精品解析：上海市风华中学2026届高三上学期期末练习数学试题

2025年上海市风华中学高三数学第一学期期末练习 数学 试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~-12 题每题5分） 1. 已知集合，，则_____________. 2. 不等式的解集为____________________. 3. 已知复数，其中为虚数单位，则___________. 4. 在的二项展开式中，项的系数为______. 5. 已知随机变量，且，则___________. 6. 记为等差数列的前项和.若，，则_____________. 7. 有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为_____________. 8. 随机变量服从正态分布，若，则________. 9. 设且满足，则__________. 10. 已知圆O的半径为1，直线PA与圆O相切于点A，直线PB与圆O交于B，C两点，D为BC的中点．若PO＝，则·的最大值为________． 11. 如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为_________百米. 12. 已知函数，若函数在内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是____________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 在下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 14. 某组样本数据由8个互不相同的数组成，去掉其中的最小数和最大数后，得到一组新的样本数据，则下列选项一定成立的是（ ） A. 两组样本数据的平均数相同 B. 两组样本数据的极差相同 C. 两组样本数据的中位数相同 D. 两组样本数据的方差相同 15. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去个三棱锥，得到个面为正三角形、个面为正方形的一种半正多面体，若，则此半正多面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 16. 设数列为：，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来8项均为，…，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数，使得；②数列是严格减数列.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三，解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 18. 在中，已知，，. （1）求； （2）若D为BC上一点，且，求的面积. 19. 《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 隐藏卡 （1）若小明从张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否独立； （2）小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布列，并求出的数学期望. 20. 已知椭圆，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为． （1）若a=2，求椭圆E的标准方程； （2）以椭圆E的右顶点为焦点的抛物线G，若G上动点M到点的最短距离为，求a的值； （3）当时，设点F为椭圆E的右焦点，，直线l交E于P、Q（均不与点A重合）两点，直线l、AP、AQ的斜率分别为k、、，若，求的周长． 21. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. （3）若在存在极值，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上海市风华中学高三数学第一学期期末练习 数学 试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~-12 题每题5分） 1. 已知集合，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故答案为：. 2. 不等式的解集为____________________. 【答案】或 【解析】 【分析】先将分式不等式转化为整式不等式，再进行求解即可. 【详解】由题意得不等式可以转化为且， 则解得或， 则不等式的解集为或. 故答案为：或. 3. 已知复数，其中为虚数单位，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法和共轭复数的定义可得出复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】因为，所以，故. 故答案为：. 4. 在的二项展开式中，项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式，利用通项公式求指定项的系数即可. 【详解】二项式的通项公式为， 令，可得，所以项的系数为. 故答案为：. 5. 已知随机变量，且，则___________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式即可求解. 【详解】由于随机变量，，故， 则，故. 故答案为：10 6. 记为等差数列的前项和.若，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可求出，，从而得到数列的公差及首项，再利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】因为数列为等差数列，所以，可得， 由可得，故数列的公差为， 所以， 故. 7. 有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先将个男孩排序，然后将个女孩插入个男孩形成的个空位中的个空位，结合插空法可得结果. 【详解】先将个男孩排序，然后将个女孩插入个男孩形成的个空位中的个空位， 由插空法可知，不同的站法种数为. 故答案为：. 8. 随机变量服从正态分布，若，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值，即可得出的值. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以， 故. 故答案为：. 9. 设且满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，根据即可求解． 【详解】令，则 所以，整理得 解得，所以 故答案为： 10. 已知圆O的半径为1，直线PA与圆O相切于点A，直线PB与圆O交于B，C两点，D为BC的中点．若PO＝，则·的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得·＝－sin （2α－），或·＝＋sin （2α＋），然后结合三角函数的性质即可确定·的最大值． 详解：如图，OA＝1，OP＝，则由题意可知OA⊥PA，则由勾股定理可得PA＝＝1，则∠APO＝45°， 当点A，D位于直线PO异侧或点D与点O重合时，设∠OPC＝α，0≤α＜，则·＝||·||cos （α＋）＝1×cos αcos （α＋）＝cos α（cos α－sin α）＝cos 2α－sin αcos α＝－sin 2α＝－sin （2α－）.又0≤α＜，则－≤2α－＜，所以当2α－＝－时，·有最大值1. 当点A，D位于直线PO同侧时，设∠OPC＝α，0＜α＜，则·＝||·||cos （α－）＝1×cos αcos （α－）＝cos α（cos α＋sin α）＝cos 2α＋sin αcos α＝＋sin 2α＝＋sin （2α＋）. 又0＜α＜，则＜2α＋＜，所以当2α＋＝时，·有最大值. 综上可得，·的最大值为. 本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力． 11. 如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为_________百米. 【答案】 【解析】 【分析】设半圆步道直径为百米，连接，借助相似三角形性质用表示，结合对称性求出步道长度关于的函数关系，利用导数求出最大值即得. 【详解】设半圆步道直径为百米，连接，显然， 由点O为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称， 则，又，则∽，有， 即有，因此步道长，， 求导得，由，得， 当时，，函数递增，当时，，函数递减， 因此当时，， 所以步道的最大长度为百米. 故答案为： 12. 已知函数，若函数在内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知是函数的一个零点，利用可得出，其中，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得， 显然，即是函数的一个零点， 当时，由可得，可得， 当或时，由可得， 可得， 令， 则直线与函数的图象有一个交点，如下图所示： 当时，函数单调递减，此时， 当时，函数单调递增，此时， 当时，函数单调递增，此时， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 在下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断，利用对数函数性质和基本不等式确定偶函数的值域． 【详解】ACD三个选项中函数定义域是， 函数的定义域是，，为偶函数，由对数函数性质知其值域为，B符合； ，因此是奇函数，A不符； ，因此是偶函数，但，当且仅当时取等号，因此函数值域不是，C不符； ，是奇函数，D不符. 故选：B ． 14. 某组样本数据由8个互不相同的数组成，去掉其中的最小数和最大数后，得到一组新的样本数据，则下列选项一定成立的是（ ） A. 两组样本数据的平均数相同 B. 两组样本数据的极差相同 C. 两组样本数据的中位数相同 D. 两组样本数据的方差相同 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据平均数、极差、中位数、方差的定义和计算方法，分析去掉最小数和最大数前后各统计量的变化情况，从而判断每个选项是否一定成立. 【详解】对于选项A：原数据和新数据平均数不一定相同，因为去掉最小数和最大数后，总和与数据个数都变了，平均数可能改变，所以选项A错误； 对于选项 B：极差是最大值减最小值，原数据极差是最大值减最小值，新数据去掉了这两个数，新极差是次最大值减次最小值，肯定小于原极差，所以选项B错误； 对于选项 C：两组样本数据的中位数相同：排序后，8个数的中位数是第4和第5个数的平均数；去掉最小值和最大值后剩下6个数，中位数是第3和第4个数的平均数，而原第4和第5个数就是新数据中的第3和第4个数（排序后），所以中位数不变，选项C正确； 对于选项D：方差反映数据波动程度，去掉最小和最大数后数据分布改变，方差一般会改变，所以选项D错误； 故选：C. 15. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去个三棱锥，得到个面为正三角形、个面为正方形的一种半正多面体，若，则此半正多面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的对称性可知,该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积. 【详解】如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接、、、， 因为、分别为、的中点，则， 所以正方体的边长为， 故，可得， 根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等， 则该半正多面体外接球的球心为，半径， 故该半正多面体外接球的表面积为. 故选：B. 16. 设数列为：，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来8项均为，…，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数，使得；②数列是严格减数列.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】由题规律找出的表达式 ，利用不等式的性质判断即可，对 进行分类讨论写出，从而求出 ，利用 即可. 【详解】由题意得：当时， 其中， ， 所以不存在正整数，使得，故①为假命题； 当时 ， 所以 当时； 故数列是严格减数列， 所以②为真命题. 故选：D. 三，解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 【答案】（1）取AD中点O，连接， 在四棱锥中，，则， 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则， 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形， 则， 所以两两垂直，以O为原点，分别以所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，平面，所以平面 所以平面PAD的法向量为， 因为，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直接坐标系，求出平面的法向量为，由即可证明； （2）由线面角的空间向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，因为平面， 所以是平面的法向量， 设直线PB与平面所成的角为θ， 则， ∴，故， ∴直线PB与平面所成的角的正切值为． 18. 在中，已知，，. （1）求； （2）若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得； (2)由题意可得，则，据此即可求得的面积. 【小问1详解】 由余弦定理可得： ， 则，， . 【小问2详解】 由三角形面积公式可得， 则. 19. 《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 隐藏卡 （1）若小明从张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否独立； （2）小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布列，并求出的数学期望. 【答案】（1），，事件与事件不独立. （2）分布列答案见解析， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得的值，利用条件概率公式可求得的值，利用独立事件的定义可判断出事件和事件的关系； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出的值. 【小问1详解】 由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得， 由条件概率公式可得， 因为，，所以， 故事件与事件不独立. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、， 则，，， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. 20. 已知椭圆，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为． （1）若a=2，求椭圆E的标准方程； （2）以椭圆E的右顶点为焦点的抛物线G，若G上动点M到点的最短距离为，求a的值； （3）当时，设点F为椭圆E的右焦点，，直线l交E于P、Q（均不与点A重合）两点，直线l、AP、AQ的斜率分别为k、、，若，求的周长． 【答案】（1）； （2）4； （3）8 【解析】 【分析】（1）直接利用四边形面积可知，由即可求出值，即可求得椭圆方程； （2）设出点坐标，由两点间距离公式构造二次函数求最值即可； （3）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理及可求出直线方程，得出直线恒过定点，即可求出三角形的周长. 【小问1详解】 由已知得椭圆四个顶点构成的四边形面积为， 即， ∵，∴， ∴椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 椭圆的右顶点为，以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为， 设动点，则 当时，即，最小值在对称轴处取得， 即，解得或（舍去）， 当，即，最小值在处取得，此时最小值为，不符合题意，故； 【小问3详解】 设直线的方程为，，， 则，，故， 则 ， 当时椭圆的方程为， 将椭圆方程与直线方程联立可得， ，即， ，， 即 ， 故或，此时均满足， 若，则直线的方程为，此时直线恒过， 若，则直线的方程为，此时直线恒过，与题意矛盾， 点为椭圆的左焦点， 故的周长为. 21. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. （3）若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2） 令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $