1.1第2课时勾股定理的证明及简单应用 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的证明与简单应用，通过经典例题（4个全等直角三角形拼大正方形）导入，结合变式训练（赵爽弦图）深化证明思路，再过渡到实际应用问题（梯子、汽车速度等），构建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于融合多种证明方法（赵爽弦图、达芬奇图形等）培养学生推理意识，通过母题演变与分层过关题（基础、能力、思维）发展模型意识与应用意识。采用例题-变式-应用的教学方法，学生能提升逻辑推理与实际问题解决能力，教师可借助系统资源提高教学效率。

北师大版八年级数学上册 第一章　勾股定理 1.1第2课时勾股定理的证明及简单应用 勾股定理的证明 1经典例题　 如图，用4个全等的直角三角形拼成一个大正方形. (1)大正方形的面积为 ⁠； (2)大正方形的面积还可以表示为 ⁠； (3)可以得到等式 ，化简为 ⁠. (a＋b)2　 c2＋2ab　 (a＋b)2＝c2＋2ab　 a2＋b2＝c2　 返回目录 2变式训练　 如图是著名的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角 形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为 c，请你用它来验证勾股定理. 解：因为S小正方形＝(b－a)2＝b2－2ab＋a2， S小正方形＝c2－4× ab＝c2－2ab， 所以b2－2ab＋a2＝c2－2ab. 所以a2＋b2＝c2. 返回目录 勾股定理在实际问题中的简单应用 3经典例题　如图，长13 m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角5 m，求梯子的顶端离地面的距离. 返回目录 解：在Rt△ABC中，BC＝5 m，AC＝13 m， 所以AB2＝AC2－BC2＝132－52＝122. 所以AB＝12 m. 因此，梯子的顶端离地面的距离为12 m. 返回目录 4变式训练　 为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室， 准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5 m的木梯，准备把拉花挂 到2.4 m的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5 m，但高度不够.要想 正好挂好拉花，梯脚应向前移动(人的高度忽略不计) m. 0.8　 返回目录 5母题演变　 (教材P5)如图，小王在距离东西向公路800 m的A处测 算某汽车的速度，某一时刻汽车在他正北方向，20 s后汽车与他相距 1 000 m，求汽车的速度. 返回目录 解：由题意，得△ABC为直角三角形. 由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝360 000， 所以BC＝600 m.所以600÷20＝30(m/s). 因此，汽车的速度是30 m/s. 返回目录 6变式训练　 如图，一艘轮船以12 n mile/h的速度从港口A出发向东 北方向航行，另一艘轮船以 5 n mile/h 的速度同时从港口A出发向东 南方向航行，离开港口2 h后两船相距 (　D　) A. 13 n mile B. 16 n mile C. 20 n mile D. 26 n mile D 返回目录 　基础过关 1. 如图，一文物被探明位于A点地下48 m处，由于A点地面下有障 碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A点14 m的B处斜着挖 掘，那么要找到文物至少要挖 (　C　) A. 14 m B. 48 m C. 50 m D. 60 m C 返回目录 2. 利用如图所示图形验证勾股定理，其中两个全等的直角三角形的 边AE，EB在一条直线上.验证中用到的面积相等关系是 (　D　) A. S△EDA＝S△CEB B. S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C. ＝ D. S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝ D 返回目录 3. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正 方形拼成的一个大正方形.若图中直角三角形较短的直角边长是8， 小正方形的边长是7，则大正方形的面积为 ⁠. 289　 返回目录 4. 小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图(如图)，他们从门口A处出 发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向 北走6 km，最后往东走 1 km 找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直 线距离是 (　D　) A. 20 km B. 14 km C. 11 km D. 10 km D 第2题图 返回目录 5. 如图，一根17 cm的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是 9 cm，内壁高12 cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的取值 范围是 (　A　) A. 2≤x≤5 B. 6≤x≤9 C. 9≤x≤12 D. 12≤x≤15 A 第3题图 返回目录 6. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形 EFGH(赵爽弦图)，连接AC，交EF，GH分别于点M，N，连接 FN，已知AH＝3DH，且 ＝25，则图中阴影部分的面积 为 (　B　) A. B. 5 C. D. 10 B 返回目录 　能力过关 7. 根据道路交通管理条例的规定，在某段笔直的公路l上行驶的车 辆，限速60 km/h.如图，已知测速点M到测速区间的端点A，B的距 离分别为50 m，34 m，M距公路l的距离(即MN的长)为30 m.现测得 一辆汽车从A到B所用的时间为5 s，通过计算判断此车是否超速. 返回目录 解：在Rt△AMN中，AM＝50 m，MN＝30 m， 由勾股定理，得AM2＝MN2＋AN2，即502＝302＋AN2. 所以AN＝40 m. 在Rt△MNB中，BM＝34 m，MN＝30 m， 由勾股定理，得BM2＝MN2＋BN2，即342＝302＋BN2. 所以BN＝16 m.所以AB＝AN＋BN＝40＋16＝56(m). 汽车从A到B的平均速度为56÷5＝11.2(m/s). 因为11.2 m/s＝40.32 km/h＜60 km/h，所以此车没有超速. 返回目录 8. 意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理.左图 中空白部分由边长分别为a，b的两个正方形和斜边为c的两个直角 三角形组成，若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的 面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是 (　B　) A. S1＝a2＋b2＋2ab B. S1＝a2＋b2＋ab C. S2＝c2＋2ab D. S2＝c2＋ ab B 返回目录 9. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度 CE，他们进行了如下操作：①如图，测得水平距离BD的长为15 m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m；③测得 牵线放风筝的小明的身高为1.6 m. (1)风筝的垂直高度CE为 m. 21.6　 返回目录 (2)若小明想让风筝沿CD方向下降12 m，则他应该往回收线多少米？ 解：如图，取CF＝12 m，连接BF. 在Rt△BFD中，由勾股定理， 得BF2＝BD2＋FD2＝152＋(20－12)2， 所以BF＝17 m.25－17＝8(m). 所以他应该往回收线8 m. 返回目录 　思维过关 10. 如图①，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯 救人.如图②，已知云梯最多只能伸长到15 m(即AB＝CD＝15 m)， 消防车高3 m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12 m(即BE＝12 m) 高的B处救人后，还要从15 m(即DE＝15 m)高的D处救人，这时消 防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？(提示：如图②， 延长AC交DE于点O，AO⊥OE，点B在DE上，OE的长即为消防 车的高3 m). 返回目录 解：在Rt△ABO中，AB＝15 m，OB＝12－3＝9(m)， 由勾股定理，得AB2＝OA2＋OB2，即152＝OA2＋92. 所以OA＝12 m. 在Rt△COD中，CD＝15 m，OD＝15－3＝12(m)， 由勾股定理，得CD2＝OC2＋OD2，即152＝OC2＋122. 所以OC＝9 m.所以AC＝OA－OC＝3 m. 因此，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为3 m. 返回目录 谢谢观看 返回目录 $