1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量概念及线性运算，以滑翔伞运动受力情境导入，通过类比平面向量的定义、运算及运算律，搭建从二维到三维的学习支架，帮助学生实现知识迁移。 其亮点在于运用数学抽象与直观想象，结合正方体、四面体等空间几何体实例，通过问题链引导学生理解运算律。课堂小结梳理知识清单、思想方法及易错点，能提升学生逻辑推理能力，教师可借助丰富例题与分层作业高效教学。

第一课时　空间向量及其线性运算 1 1. 经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念（数学抽象、直观想象）. 2. 经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程（数学抽象、直观想象）. 3. 掌握空间向量的线性运算及其运算律，体会数学运算在研究几何问题中的作用（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景， 情境导入 可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？这就是今天我们要学习的内容. 知识点一　空间向量的有关概念 01 知识点二　空间向量的加、减运算 02 知识点三　空间向量的数乘运算 03 课时作业 04 目录 4 01 PART 知识点一 空间向量的有关概念 目 录 问题1　（1）在必修第二册中我们已经学习了平面向量，回忆一下平面向 量是如何定义的，平面向量如何表示，什么是相等向量？ 提示：平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量；平面向量有两种表示 法：①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；②几何表示法：用有向线 段表示.方向相同且模相等的向量称为相等向量. （2）你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示：能.空间向量是平面向量的推广，其表示方法及一些相关概念与平 面向量一致. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 空间向量的概念与表示 （1）概念：在空间，具有 和 的量叫做空间向量；空间 向量的 叫做空间向量的长度或 ⁠； 大小　 方向　 大小　 模　 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 几个特殊的空间向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为 ⁠的向量 0 单位向量 模为 ⁠的向量 ｜a｜＝1或｜ ｜＝1 相反向量 与向量a长度 而方向 ⁠的向量叫做a的相反向量 －a 0　 1　 相等　 相反　 数学·选择性必修第一册 目 录 特殊向量 定义 表示法 相等向量 方向 且模 ⁠的向量 a＝b或 ＝ 共线向量 或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合（规定：零向量与任意向量平行） a∥b或 ∥ 相同　 相等　 　　提醒：（1）单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方 向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而 零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等；（2）两个空间向量相 等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同；（3）空间两 向量同样不能比较大小. 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】（1）〔多选〕下列命题为真命题的是（　　） A. 若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b B. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 ＝ C. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D. 将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 √ √ 解析：A为假命题，根据相等向量的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题， 与 的方向相同，模也相等，故 ＝ ；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，其终点构成一个球面.故选B、C. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和 终点的向量中： ①试写出与 是相等向量的所有向量； ②试写出 的相反向量. 解析：①与向量 是相等向量（除它自身之外）的有 ， ， . ②向量 的相反向量为 ， ， ， . 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 　空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如 向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空 间向量的相关概念. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A. 方向相反的两个向量是相反向量 B. 空间向量就是空间中的一条有向线段 C. 相等向量其方向必相同 D. 空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c 解析：　相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；空间向 量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，故B错 误；相等向量其方向必相同，故C正确；平行向量不一定具有传递性，当b ＝0时，a与c不一定平行.故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点二 空间向量的加、减运算 目 录 问题2　（1）平面向量的加、减法运算有哪些？满足哪些运算律？ 提示：平面向量的加、减法运算有平行四边形和三角形法则；满足交换律 与结合律. （2）上面的平面向量的加、减法运算及运算律放在空间中还适用吗？为 什么？ 提示：适用.因为空间中任意两个向量都可以通过平移转化到同一个平 面内. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法 ＝ ＝a ＋b 交换律： a＋b＝ ⁠； 结合律：a＋（b＋ c） ＝ ⁠ ⁠ 减法 ＝ ＝a －b ＋ 　 b＋a　 （a＋b）＋ c － 　 数学·选择性必修第一册 目 录 　　提醒：（1）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差 时，必须共起点；（2）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的 起点指向末尾向量的终点的向量，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ；（3）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则 它们的和为零向量，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝0；（4） 一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c 为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对 角线所表示的向量. 数学·选择性必修第一册 目 录 【例2】（1）化简 － ＋ 所得的结果是（　C　） A. B. C. 0 D. 解析： － ＋ ＝ ＋ － ＝ － ＝0，故选C. C 数学·选择性必修第一册 目 录 ① ＋ － ＝ ⁠； ② － － ＝ ⁠. 