第2.6节 受迫振动 共振（高效培优·讲义）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中物理“受迫振动 共振”核心知识点，系统梳理固有振动、阻尼振动、受迫振动的区别与联系，明确受迫振动频率由驱动力决定，深入解析共振条件、图像及应用，构建从基础振动形式到特殊现象的学习支架。 资料通过知识导图整合物理观念，表格对比三种振动培养科学思维，真题与分阶练习促进科学探究。课中辅助教师清晰授课，课后借助避坑指南和精准练习，帮助学生查漏补缺，提升对振动规律的理解与实际应用能力。

第2.6节 受迫振动 共振 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 振动中的能量损失与受迫振动 考点02 共振及其应用 03 避坑指南·解题通法 · 角度01 阻尼振动 角度02 受迫振动 角度03 共振及其应用 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.区分固有振动、阻尼振动、受迫振动三种振动形式 2.记住受迫振动频率等于驱动力频率，与固有频率无关 3.理解共振条件、共振图像以及共振的利弊应用 1.共振发生条件：驱动力频率等于系统固有频率 2.共振时振幅达到最大值，可利用也可规避共振 3.阻尼只会减小振动振幅，不会改变振动固有周期 知识导图 考点01 振动中的能量损失与受迫振动 1、固有振动和固有频率 （1）固有振动：振动系统在 作用下的振动。 （2）固有频率： 的频率。 2、自由振动（无阻尼振动）：系统不受外力，也不受任何阻力，只在自身回复力作用下的振动。自由振动的频率，叫做系统的固有频率。 3、阻尼振动 （1）阻尼：当振动系统受到 时，振动受到了阻尼。 （2）阻尼振动： 逐渐减小的振动，如图所示。 4、驱动力：周期性作用于振动系统的外力叫做驱动力。 5、受迫振动：系统在 下的振动，叫做受迫振动。 （1）受迫振动的特点：受迫振动的频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。 （2）受迫振动的规律 ①物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关； ②物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。 （3）受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。 【深化点拨】 1．振动系统能量衰减的两种方式 （1）振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。 （2）振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去。 2．对阻尼振动的理解 （1）由于阻力做功，振动系统的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小。 （2）周期和频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期和频率不变。 3．对受迫振动的理解 （1）受迫振动的频率等于驱动力的频率。 （2）驱动力频率越接近固有频率，振幅越大。 1．A、B两个完全相同的弹簧振子，固有频率为2f，若给A施加频率为3f和给B施加频率为5f的驱动力，使其在驱动力作用下做受迫振动，则稳定后（     ） A．振子A的振幅较大，振动频率为2f B．振子B的振幅较大，振动频率为2f C．振子A的振幅较大，振动频率为3f D．振子B的振幅较大，振动频率为5f 2．（多选）下列有关受迫振动和阻尼振动的说法正确的是（　　） A．阻尼振动的振幅逐渐变小 B．物体振动的频率就是物体的固有频率 C．驱动力的频率等于物体固有频率时，物体做受迫振动振幅最大 D．共振是普遍的现象，都是有利的 【三种振动的比较的比较】 振动类型 比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 频率 有固有频率 频率不变 由驱动力的频率决定 振动图像 形状不确定 常见例子 弹簧振子或单摆 敲锣打鼓时发出的声音越来越弱 机器运转时底座发生的振动 考点02 共振及其应用 1、共振定义：驱动力的频率f 等于物体的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做 。 （1）现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的 。 （2）条件：驱动力的频率等于固有频率。 2、共振曲线 （1）横轴：表示驱动力的 。 （2）纵轴：表示受迫振动的 。 （3）当f驱=f固时，A=Am，Am的大小取决于驱动力的幅度。 （4）f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大，f驱与f固相差越远，受迫振动的振幅越小。 （5）发生共振时，一个周期内，外界提供的能量等于系统克服阻力做功而消耗的能量。 3、受迫振动的规律 f驱= f固时，振幅有最大值。 f驱与f固差别越大时，振幅越小。 【深化点拨】 对共振的理解 （1）共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A；它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f=f0时，振幅A最大。 （2）受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。 1．如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（　　） A．若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则两次摆长之比为l1：l24：25 B．图线II若是在地球表面上完成的，则该摆摆长约为2m C．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线Ⅰ是月球上的单摆共振曲线 D．以上说法都不对 2．（多选）研学活动中，小红用固有频率分别为fa、fb和fc的钢片a、b和c制成转速计，将其探头分别与转动的电动机接触，电动机转动的角速度为，稳定后，发现钢片c的振幅最大，则（　　） A．钢片c的振动是自由振动 B．钢片b的固有频率与电动机转速无关 C．钢片a的振动频率为 D．电动机转动的角速度一定等于 3．如图在支架上拴一条水平细绳，绳上间隔悬挂一些单摆，摆球的质量远大于其他摆球的质量，各摆摆长关系为，其中摆的摆长，重力加速度为，则摆的固有周期为___________，将摆A拉离平衡位置，由静止释放，一段时间后摆___________振幅最大（选填“B”“C”“D”“E”或“F”），摆C的摆动周期_______摆A的摆动周期（选填“大于”“小于”或“等于”）。 【自由振动、受迫振动和共振的关系比较】 振动项目 　 自由振动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T=T驱或f=f驱 T驱=T0 或f驱=f0 振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆（θ≤5°） 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 受迫振动 共振的综合应用及解题步骤 1.振动分类与频率特征：必须“分清”三种振动 （1）自由振动： 定义：系统在不受外力（除回复力外）作用下，初始激发后的振动。 频率：等于系统的固有频率 f固 ，由系统本身性质（如质量、劲度系数、摆长）决定，与振幅无关。 （2）受迫振动： 定义：系统在驱动力（周期性外力）作用下的振动。 频率：稳定后，物体的振动频率等于驱动力的频率 f驱，而与固有频率无关。 （3）阻尼振动： 特征：振幅随时间逐渐减小，能量逐渐耗散。但在短时间内，其周期/频率仍可近似看作固有频率。 （4）避坑点：受迫振动的频率“身不由己”，完全听命于驱动力；只有发生共振时，两者数值才相等。 2.共振现象：必须“看懂”共振曲线（共振是受迫振动的一种特殊情况，也是考试的高频考点）。 （1）产生条件：当驱动力的频率 f驱等于 系统的固有频率 f固时，振幅达到最大。 （2）共振曲线分析（A−f图像）： 横轴是驱动力频率 f驱，纵轴是振幅 A。 曲线呈“山峰”状，峰值对应的横坐标即为固有频率 f固。 （3）规律： f驱越接近 f固，振幅越大；相差越远，振幅越小。 3.实际应用与防止：必须“辩证”看待共振（共振既有利用价值，也有破坏性，解题时需根据情境判断）。 （1）利用共振： 目的：让 f驱尽量接近或等于 f固，以获得最大振幅或能量传输效率。 实例：微波炉（电磁波频率匹配水分子固有频率）、共振筛、核磁共振、乐器共鸣箱。 （2）防止共振： 目的：让 f驱尽量远离 f固，或者改变系统的固有频率，避免振幅过大造成破坏。 实例：军队过桥便步走（避免齐步走的频率匹配桥梁固有频率）、机器底座安装减震垫、轮船减摇鳍。 （3）避坑点：并不是所有振动都是越大越好，题目问“为什么要XXX”时，要从“匹配”还是“避开”固有频率的角度回答。 角度01 阻尼振动 1．下列关于机械振动的说法正确的是（　　） A．受迫振动稳定后，其振动的周期总等于系统的固有周期 B．阻尼振动振幅逐渐减小，同时能量逐渐消失 C．当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大 D．为避免共振现象发生，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率 2．如图是弹簧振子做阻尼振动的位移-时间图像，摆球速度可能与时刻相同的是（　　） A． B． C． D． 3．（多选）关于阻尼振动，以下说法中正确的是（　　） A．动能与势能之和不断减小 B．动能不断减小 C．振幅不断减小 D．一定不是简谐运动 角度02 受迫振动 4．如图所示为某同学研究单摆做阻尼振动的位移一时间图像，、、是图像上的三个点，其中、两点在同一条水平线上，、两点到平衡位置的距离相等，下列说法正确的是（　　） A．摆球在时刻的机械能等于在时刻的机械能 B．摆球在时刻的势能大于在时刻的势能 C．摆球在时刻做减速运动 D．摆球在时刻高度正在降低 5．关于受迫振动的说法正确的是（　　） A．受迫振动不受阻力作用 B．驱动力的频率越大，受迫振动的振幅越大 C．受迫振动的振幅大小与驱动力的频率无关 D．驱动力的频率等于固有频率时，振幅最大，此现象称为共振 6．关于受迫振动和单摆，下列说法正确的是（　　） A．物体做受迫振动达到稳定后，振动的频率等于物体的固有频率 B．只要驱动力足够大，共振就能发生 C．单摆做简谐运动的周期与摆球的质量和振幅无关 D．单摆运动到平衡位置时，速度最大，回复力为零，合力也为零 7．（多选）如图甲，曲轴下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统，转动摇把，曲轴带动弹簧振子在竖直方向上、下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，其振动图像如图乙所示。匀速转动摇把，转速为4 r/s，摇把对弹簧振子施加周期性的驱动力，使振子做受迫振动。下列说法正确的是（     ） A．振子的固有频率是2 Hz B．振子受迫振动的周期一定是0.5 s C．摇把转动转速为2 r/s附近时，振子振幅显著增大 D．摇把转动转速为2 r/s附近时，振子振幅显著减小 角度03 共振及其应用 8．图为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅与驱动力频率的关系）则下列说法正确的是（     ） A．此单摆的固有周期约为0.5 s B．此单摆的摆长约为 C．若摆长变小，共振曲线的峰将左移 D．若保持摆长不变，将该单摆移到高山上做受迫振动，共振曲线的峰将右移 9．如图所示为两个单摆受迫振动的共振曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若摆长均约为1m，则图线Ⅰ是在地球上完成的 B．若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行（），且摆长相等，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线 C．若两个单摆在同一地点均发生共振，图线Ⅱ表示的单摆的能量一定大于图线Ⅰ表示的单摆的能量 D．若两个单摆的受迫振动是在地球上同一地点进行的，则两个单摆的摆长之比 10．（多选）如图甲为共振的演示装置，实验时让不同摆长（、、等）的摆依次振动起来，得出单摆M的振幅与其振动频率的关系图像如图乙所示。，取10，则下列说法正确的是（     ） A．M的固有频率为 B．M的摆长约为 C．用摆长为的单摆实验时，M的振幅最大 D．M的周期始终为 11．如图所示是一个单摆的共振曲线，读图回答下列问题： （1）共振时单摆振幅多大？ （2）该单摆摆长多大？（取g=π2）    【例1】（浙江·高考真题）（多选）为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则（　　）    A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同 B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大 C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同 D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同 【深化点拨】 （1）考查共振的核心条件，驱动力频率等于物体固有频率时发生共振，振动振幅达到最大值，不同物体固有频率不一样。 （2）考查受迫振动振幅变化规律，只有接近固有频率时振幅才会变大，持续增大驱动力频率，振幅会先升后降。 （3）考查固有频率的特性，物体自由振动的固有频率由自身结构、材质、形状决定，不同粗细树干固有频率各不相同。 （4）考查受迫振动的频率规律，物体做稳定受迫振动时，振动频率始终等于外界驱动力的频率，和自身固有频率无关。 【变式1-1】如图所示的装置，弹簧振子的固有频率是4Hz，现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1Hz，则把手转动的频率为（  ） A．1Hz B．3Hz C．4Hz D．5 Hz 【变式1-2】（多选）如图所示，在一根张紧的水平绳上挂几个摆，其中，摆长相等；先让摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则（     ） A．其它各摆摆动周期跟摆相同 B．其它各摆振动振幅大小相同 C．其它各摆振动振幅大小不相同，摆振幅最大 D．其它各摆振动周期大小不同，摆周期最大 【变式1-3】一个单摆在地球上做受迫振动，其共振曲线如图，则单摆的固有频率为________Hz，若摆长减小，共振曲线的峰值将________（选填“左移”、“右移”、“不变”），若提高驱动力的频率，共振曲线的峰值将________（选填“左移”、“右移”、“不变”）。 ⚡基础速刷 1．把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是54 r/min，下列说法正确的是（　　） A．此时共振筛的振动频率为0.8 Hz B．减小筛子质量，筛子的振幅一定增大 C．转速调至48 r/min时，筛子出现共振状态 D．增大电压，筛子振幅会先增大后减小 2．如图所示，两个弹簧振子悬挂在同一个支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9Hz，乙弹簧振子的固有频率为20Hz，当支架在竖直方向且频率为10Hz的驱动力作用下做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是（　　） A．甲的振幅较大，且振动频率为9Hz B．乙的振幅较大，且振动频率为20Hz C．乙的振幅较大，且振动频率为10Hz D．甲的振幅较大，且振动频率为10Hz 3．（多选）在生活中我们见过很多的与机械振动有关的情形。如图，钢尺的振动为什么会越来越弱？鼓皮的振动为什么会逐渐变弱？荡来荡去的秋千没人推动后，为什么会慢慢停下来。部队过桥时为何不能齐步走？关于这些物理现象下列说法正确的有（     ） A．钢尺振动逐渐减弱，主要是因为桌面的摩擦力消耗了能量 B．鼓皮的振动逐渐减弱，所以鼓皮的振动频率变小 C．秋千逐渐停止运动，是因为空气阻力和转轴的摩擦力导致 D．部队过桥不能齐步走是为了避免共振导致桥梁坍塌 4．（多选）工业上筛选矿石的筛子可以简化为如图所示的模型，筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子（连同筛子里边的矿石）的质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是30r/min。为了使筛子的振幅增大，可以（　　） A．增大电压 B．减小电压 C．增加筛子（连同筛子里边的矿石）质量 D．减小筛子（连同筛子里边的矿石）质量 5．火车在铁轨上运行时，车轮每接触到两根钢轨的接头处就受到一次撞击，而使车厢在减震弹簧上上下振动，若铁轨上每根钢轨的长为12.6m，车厢与减震弹簧组成的系统的固有周期为0.63s，则当车轮与铁轨撞击的周期________（选填“大于”“小于”或“等于”）0.63s时，车厢的振动最强烈，此时火车速度大小为________m/s。 🚀能力跃升 6．如图甲所示，飞力士棒是一根弹性杆两端带有负重的轻巧训练器械，方便日常训练肌肉，提高身体感知能力。某型号飞力士棒的固有频率为5Hz，某人用手振动该飞力士棒进行锻炼，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．手振动的频率增大，飞力士棒振动的频率也随之增大 B．使用者用力越大，飞力士棒振动得最快 C．使用者用力越大，飞力士棒振动的幅度一定越大 D．手每分钟振动480次时，飞力士棒振动的幅度最大 7．如图所示，当A振动起来后，通过绷紧的水平绳迫使B、C、D、E、F、G六个小球振动起来，对于摆球振动过程的描述中，下列说法正确的是（　　） A．C的周期最大 B．B、C、D、E、F、G六个小球的周期相同 C．B、C、D、E、F、G六个小球的振幅相同 D．只有A、D、G小球的周期相同 8．海上养殖场的浮漂在风浪的作用下上下振动（可视为简谐振动），其振动周期为，振幅为A。某时刻浮漂正好经过平衡位置向上运动。忽略水的黏滞阻力，从该时刻起，下列说法正确的是（     ） A．经过时间，浮漂所受合力为零，位移为零 B．经过时间，浮漂的动能为最大，路程为零 C．经过时间，浮漂的速度达到最大，所受合力为零 D．风浪突然增大，浮漂的固有振动周期变大 9．（多选）如图所示为动画片《猫和老鼠》中的一幕，蚂蚁大军以相同步伐在固定绳子上行走，绳子未断裂。在蚂蚁大军振动的频率从0逐渐增大至某一频率（大于绳子的固有频率）的过程中，下列说法正确的是（　　） A．绳子振动的频率等于蚂蚁大军振动频率 B．绳子振动的频率小于蚂蚁大军振动频率 C．该绳的振幅先减小后增大 D．该绳的振幅先增大后减小 10．（多选）如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（　　） A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则振子在月球上做自由振动时的频率为 B．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线I是月球上的单摆共振曲线 C．若两次受迫振动均在地球上同一地点进行，则两次摆长之比为 D．图线Ⅱ若是在地球表面上完成的，将该单摆从广州移至北京，共振曲线的“峰”将向左移动 11．一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线振幅与驱动力频率的关系如图1所示，如图2是在驱动力作用下做受迫振动的振动图像，求 (1)该单摆的摆长（，取）； (2)写出图2的振动方程（用正弦函数表示），并求出时摆球的位移的大小。 🌟思维挑战 12．如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（　　）    A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线Ⅱ是月球上的单摆共振曲线 B．若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则两次摆长之比为 C．图线Ⅱ若是在地球表面上完成的，则该单摆摆长约为 D．单摆做受迫振动达到稳定后，振动的频率与它的固有频率有关。 13．如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O点（图中未标出）。物块质量m=1kg，弹簧劲度系数k=100N/m，物块与桌面间的动摩擦因数μ=0.1。现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，弹簧伸长量Δx=11cm，撤去拉力后物块由静止向左运动经O点最远到达B点。重力加速度为g=10m/s2。下列说法中正确的是（    ） A．物块在B点所受弹簧弹力与在A点大小相等 B．物块运动的总路程为60.5cm C．物块最终停在O点左侧1cm内某处 D．物块最终停在O点左侧1cm处 14．（多选）如图所示，粗糙的水平地面放置一斜面体，一质量m = 1.0kg的木块放置在斜面上，并与轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在斜面顶端。已知斜面倾角θ = 37°，木块与斜面间的动摩擦因数μ = 0.2，弹簧的劲度系数k = 50N/m，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g = 10m/s2，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。现将弹簧从原长拉长20cm后释放木块，在木块运动的过程中，斜面体保持静止不动，则（   ） A．木块在斜面上运动的总路程为9.6cm B．木块最后静止不动时，受到的摩擦力方向沿斜面向上，大小为2.4N C．在木块运动过程中，斜面体受地面的摩擦力先变小后变大 D．在木块运动过程中，斜面体对地面的压力先变大后变小 15．(1)如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来，此时b摆的振动周期___________（选填“大于”“等于”或“小于”）d摆的周期。图乙是a摆的振动图像，重力加速度为g，则a摆的摆长为___________。 (2)一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8cm，频率为0.5 Hz，在t=0时，位移是4cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程并画出相应的振动图像______________________。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2.6节 受迫振动 共振 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 振动中的能量损失与受迫振动 考点02 共振及其应用 03 避坑指南·解题通法 · 角度01 阻尼振动 角度02 受迫振动 角度03 共振及其应用 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.区分固有振动、阻尼振动、受迫振动三种振动形式 2.记住受迫振动频率等于驱动力频率，与固有频率无关 3.理解共振条件、共振图像以及共振的利弊应用 1.共振发生条件：驱动力频率等于系统固有频率 2.共振时振幅达到最大值，可利用也可规避共振 3.阻尼只会减小振动振幅，不会改变振动固有周期 知识导图 考点01 振动中的能量损失与受迫振动 1、固有振动和固有频率 （1）固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动。 （2）固有频率：固有振动的频率。 2、自由振动（无阻尼振动）：系统不受外力，也不受任何阻力，只在自身回复力作用下的振动。自由振动的频率，叫做系统的固有频率。 3、阻尼振动 （1）阻尼：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼。 （2）阻尼振动：振幅逐渐减小的振动，如图所示。 4、驱动力：周期性作用于振动系统的外力叫做驱动力。 5、受迫振动：系统在驱动力作用下的振动，叫做受迫振动。 （1）受迫振动的特点：受迫振动的频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。 （2）受迫振动的规律 ①物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关； ②物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。 （3）受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。 【深化点拨】 1．振动系统能量衰减的两种方式 （1）振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。 （2）振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去。 2．对阻尼振动的理解 （1）由于阻力做功，振动系统的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小。 （2）周期和频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期和频率不变。 3．对受迫振动的理解 （1）受迫振动的频率等于驱动力的频率。 （2）驱动力频率越接近固有频率，振幅越大。 1．A、B两个完全相同的弹簧振子，固有频率为2f，若给A施加频率为3f和给B施加频率为5f的驱动力，使其在驱动力作用下做受迫振动，则稳定后（     ） A．振子A的振幅较大，振动频率为2f B．振子B的振幅较大，振动频率为2f C．振子A的振幅较大，振动频率为3f D．振子B的振幅较大，振动频率为5f 【答案】C 【详解】A．受迫振动稳定后，振动频率等于驱动力频率，与振子固有频率无关， 驱动力频率与振子固有频率越接近，受迫振动的振幅越大，二者相等时发生共振，振幅最大。 振子A做受迫振动，稳定后频率应等于驱动力频率，而不是固有频率，故A错误； B．振子B做受迫振动，稳定后频率应等于驱动力频率，而不是固有频率，故B错误； CD．A的驱动力频率与固有频率更接近，振幅更大，且稳定后振动频率等于驱动力频率，故C正确，D错误。 故选C。 2．（多选）下列有关受迫振动和阻尼振动的说法正确的是（　　） A．阻尼振动的振幅逐渐变小 B．物体振动的频率就是物体的固有频率 C．驱动力的频率等于物体固有频率时，物体做受迫振动振幅最大 D．共振是普遍的现象，都是有利的 【答案】AC 【详解】A．阻尼振动由于阻力的存在，一部分机械能转化为内能，因此阻尼振动的振幅将逐渐减小，A正确； B．物体振动的频率不一定是物体的固有频率，例如受迫振动，其频率等于外界驱动力的频率，B错误； C．当驱动力的频率等于固有频率时，物体发生共振，物体做受迫振动的振幅达到最大值，C正确； D．共振是普遍的现象，不一定都是有利的，例如桥梁在风作用下的振动，如果发生共振，极有可能使桥梁受损，D错误。 故选AC。 【三种振动的比较的比较】 振动类型 比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 频率 有固有频率 频率不变 由驱动力的频率决定 振动图像 形状不确定 常见例子 弹簧振子或单摆 敲锣打鼓时发出的声音越来越弱 机器运转时底座发生的振动 考点02 共振及其应用 1、共振定义：驱动力的频率f 等于物体的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。 （1）现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大。 （2）条件：驱动力的频率等于固有频率。 2、共振曲线 （1）横轴：表示驱动力的频率。 （2）纵轴：表示受迫振动的振幅。 （3）当f驱=f固时，A=Am，Am的大小取决于驱动力的幅度。 （4）f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大，f驱与f固相差越远，受迫振动的振幅越小。 （5）发生共振时，一个周期内，外界提供的能量等于系统克服阻力做功而消耗的能量。 3、受迫振动的规律 f驱= f固时，振幅有最大值。 f驱与f固差别越大时，振幅越小。 【深化点拨】 对共振的理解 （1）共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A；它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f=f0时，振幅A最大。 （2）受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。 1．如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（　　） A．若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则两次摆长之比为l1：l24：25 B．图线II若是在地球表面上完成的，则该摆摆长约为2m C．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线Ⅰ是月球上的单摆共振曲线 D．以上说法都不对 【答案】C 【详解】A．由题可知，两次单摆的频率分别为， 由单摆的周期公式 可得 故两次单摆的摆长之比为 代入数据可得 A错误； B．由图可知图线II单摆的周期 根据单摆的周期 解得 代入数据解得图线II单摆的摆长 B错误； C．同理，根据单摆的周期可得单摆所在地的重力加速度 由于图线Ⅰ的周期大于图线II周期，故图线Ⅰ单摆所在地的重力加速度小于图线II单摆所在地的重力加速度，故图线Ⅰ单摆所在地是月球，图线II单摆所在地是地球，C正确； D．综合上述分析可知，D错误。 故选C。 2．（多选）研学活动中，小红用固有频率分别为fa、fb和fc的钢片a、b和c制成转速计，将其探头分别与转动的电动机接触，电动机转动的角速度为，稳定后，发现钢片c的振幅最大，则（　　） A．钢片c的振动是自由振动 B．钢片b的固有频率与电动机转速无关 C．钢片a的振动频率为 D．电动机转动的角速度一定等于 【答案】BC 【详解】A．钢片c的振动是受迫振动，A错误； B．钢片b的固有频率与自身的性质有关，与电动机转速无关，B正确； C．钢片a做受迫振动，其振动频率等于电动机转动的频率，由得，C正确； D．钢片c的振幅最大，说明钢片c的固有频率和电动机转动的频率最接近，但电动机转动的角速度不一定等于，D错误。 故选BC。 3．如图在支架上拴一条水平细绳，绳上间隔悬挂一些单摆，摆球的质量远大于其他摆球的质量，各摆摆长关系为，其中摆的摆长，重力加速度为，则摆的固有周期为___________，将摆A拉离平衡位置，由静止释放，一段时间后摆___________振幅最大（选填“B”“C”“D”“E”或“F”），摆C的摆动周期___________摆A的摆动周期（选填“大于”“小于”或“等于”）。 【答案】 D 等于 【详解】[1]摆A的固有周期为 [2][3]将摆A拉离平衡位置，由静止释放，因单摆AD摆长相同，可知固有周期相同，一段时间后AD摆会发生共振，则D摆的振幅最大，其它5个单摆在A摆带动下做受迫振动，可知振动周期相同，则摆C的摆动周期等于摆A的摆动周期。 