湖北省高中名校联盟2027届高三上学期8月联考数学试卷

数学试卷参考答案与详解 题号 1 2 6 8 9 10 11 答案 B A D B ACD AC ABD 1.【答案】B 【解析】A∩B={xl0≤x<3},则Cu(A∩B)=(-o,0)U[3,+o). 2.【答案】A 5 5(1-2i) 【解析1k=1十2ū220-1-21. 3.【答案】A 【解析】已知a=(1,-2),b=(2,4),则a+kb=(1,-2)+k(2,4)=(1+2k,-2+4k),a-b=(1,一 2)-(2,4)=(-1,一6).由a十kb与a-b互相垂直，得(a+kb)·(a-b)=0,即(1+2k)·(一1)+ （一2+)（一6）=0，化简得-1一2张+12-2张=0，解得长-岩 4.【答案】C 【解析】设圆锥的底面半径为”，母线长为1，则1= =2_43 sin60°53· 所以该圆锥的侧面积为S=xr1=X2X43_83π 33 5.【答案】C 【解析】设|PF1|=m,PF2|=n,|F1F2=2c. 在△PF1F2中，由三角形内角和得∠F1PF2=180°-15°-75°=90°. n 2c 由正弦定理得inml5-sin75=sin90=2c,即m=2csin15,n=2csin759. 由椭圆定义得m十n=2a,即2a=2c(sinl5°+sin75),所以二= 1 a sinl.5°+sin75. 由s如15=sn(45°-309-6-2in75°=n45+30=6+2及椭圆商心率e=￡ 4 4 得e=4=6 263 数学试卷参考答案与详解第1页（共10页） 6.【答案】D 【解析】由图可知，D点的横坐标为2+[2-(-1门=5，则2T=6=无，所以w=吾 因为BC=(3,-A),CD=(3,A),所以BC·CD=9-A2=6,得A2=3. 因为A>0,所以A=5.将C点坐标代入函数，得-5=3sim(g×2+）,即sin(行+g)=-1. 所以+p=一受+2张x,k∈7.即g=否+2，k∈Z因为9<，所以9= 7.【答案B 【解析】设直线AB的斜率为k,A(x1y1),B(x2y2). 设过点A(x1,y1)的切线MA的斜率为k1,方程为y一y1=k1(x一x1). 天粒y2=2px,消去x得22y十y-k1x1=0.由4=0，得，= 所以直线MA的方程为y一y1=上(x一1)，化简得直线MA的方程为x-y1y十，=O. 同理可得直线MB的方程为px一y2y十pr2=0. Tiy2-r2y1 px-yiy+px1=0 y1一y2 联立 解得 px一y2y+px2=0, y p(x1一x2) y1-y2 2 又y2=2px1y2=2px2,且k=1二业，代入上式化简得 x1-x2 由于抛物线的焦点F(台0，所以MF=(号+)‘+(）=p,1+是 因为MF<2p.所以1+是<2，解得<-1或>1， 所以直线AB的斜率的取值范围是（一∞，一1）U(1,十o). 8.【答案】D 【解析】若存在正实数x1,x2,使得f(一x1)+f(x1)=0,f(一x2)十f(x2)=0, 则函数y=ax2-x+1(x>0)与y=2xlnx十1(x>0)的图象有两个公共点. 所以a.x2-x+1=2xlnx+1,即a.x=2lnx十1在x>0时有两个不同的解. 又a=21十中.令ga)=2+十中1，问题转化为求直线y=a与函数g(x)的图象有两个交点时a的 数学试卷参考答案与详解第2页（共10页） 取值范围。 g'x)=1-2,令g'C)=0,得1-2nr=0,解得x=6.当0<<6时，g')>0,g)单调递 增；当x>时，g'(x)<0,g(x)单调递减.因此g(x)在x=√e处取得最大值，所以g(x)mx= g()=2e.当x0时，g(x)→-0；当x→十o时，g(x)→0+，所以0<a<2e. 9.【答案】ACD 【解析】由D(3X+2)=9D(x)=9,得D(X)=1,故A正确； 对于B,因为6×30%=1.8，所以数据1,2,3,4,5,6的30%分位数是2，故B错误； 对于C,若随机变量~N(1,o2),P(<2)=0.84,则P(>2)=P(5<0)=1一0.84=0.16，所以 P(0<<2)=1-2×0.16=0.68,故C正确； 对于D,当相关系数满足|r|=1时，所有样本点完全线性相关，即全部样本点都在同一条直线上，故D 正确。 10.【答案】AC 【解标1a十则u,-衣-1at 1一1 1 因为0会干号所以 1b.62 1-2b -1+8+2 1+2bm b。 -歌+1-1十所以6中么-6+号即6n-6-日 于是b,1+26. 2 所以么是以6，十-号为首项，公卷为的等老数列 所以6，=日+m-D·合”。，所以a,右 13n-1 6 11一3n-11=是 7-3n 3n-1 选项A:因为。十1-，所以{十为等差数列，所以A正确 7-3m 选项B:am=3n-1 因为n≥3时am<0,所以am>0不恒成立，B错误。 7-3=-1+3-1' 选项C:由am=3n-1 6 得sw=(-1+5-10+6号++g++》 1 而2+5 1 11,11 8 +29<2+5+g×8=1.7,所以S。<-10+6×1.7=0.2,故选项C正确. 数学试卷参考答案与详解第3页（共10页） 6 选项D:通项a,一1士。随n变化，对应的点分布在函数v=一1十7的图象上，不是周题 数列，D错误. 11.【答案】ABD 【解析】对于A选项，曲线方程变形为x2+y2=-.因为点P(xoyo)在E点上，所以xo2十yo2= e。.因为y2≥0，所以x2≤e0.若x2>1,则e。<1,矛盾，所以x2≤1，即-1≤x≤1，故 A正确。 对于B选项，OP12=x2+yo2=e0.因为-1≤xo≤1，所以1≤e6≤e,所以OP∈[1，W], 故B正确。 对于C选项，联立y=x与ln(x2+y2)+x2=1,得ln(2x2)+x2-1=0. 令x2=t,t∈(0,1]，构造函数g(t)=ln(2t)+t-1=lnt十t-1+ln2,t∈(0,1]. 求导g'()=}+1>0,所以g)在(0,1门单调递增. 当t→0+时，g(t)→-o;当t=1时，g(1)=ln2>0. 由零点存在定理，存在唯一的to∈(0,1)使得g(to)=0,对应两个横坐标x=士√t。,即两个交点 (√t。,√)和（一√i,一√to),共2个交点，故C错误. 对于D选项，要证%<号等价于证x,2<令x,=1,由，+w-e, 得yo2=e--t,t∈[0,1].设h(t)=xo2yo2=t·yo2=t(e--t)=te--t2,t∈[0,1]， 求导h'(t)=e-t-t·e-t-2t=e-t(1-t)-2t. 设s(t)=e-‘(1-t)-2t,则s'(t)=e-‘(t-2)-2. 由t∈[0,1]，得s'(t)<0,所以h'(t)在[0,1]单调递减. 当t=0时，h'(0)=e>0;当t=1时，h'(1)=-2<0. 所以存在唯一极值点t。∈(0，l),满足h'(to)=e-(1-to)-2t。=0,使得h(t)在(0，to)单调递增， 在(to,1)单调递减，最大值为h(to). 接下来进-步确定，的范围：由h(兮)-号-1<0，得，∈o》】 将e1-g)-2,代入A,.得，)o·%。--6L+ 1-to 令e)出，则p')=-2x-D>0,所以g)在0.)单调递增，故h()<g(） 1-t (1-t)2 数学试卷参考答案与详解第4页（共10页） 名<号，即z<号所以w<号放D正确 12.【答案10 【解析】(2-x)5的展开式中x的项为：C2(-x)=10x4. 1B【答案J 【解析】显然，其中一条切线为y轴，设切点为A(0,1) 设另一条切线OB的方程为)=k,由C(2,1到切线的距离为2，得2=2，解得k=一圣 √1十k2 所以OB的方程为y=一3 4x. 3 V- 由 解得B(传一)，所以。=-2 (x-2)2+(y-1)2=4, 所以AB的方程为：y-1=-2(x-0),即：2x十y-1=0. 所以OP的最小值为点O到直线AB的距离，即d=0+0一1-5 √22+125 14.【答案】18 【解析】如图，在正方体ABCD一A1B,C,D1中，设对应棱上的点（非顶点）为棱的中点，连接BE,AE, A1B,AB1,A1F.因为A1E⊥A1A,A1E⊥A1B1,A1A∩A1B1=A1,所以A,E⊥平面ABB1A1. 因为AB,C平面ABB1A1,所以A,E⊥AB1,又因为A,B⊥AB1, D C A1B∩A1E=A1,A1B,A1EC平面A1BE,所以AB1⊥平面A1BE. H 因为BEC平面A,BE,所以AB1⊥BE.同理A1F⊥BE.因 为A1F∩FG=F,A1F,FGC平面A,FG,所以BE⊥平面A,FG. 故所有与BE垂直的直线在平面A1FG内或与平面A,FG平行.易 知与平面A1FG平行的平面有平面C1HID,平面B1,AMK和平面 PVC.所以满足条件的直线条数为：2C号+2C?=18(条). 15.【解析】(1)设{am}的公差为d.由a1十a3=8,得2a1十2d=8. …（1分) 由a2十a4=12,得2a1十4d=12.解得d=2,a1=2.…(3分) 所以an=a1十(n-1)d=2十2(n-1)=21.…(5分) (2由1)知a.=2,所以b.=2m·(号)-2 …(6分) 数学试卷参考答案与详解第5页（共10页） 所以5.=+号+是++ 2+2” ①…(7分) 两边同时乘2得5，=+是+是+…++公 14243 2-+2 ②…(8分) 0-0.得.=1+++++ 1 1 1,1 1-() 2"-12 2 (10分) 1 1- =2-2-n=2-n+2 2”2 2n …(12分） 所以S=4-”十2 21-1· …(们3分） 16.【解析】(1)取BC1的中点D,连接BD,AD 四边形BCC1B1为菱形，∠BCC1=60°， ∴.△BCC1与△BB1C,是等边三角形，∴.B,C1⊥BD, BC1BC,BC⊥BD, BC⊥AB, ∴∠ABD是二面角A一BC一C1的平面角.…(2分) 又AB∩BD=B,∴.BC⊥平面ABD,B1C1⊥平面ABD. …(4分) ADC平面ABD,.B1C1⊥AD.…(5分) AC1=√14，DC1=1,.AD=/13. …(6分) BD=3,∴cos∠ABD=3+4-13=-6=_5 2X2X543 21 所以二面角A一BC-C,的余弦值为-3 2 (8分) (2)过D作DF⊥AB于点F,则∠DBF=30°，DF= ,BF= 2 (10分) ,BC⊥平面ABD,BC⊥DF ,AB,BCC平面ABC,.则DF⊥面ABC.…(12分) 所以VA-A,,G=S△Ar·DF= ×2X2×9- 所以三棱柱ABC一A1B,C1的体积为√3.… …(15分) 17.【解析】1)因为AD是∠A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD=A 2 …(1分) 数学试卷参考答案与详解第6页（共10页） 因为S△=Saw+5aD所以灰A-b,AD·血含+名·AD:n会 A …(2分) 因为A=5AD=5, 所以cn音-6s血吾+气s血云，化简得6+c=下。 nπ5 5bc.…(3分) 5,由余弦定理，得+2-c=所以6+c)-3c=1 又因为a=3v 51 …(4分) 所以(x)-M ,解得bc=6. 18 …(6分) 所以△ABC的面积为S=sinA=3 2 …(7分） (2)由余弦定理，得coA-+c2-a_b+c2-3 2bc 2bc 2,即6十c2=c十3.…(8分) 因为AE为BC边的中线，所以2AE=AB+AC. 所以4|AE|2=|AB12+|AC|2+2AB.AC=b2+c2+bc=2bc+3.…(9分) 由正弦定理，得a。 b c=3=2, 号nA-'sinBsinC=5 2 所以b=2sinB,c=2sinC.… (10分) 所以4AE-2c+3=8 ini+3=8 inin(写-Bj+3=8dinB停osB+号nB)+3 -43sinBcosB+4 sinB+32sin2B+4-cos2B+3 2 =28m2B-2coe2B+5=4停n2B-2os2B)+5=4snl(2B-若）+5…12分) 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得<B<受 10<c= 2-B<2 所以2B-∈(g .......。 (13分) 所以sin(2B-）∈（号l4sin2B-若）+5e(,9. (14分) 数学试卷参考答案与详解第7页（共10页） 所以4AE∈(7,9]，即AE∈(7,2] √73 所以AE的取值范围是(。，？]丁 (15分) bc 18.【解析】(1)因为右焦点F2(c,0)到渐近线bx土ay=0的距离d= =b, √a2+b 所以b=5.…(1分) 又离心率e=￡=2，且c2=a2+b2,解得c=2,a=1. …(2分) a 所以C的标准方程为x2一 31. (3分) (2)设直线l:x=my十2，A(x1y1),B(x2y2). z2-y? =1, 联立 3 消去x得(3m2-1)y2+12my+9=0. =my+2, 12m 9 由韦达定理，得y1十y2= 1-3m2y1y23m2-1……（5分》 9 因为1与C的右支交于两点，所以y1y:=3m<0,即m∈[0,3.…（6分） S△F,F2 IFFl.lyl 因为SAF,F: -=3,且y1y2<0,所以y1=-3y2.…(7分) 2F,r·1x41 12m 9 所以-2y:1-3m-3y,2= 13m·解得m2=符合题意 …(8分) 所以1的方程为x=⑤、 5y十2.…（9分） (3)由已知得y1>0,y2<0. 过△AF,F2的内心为I1作AF1,F,F2,F2A的垂线，垂足分别为C,E,D,如图所示. 根据切线长定理，得|AC=|AD|,|F1C=|F,E|, F2E=F2D. 由|AF,|-|AF2|=2a,得|EF1|-|EF2|=2a. 又|EF1|+|EF2|=2c,所以|EF,|=a+c. 而OF,|=c,则OE|=a. 所以x1,=a=1,同理x2=a=1.…(11分) 数学试卷参考答案与详解第8页（共10页） 所以Sa,与=F,F:=2 又智 所以|AF1|=√(x1十2)2+y12=2x1十1，|AF2|=√(x1-2)2+y12=2x1-1.…(12分) 因为S△S,R=SAMF,H+S△Nh十Sa1,EF' 所匠以2yAE+AE,+EEDy心解得朵…3分剂 即1,1汁同理1：入所以11= y1 y2 x1+1x2+1 因为x1=my1十2，x2=my2十2， 所以|112|= y1(x2+1)-y2(x1+1) y1(my2+3)-y2(my1+3) 3|y1-y2| (x1+1)(x2+1) (x1+1)(x2+1) (x1+1)(x2+1) 所以S,号×EF:×1,1=号×1X1l,=2P2+D 3y1-y2 1 又S△，B=2X4Xy1-y2=21-y2, 所2-=，+i,+D 3 …(15分） 3m2+4 因为x1x2=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2十2m(y1十y2)+4 1-3m2, 4 x1+x2=(my1+2)+(my2+2)=m(y1十y2)+4 1-3m2, 所以(1+1)x:+1)=x1x+x,+r+1=3m+4+ 4 9 1-3m2+1-3m+1 1-3m2 所u1 因为m€[0，号》，所以当m=0时，受取最大值己 …(们7分) 19.【解析】(1)由题意可知，X~B(,p),则P(X=k)=Cp(1一p)-,E(X)=np.…(2分) 所以.）=EX)+E(Xh)=+含Cp1-p,…4分)） 所以f2(p)=p+ C(-p14 子1 ………(6分) n! C (n+1)! 1 1 (2》因为C=10-刀所以千-+11n-1‘n中市n十C牛.…（7分） 数学试卷参考答案与详解第9页（共10页） 所.)=p+含Cpra-b- +p2Cp-p）t=p+9+pE0..…8分 =p+(m十1)p20 所以Ho=M.=p+》）=+1-8=. (n+1)—,p∈(0,1). …(9分) 求导得H'(p)=2p+(1一p)".因为H'(p)>0,所以H(p)在(0,1)上单调递增. 所以H(p)<H1)=1+n+ 1 …(10分) 由于n≥3，所以1+1≤5 n+14 所以原不等式H(p)<名成立。…们分 由题意可知Fa:b)=a,a)+b,b)=aa士二1-a） (m+1)a th641-() (n+1)b 、a2士b2士11一4)+1二1一6)”+1 n+1 =a2+62+2-1-a)1+1-b) n+1 n+1 -,a,b∈(0,1) 因为a+b=1,所以a=1-b,b=1-a. 所以Fa.6)=a+6+n子-a+”846E0.以..3分 又a"+1≤a,b"+1≤b,所以a"+1十bt1≤a十b=1.…(14分) 又a2+b>a+b)2= 1 2 1+2111 所以F(a,b)≥2+n+1n+12n+T …(15分） a+b=1, 1 a2+b2=2' 当等号成立时， …(们6分) a"+1=a, b+1=b. 而n≥3，显然不成立. 1+1 所以F(ab)之2十n十所以原不等式成立.……们7分》一 数学试卷参考答案与详解第10页（共10页） 数　　学 本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．若，则 A． B． C． D． 3．已知向量，，且与互相垂直，则实数 A． B． C． D． 4．若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为 A． B． C． D． 5．已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为 A． B． C． D． 6．已知函数的部分图象如图所示，，是图象与轴的交点，且，，．则 A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数若存在正实数，，使得，，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论中正确的是 A．若随机变量满足，则 B．数据1，2，3，4，5，6的30%分位数是3 C．若随机变量，，则 D．当相关系数时，样本点都落在同一条直线上 10．记数列的前项和为，若，，则 A．数列为等差数列 B． C． D．数列为周期数列 11．已知曲线，点在上，为坐标原点，则 A． B．的取值范围是 C．直线与有且仅有4个交点 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为________． 13．已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 14．在正方体中，为的中点．设正方体的所有顶点与棱的中点构成集合，若从中任取两个点连成直线，则与直线垂直的直线条数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知为等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．（15分） 如图，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，． （1）求二面角的余弦值； （2）求三棱柱的体积． 17．（15分） 记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． （1）若为的角平分线，，，求的面积； （2）若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 18．（17分） 已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． （1）求的标准方程； （2）若，求的方程； （3）记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 19．（17分） 某精密仪器厂对生产的一批产品进行质量检验，产品按质量分为一等品和二等品．已知每个产品为一等品的概率都为，且各产品是否为一等品相互独立．现从这批产品中有放回地抽取件作检验，记其中一等品的个数为．定义该批零件的综合质量指数为． （1）求； （2）设，记，证明：； （3）设，且正实数，满足，定义函数，证明：对任意满足条件的，． 学科网（北京）股份有限公司 $