第28章 旋转 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学“旋转”核心知识点，系统梳理旋转的概念（三要素：中心、方向、角度）、确定旋转中心与旋转角的方法、旋转的性质（对应点距离相等、旋转角相等、图形全等）及作旋转图形的步骤，构建从概念理解到技能应用的完整学习支架。 该资料亮点在于题型设计覆盖生活现象（如汽车方向盘转动）、三要素辨析、角度长度坐标面积计算、规律探究及综合问题，通过实例培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）与应用意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后巩固训练帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

目录 第10讲：旋转 1 【知识梳理】 1 知识点一：旋转的概念 1 知识点二：找旋转中心、对应点、旋转角 1 知识点三：旋转的性质 1 知识点四：作旋转图形 2 【题型演练】 2 【题型一：生活中的旋转现象】 2 【题型二：旋转三要素】 3 【题型三：根据旋转性质求角度】 5 【题型四：根据旋转性质求长度】 6 【题型五：根据旋转性质求坐标】 8 【题型六：根据旋转性质求面积】 10 【题型七：旋转中的规律探究问题】 11 【题型八：旋转综合】 12 【巩固训练】 13 1 学科网（北京）股份有限公司 第10讲：旋转 【知识梳理】 知识点一：旋转的概念 在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)． 如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，∠AＯA′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角． 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． • C′ B′ C B A A′ O 知识点二：找旋转中心、对应点、旋转角 确定旋转中心：只需分别联结两对对应点，所得两条线段的垂直平分线的交点就是旋转中心 确定旋转角：连接对应点与旋转中心，按照旋转方向确定旋转角度。 知识点三：旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 【注意】 （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 知识点四：作旋转图形 旋转作图的步骤和方法： （1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角; （2）找出图形的关键点; （3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点; （4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。 说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角。 【题型演练】 【题型一：生活中的旋转现象】 【例题1】下列现象中是旋转的是（　　） A．雪橇在雪地上滑行 B．抽屉来回运动 C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动 【练习1-1】有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【练习1-2】2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【题型二：旋转三要素】 【例题2】如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 【练习2-1】如图，是由绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【练习2-2】如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A． 点A B．点B C．点C D．点D 【练习2-3】如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【练习2-4】在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，，请解答下列问题： (1)填空：①___________， ②如图，是由△ABC逆时针旋转得到的，其中旋转中心是点_________，旋转角至少为________度； (2) 画出关于原点O对称的图形． 【题型三：根据旋转性质求角度】 【例题3】如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【练习3-1】如图，在中，，，O为中点，将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【练习3-2】如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【练习3-3】将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【变式拓展1】如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型四：根据旋转性质求长度】 【例题4】如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A 是对应点，点与点 B 是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（     ） A．3 B． C．2 D．3 【练习4-1】中，，，将绕着C点顺时针旋转得，边与交于F，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【练习4-2】如图，为等边三角形，点D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接．已知，的周长是15，则的边长是（   ） A．4 B．7 C．8 D．10 【练习4-3】如图，在中，，，，可以看作是由绕点逆时针方向旋转得到的，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式拓展1】如图，长方形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接和，则点C到直线的距离为________，的最小值为________． 【变式拓展2】如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于_______． 【题型五：根据旋转性质求坐标】 【例题5】如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 【练习5-1】如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，与交于点，连接，那么点的坐标为（　  　） A． B． C． D． 【练习5-2】在平面直角坐标系中的位置如图所示，．其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)求出（1）中旋转过程点经过的路径长； (3)连接，的外心坐标是_________． 【题型六：根据旋转性质求面积】 【例题6】如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【练习6-1】如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则阴影部分的面积为______． 