27 空间向量的数乘运算 三 空间向量的数乘运算及运算律 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 (a≠0) λ>0 λa与向量a的方向_____ λa的长度是a的长度的 倍 λ<0 λa与向量a的方向_____ λ=0 λa=0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)=______ 分配律 (λ+μ)a= ，λ(a+b)=_______ 相同 相反 |λ| (λμ)a λa+μa λa+λb (1)当λ=0或a=0时，λa=0，反之，当λa=0时，λ=0或a=0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. 注 意 点 <<< 30 (1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是 A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb，则a=b D.若ma=na，则m=n √ 例 3 m(a-b)=ma-mb，A对； (m-n)a=ma-na，B对； 若m=0，则a，b不一定相等，C错； 若a=0，则m，n不一定相等，D错. 解析 √ 31 (2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a=b=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①； ∵P是C1D1的中点， ∴++=a++=a+c+=a+b+c. 解 32 ②； ∵N是BC的中点， ∴++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c. 解 33 ③. ∵M是AA1的中点， ∴++=-a+a+b+c. 解 34 本例(2)的条件不变，试用a，b，c表示向量. 延伸探究 1 因为P，N分别是C1D1，BC的中点， 所以++ =+(-)+ =-a+b-c. 解 35 若把本例(2)中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且”，其他条件不变，如何表示？ 延伸探究 2 +++=a+b+c. 解 36 在本例(2)的条件下，化简a-b-c，并将化简得到的向量用图形中的点来表示. 延伸探究 3 a-b-c=-- =- =-(+)=-. 解 37 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点或其他分点的性质. 反 思 感 悟 38 1.知识清单： (1)向量的相关概念. (2)向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)向量的线性运算的运算律. 2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想. 3.常见误区：非零向量共线具有传递性，但当出现零向量时，向量共线不一定能传递，因为零向量与任意向量都是共线向量. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列命题中，真命题是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 √ √ √ 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. 解析 1 2 3 4 2.化简-+所得的结果是 A. B. C.0 D. √ -++ =-=0. 解析 1 2 3 4 3.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则-+等于 A. B.3 C.3 D.2 √ -+-(-)=-++2=3. 解析 1 2 3 4 4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若 +x+y则x=　　　，y=　　　.  - - 由图可知-=-+) =-- 所以x=y=-. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C C A A ABC 相等　相反 题号 8 11 12 13 14 15 答案 -a-b+c BCD C a-b+c AD 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意知，AA1=1共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个. (2)易知A1D== . (3. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=++=-+--=-+=-++ =-++=-++-=+- =+x+y ∴x=y=-. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在空间四边形ABCD中，E，Fλ， ==λ， =+.证明如下： =++=++=++++ =++++=+. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)的结论可得 =+ =+. 基础巩固 1.向量a，b互为相反向量，已知|b|=3，则下列结论正确的是 A.a=b B.a+b为实数0 C.a与b方向相同 D.|a|=3 √ 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列说法中正确的是 A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.的充要条件是A与C重合，B与D重合 C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有+ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B的充要条件是||=||，且同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误； 对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 对于D，满足+的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若=a=b=c，则等于 A.a+b-c B.a-b+c C.b-a-c D.b-a+c √ --- ∵=c， ∴=b-a-c. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且++则四边形ABCD是 A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 √ ∵++∴. ∴∥且||=||. ∴四边形ABCD为平行四边形. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且记=x+y+z则(x，y，z)等于 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接OE，OF(图略)， 因为E，F分别是AB，BC的中点， 所以++ =+-)=+ =×+)+×+)=++ 故(x，y，z)=. 解析 6.(多选)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列选项中正确的有 A.- B.++ C. D.+++ √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'的图象如图，可得-+故A正确； ++++故B正确； C显然正确； ++++ 故D不正确. 解析 7.如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中与是　　　向量与是　　　向量.(用“相等”或“相反”填空)  由相等向量与相反向量的定义知是相等向量是相反向量. 解析 相等 相反 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知=a=b=c，用a，b，c表示则=　　　　 .  ∵++=--+ 又∵M是AA1的中点，∴ ∴=--+ ∵=a=b=c， ∴=-a-b+c. 解析 -a-b+c 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中. (1)单位向量共有多少个？ 由题意知，AA1=1，所以向量共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)写出模为 的所有向量； 易知A1D= 所以模为. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)试写出的所有相反向量. 根据相反向量的定义，可得向量. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若+x+y求x，y的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵++=-+-- =-+=-++)=-++) =-++-) =+- 又+x+y ∴x=y=-. 解 11.(多选)已知正方体ABCD-A'B'C'D'的中心为O，则在下列各结论中正确的有 A.+与+是一对相等向量 B.-与-是一对相等向量 C.+++与+++是一对相反向量 D.-与-是一对相反向量 √ √ √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，=-=- 所以+=-(+)，是一对相反向量，A错误； --而 故是一对相等向量，B正确； 又=-=- 所以+++=-(+++)， 是一对相反向量，C正确； --=-所以是一对相反向量，D正确. 解析 12.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AC与BD的交点为O，点M在BC'上，且BM=2MC'，则等于 A.-++ B.-++ C.++ D.-+ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为BM=2MC'，所以 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中， ++ =++) =-)++) =++. 解析 13.如图，在三棱锥S-ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G满足若=a=b=c，则=　　　 　.(用a，b，c表示) a-b+c 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ++ =-)+-) =-)+× =-+ =a-b+c. 解析 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且++ )=λ则λ=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，因为O为AC1与A1C的交点，所以O为AC1的中点， 所以=2 则++) = 故λ=. 解析 15.(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1，设=a=b=c，则下列选项正确的为 A.(a+b+c) B.(a+2b+c) C.a+b+c D.a+b+c 拓广探究 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为P是CA1的中点，所以+) =++)=(a+b+c)，故A正确，B错误； 因为点Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1， 解析 所以+++-)=++)+a+b+c，故C错误，D正确. 16.在平面四边形ABCD中，E，F分所成的比为λ，即=λ，则有+. (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在空间四边形ABCD中，E，F分所成的比为λ，即=λ， 则有+.证明如下： ++++ =+)+++) =++++ =+. 解 (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用(1)的结论表示. 由(1)的结论可得+=+. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章　1.1.1　空间向量及其线性运算 <<< $