解析：① ＋ － ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . ② － － ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . ​ ​ （2）如图，已知四面体ABCD，E，F，G分别是边BC，CD，DB的中 点，化简以下式子： 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 　空间向量加、减运算的两个技巧 （1）巧用相反向量：灵活运用相反向量实现向量加、减运算的相互转 化； （2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运 算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平 移获得运算结果. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　（链接教材P5练习2题）在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中， 化简以下式子，并在图中标出化简结果的向量. （1） ＋ － ＋ ； 数学·选择性必修第一册 目 录 解：根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行 四边形， 所以 ＝ ，－ ＝ ＝ ， 所以 ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ，如图. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2） － ＋ ＋ ＋ . 解：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边 形，所以 ＝ . 同理易得 ＝ ， ＝ ， ＝ ， 所以 － ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ，如图. 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 知识点三 空间向量的数乘运算 目 录 问题3　平面向量的数乘运算是如何定义的，有什么运算律？空间向量也 满足上述运算及运算律吗？ 提示：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做 向量的数乘；向量的数乘运算满足结合律及分配律；满足. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 名称 代数形式 几何形式 运算律 数乘 当λ＞0时，λa＝λ ＝ ； 当λ＜0时，λa＝λ ＝ ； 当λ＝0时，λa＝ ⁠ 结合律：λ（μa） ＝ ⁠； 分配律： （λ＋μ）a＝ ⁠， λ（a＋b）＝ ⁠ ⁠ 0　 （λμ）a　 λa＋μa　 λa＋λb 　　提醒：（1）λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响 着λa的长度；（2）向量λa与向量a一定是共线向量. 数学·选择性必修第一册 目 录 【例3】（1）（链接教材P9习题2题）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点. ①化简： － － ＝ 　​ 　； ②用 ， ， 表示 ，则 ＝ 　 ＋ ＋ 　. ​ ＋ ＋ 解析：① － － ＝ － ＝ － ＝ . ② ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＋ . 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点P在A1C上，且 ＝ . 若 ＝x ＋y ＋z ，则x＋y＋z＝ 　​ 　. 解析：如图， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ，所以x＝ ，y＝ ，z＝ ，所以x＋y＋z＝ . ​ 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 利用数乘运算进行向量表示的技巧 （1）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质； （2）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法 则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　（1）已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的 是（　A　） A. m（a－b）＝ma－mb B. 若ma＝mb，则a＝b C. 若ma＝na，则m＝n D. 若ma＝0，则m＝0 解析：m（a－b）＝ma－mb，A正确；若m＝0，则a，b不一定相等， B错误；若a＝0，则m，n不一定相等，C错误；若ma＝0，则m＝0或a ＝0，故D错误.故选A. A 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）如图，在四面体ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，则 （ ＋ ）－ （ ＋ ）＝（　C　） A. B. C. D. C 解析：连接BM，BN，如图所示. 因为M，N分别是AD，CD的中点，所以 （ ＋ ） － （ ＋ ）＝ － ＝ .故选C. 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 下列说法正确的是（　　） A. 若｜a｜＜｜b｜，则a＜b B. 若a，b为相反向量，则a＋b＝0 C. 共线的单位向量都相等 D. 在四边形ABCD中， － ＝ 解析：　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量 的和为0，不是0，B错；共线的单位向量是相等向量或相反向量，C错；由 向量的减法法则，D正确. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 32 2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　在长方体ABCD-A1B1C1D1中， ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ .故选D. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 已知空间向量a，b，c，化简 （a＋2b－3c）＋5（ a－ b＋ c） －3（a－2b＋c）＝ ⁠. 解析：原式＝ a＋b－ c＋ a－ b＋ c－3a＋6b－3c＝ a＋ b－ c. a＋ b－ c 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中， ＝ ，若 ＝x ＋y （ ＋ ），则x＝ ，y＝ ⁠. 解析：因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）， 且 ＝x ＋y（ ＋ ），所以x＝1，y＝ . 1 ​ 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）空间向量的相关概念； （2）空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）； （3）空间向量线性运算的运算律. 2.应体会 （1）由平面向量推广到空间向量采用了类比的思想； （2）借助空间几何体进行空间向量的加、减运算时体现了数形结合思想. 3.避易错 应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”， 而不是一个数. 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 课时作业 目 录 1. 下列命题中为真命题的是（　　） A. 两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 B. 若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C. 在四边形中，一定有 ＋ ＝ D. 不相等的两个空间向量的模必不相等 解析：　两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同，A正确；｜a｜ ＝｜b｜只能说明a，b的长度相等，而方向不确定，B错误；满足 ＋ ＝ 的一定是平行四边形，一般四边形不满足，C错误；两个不相等 的空间相量，其模可以相等，D错误，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， ＝ ，则下列向量相等的是 （　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解析：∵ ＝ ，又ABCD-A1B1C1D1为四棱柱，∴ ＝ ，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的 中点，则 － ＋ ＝（　　） A. B. 3 C. 3 D. 2 解析：　 － ＋ ＝ －（ － ）＝ － ＝ ＋ ＝ ＋2 ＝3 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若 ＝a， ＝c， ＝b，则 ＝（　　） A. － a＋ b＋c B. a＋ b＋c C. － a－ b＋c D. a－ b＋c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　因为M是A1C1的中点，所以 ＝ ＋ － ＝ － ＋ ＝ － ＋ ＝ － ＋ （ ＋ ）＝ － ＋ ＝－ a＋ b＋c.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. 〔多选〕已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列选项中正确的有（　） A. － ＝ B. ＝ ＋ ＋ C. ＝ D. ＋ ＋ ＋ ＝ √ √ √ 解析：作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'如图，可得 － ＝ ＋ ＝ ，故A正确； ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ，故B正确；C显然正确； ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ，故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕对于空间中的非零向量 ， ， 两两不等，其中可能成 立的是（　　） A. ＋ ＝ B. － ＝ C. ｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜ D. ｜ ｜－｜ ｜＝｜ ｜ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：对于A，根据空间向量的加法运算， ＋ ＝ 恒成立；对于B，由向量减法可知 － ＝ ，又 为非零向量，所以B一定不成立；对于C，当 ， 方向相同时，有｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜；对于D，当 ， 方向相同且｜ ｜≥｜ ｜时，有｜ ｜－｜ ｜＝｜ ｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 空间中任意四个点A，B，C，D，则 ＋ － ＋2 ＝ ⁠. 解析： ＋ － ＋2 ＝ ＋ ＋2 ＝ ＋2 ＝2 － ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知 ＝a， ＝b， ＝c，用a，b，c表示 ，则 ＝ 　－a－b＋ c　. 解析：∵ ＝ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ，又∵M是AA1的中 点，∴ ＝ ，∴ ＝－ － ＋ ，∵ ＝a， ＝ b， ＝c，∴ ＝－a－b＋ c. －a－b＋ c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且 （ ＋ ＋ ）＝λ ，则λ＝ 　　. 解析：如图，因为O为AC1与A1C的交点， 所以O为AC1的中点，所以 ＝2 ，则 （ ＋ ＋ ）＝ ＝ ，故λ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是棱BB1的中点，化简下列各 式，并在图中标出化简得到的向量. （1） ＋ ； 解： ＋ ＝ .如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2） ＋ ＋ ； 解：∵M是BB1的中点， ∴ ＝ ，又 ＝ ， ∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .如图. （3） － － － . 解： － － － ＝ （ ＋ ）－ （ ＋ ）＝ － ＝ .如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC 的中点，若 ＝x ＋2y ＋3z ，则x＋y＋z＝（　　） A. 1 B. C. D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋（ － ），所以2 ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝ ＋ ＋ ，所 以x＝ ，2y＝ ，3z＝ ，解得x＝ ，y＝ ，z＝ ，所以x＋y＋z＝ ＋ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确 的有（　　） A. ＋ 与 ＋ 是一对相反向量 B. － 与 － 是一对相反向量 C. ＋ ＋ ＋ 与 ＋ ＋ ＋ 是一对相反向量 D. － 与 － 是一对相反向量 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：∵O为正方体的中心，∴ ＝－ ， ＝－ ，故 ＋ ＝－（ ＋ ），同理可得 ＋ ＝－（ ＋ ），故 ＋ ＋ ＋ ＝－（ ＋ ＋ ＋ ），∴A、C正确；∵ － ＝ ， － ＝ ，∴ － 与 － 是两个相等的向量，∴B不正确；∵ － ＝ ， － ＝ ＝－ ，∴ － ＝－（ － ），∴D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. 在空间四边形ABCD中，连接AC，BD. 若△BCD是正三角形，且E 为其中心，则 ＋ － － ＝ ⁠. 解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则 ＝ ，故 ＋ － － ＝ ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. 如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的 重心. （1）求证： ＋ ＋ ＝0； 解：证明： ＝－ （ ＋ ），　① ＝－ （ ＋ ），　② ＝－ （ ＋ ），　③ 由①＋②＋③得 ＋ ＋ ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）化简： ＋ － － . 解：因为 ＝ × （ ＋ ）＝ （ ＋ ）， 所以 ＋ － － ＝（ － ）＋ （ － ）－ × （ ＋ ）＝ ＋ （ － ）－ （ ＋ ）＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. 在平面四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ，即 ＝ ＝λ，则有 ＝ ＋ . （1）拓展到空间，写出空间四边形ABCD 类似的命题，并加以证明； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解：在空间四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ，即 ＝ ＝λ，则有 ＝ ＋ .证明如下： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ （ ＋ ）＋ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ · ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用 上述（1）的结论表示 . 解：由（1）的结论可得 ＝ ＋ ＝ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $