第三章 5 图形的位似-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

5图形的位似 第1课时 位似图形及其性质 已课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点① 位似图形的定义 5.如图，四边形ABCD与四边形A'BCD'是 1.下列图形中不含有位似图形的是 位似图形，点O是位似中心，A'是线段OA 的中点，那么以下结论正确的是 A.四边形ABCD与四边形A'B'CD'的相 (DE∥BC 似比为1 B B.四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似 2.如图，在8×8网格中，△ABC和△A'B'C 位似，则位似中心为 比为2 A.点OB.点P C.点Q D.点R C.四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长 比为3：1 D.四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面 积比为4：1 第2题图 第3题图 知识点② 位似图形的性质 3.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为 原图形的2倍，得到△A'B'C.以下说法错 13A2A1 第5题图 第6题图 误的是 ( A.△ABC∽△A'B'C' 6.推理能力如图，以点O为位似中心，将边长 B.A,O,A'三点在同一直线上 为256的正方形OABC依次作位似变换.经 C.AB∥A'B 第1次变换后得到正方形OA,B,C1,其边长 D.BO:BB'=1:2 OA,缩小为OA的2经第2次变换后得到 知识点③位似图形的画法 正方形OA2B2C2,其边长OA2缩小为OA 4.如图，△DEF是△ABC位似图形的几种画 法中，正确的个数是 ) 的.依此规律，经第m次变换后，所 B 得正方形OAB,Cm的边长为正方形OABC 的边长的倒数，则n= A(F) B EO F C 知识要点归纳 D 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所 在的直线都经过同一点O,且有OP'=k·OP(k ≠0)，那么这样的两个多边形叫作位似多边形 第4题图 点O叫作位似中心 A.4 B.3 C.2 D.1 上册第三章 67 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换 课内基础闯关 形EFGO位似.若点B,F的坐标分别为(4， 知识点①平面直角坐标系中的位似变换 4),(一2,1)，则点P的坐标为 4.如图，已知△ABO的顶点 1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与 A(2,6),B(3,1),O(0,0).以点 △A'BC是位似图形，位似中心为点O.若 O为位似中心，将△ABO缩小 点A(一3,1)的对应点为A'(一6,2)，则点 B(一2,4)的对应点B'的坐标为 为原来的3，得到△A'B'0,则 第4题图 A.(-4,8) B.(8,-4) 点A'的坐标为 C.(-8,4) D.(4,-8) 知识点② 在平面直角坐标系中画位似图形 5.如下图，在带有网格的平面直角坐标系中， 每个小正方形的边长为一个单位长度，图中 给出了△ABC(点A,B,C均在格点上). 0 1B阴 0 (1)作出△ABC关于x轴对称的△A'BC', 第1题图 变式题图 (2)以坐标原点为位似中心在图中的网格中 变式题求对应点坐标→求位似中心坐标 作出△A'B'C的位似图形△A"B”C”,使 如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与 △A'B'C'与△A"BC"的相似比为，（保留作 △DEF是位似图形，则位似中心的坐标为 ( 图痕迹，不写作法) A.(1,0) B.(0,1) (3)若△ABC的面积为3.5，求出△A"B"C" C.(-1,0) D.(0,-1) 的面积. 2.如图，在平面直角坐标系中，△OAB与 △OCD位似，位似中心是原点O.若 A(4,0),C(2,0),则△OAB与△OCD周长 的比值是 E O 第2题图 第3题图 3.如图，在平面直角坐标系中，矩形EFGO的 两边OE,OG在坐标轴上，以y轴上的某 点P为位似中心，作矩形ABCD,使其与矩 68 九年级数学Bs版 已课外拓展提高 如图①，任意画一个△ABC,以点O为位似中 6.如下图，在平面直角坐标系中，正方形AB 心，自选新旧图形的相似比为k,得 CD的边BC在x轴上，其中点A的坐标为 到△A'B'C' (1,2),正方形EFGH的边FG在x轴上，且 A'B=1.50 AB :0A'=1.50, 4=1.500A 点H的坐标为(9,4).求正方形ABCD与正 A'C =1.50 0B=1.50 B AC OB 方形EFGH的位似中心的坐标 -150=1500C-150 ya 0C 0 图① 第一步，度量对应边的长度，并计算它们的 OB C 比值，发现结果与k的值相等， 第二步，以O为原点建立平面直角坐标系， 分别度量点A,A'的横坐标，并计算比值；分 别度量点A,A'的纵坐标，并计算比值，观察 比值与k的关系，发现它们相等.接下来对 其他顶点作相同的操作，得出相同的结论 第三步，作线段OA,OA',OB,OB',OC, OC,度量它们，发现的结论是… 第四步，任意改变△ABC的位置或形状，发 现上面探究得出的结论仍然成立. (1)第三步发现的结论是 (2)已知图①中点A(6,2),A'(9,3),B(4, 3),S△ABC=2,则点B'的坐标是 S△AB'C= (3)如图②，以点P为位似 中心，画出与矩形MNQP的 相似比为0.75的一个图形. 0 图② 知识要点归纳 平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标 系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标 色综合能力提升 都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形 7.小明利用《几何画板》软件，尝试用“观察一猜 位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比 想一验证一应用”的方法探究位似的性质，步 为k 骤如下： 上册第三章 69.∠2+∠4=60°，.∠5+∠6=120°. 又.∠6+∠7=180°-∠C=120°，.∠5=∠7， BP BM :.△BPM∽△CNP,CN-CP 即BP·CP=BM·CN. 3.证明：如图，过点D作DG∥BC,交AC于点G. ,DG∥BC, ∴.∠ADG=∠B,∠DGF=∠ECF. 又，∠A=∠A,∠DFG=∠EFC, ∴.△ADG∽△ABC,△DGF∽△ECF, 0瓷记0 AD-CE. 设茶 即AB·DF=BC·EF 4.证明：，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE, .∴.∠B=∠ACB=∠ADE=∠E, .△ABC∽△ADE, 娜能 ,∠ADC=∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD, ∴.∠CDF=∠BAD, ∴.△ABD∽△DCF, 没0 .AB DC …ADDF' DC BC DFDE' 5.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DC,AD∥BC, ∴∠BAF=∠G,∠DAF=∠BEF 又，∠AFB=∠GFD,∠AFD=∠EFB, ,'.△ABF∽△GDF,△AFD∽△EFB, 隐器器0 照部即AF=FFG 3、,8 (2)由(1)，得△AFD△EFB,AF=EF·FG= 2×3 =4,且AF>0,.AF=2. .DA AF 2 4 BEEF=33 即BE=3DA=3BC, 4 41 .EC-BC-BE-BC.3. EC 6.证明：如图，连接AE ,EF垂直平分AD, ∴.AE=DE,∠ADE=∠DAE. AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠DAC. :∠ACE=∠ADC+∠DAC, ∠BAE=∠DAE+∠BAD, ∴.∠ACE=∠BAE. 又，∠AEC=∠BEA, .△ACE∽△BAE, 品E用AE=BEE .AE-DE. ∴.DE2=BE·CE 7.解：(1)证明：AE⊥BD,PE⊥EC, .∠AED=∠PEC=90°， ∴.∠AEP+∠PED=∠DEC+∠PED,∠EAP+ ∠ADE=90°，∴.∠AEP=∠DEC :四边形ABCD是矩形，∴.∠ADC=90°，AB=DC, ∴.∠ADE+∠EDC=90°， ∴.∠EAP=∠EDC, △AEPADEC小能-0 AB=DC,AE·AB=DE·AP. (2):四边形ABCD是矩形， ∴.BC=AD=2,∠BAD=90, ∴.BD=√AB2+ADF=√+2=√5 AELDBD AE-ZAB.AD. 即5AE=2X1,解得AE=25 DE=√AD-AE= /2-26 =45 5 5 ,AE·AB=DE·AP, AP=AE·AB 251 51 DE 45 21 心 5 图形的位似 第1课时位似图形及其性质 1.C2.B3.D4.A5.D 6.16【解析】由题意，得正方形OA.BC.的边长为256 ×()》广.令256×（分）》”=6解得n=16 1 第2课时平面直角坐标系中的位似变换 1.A变式题C2.23.(0,2) 4(号，2)或(-号.一-2）【解标分丙种情况讨论：①当 缩小后的三角形和△ABO在原点O的同侧时，将点A 的横纵坐标分别乘了，得点A的坐标为（号，2）： ②当缩小后的三角形和△ABO在原点O的异侧时，将 点A的横、纵坐标分别乘一 3,得点A'的坐标是 1 上册详解详析 31△ (-2 5.解：(1)如图所示，△A'B'C‘即为所求 (2)如图所示，△A"B"℃”即为所求. (3)由(1)知，△ABC≌△A'B'C', ∴.S△Argc=S△A=3.5. 由(2)知，△ABC'∽△ABC,且相似比为， -(- 又：S△Agc=3.5, .SA'We=4S N'We=4X3.5=14. 6.解：分以下两种情况讨论： ①如图①，连接HD并延长交x轴于点P,则点P为 位似中心 ,四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(1,2)， 点D的坐标为(3,2) .DC∥HG .∠PCD=∠PGH,∠PDC=∠PHG, .△PCD∽△PGH, G-6册80+g- OP+3 2 解得OP=3, ∴.正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标 是(-3,0) 图① 图② ②如图②，连接CE,DF交于点Q. 由题意，得C(3,0),E(5,4),D(3,2),F(5,0). 易求出直线DF的表达式为y=一x+5,直线CE的 表达式为y=2.x-6. 11 联立y=x十5， x=31 解得 y=2x-6, 4 y=3' ∴点Q的坐标为（侣，营》： 正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标 是（告》 综上所述，正方形ABCD与正方形EFGH的位似中 心的坐标为(-30)或（得，）。 32 九年级数学BS版 7.解：(1)位似中心与对应点的连线之比等于相似比 (2(6,2) 4.5 (3)如图，矩形HIJP即为所求 0 OB 【解析】(2)“OB =1.5,且点B(4,3), ∴.点B'的横坐标为1.5×4=6，纵坐标为3×1.5= 5B6号》又：- A'B' AB =(1.5)2, ∴.S△Agc=2×2.25=4.5. ☆问题解决活动：利用相似三角形测高 1.B 2.解：如图①，过点G作GM⊥ED于点M, .∠EMG=90°.结合题意可得，四边形 E DFGM为矩形，∠B=∠E,∠A=90°， ∴.MD=GF,MG=DF,△ABC ∽△MEG, 部瓷品号Bw-6m… m1.52 图① ∴.ED=EM+MD=6+3=9(m). 故这棵大树的高是9m. 一题多解法 如图②，延长EG,DF交于点H 由题意可得，△ABC∽△DEH∽△FGH, AB AC AB AC ·GF=FH'EDDH 品解得FH=4m .∴.DH=DF+FH=8+4=12 图② (m). AB_AC EDDH' 品品D=9m 2 故这棵大树的高是9m. 3.64.12 5.解：如图，AB⊥BD,DE ⊥BD, .∠ABC=∠EDC=90°. ,∠ACB=∠ECD, ,∴.△ABC∽△EDC, 0品品品 m1.62 ∴.DE=8m. 故旗杆DE的高度为8m. 6.解：过点E作水平线交AB于点G,交CD于点H, 如图.