【练习6-2】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接． (1)求证：点B，C，D在同一条直线上； (2)若，，求的面积． 【题型七：旋转中的规律探究问题】 【例题7】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【练习7-1】如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【练习7-2】在平面直角坐标系中，的位置如图所示，将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；…依此类推，第2025次旋转得到，则顶点A的对应点的坐标是__________． 【题型八：旋转综合】 【例题8】如图，已知点P在等边内，且，，，则______°． 【练习8-1】如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③；④；⑤．其中正确的结论是____ ． 【练习8-2】（1）【操作发现】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是 三角形． （2）【类比探究】如图，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． 【巩固训练】 1．下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转得到菱形，点E在上，与交于点P，则的长是（     ） A． B． C． D． 4．（多选）如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，正确的是（    ） A． B．点O与的距离为4 C． D． 5．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是__________ 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 7．如图，将等腰直角三角形绕点逆时针旋转得到，若，则阴影部分的面积为_____． 8．如图，菱形的对角线交于原点．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为__________． 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，若的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． $ 目录 第10讲：旋转 1 【知识梳理】 1 知识点一：旋转的概念 1 知识点二：找旋转中心、对应点、旋转角 1 知识点三：旋转的性质 1 知识点四：作旋转图形 2 【题型演练】 2 【题型一：生活中的旋转现象】 2 【题型二：旋转三要素】 3 【题型三：根据旋转性质求角度】 7 【题型四：根据旋转性质求长度】 11 【题型五：根据旋转性质求坐标】 18 【题型六：根据旋转性质求面积】 21 【题型七：旋转中的规律探究问题】 24 【题型八：旋转综合】 28 【巩固训练】 33 1 学科网（北京）股份有限公司 第10讲：旋转 【知识梳理】 知识点一：旋转的概念 在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)． 如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，∠AＯA′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角． 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． • C′ B′ C B A A′ O 知识点二：找旋转中心、对应点、旋转角 确定旋转中心：只需分别联结两对对应点，所得两条线段的垂直平分线的交点就是旋转中心 确定旋转角：连接对应点与旋转中心，按照旋转方向确定旋转角度。 知识点三：旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 【注意】 （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 知识点四：作旋转图形 旋转作图的步骤和方法： （1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角; （2）找出图形的关键点; （3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点; （4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。 说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角。 【题型演练】 【题型一：生活中的旋转现象】 【例题1】下列现象中是旋转的是（　　） A．雪橇在雪地上滑行 B．抽屉来回运动 C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动 【答案】D 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】根据旋转的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、雪橇在雪地上滑行不是旋转，故此选项不符合题意； B、抽屉来回运动是平移，故此选项不符合题意； C、电梯的上下移动是平移，故此选项不符合题意； D、汽车方向盘的转动是旋转，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查生活中的旋转现象．熟练掌握旋转的三要素，是解题的关键． 【练习1-1】有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】根据平移和旋转的定义对各运动进行分析，即可找出其中的旋转运动． 【详解】解：③④⑤⑥属于旋转，共有4个． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键． 【练习1-2】2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【答案】B 【知识点】生活中的平移现象、轴对称图形的识别、判断生活中的旋转现象、位似图形的识别 【分析】本题主要考查图形的变换，熟练掌握平移、旋转、轴对称及位似是解题的关键；因此此题可根据平移、旋转、轴对称及位似可进行求解． 【详解】解：由图可知：该图采用的数学变换是旋转； 故选：B． 【题型二：旋转三要素】 【例题2】如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了图形旋转方式（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度． 观察与的对应点，确定旋转中心、旋转方向和旋转角度即可得出答案． 【详解】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为； 绕点顺时针旋转到，绕点顺时针旋转到， 故旋转方式是绕点顺时针旋转． 故选：B． 【练习2-1】如图，是由绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题主要考查了求旋转角，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再结合图形可知，旋转角即为的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是由绕点旋转得到的， ∴旋转角的度数是， 故选：A． 【练习2-2】如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【练习2-3】如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的，的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，， 故选：D． 【练习2-4】在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，，请解答下列问题： (1)填空：①___________， ②如图，是由△ABC逆时针旋转得到的，其中旋转中心是点_________，旋转角至少为________度； (2)画出关于原点O对称的图形． 【答案】(1)①2；②B， (2) 所作如图所示： 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、画已知图形关于某点对称的图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查旋转的性质及点的坐标关于原点对称，熟练掌握旋转的性质及点的坐标关于原点对称是解题的关键； （1）①根据割补法可进行求解；②根据旋转的性质可进行求解； （2）先得出点关于原点对称的点，然后问题可求解． 【详解】（1）解：①由图可知：； 故答案为2； ②由图可知：是由△ABC逆时针旋转得到的，其中旋转中心是点B，旋转角至少为度； 故答案为B，； （2）略 【题型三：根据旋转性质求角度】 【例题3】如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质．根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【练习3-1】如图，在中，，，O为中点，将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三线合一、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识，先由等腰三角形的性质得到，再由旋转得到，即可证明是等边三角形，得到． 【详解】解：∵，，O为中点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 【练习3-2】如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据旋转的性质求解 【分析】旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴． 【练习3-3】将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题、根据旋转的性质求解、角度问题(旋转综合题) 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，根据旋转的性质和已知条件进行分类讨论是解题的关键．根据题目要求，需要分两种情况讨论，第一种情况是当时，第二种情况是当时，再根据已知条件求解即可． 【详解】解：当时，如图，   ，， ， ， ， 旋转角为； 当时，如图，   ，， ， 旋转角为； 故选：C． 【变式拓展1】如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 根据旋转的性质即可得到，，，，再根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理得出，再根据平角的定义求出，进而可求出． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到． ∴，，，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵，，三点在同一条直线上， ∴ ∴ 故选D． 【题型四：根据旋转性质求长度】 【例题4】如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A 是对应点，点与点 B 是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（     ） A．3 B． C．2 D．3 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】过点A作于点D，由旋转得，，可得为等边三角形，则．在中，求得，进而在中，求得，可得答案． 【详解】解：过点A作于点D． 由旋转得，，， 又， ∴为等边三角形， ∴． ∴ 在中，， 在中，， ∴点A到直线的距离等于3． 【练习4-1】中，，，将绕着C点顺时针旋转得，边与交于F，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转的性质得出，，再证明为等边三角形，由等边三角形的性质即可得出． 【详解】解：由旋转的性质得出，， ∵， ∴， 又， ∴为等边三角形， ∴， 故选B 【练习4-2】如图，为等边三角形，点D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接．已知，的周长是15，则的边长是（   ） A．4 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质和等边三角形的性质与判定，利用旋转前后图形全等，得到线段相等，即，，再结合的周长是15，得，故，即可解题． 【详解】解：绕点逆时针旋转，得到， ∴，， 为等边三角形， ， ， ∵的周长是15， ∴， ∴， ∴， 的边长为， 故选：C． 【练习4-3】如图，在中，，，，可以看作是由绕点逆时针方向旋转得到的，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度直角三角形性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键． 过作交的延长线于点E．由含30度直角三角形性质得的长，由旋转的性质得，进而求得，则可求得的长，由勾股定理求得，再由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图，过作交的延长线于点E． ，，， ∴， ， 由旋转性质得，， ， ， ， ， ∵在中，， ， ∵， ∴在中，由勾股定理得． 故选C． 【变式拓展1】如图，长方形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接和，则点C到直线的距离为________，的最小值为________． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．首先证明，推出点G的在射线上运动，推出当时，的值最小． 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．    ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式拓展2】如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于_______． 【答案】/ 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】连接，在上截取，使，连接，过点作于点，证明，得出，点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，求出最小值即可． 【详解】解：由旋转得， 连接，在上截取，使，连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中 ， ∴， ∴， ∴点在直线上运动，当点与重合时，的值最小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，是解题的关键． 【题型五：根据旋转性质求坐标】 【例题5】如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度的点的坐标 【详解】解：正方形的边长为5，边在y轴上，， ，，轴， ， 由旋转的性质可知，，，在x轴上， 点的坐标为． 【练习5-1】如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，与交于点，连接，那么点的坐标为（　  　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、含30度角的直角三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，由旋转的性质找准旋转角，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 由正方形和旋转的性质得，，然后证明，得，再利用含角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是边长为2的正方形，正方形绕点顺时针旋转得到正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵将边长为的正方形绕点顺时针旋转， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 【练习5-2】在平面直角坐标系中的位置如图所示，．其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)求出（1）中旋转过程点经过的路径长； (3)连接，的外心坐标是_________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】求三角形外心坐标、求某点的弧形运动路径长度、画旋转图形 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式，勾股定理，三角形外心的定义，熟练掌握旋转和三角形外心的定义是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）连接，利用勾股定理求出，再旋转角为，利用弧长公式计算即可； （3）利用网格的特征作的中垂线，交于点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：由题意，得，且旋转角为， 则点经过的路径长为； （3）解：如图所示，作的中垂线，交于点， 则的外心坐标为， 故答案为：． 【题型六：根据旋转性质求面积】 【例题6】如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】连接，延长交于点E，求出，证明是等边三角形． 垂直平分，得，，由，得，即得． 【详解】解：如图，连接，延长交于点E， ∵，． ∴． 由旋转知，，， ∴是等边三角形． ∴． ∴点在的垂直平分线上． ∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，添加辅助线，是解题的关键． 【练习6-1】如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则阴影部分的面积为______． 【答案】36 【知识点】含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是利用旋转性质转化阴影面积，并通过作高结合30°角性质求三角形的高． 由旋转性质得，故阴影面积等价于的面积；过作于，利用含30°角的直角三角形中，30°角对的直角边是斜边的一半，求出高，再用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由旋转性质，得，，，且， 故； 过作于，在中，， ∴； 则， 即阴影部分的面积为36． 故答案为：36． 【练习6-2】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接． (1)求证：点B，C，D在同一条直线上； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵在中，将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴点B，C，D在同一条直线上； (2)16 【知识点】三角形内角和定理的应用、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转性质，角度计算，勾股定理，三角形内角和定理，三角形面积等． （1）由旋转性质可知，，继而可知，继而得到，即可得到本题答案； （2）根据勾股定理可得的长，再利用角度计算出，再利用面积公式即可求出本题答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积：． 【题型七：旋转中的规律探究问题】 【例题7】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、旋转中的规律性问题 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 【练习7-1】如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转的性质求出旋转的周期，确定第2026次旋转结束时点的位置相当于初始位置顺时针旋转，再利用正六边形的性质和三角函数（或勾股定理）求出坐标即可． 【详解】解：每次旋转，， 旋转8次为一个循环周期． ， 第2026次旋转结束时，点的位置与第2次旋转结束时点的位置相同，即相当于将初始位置的点绕点顺时针旋转． 如图，设第二次旋转后的正六边形为． 六边形是边长为4的正六边形， ∴中心角为， ∴， ∴是正三角形， ， 顺时针旋转， ∴， 点C在轴正半轴上，， ∴．点在第一象限， ∵，， ∴垂直于x轴，设垂足为点． 在中，，， ， ． 点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为． 【练习7-2】在平面直角坐标系中，的位置如图所示，将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；…依此类推，第2025次旋转得到，则顶点A的对应点的坐标是__________． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转、规律型：点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由题意得，每旋转4次后得到的三角形回到△的位置，根据，可知第2025次旋转得到△与第1次旋转得到△的位置相同，结合旋转的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：由题意得，每旋转4次后得到的三角形回到△的位置， ， 第2025次旋转得到△与第1次旋转得到△的位置相同． 如图， 由图可得，， 顶点的对应点的坐标是． 故答案为：． 【题型八：旋转综合】 【例题8】如图，已知点P在等边内，且，，，则______°． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用勾股定理的逆定理求解、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理，正确判定是直角三角形，得出是解题关键．将绕点顺时针旋转得，先证明是等边三角形，得，，，再证明，得到，由即可得答案． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故答案为： 【练习8-1】如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③；④；⑤．其中正确的结论是____ ． 【答案】①②④⑤ 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】由题意可得，是等边三角形，可得，，可判断是直角三角形，可判断，由，可判定， 【详解】解：连接， 由旋转性质得，， ∴是等边三角形， ∴，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 过点B作，交的延长线于点D，则， ∵， ∴， ∴，故③错误，不符合题意； 过点B作于点E， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点， 则，， ∴是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形， ∴ ，故⑤正确，符合题意； ∴正确的结论有①②④⑤， 答案：①②④⑤． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【练习8-2】（1）【操作发现】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是 三角形． （2）【类比探究】如图，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． 【答案】（1）等边；（2）；（3） 【知识点】二次根式的应用、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）将绕点逆时针方向旋转，得，连接，证明是等边三角形，推出，然后利用勾股定理求解即可； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，推出是等边三角形，，再求得，，推导出，得到，然后利用勾股定理求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：等边，理由如下： 将绕点顺时针旋转，得到 ， 是等边三角形， 故答案为：等边； （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接， 那么有， 是等边三角形 ， 在中，； （3）解：如图， 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形，， ， ，即 即 ． 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题． 【巩固训练】 1．下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、此选项图案在设计中用到平移变换方式，不符合题意； B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式，符合题意； C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； 故选：B． 2．如图，在中，，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转得到菱形，点E在上，与交于点P，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】连接交于点O，由菱形的性质及勾股定理求得的长，由旋转的性质求得的长，再在中求得，从而可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 由旋转的性质得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴． 4．（多选）如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，正确的是（    ） A． B．点O与的距离为4 C． D． 【答案】ABC 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】根据证明即可；连接，根据等边三角形的性质得出即可；证明，得出为直角三角形，根据是等边三角形，得出，最后求出结果即可；过点B作于点D，求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ，， ∴， 由旋转得，，， 是等边三角形，， ∴， ∴，故选项A正确，符合题意； 连接， 是等边三角形， ， ∴点O与的距离为4， 故选项B正确，符合题意； ∵， ， ， ∴为直角三角形， ， 是等边三角形， ， ∴， 故选项C正确，符合题意； 过点B作于点D， ， ， 故D选项不正确，不符合题意． 5．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是__________ 【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了找旋转中心．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查了图形的旋转以及解含有特殊角的直角三角形，正确作图分析是解题的关键．先通过已知条件求出点B的坐标，再由旋转的定义，作图找到第2次旋转后点B的位置，求出该点坐标即可． 【详解】解：如图1，过B作轴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转， 设旋转两次后，B点的对应点为， 如图2，点在x轴负半轴，， ∵在中， ，，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 7．如图，将等腰直角三角形绕点逆时针旋转得到，若，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查旋转的性质，三角函数，正确理解旋转角的定义，求得的度数是关键． 首先求得的度数，然后利用三角函数求得的长，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图， 是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质得出，． ， ∵等腰直角三角形，， ∴ 由旋转的性质得出， ， ． 故答案为： 8．如图，菱形的对角线交于原点．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为__________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，解题关键是找出旋转规律． 先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2025次旋转结束时，点C所在象限，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得C点的坐标． 【详解】解：将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴旋转4次后回到原来的位置， ， ∴第2025次旋转结束时，点C在第一象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， 四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∴，， ∴，， ∴ ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，若的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1) 解：如图所示，、即为所求； (2) 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查作图—旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质分别作出、的对应点即可画出旋转后对应的；再利用平移的性质作出、、的对应点即可画出平移后对应的； （2）连接、，和的交点即为旋转中心，利用中点坐标公式即可得到坐标． 对应点连线的交点即为旋转中心． 【详解】（1）略 （2）解：连接、，和的交点即为旋转中心，坐标为． $