【自由振动、受迫振动和共振的关系比较】 振动项目 　 自由振动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T=T驱或f=f驱 T驱=T0 或f驱=f0 振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆（θ≤5°） 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 受迫振动 共振的综合应用及解题步骤 1.振动分类与频率特征：必须“分清”三种振动 （1）自由振动： 定义：系统在不受外力（除回复力外）作用下，初始激发后的振动。 频率：等于系统的固有频率 f固 ，由系统本身性质（如质量、劲度系数、摆长）决定，与振幅无关。 （2）受迫振动： 定义：系统在驱动力（周期性外力）作用下的振动。 频率：稳定后，物体的振动频率等于驱动力的频率 f驱，而与固有频率无关。 （3）阻尼振动： 特征：振幅随时间逐渐减小，能量逐渐耗散。但在短时间内，其周期/频率仍可近似看作固有频率。 （4）避坑点：受迫振动的频率“身不由己”，完全听命于驱动力；只有发生共振时，两者数值才相等。 2.共振现象：必须“看懂”共振曲线（共振是受迫振动的一种特殊情况，也是考试的高频考点）。 （1）产生条件：当驱动力的频率 f驱等于 系统的固有频率 f固时，振幅达到最大。 （2）共振曲线分析（A−f图像）： 横轴是驱动力频率 f驱，纵轴是振幅 A。 曲线呈“山峰”状，峰值对应的横坐标即为固有频率 f固。 （3）规律： f驱越接近 f固，振幅越大；相差越远，振幅越小。 3.实际应用与防止：必须“辩证”看待共振（共振既有利用价值，也有破坏性，解题时需根据情境判断）。 （1）利用共振： 目的：让 f驱尽量接近或等于 f固，以获得最大振幅或能量传输效率。 实例：微波炉（电磁波频率匹配水分子固有频率）、共振筛、核磁共振、乐器共鸣箱。 （2）防止共振： 目的：让 f驱尽量远离 f固，或者改变系统的固有频率，避免振幅过大造成破坏。 实例：军队过桥便步走（避免齐步走的频率匹配桥梁固有频率）、机器底座安装减震垫、轮船减摇鳍。 （3）避坑点：并不是所有振动都是越大越好，题目问“为什么要XXX”时，要从“匹配”还是“避开”固有频率的角度回答。 角度01 阻尼振动 1．下列关于机械振动的说法正确的是（　　） A．受迫振动稳定后，其振动的周期总等于系统的固有周期 B．阻尼振动振幅逐渐减小，同时能量逐渐消失 C．当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大 D．为避免共振现象发生，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率 【答案】C 【详解】A．受迫振动稳定后，振动周期等于驱动力的周期，仅发生共振时才等于系统固有周期，故A错误； B．阻尼振动振幅逐渐减小，是振动系统的机械能逐渐转化为内能等其他形式的能量，总能量守恒，不会凭空消失，故B错误； C．根据共振规律，当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，系统发生共振，受迫振动的振幅最大，故C正确； D．当驱动力频率接近或等于固有频率时会发生共振，因此要避免共振，应使驱动力频率远离系统的固有频率，故D错误。 故选C。 2．如图是弹簧振子做阻尼振动的位移-时间图像，摆球速度可能与时刻相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】单摆做阻尼振动，要克服阻力做功，设Q点速度大小与P点相同， 根据能量守恒有 由此可判断Q点的势能小于P点的势能，则Q点可能是b或d， 通过图像可知P点的速度方向向下，b点的速度方向向上，d点的速度方向向下， 故速度大小和方向与时刻可能相同的是d点。 故选D。 3．（多选）关于阻尼振动，以下说法中正确的是（　　） A．动能与势能之和不断减小 B．动能不断减小 C．振幅不断减小 D．一定不是简谐运动 【答案】ACD 【详解】A．阻尼振动过程中系统需要不断克服阻力做功，机械能（动能与势能之和）持续损耗，因此动能与势能之和不断减小，故A正确； B．阻尼振动的动能随振动过程周期性变化：质点从最大位移处向平衡位置运动时动能增大，从平衡位置向最大位移处运动时动能减小，仅每个周期的最大动能随振幅减小而降低，并非动能不断减小，故B错误； C．振幅是振动系统能量的直观标志，阻尼振动机械能不断减小，因此振幅不断减小，故C正确； D．简谐运动是等幅振动，满足机械能守恒，而阻尼振动振幅不断减小，因此一定不是简谐运动，故D正确。 故选ACD。 角度02 受迫振动 4．如图所示为某同学研究单摆做阻尼振动的位移一时间图像，、、是图像上的三个点，其中、两点在同一条水平线上，、两点到平衡位置的距离相等，下列说法正确的是（　　） A．摆球在时刻的机械能等于在时刻的机械能 B．摆球在时刻的势能大于在时刻的势能 C．摆球在时刻做减速运动 D．摆球在时刻高度正在降低 【答案】D 【详解】A．由于振幅逐渐减小，故摆球的机械能逐渐减小，摆球在时刻的机械能大于在时刻的机械能，故A错误； B．摆球在与时刻位移相等，即单摆所处高度相同，则重力势能相同，故B错误； C．由图可知摆球在点时正在靠近平衡位置，速度在增大，即摆球在点时做加速运动，故C错误； D．摆球在点时也正在靠近平衡位置，高度在降低，故D正确。 故选D。 5．关于受迫振动的说法正确的是（　　） A．受迫振动不受阻力作用 B．驱动力的频率越大，受迫振动的振幅越大 C．受迫振动的振幅大小与驱动力的频率无关 D．驱动力的频率等于固有频率时，振幅最大，此现象称为共振 【答案】D 【详解】A．实际的受迫振动中，振动物体仍然受阻力作用，驱动力的作用是补充能量以克服阻尼的能量损耗，故A错误； BC．受迫振动物体的振幅随驱动力频率变化；只有当驱动力频率越接近系统固有频率时，振幅才会越大，驱动力频率远大于或远小于固有频率时，振幅都很小，故BC错误； D．当驱动力频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅达到最大值，该现象叫做共振，故D正确。 故选D。 6．关于受迫振动和单摆，下列说法正确的是（　　） A．物体做受迫振动达到稳定后，振动的频率等于物体的固有频率 B．只要驱动力足够大，共振就能发生 C．单摆做简谐运动的周期与摆球的质量和振幅无关 D．单摆运动到平衡位置时，速度最大，回复力为零，合力也为零 【答案】C 【详解】A．物体做受迫振动达到稳定以后，振动频率等于驱动力的频率，振动频率与振动系统的固有频率无关，故A错误； B．共振的条件是：驱动力的频率接近或等于振动系统的固有频率；与驱动力大小无关，驱动力大只能增大振幅，但不能改变是否共振，故B错误； C．在摆角很小时，单摆的周期，T与摆球的质量和振幅无关，故C正确； D．单摆运动到平衡位置时，速度最大，回复力为零，但合力不为零，因为此时刚好摆球过圆周运动的最低点，合力提供向心力，故D错误。 故选C。 7．（多选）如图甲，曲轴下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统，转动摇把，曲轴带动弹簧振子在竖直方向上、下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，其振动图像如图乙所示。匀速转动摇把，转速为4 r/s，摇把对弹簧振子施加周期性的驱动力，使振子做受迫振动。下列说法正确的是（     ） A．振子的固有频率是2 Hz B．振子受迫振动的周期一定是0.5 s C．摇把转动转速为2 r/s附近时，振子振幅显著增大 D．摇把转动转速为2 r/s附近时，振子振幅显著减小 【答案】AC 【详解】A．由图乙可知，振子的固有周期 则固有频率=，故A正确； B．匀速转动摇把的转速为，驱动力频率为 受迫振动稳定后频率等于驱动力频率，周期=，故B错误； CD．受迫振动的驱动力频率接近振子固有频率时发生共振，振幅显著增大。 摇把转速为附近时，驱动力频率接近，振子振幅显著增大，故C正确，D错误。 故选AC。 角度03 共振及其应用 8．图为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅与驱动力频率的关系）则下列说法正确的是（     ） A．此单摆的固有周期约为0.5 s B．此单摆的摆长约为 C．若摆长变小，共振曲线的峰将左移 D．若保持摆长不变，将该单摆移到高山上做受迫振动，共振曲线的峰将右移 【答案】B 【详解】A．共振曲线的峰值对应驱动力频率等于单摆固有频率，由图可知，则，故A错误； B．由共振峰可知单摆固有周期，由单摆周期公式 整理得，故B正确； CD．单摆的固有频率。摆长变小时增大，共振峰右移；移到高山上时重力加速度减小，摆长不变，减小，共振峰左移，故CD错误。 故选B。 9．如图所示为两个单摆受迫振动的共振曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若摆长均约为1m，则图线Ⅰ是在地球上完成的 B．若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行（），且摆长相等，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线 C．若两个单摆在同一地点均发生共振，图线Ⅱ表示的单摆的能量一定大于图线Ⅰ表示的单摆的能量 D．若两个单摆的受迫振动是在地球上同一地点进行的，则两个单摆的摆长之比 【答案】B 【详解】A．图像中振幅最大处对应的频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图像可以看出，图线I对应的单摆固有频率为，又摆长为，根据 解得 而地球表面的重力加速度一般取，故A错误； B．图像中振幅最大处对应的频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图像可以看出，两单摆的固有频率分别为，，当两单摆分别在月球和地球上做受迫振动且摆长相等时，根据单摆的周期公式有 又频率 联立可得 可知，越大，越大，故，由此可知图线I表示月球上单摆的共振曲线，故B正确； C．单摆的能量除与振幅有关外，还与摆球的质量有关，故C错误； D．若两个单摆的受迫振动是在地球上同一地点进行的，则相同，根据 可得 故两个单摆的摆长之比，故D错误。 故选B。 10．（多选）如图甲为共振的演示装置，实验时让不同摆长（、、等）的摆依次振动起来，得出单摆M的振幅与其振动频率的关系图像如图乙所示。，取10，则下列说法正确的是（     ） A．M的固有频率为 B．M的摆长约为 C．用摆长为的单摆实验时，M的振幅最大 D．M的周期始终为 【答案】AB 【详解】A．由图乙可知，当驱动力的频率为时，单摆M的振幅达到最大值。根据共振的条件可知，单摆M的固有频率等于驱动力的频率，即，故A正确； B．由A项知单摆M的固有周期为 根据单摆周期公式 代入数据解得摆长，故B正确； C．摆长为的单摆，其固有周期，对应的固有频率 当驱动力的频率等于M的固有频率时，M的振幅最大，用摆长的单摆实验时，M的振幅不是最大，故C错误； D．单摆M做受迫振动，其周期等于驱动力的周期。只有当驱动力周期为时，M的周期才为，并非始终为，故D错误。 故选AB。 11．如图所示是一个单摆的共振曲线，读图回答下列问题： （1）共振时单摆振幅多大？ （2）该单摆摆长多大？（取g=π2）    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）从共振曲线可知，单摆发生共振时的振幅为 （2）从共振曲线可知，单摆的固有频率为 由 可得 【例1】（浙江·高考真题）（多选）为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则（　　）    A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同 B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大 C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同 D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同 【答案】AD 【详解】A．根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，选项A正确； B．当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，选项B错误； C．打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率小于树干的固有频率，振动过程中频率不变，粗细不同的树干，固有频率不同，则打击结束后，粗细不同的树干频率可能不同，选项C错误； D．树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，选项D正确。 故选AD。 【深化点拨】 （1）考查共振的核心条件，驱动力频率等于物体固有频率时发生共振，振动振幅达到最大值，不同物体固有频率不一样。 （2）考查受迫振动振幅变化规律，只有接近固有频率时振幅才会变大，持续增大驱动力频率，振幅会先升后降。 （3）考查固有频率的特性，物体自由振动的固有频率由自身结构、材质、形状决定，不同粗细树干固有频率各不相同。 （4）考查受迫振动的频率规律，物体做稳定受迫振动时，振动频率始终等于外界驱动力的频率，和自身固有频率无关。 【变式1-1】如图所示的装置，弹簧振子的固有频率是4Hz，现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1Hz，则把手转动的频率为（  ） A．1Hz B．3Hz C．4Hz D．5 Hz 【答案】A 【详解】弹簧振子振动达到稳定时的频率为1Hz，即受迫振动的频率为1Hz，则驱动力的频率为1Hz。 故选A。 【变式1-2】（多选）如图所示，在一根张紧的水平绳上挂几个摆，其中，摆长相等；先让摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则（     ） A．其它各摆摆动周期跟摆相同 B．其它各摆振动振幅大小相同 C．其它各摆振动振幅大小不相同，摆振幅最大 D．其它各摆振动周期大小不同，摆周期最大 【答案】AC 【详解】AD．A摆摆动后，带动水平绳，使其余各摆做受迫振动；受迫振动稳定后，所有摆的振动周期都等于驱动力（A摆）的周期，因此其余各摆周期都和A摆相同，故A正确，D错误； BC．当物体的固有频率等于驱动力频率时，会发生共振，振幅最大。根据单摆周期公式，摆长相等则固有周期相等，题目中A、E摆长相等，因此E的固有周期等于驱动力周期，E发生共振，振幅最大； 其余摆摆长与A不同，振幅较小，因此各摆振幅不相同，E振幅最大，故B错误，C正确。 故选AC 。 【变式1-3】一个单摆在地球上做受迫振动，其共振曲线如图，则单摆的固有频率为________Hz，若摆长减小，共振曲线的峰值将________（选填“左移”、“右移”、“不变”），若提高驱动力的频率，共振曲线的峰值将________（选填“左移”、“右移”、“不变”）。 【答案】 0.25 右移 不变 【详解】[1]由共振曲线可知单摆的固有频率为0.25Hz； [2][3]根据可知，若摆长减小，则固有频率变大，则共振曲线的峰值将右移，若提高驱动力的频率，因固有频率不变，则共振曲线的峰值将不变。 ⚡基础速刷 1．把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是54 r/min，下列说法正确的是（　　） A．此时共振筛的振动频率为0.8 Hz B．减小筛子质量，筛子的振幅一定增大 C．转速调至48 r/min时，筛子出现共振状态 D．增大电压，筛子振幅会先增大后减小 【答案】C 【详解】A．偏心轮每转一周给筛子一次驱动力，因此筛子的振动频率等于偏心轮的转动频率。此时，故A错误； B．减小筛子质量时，筛子的固有周期减小，固有频率增大。振幅取决于驱动力频率与固有频率的接近程度，减小质量可能使二者先接近后远离，因此振幅不一定增大，故B错误； C．