2.3 一元二次方程根与系数的关系 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习上节课三种解法，结合校园义卖销售额问题导入，以特殊方程因式分解观察根与系数联系为起点，逐步推导一般形式，搭建从具体到抽象的探究支架。 其亮点在于情境化设计培养数学眼光，从义卖预算问题发现数量关系，推导过程通过问题链发展推理意识，协作破冰与巩固拓展用实际问题强化模型意识，如用韦达定理快速判断销售额可行性。学生能提升应用能力，教师可依托完整教学流程高效实施教学。

第二章 一元二次方程 第3课 一元二次方程根与系数的关系 新版北师大数学九年级上册数学 学习目标 1.通过对特殊一元二次方程因式分解与根的对比探究,经历从特殊到一般的推导过程,理解一元二次方程根与系数关系的本质. 2.通过对课本例题的规范解答与变式练习,掌握利用根与系数的关系求一元二次方程两根之和、两根之积的方法. 3.通过结合根的判别式解决实际问题,体会根与系数关系在简化计算、快速判断方程根的特征方面的应用价值.感受数学与现实生活的紧密联系,提升用数学知识解决实际问题的能力. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 上节课我们学习了一元二次方程的三种解法（因式分解法、配方法、公式法），今天我们继续用数学知识解决校园里的实际问题.下周学校要举办 "爱心义卖" 活动，我们班准备销售手工书签和笔记本，班长小宇正在做销售预算. 学校义卖活动中,班长用一元二次方程计算销售额时,不需要解方程,如何快速知道两种商品的总销量和总销售额？ 问题构建 问题1:小宇发现,如果每本笔记本定价5元,每天能卖出20本;每涨价1 元,销量就减少2本.要想每天销售额达到120元,设每本笔记本涨价x元，你能列出一元二次方程吗？ 整理得x²-5x+10=0 单价×销售量=销售额 (5+x)(20-2x)=120 单价 销售量 5+x 20-2x 120 问题构建 有没有一种方法，不需要解方程，就能直接知道一元二次方程两根的和与积呢？这就是我们今天要探究的问题——一元二次方程根与系数的关系 问题2:我们先从简单的方程开始研究.解方程2x²-3x+1=0,它的两根x₁=x₂=1.请你把这个二次三项式分解因式,看看分解结果和根有什么关系？ 可以发现,分解式中括号里的常数项就是方程根的相反数,前面还有一个系数2,正好是二次项系数. 2x²-3x+1=2(x-)(x-1). 二次项系数 方程的一个根的相反数 方程的另一个根的相反数 问题构建 问题3：再换两个方程试一试： x²+7x+6=0，两根 x₁=-1，x₂=-6，分解因式得什么？ 2x²-3x-2=0，两根 x₁=2，x₂=-，分解因式得什么？ x²+7x+6=(x+1)(x+6)=[x-(-1))(x-(-6)] (2)2x²-3x-2=2(x-2)(x+)=2(x-2)[(x-())] 问题4:通过以上三个例子，你能猜想一下，对于任意一个有两个实数根的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），它的二次三项式可以怎样用根来表示吗？ ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁,x₂是方程的两个实数根. 问题构建 问题5:你能证明这个结论吗？ 右边展开:a(x-x₁)(x-x₂)=a[x²-(x₁+x₂) x+x₁x₂] =ax²-a(x₁+x₂)x+ax₁x₂ 因为左边ax²+bx+c和右边是同一个多项式，所以对应项系数相等： b=-a(x₁+x₂)，c=ax₁x₂ 两边同时除以a（a≠0）, 得到：x₁+x₂=，x₁x₂= 通过以上的验证，我们发现，一元二次方程两个根的和、积，与一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之间有稳定不变的关系存在. 问题构建 问题6：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.谁能用自己的话复述一下这个定理？ 如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x₁，x₂,那么两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数 追问:这个定理的使用条件是什么？为什么？ 使用条件是方程有两个实数根,即判别式Δ=b²-4ac≥0.因为如果方程没有实数根,就不存在x₁和x₂,定理也就不成立了. 协作破冰 现在我们用刚学的知识来解决小宇的问题 方程 x²+7x+6=0 的两根之和、两根之积分别是多少？ 方程 2x²-3x-2=0 的两根之和、两根之积分别是多少？ 解：(1) a=1，b=7，c=6， Δ= 49-24=25>0 x₁+x₂==-7，x₁x₂==6 (2) a=2，b=-3，c=-2， Δ= =9+16=25>0 x₁+x₂ =-，x₁x₂= =-1 协作破冰 问题7：小明在计算方程3x²+6x-9=0的两根之和时，得到 x₁+x₂=2，他算对了吗？如果不对，错在哪里？ 不对.正确结果是x₁+x₂=-=-2.小明忘记了两根之和是-,漏掉了负号. 问题8：现在我们来解决小宇一开始的问题.方程x²-5x+10=0的两根之和、两根之积分别是多少？小宇的预算能实现吗？ a=1，b=-5，c=10 Δ=(-5)²-4×1×10=25-40=-15<0 方程没有实数根,所以小宇的这个预算不能实现. 协作破冰 问题9：小宇对方案进行了调整,如果销售额能达到110元,那么两种可能的涨价金额之和是多少？积是多少？它的方案能实现吗？ x²-5x+5=0 可以用公式法先求出两个根x₁和x₂,再计算和与积. a=1,b=-5，c=5 Δ= =(-5)²-4×1×5 =5 ， x₁+x₂=5,x₁x₂=5,即两种涨价金额之和是5元,积是5元. 对比之后可得：借助根与系数关系可以快速得出结果，提升了计算的效率，也增加了准确率 教师示范 例1：已知关于x的方程x²-2(m-1)x+m²=0有两个实数根x₁，x₂，且 x₁+x₂=x₁x₂，求m的值. 解：∵方程有两个实数根, ∴Δ≥0 Δ=[-2(m-1)]²-4×1×m² =4(m²-2m+1)-4m² =-8m+4≥0 解得m≤1/2 由根与系数的关系得：x₁+x₂=2(m-1)，x₁x₂=m² ∵x₁+x₂=x₁x₂， ∴2(m-1)=m² 整理得m²-2m+2=0，此方程无实数根所以不存在这样的m值. 教师示范 例2：已知,,则的值是多少？ 本例带同学感受构造法解决问题，正如构造法证明勾股定理一样的方法，你还记得吗？ 上述方程的两个根为由根与系数关系得:=-5,=25+10=35 巩固拓展 义卖活动中，我们还销售手工书签.已知书签的销量y (张) 与售价x (元)之间满足关系y=-10x+100.如果每天的销售额要达到210元，不用解方程，直接说出两种可能的售价之和与积. 销售额=售价×销量， 即x(-10x+100)=210 整理得10x²-100x+210=0， 即x²-10x+21=0 所以两种售价之和x₁+x₂=10元,积x₁x₂=21元 当堂检测 1.一元二次方程的两根之和是（ ） ： ∴ ==4 A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 A 当堂检测 2.一元二次方程的两根之积是 ______ ： ∴ = 当堂检测 3.已知关于x的方程x²-3x+k=0有两个实数根，且两根之积是2,求k的值,并判断方程根的情况 根据根与系数的关系,两根之积=k,所以k=2.计算判别式: Δ= =(-3)²-4×2 =9-8 =1 Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根. 当堂检测 4.已知关于x的一元二次方程x²-(m+2)x+2m=0 （1）求证：无论m取何值,方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1,求方程的另一个根和m的值. （1）证明：Δ= =(m+2)²-4×1×2m =m²+4m+4-8m =m²-4m+4 =(m-2)² 因为任何数的平方都≥0，所以无论m取何值，方程总有两个实数根.（2）设方程的另一个根为x₂.根据根与系数的关系， 1×x₂=2m，1+x₂=m+2 ∴x₂=m+1，代入第一个式子得1×(m+1)=2m，解得m=1. 则x₂=1+1=2. 所以另一个根是2，m的值是1. 反思总结 1.今天我们学习了一元二次方程根与系数的关系,这个关系是怎么推导出来的？它的使用条件是什么？ 2.利用根与系数的关系解决问题时,最容易犯的错误是什么？我们应该如何避免？ 3.根与系数的关系在生活中有哪些应用？它给我们解决问题带来了哪些便利？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第48页 第1、2、3题 二、素养类作业 课本第49页 第4题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $