13.3.2 三角形的外角 (课件) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形外角的定义、性质及外角和，通过回顾三角形内角和定理证明方法导入，引出外角概念，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生自然过渡到新知识学习。 其亮点在于以图形分析培养几何直观（数学眼光），通过性质的两种证法（内角和、作平行线）发展推理能力（数学思维），用符号语言规范表达（数学语言）。如外角定义明确三条件，外角和提供多种解法，对应练习分层巩固，小结系统梳理。助力学生理解知识形成过程，教师可依托清晰环节提升教学效率。

人教版八年级上册 13.3 三角形的内角与外角 第十三章 三角形 13.3.2 三角形的外角 问题导入 在证明三角形的内角和定理时，我们用过这种方法： B B C A A l l 1 2 3 4 5 A B C D 想一想：∠ACD 这样的角可以怎样描述？它具有什么性质？ 知识点1 三角形的外角的定义 D 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD. ∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③角的另一边是三角形某边的延长线. A B C 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 探究新知 A B C 想一想：△ABC 有多少个外角？ 1 2 4 3 5 6 一共有 6 个外角： ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6. 每个顶点处都有两个外角，它们是_______. 对顶角 研究时，通常只在每个顶点处取一个外角进行讨论. 1.下图中，∠1为△ABC的外角的是(　B　) A B C D B 对应练习 D A B C 外角 相邻的内角 对于外角∠ACD 来说， ∠ACB 是与它相邻的内角， 不相邻的内角 ∠A，∠B是与它不相邻的内角. 知识点2 三角形的外角的性质 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，你能求出∠ACD 的度数吗？∠ACD 与∠A，∠B 的大小有什么关系？ D A B C 70° 60° ∠ACD = 180° – ∠ACB =∠A +∠B = 60° + 70° = 130° 任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 知识点2 三角形的外角的性质 猜想：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：____________________________________ 求证：____________________________ △ABC中，∠ACD 是△ABC 的一个外角. ∠A +∠B =∠ACD. ∠A +∠B +∠ACB = 180°. 又∵ ∠ACD +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B =∠ACD (等量代换). 证明：由三角形的内角和等于180°，得 D A B C 知识点2 三角形的外角的性质 过 C 作 CE 平行于 AB， ∴∠2 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠1 = ∠A (两直线平行，内错角相等)， ∴∠ACD = ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠B. 已知：____________________________________ 求证：____________________________ △ABC中，∠ACD 是△ABC 的一个外角. ∠A +∠B =∠ACD. D A B C E 1 2 证法二： 知识点2 三角形的外角的性质 推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. D A B C 外角 符号语言： ∵∠ACD是△ABC 的一个外角，∴∠ACD =∠A +∠B. 推论是由定理直接推出的结论. 和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. 知识点2 三角形的外角的性质 ∠ACD ______∠A ∠ACD ______∠B 判断： ∠ACD = ∠A +∠B ＞ ＞ 推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. D A B C 外角 知识点2 三角形的外角的性质 1.求下列各图形中∠1的度数. (1)∠1＝ ⁠； (2)∠1＝ ⁠； (3)∠1＝ ⁠. 100°　 120°　 85°　 对应练习 2.写出下列各图形中∠1和∠2的度数： (1)∠1＝ °，∠2＝ °； (2)∠1＝ °，∠2＝ °； (3)∠1＝ °，∠2＝ ⁠°. 40　 140　 110　 40　 50　 140　 对应练习 3.如图，已知在△ABC中，∠A＝20°，D是CB延长线 上的一点.若∠ABD＝50°，则∠C＝ ⁠°. 30　 对应练习 4. 如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　B　) A. ∠A＞∠1＞∠2 B. ∠2＞∠1＞∠A C. ∠A＞∠2＞∠1 D. ∠2＞∠A＞∠1 B 对应练习 例 4 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是 △ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D 1 2 3 例题解析 解： 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE =∠2 + ∠3， ∠CBF =∠1 +∠3，∠ACD =∠1 +∠2. 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2(∠1 +∠2 +∠3). 由∠1 +∠2 +∠3 = 180°，得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2×180° = 360°. A B C E F D 1 2 3 例题解析 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180° ① ， ∠CBF +∠2 = 180° ②， ∠ACD +∠3 = 180° ③， 又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°， ① + ② + ③ 得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD + (∠1+∠2+∠3) = 540°， 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° – 180° = 360°. A B C E F D 1 2 3 例题解析 A B C E F D 1 2 3 解法三：过 A 作 AM 平行于 BC， 所以∠ACD = ∠EAM， ∠CBF = ∠BAM， 所以 ∠BAE +∠CBF +∠ACD = ∠BAE +∠BAM +∠EAM = 360°. M 例题解析 推论：三角形的外角和等于 360°. A B C E F D 1 2 3 知识点3 三角形的外角和 三角形的外角 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360°. 课堂小结 1. 如图，根据图中的数据，可得∠B的度数为(　B　) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 第1题图 B 课堂练习 A层 基础练 2. 如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角.若∠CBD＝ 75°，∠ADE＝150°，则∠A的度数是(　C　) A. 20° B. 35° C. 45° D. 50° 第2题图 C A层 基础练 3. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P， 交BC的延长线于点M，则下列各角中，是三角形外角的是 (　B　) A. ∠B B. ∠ADC C. ∠BAD D. ∠AFE B A层 基础练 4. 如图，已知∠A＝75°，∠B＝25°，∠C＝35°，求 ∠BDC和∠1的度数. 解：∵∠A＝75°，∠C＝35°， ∴∠BDC＝∠A＋∠C＝75°＋35°＝110°. ∵∠B＝25°， ∴∠1＝∠BDC＋∠B＝110°＋25°＝135°. 解：∵∠A＝75°，∠C＝35°， ∴∠BDC＝∠A＋∠C＝75°＋35°＝110°. ∵∠B＝25°， ∴∠1＝∠BDC＋∠B＝110°＋25°＝135°. A层 基础练 5. 如图，∠C＝40°，点B在DC上，点F在AC上，DF与 AB相交于点E，∠D＝30°，∠BED＝80°.求∠A的度数. 解：在△BDE中，∠D＝30°，∠BED＝80°， ∴∠DBE＝180°－∠D－∠BED ＝180°－30°－80°＝70°. ∵∠ABD是△ABC的外角， ∴∠ABD＝∠A＋∠C，即70°＝∠A＋40°. ∴∠A＝70°－40°＝30°. A层 基础练 6. 如图，∠1和∠3都是△ABC的外角，已知∠3＝125°，则 ∠1－∠2＝(　B　) A. 50° B. 55° C. 65° D. 80° B B层 提升练 7. 如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB， CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD. 若∠EFG＝ 90°，∠E＝28°，求∠EFB的度数. 解：在△EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝28°， ∴∠FGE＝90°－∠E＝90°－28°＝62°. ∵GE平分∠FGD，∴∠DGE＝∠FGE＝62°. ∵AB∥CD，∴∠BHE＝∠DGE＝62°. ∵∠BHE是△EFH的外角，∠E＝28°， ∴∠BHE＝∠E＋∠EFB，即62°＝28°＋∠EFB. ∴∠EFB＝62°－28°＝34°. B层 提升练 8. 如图，AB⊥BC，∠C＝20°，∠ADC＝140°，求∠A的 度数. 解：如图，延长CD，交AB于点P. 答图 ∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.∵∠C＝20°， ∴∠APD＝∠B＋∠C＝90°＋20°＝110°. ∵∠ADC是△APD的外角，∠ADC＝140°， ∴∠APD＋∠A＝∠ADC，即110°＋∠A＝140°. ∴∠A＝140°－110°＝30°. C层 拓展练 $