第一章 问题解决策略：特殊化 课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“特殊化问题解决策略”，通过“面对一般性问题先考虑特殊情形”导入，以两个正方形旋转重叠面积为案例，先分析顶点在边、边垂直等特殊情形，再转化一般情形，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生掌握从特殊到一般的解题思路。 其亮点在于以合作探究为核心，通过正方形重叠面积的动态问题，引导学生经历观察特殊情形、推理转化一般情形的过程，发展几何直观和推理能力。采用案例分析与步骤总结结合的教学方法，既落实知识技能，又培养数学思维，学生能提升问题解决能力，教师可直接应用于课堂探究教学。

第一章 三角形 4 问题解决策略：特殊化 鲁教版(2024)七年级上册数学 感受化繁为简的数学思想，理解特殊化策略在解决数学问题中的重要意义，提高数学应用意识和创新能力，增强面对复杂题型的解题信心。 知识与技能： 能将一般性的数学问题转化为特殊情形进行思考，掌握特殊化的解题思路，借助特殊数值、特殊图形探寻一般问题的解题规律。 过程与方法： 情感态度与价值观： 经历从特殊实例归纳通用结论的思考过程，体会从一般到特殊、从特殊到一般的数学思想方法，提升抽象能力和推理能力。 学习目标 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决；同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中。因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路。 引入新课 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 如图1-43，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？ 问题 探究活动　问题解决策略：特殊化 图1-43 A C B D F H G E M N 合作探究 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 探究活动　问题解决策略：特殊化 理解问题 （1）在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形？ 【（1）解析】 情形① ： 如图①点B在边EF上，点C在边EH上； 情形② ：如图② AB⊥EF于点M,EH⊥BC于点N； 情形③ ：如图③ BC与EF,CD与EH分别相交. ① ② ③ 合作探究 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 探究活动　问题解决策略：特殊化 理解问题 （2）对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积？你遇到的困难是什么？ 【（2）解析】情形①：两个正方形重叠部分的面积恰好为三角形 BEC 的面积；情形②：两个正方形的边互相垂直时，易得重叠部分刚好也是一个小正方形。 ① ② ③ 合作探究 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 探究活动　问题解决策略：特殊化 理解问题 （2）对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积？你遇到的困难是什么？ 【（2）解析】情形①与情形②是两种特殊的情形，困难的是情形③，属于一般的情形，无法直接得到重叠部分的面积。 ① ② ③ 合作探究 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 探究活动　问题解决策略：特殊化 拟定计划 （1）哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出？ （2）其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗？ 【（1）解析】情形①与情形②是两种特殊的情形，通过正方形的特点或三角形全等关系容易求出重叠部分面积是正方形面积的 . 合作探究 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 探究活动　问题解决策略：特殊化 拟定计划 （1）哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出？ （2）其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗？ 【（2）解析】如图，连接 EB，EC，如果△CEN与△BEM是全等的，那么就把情形③转化成了特殊的情形①。 ③ 合作探究 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 写出你的解决方案，并说明道理。 探究活动　问题解决策略：特殊化 实施计划 小明是这样思考的： （1）先考虑特殊情形。如图 144、图 145，这两种情形下，重叠部分的面积容易求出，都是。 图 1-44 图 1-45 合作探究 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 写出你的解决方案，并说明道理。 探究活动　问题解决策略：特殊化 实施计划 小明是这样思考的： （2）将一般情形转化为特殊情形。如图1-46，连接EB，EC，两个正方形重叠部分的面积记作S重叠，则S重叠=S△BEC+S△CEN−S△BEM，可以发现，△BEM≌△CEN，这时，图1-46的情形就转化为图1-44的情形，S重叠=S△BEC=。因此，一般情形下，重叠部分的面积也是。 图 1-46 ③ 合作探究 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 （1）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ （2）具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手？如何寻找特殊情形？ 与同伴进行交流。 回顾·反思 在这个问题中，正方形EFGH的位置是变化的，所求重叠部分的面积有很多情形，因此，小明尝试从特殊情形入手，并借助特殊情形的经验解决了一般情形下的问题。因为某些因素（如形状、位置或数值等）不确定，使得问题有多种情形时，可以限制这引起变化的因素，考虑最为特殊的情形，采用从特殊情形入手的策略解决问题。 合作探究 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 通过本节课的学习，你有哪些收获与困惑？ 1．问题解决策略：特殊化 问题有多种情形时，可以限制这引起变化的因素，考虑最为特殊的情形，采用从特殊情形入手的策略解决问题。 2．运用特殊化策略分析与解决问题的步骤： 在数学问题中，“从特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊 情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论. 课堂总结 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 达标测评 基础达标 【解析】 如图（1）、（2）是两种特殊情况，两条直线都过正方形的中心且互相垂直，把正方形分成四个规则的全等图形；由“特殊情况”到“一般情况”得到图（3）——过正方形中心的任意两条互相垂直的直线都符合要求。 1.画两条直线，将正方形分为相同的部分（或称为全等的部分）。要求：用三种方法。 ∟ ∟ ∟ （2） （1） （2） 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 创新达标 达标测评 2. n个边长为1的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、A3、A4……An,分别是正方形的中心。则n个这样的正方形重叠部分的面积和是_________. A1 A2 A3 ∙ A3 … … B D C E 【解析】将一般情形转化为特殊情形。如图，连接A1B，A1D，可以发现，△A1BE≌△A1DC， 这时，重叠部分的面积等于△A1BD的面积为，n个这样的正方形有（n-1）个重叠部分，因此，n个正方形重叠部分的面积和=。 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 习题 课本第38页 1. 如图，点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足 分别为D，E，F。小颖从特殊情形入手，认为PD＋PE＋PF等于△ABC的 高，AF＋BD＋CE等于△ABC周长的。请说明她的思路。 课外作业 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 习题 课本第38页 2．如图，四边形ABCD的面积是16，各边中点分别为M，N，P，Q，MP与NQ相交于点O，求图中阴影部分的面积。 课外作业 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 习题 课本第38页 3．甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界。规定谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜。你知道获胜的策略吗？请说明理由。 4．一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？ 课外作业 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 习题 【第1题解析】：如图，过点 A作BC的垂线交BC于点Q， 连接AP，BP，CP. S△ABC＝S△ABP＋S△BCP＋S△ACP Q BC∙AQ＝AB∙PF＋ BC∙PD＋ AC∙PE 因为 AB＝BC＝AC， 所以 AQ＝PF＋PD＋PE. 所以 PD＋PE＋PF 等于△ABC 的高 课本第38页（答案） 课外作业 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 习题 课本第38页（答案） 【第2题解析】：如图，连接 AO，BO，CO，DO. 由于 M，N，P，Q 是各边中点， 所以 S△AOM＝S△AOB，S△AOQ＝S△AOD， S△OCP＝S△OCD，S△ONC＝S△OBC. 所以 S△AOM＋S△AOQ＋S△OCP＋S△ONC＝S四边形 ABCD＝8. 所以图中上色部分的面积为 8. 课外作业 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 习题 课本第38页（答案） 【第3题解析】： 特殊化策略，先考虑特殊情况。 若甲先放，把硬币放在圆桌的正中心，此时圆桌关于中心对称，之后乙放一枚硬币，甲就在与乙所放硬币关于圆桌中心对称的位置放一枚硬币，这样只要乙能放得下，甲一定能放得下，按照这个策略甲必胜。甲先把硬币放在圆桌中心，然后乙放一枚，甲就在与乙所放硬币关于圆桌中心对称的位置放一枚，甲必胜。 课外作业 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 习题 课本第38页（答案） 【第4题解析】：设这个三位数百位、十位、个位上的数字分别为 a、b、c ，这个三位数是100a + 10b + c，各位上的数字之和是 a + b + c. 要求商最大，就要让被除数尽可能大，除数尽可能小. 商＝. 当这个三位数是 900， 当这个三位数是100，各位数字之和是 1+ 0 + 0 = 1 时，商为 ＝100 各位数字之和是9+0+0=9 时，商为 ＝100； 所以一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是100. 课外作业 第一章 ︱ 三角形 七年级 上册 数 学 祝愿你的学习之旅轻松愉悦、成果丰硕！ 再 见 ！ 心怀热忱攻难题，手握妙法化困境。 $