转速调至时，驱动力频率 该频率等于筛子的固有频率，筛子发生共振，故C正确； D．当前驱动力频率已经大于固有频率，增大电压会使驱动力频率继续增大，筛子振幅减小，故D错误。 故选C。 2．如图所示，两个弹簧振子悬挂在同一个支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9Hz，乙弹簧振子的固有频率为20Hz，当支架在竖直方向且频率为10Hz的驱动力作用下做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是（　　） A．甲的振幅较大，且振动频率为9Hz B．乙的振幅较大，且振动频率为20Hz C．乙的振幅较大，且振动频率为10Hz D．甲的振幅较大，且振动频率为10Hz 【答案】D 【详解】甲的固有频率接近驱动力的频率，甲的振幅较大，做受迫振动的频率等于驱动力频率，为10Hz。 故选D。 3．（多选）在生活中我们见过很多的与机械振动有关的情形。如图，钢尺的振动为什么会越来越弱？鼓皮的振动为什么会逐渐变弱？荡来荡去的秋千没人推动后，为什么会慢慢停下来。部队过桥时为何不能齐步走？关于这些物理现象下列说法正确的有（     ） A．钢尺振动逐渐减弱，主要是因为桌面的摩擦力消耗了能量 B．鼓皮的振动逐渐减弱，所以鼓皮的振动频率变小 C．秋千逐渐停止运动，是因为空气阻力和转轴的摩擦力导致 D．部队过桥不能齐步走是为了避免共振导致桥梁坍塌 【答案】ACD 【详解】ABC．振动系统受到阻力或摩擦力作用时，机械能逐渐转化为内能，振幅逐渐减小。钢尺被压在桌面上振动时，接触处摩擦等阻尼会消耗能量；秋千摆动时，空气阻力和转轴摩擦力会消耗机械能，所以会逐渐停下；鼓皮振动逐渐减弱表示振幅减小，振动频率不一定变小，故A、C正确，B错误； D．部队齐步过桥时，如果步频接近桥梁的固有频率，可能使桥发生共振并导致振幅过大，所以部队过桥不能齐步走，故D正确。 故选ACD。 4．（多选）工业上筛选矿石的筛子可以简化为如图所示的模型，筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子（连同筛子里边的矿石）的质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是30r/min。为了使筛子的振幅增大，可以（　　） A．增大电压 B．减小电压 C．增加筛子（连同筛子里边的矿石）质量 D．减小筛子（连同筛子里边的矿石）质量 【答案】AC 【详解】在某电压下偏心轮的转速是，即周期为 所以驱动力的频率 由乙图可知筛子的固有频率 由于驱动力的频率小于固有频率，要使振幅变大，应增大驱动力的频率或减小筛子的固有频率，即可以增大偏心轮电压或增加筛子的质量。 故选AC。 5．火车在铁轨上运行时，车轮每接触到两根钢轨的接头处就受到一次撞击，而使车厢在减震弹簧上上下振动，若铁轨上每根钢轨的长为12.6m，车厢与减震弹簧组成的系统的固有周期为0.63s，则当车轮与铁轨撞击的周期________（选填“大于”“小于”或“等于”）0.63s时，车厢的振动最强烈，此时火车速度大小为________m/s。 【答案】 等于 20 【详解】[1][2]火车匀速行驶时，每当通过铁轨的接头处就受到一次撞击，这是一种周期性的撞击，在周期性撞击力作用下火车做受迫振动，当这种撞击的周期T和弹簧与车厢这一系统的固有周期相等时，发生共振现象，车厢的振动最强烈，则有 又 解得此时火车速度大小为 🚀能力跃升 6．如图甲所示，飞力士棒是一根弹性杆两端带有负重的轻巧训练器械，方便日常训练肌肉，提高身体感知能力。某型号飞力士棒的固有频率为5Hz，某人用手振动该飞力士棒进行锻炼，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．手振动的频率增大，飞力士棒振动的频率也随之增大 B．使用者用力越大，飞力士棒振动得最快 C．使用者用力越大，飞力士棒振动的幅度一定越大 D．手每分钟振动480次时，飞力士棒振动的幅度最大 【答案】A 【详解】A．受迫振动的频率等于驱动力的频率（手振动的频率），与固有频率无关。因此手振动频率增大时，飞力士棒的振动频率也随之增大，故A正确； B．振动的快慢由频率决定，而频率由驱动力频率决定，与使用者用力大小无关，故B错误； C．振幅不仅与驱动力大小有关，还与驱动力频率和固有频率的差值有关。只有当驱动力频率接近固有频率时，用力大才会使振幅显著增大；若频率差很大，用力大振幅也不一定大，故C错误； D．手每分钟振动480次，对应的频率 可知8Hz与固有频率5Hz不等，未发生共振，振幅不是最大，故D错误。 故选A。 7．如图所示，当A振动起来后，通过绷紧的水平绳迫使B、C、D、E、F、G六个小球振动起来，对于摆球振动过程的描述中，下列说法正确的是（　　） A．C的周期最大 B．B、C、D、E、F、G六个小球的周期相同 C．B、C、D、E、F、G六个小球的振幅相同 D．只有A、D、G小球的周期相同 【答案】B 【详解】ABD．B、C、D、E、F、G做受迫振动，振动周期都与A的周期相同，故AC错误，B正确； C．根据单摆周期公式可知，D、G单摆的固有周期等于A单摆的周期，则D、G的振幅相同，且最大，故C错误。 故选B。 8．海上养殖场的浮漂在风浪的作用下上下振动（可视为简谐振动），其振动周期为，振幅为A。某时刻浮漂正好经过平衡位置向上运动。忽略水的黏滞阻力，从该时刻起，下列说法正确的是（     ） A．经过时间，浮漂所受合力为零，位移为零 B．经过时间，浮漂的动能为最大，路程为零 C．经过时间，浮漂的速度达到最大，所受合力为零 D．风浪突然增大，浮漂的固有振动周期变大 【答案】A 【详解】A．经过2T时间，浮漂处于平衡位置向上运动，此时浮漂所受合力为零，位移为零，A正确； B．经过时间，浮漂处于平衡位置向下运动，此时浮漂的速度最大，动能最大，路程不为零，B错误； C．某时刻浮漂正好经过平衡位置向上运动，经过时间，浮漂处于最大位移处，此时浮漂的速度为零，合力不为零，C错误； D．固有周期由系统自身性质决定，风浪变化不影响固有周期，D错误。 故选A。 9．（多选）如图所示为动画片《猫和老鼠》中的一幕，蚂蚁大军以相同步伐在固定绳子上行走，绳子未断裂。在蚂蚁大军振动的频率从0逐渐增大至某一频率（大于绳子的固有频率）的过程中，下列说法正确的是（　　） A．绳子振动的频率等于蚂蚁大军振动频率 B．绳子振动的频率小于蚂蚁大军振动频率 C．该绳的振幅先减小后增大 D．该绳的振幅先增大后减小 【答案】AD 【详解】AB．蚂蚁大军先振动然后导致绳子振动，绳子振动属于受迫振动，所以绳子振动频率等于 蚂蚁大军振动的频率，故A 正确，B 错误； CD．当蚂蚁大军振动频率等于绳子固有频率时，达到共振，此时绳子的振幅最大，故该绳的振幅先 增大后减小，C 错误，D 正确； 故选AD。 10．（多选）如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（　　） A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则振子在月球上做自由振动时的频率为 B．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线I是月球上的单摆共振曲线 C．若两次受迫振动均在地球上同一地点进行，则两次摆长之比为 D．图线Ⅱ若是在地球表面上完成的，将该单摆从广州移至北京，共振曲线的“峰”将向左移动 【答案】BC 【详解】B．根据题意分析可知，若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，因为图线I单摆的固有频率较小，则固有周期较大，根据单摆的周期公式有可知，周期大的重力加速度小，周期小的重力加速度大，则图线I是月球上单摆的共振曲线，故B正确； A．由B选项分析可知图线I是月球上单摆的共振曲线，可知振子在月球上做自由振动时的频率为，故A错误； C．根据题意分析可知，若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则重力加速度相等，因为固有频率比为，则固有周期比为，根据可知摆长比为，故C正确； D．根据题意分析可知，图线Ⅱ若是在地球表面上完成的，将该单摆从广州移至北京，重力加速度变大，根据可知固有周期变小，则固有频率变大，共振曲线的“峰”将向右移动，故D错误。 故选BC。 11．一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线振幅与驱动力频率的关系如图1所示，如图2是在驱动力作用下做受迫振动的振动图像，求 (1)该单摆的摆长（，取）； (2)写出图2的振动方程（用正弦函数表示），并求出时摆球的位移的大小。 【详解】（1）由图像可知，此单摆的固有频率为，由频率和周期之间的关系可得周期为 根据周期公式 可得单摆的摆长 （2）图2的周期为，振幅为，可得振动方程为 初始时刻位移为，代入可得 可得振动方程为 时摆球的位移为 🌟思维挑战 12．如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（　　）    A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线Ⅱ是月球上的单摆共振曲线 B．若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则两次摆长之比为 C．图线Ⅱ若是在地球表面上完成的，则该单摆摆长约为 D．单摆做受迫振动达到稳定后，振动的频率与它的固有频率有关。 【答案】C 【详解】A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，因为图线Ⅰ单摆的固有频率较小，则固有周期较大，根据 可知，周期大的重力加速度小，则图线Ⅰ是月球上单摆的共振曲线，故A错误； B．若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则重力加速度相等，因为固有频率比为2：5，则固有周期比为5：2，根据 知摆长比为25：4，故B错误； C．图线Ⅱ若是在地球表面上完成的，因固有频率为0.5Hz，则 T=2s 由 解得 l=1m 故C正确； D．单摆做受迫振动达到稳定后，振动的频率等于驱动频率，与它的固有频率无关，故D错误。 故选C。 13．如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O点（图中未标出）。物块质量m=1kg，弹簧劲度系数k=100N/m，物块与桌面间的动摩擦因数μ=0.1。现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，弹簧伸长量Δx=11cm，撤去拉力后物块由静止向左运动经O点最远到达B点。重力加速度为g=10m/s2。下列说法中正确的是（    ） A．物块在B点所受弹簧弹力与在A点大小相等 B．物块运动的总路程为60.5cm C．物块最终停在O点左侧1cm内某处 D．物块最终停在O点左侧1cm处 【答案】D 【详解】A．如果没有摩擦力，物块以O点为平衡位置做简谐运动，则O点应该在AB中间，物块在B点所受弹簧弹力与在A点受弹簧弹力大小相等，由于有摩擦力，物体从A到B过程中机械能损失，故无法到达没有摩擦力情况下的B点，也即O点靠近B点，故物块在B点所受弹簧弹力小于在A点的弹力，故A错误； BCD．物块最终停止的位置应满足 解得 即物块若在O点左右两侧1cm的范围内的速度为0，就会停止运动。 物体从A到B过程由能量守恒 解得 物体从B往右运动到O点右侧x2由能量守恒 解得 以此类推，物体再次往左运动到O点左侧x3=5cm处停止，再往右运动到O点右侧x4=3cm处停止，接着再往左运动到O点左侧x5=1cm处停止，因此位置弹力等于最大静摩擦力，物块最终停止。物块运动的总路程为 故BC错误，D正确。 故选D。 14．（多选）如图所示，粗糙的水平地面放置一斜面体，一质量m = 1.0kg的木块放置在斜面上，并与轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在斜面顶端。已知斜面倾角θ = 37°，木块与斜面间的动摩擦因数μ = 0.2，弹簧的劲度系数k = 50N/m，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g = 10m/s2，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。现将弹簧从原长拉长20cm后释放木块，在木块运动的过程中，斜面体保持静止不动，则（   ） A．木块在斜面上运动的总路程为9.6cm B．木块最后静止不动时，受到的摩擦力方向沿斜面向上，大小为2.4N C．在木块运动过程中，斜面体受地面的摩擦力先变小后变大 D．在木块运动过程中，斜面体对地面的压力先变大后变小 【答案】AC 【分析】已知mgsinθ = 6N，μmgcosθ = 1.6N 以弹簧原长位置为坐标原点：取沿斜面向下为正方向，木块斜面向下运动时有mgsinθ－kx－μmgcosθ = F1 代入已知量有F1 = 4.4－50x = －50(x－0.088) 令X1 = x－0.088，则F1 = －kX1 说明木块向下做简谐运动，平衡位置在x1 = 0.088m = 8.8cm处 同理也可证明木块向上做简谐运动，平衡位置在x2 = 15.2cm处 【详解】AB．根据分析可知将弹簧从原长拉长s1 = 20cm后释放木块，木块将向上做平衡位置在x2 = 15.2cm处的简谐运动，振幅A1 = s1－x2 = 20－15.2cm = 4.8cm 则根据简谐运动的对称性，木块应向上运动2A1 = 9.6cm 即运动到s2 = 20－9.6cm = 10.4cm处 此时由于mgsinθ < μmgcosθ＋ks2 则木块停在10.4cm处 则木块运动的路程为2A1 = 9.6cm 此时木块受到的摩擦力为f = ks2－mgsinθ = 0.8N，方向沿斜面向下 故A正确、B错误； CD．根据以上分析木块刚好向上做了一次单向简谐运动就停止，根据简谐运动的受力情况，可知小物块的加速度先沿斜面向上减小，再沿斜面向下增大，对小物块、斜面体用整体法 水平方向有f = macosθ 可知在木块运动过程中，斜面体受地面的摩擦力水平向右先减小到0，后水平向左增大 设斜面质量为M，竖直方向有，小物块向上加速FN－mg－Mg = masinθ 在木块运动过程中，随着a的减小FN逐渐减小 小物块向上减速mg＋Mg－FN′ = masinθ 在木块运动过程中，随着a的增大FN′逐渐减小 故C正确、D错误。 故选AC。 15．(1)如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来，此时b摆的振动周期___________（选填“大于”“等于”或“小于”）d摆的周期。图乙是a摆的振动图像，重力加速度为g，则a摆的摆长为___________。 (2)一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8cm，频率为0.5 Hz，在t=0时，位移是4cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程并画出相应的振动图像______________________。 【答案】 等于 【详解】(1)[1]a摆动起来后，通过水平绳子对b、c、d三个摆施加周期性的驱动力，使b、c、d三摆做受迫振动，三摆做受迫振动的频率等于驱动力的频率，由于驱动力频率相同，则三摆的周期相同。 [2]根据图像得 T=2t0， 根据单摆的周期公式 解得 (2)[3]简谐运动振动方程的一般表示式为 x=Asin（ωt＋φ0） 根据题给条件有 A=0.08m ω=2πf=π rad/s 解得 x=0.08sin（πt＋φ0）m 将t=0时x0=0.04 m代入得 0.04=0.08sin φ0 解得初相 因为t=0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取，所求的振动方程为 [4]对应的振动图像如图所示 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $