上海市闵行中学2023-2024学年第一学期期末考试高三数学试卷

**基本信息** 闵行中学2023高三数学期末卷聚焦函数、数列、几何、概率统计核心知识，通过基础题巩固概念，综合题（如中草药预防效果分析、椭圆存在性探究）考查数学思维与应用，适配高三复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|定义域、复数、正态分布、数列前n项和|基础概念直接考查，如第3题正态分布应用| |选择题|4题/18分|集合运算、线性回归、三角函数性质|第14题结合样本数据考查相关系数，体现数据意识| |解答题|5题/78分|三角函数与解三角形、立体几何证明、独立性检验、椭圆综合、数列与函数证明|第19题以中草药预防为情境考独立性检验，第21题结合函数证明与极限定义，凸显逻辑推理与数学表达|

闵行中学2023学年第一学期高三数学期末考试 （满分150分，完卷时间120分钟） 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。 2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。 3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．函数的定义域是 ． 2．在复平面内，复数对应点的坐标是，则 ． 3．已知随机变量服从正态分布，且，则 ． 4. 若正数满足，则的最小值为 . 5. 已知数列的前项和为，若（是正整数），则 . 6. 若圆与圆内切，则实数＝ . 7．已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为 . 8. 已知函数在处有极值，则 . 9. 同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则 . 10．已知正三角形的边长为，点满足，且，，，则的取值范围是 ． 11．已知，函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 ． 12．某校高一数学兴趣小组一共有名学生，学号分别为，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法． 二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分． 13．已知集合，则 （ ） A． B． C． D． 14. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)： 若已求得一元线性回归方程为， x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 则下列选项中正确的是（    ） A． B．当时，y的预测值为2.2 C．样本数据y的第40百分位数为1 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变 15. 已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（    ） A. 若，函数关于直线对称 B. 若，函数在上是增函数 C. 若函数在上最大值为1，则 D. 若，则函数的最小正周期是 16．设为数列的前项和，有以下两个命题：①若是公差不为零的等差数列且，则是的必要非充分条件；②若是等比数列且，则的充要条件是．那么（ ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 设 ()，函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为． (1) 求函数的解析式； (2) 在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 服用 中草药甲 合计 为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如右表. （单位：个） (1)若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； (2)已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为．若用频率估计概率，现从患此疾病的人员中随机选取2人（分两次选取，每次1人，两次选取的结果独立）使用中草药乙进行治疗，记治疗有效的人数为，求的分布和数学期望． 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆上． (1) 求线段的长； (2) 若线段PQ的中点在轴上，求的面积； (3) 是否存在以、为邻边的矩形，使得点E在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点Q的纵坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 已知各项均不为0的数列满足（是正整数），， 定义函数，是自然对数的底数． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记函数，其中． （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和．数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限．试根据以上定义求出数列的极限． 参考答案 一、填空题 1． 2． 3． 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10． 11． 12． 二、选择题 13． D 14．D 15．C 16．C 三、解答题 17．解：（1） . ……3分 因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，即. 所以 . ……6分 （2）由，得. . ……9分， 由,得，化简得所以角. ……12分 所以角. ……14分 18.【解】（1）由题意得，，，，，在中，由，得，同理可得，又，故平面． （2）（方法一）如图所示，以为坐标原点，、为轴正方向建立空间直角坐标系，则点，故，，设平面的法向量为，则，可取，设直线与平面所成角为， 故，因此直线与平面所成角的正弦值． （方法二），，则，. 记点到平面的距离为，因为，所以，则. 设直线与平面所成角为，. 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 【解】（1）提出原假设：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平， 计算，而，的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果． （2）记A表示服用中草药乙后治疗有效，表示未服用过中草药甲，表示服用过中草药甲， 由题意可得，，且，， 则， 即中草药乙的治疗有效率，则，所以， ，， 所以，随机变量的分布为：， 所以，数学期望． 20．解：（1）依题意得：，由轴，得：，代入椭圆方程得：，所以线段的长为. ……4分 （2）解法1：显然，线段PQ的中点在轴上，则，即轴，，， ……8分 所以. ……10分 解法2：设，依题意，有，解得， ……8分 所以. ……10分 （3）假设存在以、为邻边的矩形，使得点E在椭圆上，显然，设，则，因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以，代入计算得 .由题意知在椭圆上及，代入，得，即 ……12分 将①②代入③并化简得，，再结合①，得，即或. 若，则； ……14分 若，则联立①②，得，消去，得，解得，由于，故. ……17分 综上，存在满足题意的点，其纵坐标为或. ……18分 21.【解】（1）由于数列的各项均不为， 所以，可变形为（是正整数）， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 又，也符合上式，所以. （2） （i）先证：． 根据已知，得 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立. 再证：． 又，记，则， 由，故且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是，证毕． （ii）由题意知，，下面研究. 将（i）推广至一般情形. ， 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立.① 再证：．， 记，则， 由，故当且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是， 所以，，即对任意，. 于是对，，整理得， 令，得，即，故. （方法一）当时， 故即， 从而．对于任意给定的正实数，令，则取为大于且不小于的最小整数，则当时，恒成立，因此，数列的极限为． （方法二）而对于任意，只需且时，可得. 故存在，当时，恒有，因而的极限. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $