第1章 图形的相似 单元测试培优卷 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 湘教版九年级上册《图形的相似》单元培优卷，以无人机测高、舂臼杠杆等时代与文化情境为载体，分层考查相似图形、比例线段等核心知识，融合几何直观、推理能力与应用意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|相似图形判断、比例线段、相似三角形应用|结合无人机测高（题4）、舂臼杠杆原理（题6），体现数学眼光观察现实世界| |填空题|8题24分|位似变换、黄金分割、相似性质计算|设置网格线段计算（题13）、位似坐标变换（题17），考查空间观念与数学语言表达| |解答题|8题66分|相似证明、测量实践、综合探究|设计旗杆测量（题23）、黄金分割线探究（题25），发展推理能力与创新意识，契合中考命题趋势|

第1章《图形的相似》培优卷-2026-2027学年湘教版（新教材）数学九年级上册单元测试卷 一、选择题(共10题；共30分) 1．下列图形中，不是相似图形的一组是（　　） A． B． C． D． 2．下面四组线段中不能成比例线段的是（　　） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、 D．、2、2 3．若一个三角形的三边长之比为，与它相似的一个三角形的最长边的长为，则其余两边长的和为（　　） A． B． C． D． 4．无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（　　） A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍 6．如图1，舂臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该春白的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离OC=15cm，且AO：OB=4：1，则点A到地面的距离是（　　） A．30cm B．45cm C．60cm D．75cm 7．如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE，AC 与 DE 相交于点 F，若 则 A． B． C． D． 8．如图，乐器板面上的一根弦AB=80cm，支撑点C是AB的一个黄金分割点(AC>BC)，则A，C之间的距离是（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知菱形ABCD，AD=4，点E是CD上一点，连结BE，△BCE沿BE翻折，点C的对称点F刚好落在边AD上，BF，BE与对角线AC分别交于点 G，H，若AF=EF，则CH的长度为（　　) A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交，于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(共8题；共24分) 11．如图， DE∥BC， AD：DB=2：3， EC=6，则AE的长是　 　. 12． 如图， △ABC 关于 BC 的中点 O 作位似图形△EFG， 若点 E恰为△ABC的重心， 则△EFG与△ABC的周长比为　 　。 13．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边AB，AC与网格线的交点，连接DE，则 DE的长是　 　. 14．如图，在 中， AD平分∠BAC交BC于点D，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，连结AE，若BE=5BC=10， 则DE= 　 　. 15．如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，对角线BD上有一点E，且BE=BC，在射线CE上有一点F，满足∠FBD=∠ECD，FB，FC分别交AD于点M，N，则MN的长为　 　. 16． 如图，在等边三角形中，点在边上，，连接，点在线段上，连接．若，，则的值为　 　． 17．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（2，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B'的横坐标是　 　 ． 18．如图，四边形ABCD是菱形，，点E是边CD上一点，连接AE，BE，点F是BE的中点，连接DF交AE于点G.若CE=2，则GF的长为　 　. 三、解答题(共8题；共66分) 19． 如图，在△ABC中， D为AC边上一点， （1）求证： △CBD∽△CAB. （2）若 BD=AC=3，求AB的长. 20．如图， BD 为菱形ABCD 的对角线， 过点A作AE⊥BC， 垂足为点E， AE交BD 于点F，过点A 作AB 的垂线交 BD 于点 G，过点 G作 GH⊥AE，垂足为点H. （1） 求证： AB=GH+BE； （2） 若GH=2AH， 求 的值. 21． 请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（说明：图中点，，，均在格点上） （1）在图中，作点关于的对称点，并连结， （2）在图中，以为位似中心，作四边形的位似图形，并把四边形的边长扩大到原来的倍. 22．在 中，点E是AB 上的动点，点G是BC上的动点，连结DE交AG于点F。 （1） 如图1，当点E和点 B 重合，若BF：FD=1：2，求证： 点G是BC的中点。 （2）如图2，当点 G为BC的中点，若EF=nDF时，求AF：FG的值（用含n的代数式表示)。 23．综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】 步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤：小明从点出发沿着方向前进米，到达点； 步骤：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为米，米． 【问题解决】 已知点、、、与旗杆的底端在同一直线上，，，，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． （1）求证：； （2）求该旗杆的高度． 24． （1） 如图①在 内，，，D 是 内一点，将 绕点 B 顺时针旋转，点 C 恰好与点 A 重合，D 旋转到点 E，连接 DE， AE，判断 BD 与 BF 的位置关系，并说明理由. （2） 在 (1) 的条件下，如图②，当 ，延长 CD 交 AE 于点 F，若 ， 时，求 AF 的长. （3） 如图③，在 和 中，，，连接 CD， AE，填空： ① 线段 AE 与 CD 的数量关系是　 　； ② 当 时，点 E 到 AB 的距离 EF 的长为 2，则线段 CD 的长为　 　. 25．【问题提出】“黄金分割点”：如图 1，点 P 将线段 AB 分成两部分 ，若 ，则称点P为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，比值为 . （1）【初步感知】 ①如图1，若AB=1，求线段PB的长； ②如图2，△ABC中，D是BC边上一点，AD将△ABC分割成两个三角形 ，若 ，则称AD为△ABC的黄金分割线. 求证：点 D 是线段 BC 的黄金分割点； （2）【类比探究】如图2，若 ，求证：AD 是 的角平分线. 26．解决下列问题 【问题初探】 （1）如图1所示，矩形中，是对角线上一点，连接，在的下方作，满足，连接，求证：． 【实践探究】 （2）如图2所示，正方形中，对角线、相交于点，是线段上的一点，连接，作，点在边上，交于，求、、之间的数量关系． 【拓展迁移】 （3）如图3所示，正方形中，对角线、相交于点，是边上一点，作，分别交、于点、，满足，连接，如果，求的值． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】4 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】6.5 17．【答案】﹣2a+6 18．【答案】3 19．【答案】（1）证明：∵BC2=CDAC， ∴， 又∵∠C=∠C， ∴△CBD∽△CAB （2）解：∵△CBD∽△CAB， ∴. ∵BC2=6， ∴. 又∵AC=3，BD=3， ∴ ∴ 20．【答案】（1）证明：连接CG，如图所示， ∵BD为菱形的对称轴， ∴AG=CG， 在△ABG和△CBG中 ∴△ABG≌△CBG(SSS)， ∴∠BCG=∠BAG=90° ∴四边形HGCE为矩形 ∴GH=CE， ∴AB=BC=CE+BE=GH+BE （2）解：∵∠AGH+∠GAH=90°，∠GAH+∠BAE=90°， ∴∠AGH=∠BAE ∴tan∠AGH=tan∠BAE， ∴ ∴ 又∵HG//BC， ∴△HFG~△EFB， ∴ 21．【答案】（1）解：如图所示，点C即为所作； （2）解：如图，四边形 即为所作； 22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴点是的中点； （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，即，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即． 23．【答案】（1）证明：∵，，∴， ∴； （2）解：设米，∵米， ∴米， ∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米 ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴米， 答：旗杆的高度为米． 24．【答案】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质可得， ， ， . （2）解：如图，设 AB，CF 与 AB 交于点 O， 由旋转的性质可知 ， BD = BE， ， ， 即 ， ， . ， 四边形 EFDB是矩形， ， 在中，， ， ， ； （3）； 25．【答案】（1）①解：设，则，根据题意，得 ， 即， 解得， 所以； ②证明：设的高是h， ∵， ∴， 即， ∴点D是线段的黄金分割点 （2）证明：过点D作，交于点E，F， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， 即. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线 26．【答案】（1）证明：矩形中，，且， ． ，即， ， . ， ，即． （2）解：如图，过点，作于点，延长交于点， 在正方形中，， ， ， 四边形为矩形． 同理四边形为矩形． ， 在正方形中，为对角线， ， 为等腰三角形， ， ． ， ， ， ， 在和中，， ， 四边形为矩形，为等腰三角形， 即， ． （3）解：如图，过点作于延长线于点，连接，过点，作于点， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 在正方形中，， ， ， 为等腰直角三角形， ． 为正方形的对角线， ， ，为等腰直角三角形． 设正方形的边长为，， ，， ，， ， ，即， 解得， ， ， ，即，解得， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $