第二章 机械振动（复习讲义）物理人教版2019选择性必修第一册

第二章 机械振动（复习讲义） 1.一种研究方法：简谐运动、单摆是一种接近理想化模型，建构理想化模型是物理学常用的一种研究方法； 2.4个基本概念：简谐运动、弹簧振子、单摆是贯穿本章的基础知识，是高中物理常考知识点； 3.三个常考角度：（1）简谐运动的图像；（2）简谐运动的回复力和能量；（3）单摆。 知识点 重点归纳 常见易错点 简谐运动 1、定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x−t 图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2、特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。 3、简谐运动的图像：表示一个振子不同时刻所在的位置或者一个振子位移随时间的变化规律。 （1）描述振动物体的位移随时间的变化规律。 （2）简谐运动的图像是正弦曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势。 忽略简谐运动是回复力与位移成正比且反向（F=-kx）的周期性运动，如弹簧振子、小角度单摆，其位移、速度等物理量随时间呈周期性变化，具有对称性 弹簧振子 一、弹簧振子 1、机械振动：我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。 2、弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。 3、平衡位置：振子原来静止时的位置。 （1）位于平衡位置时，小球所受合力为0。 （2）经过平衡位置时，小球速度最快。 二、弹簧振子的位移—时间图像 1、用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图像就是位移随时间变化的图像，即x－t图像，如图所示。 2、振子的位移：振子相对平衡位置的位移。 3、图像的物理意义：反映了振子位置随时间变化的规律，它不是振子的运动轨迹。 误认为图像反映的是振子的运动轨迹。 简谐运动的描述 简谐运动的描述： ①振幅A:振动物体离开平衡位置的最大距离,叫作振动的振幅。 ②全振动：一个完整的振动过程，称为一次全振动。不管从哪儿作为开始研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。此时，位移、速度第一次同时与初始状态相同，即物体从同一向回到出发点。 ③周期(T)和频率(f)： (1)周期T:做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。单位：秒(s)。 (2)频率f:物体完成全振动的次数与所用时间之比。单位:赫兹，简称赫，符号是Hz。 (3)周期T与频率f的关系式: T=. ④相位：在物理学上，用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。为简谐运动的初相。 5.简谐运动的图象 (1)从平衡位置开始计时，函数表达式为，图象如图甲所示。 (2)从最大位移处开始计时，函数表达式为，图象如图乙所示。 简谐运动的回复力和能量 1.回复力： ①定义：使物体返回到平衡位置的力。 ②方向：总是指向平衡位置。 ③大小：与位移大小成 正比 ，即F= -kx 。 ④来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 2.平衡位置：在机械振动中，回复力为0的位置叫做这个简谐运动的平衡位置. 3.简谐运动的条件：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，即物体所受的力具有F= -kx形式， 则质点的运动就是简谐运动。 (4)简谐运动的特征： ①动力学特征：F回＝－kx。 ②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。 ③能量特征： Ⅰ.系统的机械能守恒，振幅A不变。 Ⅱ.振幅越大，机械能就越大，振动越强。 Ⅲ.在最大位移处，势能最大，动能为零；在平衡位置处，动能 最大，势能最小。 单摆 一、单摆 1、单摆的定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。 (1)悬点：固定。 (2)摆球：体积小、质量大。 (3)摆线：细而长、不可伸长。 2、理想化模型：单摆是实际摆的理想化模型。 (1)摆线质量m远小于摆球质量 M，即m << M 。 (2)摆球的直径d远小于单摆的摆长Ｌ，即 d <<Ｌ。 (3)摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略。 (4)摆线的伸长量很小，可以忽略。 二、单摆的回复力 1、回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 2、回复力的特点：在摆角很小时（θ＜50），摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 推导：F回=mgsinθ，θ角很小时，用弧度制表示的θ与它的正弦值近似相等即sinθ ≈ θ≈。 则：F = mgsinθ≈ mgθ≈。 位移方向与回复力方向相反F = −。 可以写成：F = −k x 三、简谐运动中各个物理量的变化规律 1、单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。 2、周期公式 （1）提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 （2）公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 1.摆长的长度；2.单摆由不可伸长的轻质细线悬挂小球组成，小角度（≤5°）摆动时近似简谐运动，回复力为重力切向分力，周期公式T＝2π（l为摆长，g 为重力加速度），周期与摆球质量、振幅无关，仅由摆长和重力加速度决定。 实验：用单摆测量重力加速度 【实验目的】 1、利用单摆测定当地的重力加速度。 2、巩固和加深对单摆周期公式的理解。 【实验原理】 单摆在偏角很小时的摆动，可以看成是简谐运动。其固有周期为T＝2π ，由此可得据此，只要测出摆长l和周期T，即可计算出当地的重力加速度值。 【实验器材】 铁架台及铁夹，中心有小孔的金属小球；约1m的细线；秒表，游标卡尺，刻度尺. 【实验步骤】 1．在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大些的结，将细线穿过球上的小孔，制成一个单摆。 2．将铁夹固定在铁架台的上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，把做好的单摆固定在铁夹上，使摆球自由下垂。 3．用刻度尺测量单摆长（悬点到球心间的距离）。或用游标卡尺测出摆球直径D，再用米尺测出从悬点至小球上端的悬线长l´，则摆长l=l´+ 。 4．把单摆从平衡位置拉开一个小角度，使单摆在竖直平面内摆动，用秒表测量单摆完成全振动n次（n=30或50）所用的时间t，则单摆的周期T=。反复测量3次，再算出测得的周期T的平均值。 5．变更摆长，重做几次实验，将测出的摆长l和周期T代入公式 ， 求出重力加速度g的值。（或者多做几次实验，由几组l、T值作出图像（如上图），利用图像斜率，算重力加速度g）。 【误差分析】 1.系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即:悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。 2.偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即...4,3,2,1,0在数 “零”的同时按下秒表结束计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 【注意事项】 1.选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm. 2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。 3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。 4.摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时接下秒表，开始计时计数。 1. 从能量角度分 ①完全非弹性碰撞：碰撞后两物体合为一体或者具有共同的速度。 ②完全非弹性碰撞中的半能损失：在一动撞一静的完全非弹性碰撞中，若两物体质量相等，此过程中损失的动能为系统初动能的一半。 2. 从碰撞角度分 ①正碰：两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线，这种碰撞称为正碰，也叫作对心碰撞或一维碰撞。 ①斜碰：如果碰撞之前球的运动速度方向与两球心的连线不在同一条直线上，碰撞之后两球的速度方向都会偏离原来两球心的连线而运动，这样的碰撞叫作斜碰（非对心碰撞） （1）选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 （2）摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 （3）摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 （4）计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间。 反冲现象 1.固有振动：如果振动系统在没有外力干预的情况下做简谐运动，周期或频率仅由系统自身的性质决定,这种振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率。 2.阻尼振动：振幅随时间逐渐诚小的振动。阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。振动系统能量衰诚的两种方式： ①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。 ②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去。 3.驱动力：作用于振动系统的周期性的外力。 4.受迫振动：系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。 5.三种振动的对比 6.共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图所示，表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f上的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。 7.共振的实例：转速计、运动员在跳板上跳水、共鸣（声音的共振）、桥梁倒塌、发动机由于共振而损坏等。 受迫振动是物体在驱动力作用下的振动，其频率等于驱动力频率；当驱动力频率等于物体固有频率时，振幅最大，即为共振，共振是受迫振动的特殊情况。 题型一 简谐运动 例1 (多选)如图所示,小球在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动,下列说法正确的是(　　) A.小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B.小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C.小球由A向O运动过程中,位移、回复力和加速度均逐渐增大 D.小球由O向B运动过程中,回复力的方向指向平衡位置 答案　AD 解析　小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力,回复力是根据效果命名的力,它是由物体受到的具体的力所提供的,在此情景中弹簧的弹力充当回复力,故A正确,B错误;回复力与位移的大小成正比,由A向O运动过程中位移的大小在减小,故此过程回复力、加速度逐渐减小,故C错误;回复力总是指向平衡位置,故D正确。 【变式1-1】(2024广东深圳高二期中)关于简谐运动的回复力,下列说法正确的是(　　) A.简谐运动的回复力一定是合力 B.做简谐运动的物体,每次经过平衡位置合力一定为零 C.做简谐运动的物体的回复力方向与偏离平衡位置的位移方向总是相反 D.简谐运动的回复力公式F=-kx中,k是弹簧的劲度系数,x是弹簧的长度 答案　C 解析　简谐运动的回复力不一定是合力,A错误;做简谐运动的物体,每次经过平衡位置合力不一定为零,回复力为0,B错误;做简谐运动的物体的回复力方向与偏离平衡位置的位移方向总是相反,C正确;简谐运动的回复力公式F=-kx中,k是比例系数,x是物体相对平衡位置的位移,D错误。 【变式2-2】 做简谐运动的质点通过距平衡位置1 cm时的加速度是0.5 cm/s2;那么通过距平衡位置2 cm时的加速度是(　　) A.0.5 cm/s2 B.1.0 cm/s2 C.1.5 cm/s2 D.2.0 cm/s2 答案　B 解析　根据简谐运动回复力的表达式和牛顿第二定律得F=-kx=ma,平衡位置1 cm时的加速度是0.5 cm/s2,故通过距平衡位置2 cm时的加速度是1.0 cm/s2,故B正确。 题型二 简谐运动的图像 例2.(多选)如图甲所示,一弹簧振子中的小球在A、B间振动,取向右为正方向,小球经过O点时开始计时,其振动的x-t图像如图乙所示。则下列说法正确的是(　　) A.t2时刻小球在A点 B.t2时刻小球在B点 C.在t1~t2时间内,小球的位移在增大 D.在t3~t4时间内,小球的位移在减小 答案　AC 解析　小球在A点和B点时的位移最大,由于取向右为正方向,所以小球在A点有正向最大位移,在B点有负向最大位移,则t2时刻小球在A点,t4时刻小球在B点,故选项A正确,B错误;小球的位移是以平衡位置为参考点的,所以在t1~t2和t3~t4时间内小球的位移都在增大,故选项C正确,D错误。 【变式2-1】一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像． 解析 简谐运动的表达式为x＝Asin (ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π，所以x＝8sin(πt＋φ)cm，将t＝0，x0＝4 cm代入得4＝8sinφ，解得初相φ＝或φ＝π，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，位移在减小，所以取φ＝π，所求的振动方程为x＝8sin cm，对应的振动图像如图所示． 【变式2-2】如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法中正确的是(A) 甲 乙 A. t＝0.8 s，振子的速度方向向左 B. t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 C. t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同 D. t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小 解析 由图可知t＝0.8 s时，振子在平衡位置由正位移向负位移方向运动，即向左运动，速度方向向左，A正确；振动周期T＝1.6 s，振幅A＝12 cm，由图像函数y＝Asin ωt＝Asin t，可知，当t＝0.2 s时，y＝6 cm，振子在O点右侧 6 cm 处，B错误；由图像可知t＝0.4 s和t＝1.2 s，振子分别在B、A两点，加速度大小相同，方向相反，C错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振子由最大位移处向平衡位置运动，振子速度越来越大，D错误． 题型三 弹簧振子模型 【例3】如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动．取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法中正确的是( ) 甲 乙 A. t＝0.6 s时，振子在O点右侧6 cm处 B. 振子在t＝0.2 s时和t＝1.0 s时的速度相同 C. t＝6 s时，振子的加速度方向水平向左 D. t＝1.0 s到t＝1.4 s的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大 答案A 解析 由图乙知振子的最大位移为12 cm，周期为1.6 s，在t＝0时刻振子从平衡位置开始向右振动，所以振子的振动方程为x＝Asin ωt＝12sin t cm，当t＝0.6 s时，x1＝12×sin＝6 cm，A正确；由图乙知，t＝0.2 s振子从平衡位置向右运动，t＝1.0 s振子从平衡位置向左运动，速度的方向相反，B错误；t＝6 s时，即t＝3T，振子在O点左侧，故加速度方向水平向右，C错误；由图乙可知，t＝1.0 s到t＝1.2 s的时间内振子向最大位移处运动，速度减小，加速度增大，t＝1.2 s到t＝1.4 s时间内振子从最大位移向平衡位置运动，速度增大，加速度减小，故t＝1.0 s到t＝1.4 s的时间内，振子的加速度先增大后减小，速度先减小后增大，D错误． 【变式3-1】（24-25高二上·河南濮阳·期末）如图1所示，轻弹簧上端固定，下端与小球相连构成弹簧振子，小球做简谐运动的位移—时间图像如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．在任意1s的时间内，小球经过的路程都是2cm B．时，弹簧处于原长状态 C．和两个时刻，小球的速度相同 D．和两个时刻，小球的加速度大小相等，方向相反 答案C 解析 A．1s等于四分之一周期，由于靠近平衡位置的速度大于远离平衡位置的速度，则0~0.5s内的平均速度大于0.5~1s内的平均速度，则0~0.5s内的路程大于0.5~1s内的路程，即0~0.5s内的路程大于正负的一半，即大于1cm，0.5~1s内的路程小于正负的一半，即小于1cm，可知，0.5~1.5s内的路程小于2cm，故A错误； B．时，小球处于平衡位置，则弹簧处于拉伸状态，故B错误； C．图像的斜率表示速度，根据图像的对称性可知，和两个时刻斜率相同，则小球的速度相同，故C正确； D．和两个时刻，根据图像的对称性可知，小球的位移相同，根据 可知，在这两个时刻，小球的加速度大小相等，方向相同，故D错误。 故选C。 【变式3-2】（24-25高二上·山东德州·期中）如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在光滑水平面上的、两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移随时间的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．该弹簧振子的周期为1.6s，振幅为30cm B．该弹簧振子在时和时的速度不同 C．在时，该弹簧振子的加速度大小为零 D．在到的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小 答案 C 解析A．由题图乙可知，该振动的振幅、周期为 ， 故A错误； B．由振动图像可知，斜率代表速度，弹簧振子在时和时的速度相同，故B错误； C．因为周期为1.6s，根据简谐运动的周期性可知在时，该弹簧振子处于平衡位置，合力为零，加速度大小为零，故C正确； D．在到的时间内，该弹簧振子从平衡位置右侧运动到平衡位置左侧，所以加速度先减小后增大，速度先增大后减小，故D错误。 故选C。 题型四 简谐运动的回复力和能量 【例4】如图所示，在光滑水平面上有一轻质弹簧左端固定，右端与质量为m的小球相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小球位于O点．现使小球以O点为平衡位置，在A、B两点间沿光滑水平面做简谐运动，关于这个弹簧振子做简谐运动的过程，下列说法中正确的是( ) A. 小球经过平衡位置O时加速度最大 B. 小球每次通过同一位置时的速度一定相同 C. 小球做简谐运动的周期与振幅无关 D. 小球从A运动到B的过程中弹簧的弹性势能先增大后减小 答案 C 解析 小球经过平衡位置O时速度最大，加速度为零，A错误；小球每次通过同一位置时的速度大小一定相等，但方向不一定相同，B错误；弹簧振子的周期又称固有周期，由小球质量、弹簧劲度系数决定，与振幅无关，C正确；小球从A运动到B的过程中弹簧的形变量先减小后增大，故弹性势能先减小后增大，D错误. 【变式4-1】（多选）某鱼漂的示意图如图甲，、、为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点。用手将鱼漂向下压，使点到达水面，松手后，不考虑阻力的影响，鱼漂会上下做简谐运动，上升到最高处时，点到达水面。以点为坐标原点，竖直向上为正方向，并取经过点向下运动时为计时零点，描绘出鱼漂所受浮力与时间的变化图像、速度与时间的变化图像，下列图像正确的是（   ） A． B． C． D． 答案 BD 解析AB．由题可知，鱼漂在O点时，浮力等于鱼漂的重力，且浮力逐渐增大，A错误，B正确； CD．由于点向下运动时为计时零点，故在O点时速度方向为负，且速度逐渐减小，C错误，D正确。 故选BD。 【变式4-2】(多选)(2025·广东江门高二月考)如图甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,在C、D两点之间做简谐运动,O点为平衡位置。振子到达D点开始计时。以竖直向上为正方向,在一个周期内的振动图像如图乙所示,下列说法正确的是(　　) A.振子在O点受到的弹簧弹力等于零 B.振子做简谐运动的表达式为x=5sin(πt-) cm C.0.5~1.0 s的时间内,振子通过的路程为5 cm D.t=0.25 s和t=0.75 s时,振子的速度不同,但加速度大小相等 答案　BC 解析　振子在O点受到的回复力为零,即弹簧弹力等于振子自身重力大小,A错误;由图乙可得,振子的振幅A=5 cm,振子的周期T=2 s,角频率ω==π rad/s,初相位φ0=-,振子做简谐运动的表达式为x=5sin cm,B正确;0.5~1.0 s的时间内,振子从平衡位置运动到了最大位移处,所以通过的路程为一个振幅s=A=5 cm,C正确;t=0.25 s和t=0.75 s时,振子的速度大小相同,方向都向上,由对称性可知,回复力大小相等,由牛顿第二定律得加速度大小相等,D错误。 题型五 单摆 【例5】（24-25高二上·山东潍坊·期末）如图甲所示，一摆球在竖直平面内做小角度摆动（）。某次摆球从左向右通过平衡位置开始计时，其振动图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10。下列说法正确的是（　　） A．摆长约为2m B．时摆球所受合外力为零 C．从至的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 D．摆球的位移x随时间t的变化规律为 答案D 解析 A．单摆周期T=2s，则根据 可得摆长约为L=1m，选项A错误； B．时摆球到达最高点，此时摆球加速度不为零，即所受合外力不为零，选项B错误； C．从至的过程中，摆球从左侧最高点向平衡位置摆动，此时所受回复力逐渐减小，选项C错误； D．摆球的位移x随时间t的变化规律为 选项D正确。 故选D。 【变式5-1】（多选）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。将摆球拉到A点从静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间做简谐运动，其中B点为运动中的最低位置。乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t=0为摆球从A点开始运动时的（g取10m/s2）。下列说法中正确的是（　　） A．在小于的情况下，θ越大，周期不变 B．小球的质量为0.10kg C．小球在最低点的速度大约为0.283m/s D．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力充当单摆的回复力 答案AC 解析 A．根据单摆周期公式 可知在小于的情况下，单摆做简谐运动，周期只与摆长L和重力加速度g有关，与摆θ无关，所以θ越大，周期不变，故A正确； BC．根据图像可知单摆周期为 根据单摆周期公式 解得 小球在最高点时速度为零，拉力最小，则有 小球在最低点时速度最大，拉力最大，则有 从最高点到最低点根据机械能守恒定律 联立解得， 故B错误，C正确； D．摆球所受重力沿切线方向的分力充当单摆的回复力，而不是重力和摆线对摆球拉力的合力，故D错误。 故选AC。 【变式5-2】（多选）如图所示，光滑弧形槽的弧长OP远小于半径R，使与竖直的夹角小于。将质量分别为2m和m的小球A、B从图示位置同时由静止释放，不计空气阻力，在两小球发生碰撞之前，则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B运动过程中的回复力是重力和支持力的合力 B．小球A、B在运动过程中机械能都守恒 C．小球B比小球A先运动到O点 D．小球A、B同时到达O点 答案 BD 解析 A．小球A、B沿弧形槽做简谐运动，也是单摆模型，故小球所受重力在垂直摆线方向的分力提供回复力，重力的另一个分力与支持力的合力提供向心力，故A错误； B．以小球和地球组成的系统，只有重力做功，小球的机械能守恒，故B正确； CD．由单摆周期公式，可知小球A、B运动到O点的时间相等，均为，故C错误，D正确。 故选BD。 题型六 实验：用单摆测量重力加速度 【例6】某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)关于实验操作，下列说法正确的是________ A．摆球的选择有钢质实心小球和玻璃实心小球两种，选用玻璃实心小球 B．图乙中摆线上端的三种悬挂方式，选C方式更好 C．当单摆的摆球经过最高点时开始计时，便于看清摆球的位置 (2)若游标卡尺测量摆球的直径d如图丙所示，读数为 mm。 (3)若某次实验中测出单摆做n次全振动所用时间为t、摆线长为l，则当地的重力加速度g= （用题中物理量的符号表示）。 (4)如果该同学测得的重力加速度的值偏大，可能的原因是 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．开始计时时，秒表按下稍早 C．实验中将51次全振动误记为50次 D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 答案 (1)B (2)10.60 (3) (4)A 解析（1）A．摆球应选择钢质实心小球，有利于减少空气阻力，故A错误； B．三种悬挂方式，C方式悬点确定，摆长不变，故B正确； C．当单摆经过平衡位置开始计时，更能减小误差，故C错误。 故选B。 （2）由图示游标卡尺可知，小球直径 （3）单摆摆长 单摆的周期 由单摆周期公式 解得 （4）A．由单摆周期公式 解得 测摆线长时摆线拉得过紧，使得摆长的测量值偏大，则测得的重力加速度偏大，故A正确； B．实验中开始计时，秒表按下稍早，则测得周期偏大，所以测得的重力加速度偏小，故B错误； C．实验中将51次全振动误记为50次，测得周期偏大，则测得的重力速度偏小，故C错误； D．摆动后出现松动，知摆长的测量值偏小，则测得的重力加速度偏小，故D错误。 故选A。 【变式6-1】在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中： （1）摆线要选择细些的、伸缩性 的，摆球要选择质量大些的、体积 的； （2）从摆球经过平衡位置开始计时，测出n次全振动的时间为t，则单摆的周期为 ；用毫米刻度尺量出悬点到摆球的线长为l，用游标卡尺测出摆球直径为d，则单摆的摆长为 ； （3）实验测出不同摆长对应的多组数据，利用实验数据作出了T—l、T—l2、等图像，其中 图像最能直观反应周期与摆长的关系，由该图像可得到单摆的周期与摆长的关系是 ；（用数学式表达） （4）某同学根据实验数据作出的图像如图所示。 ①图像斜率表示的物理意义是 （用字母表示），由图像求出的重力加速度g = 。（小数点后保留两位） ②造成图像不过坐标点的原因可能是 。 A．摆长测量偏大      B．摆长测量偏小 C．周期测量偏大      D．周期测量偏小 答案 小些 小些 （k为比例系数） 9.86 BC/CB 解析（1）[1]摆线要选择细些的、伸缩性小些的。 [2]摆球要选择质量大些的、体积小些的。 （2）[3]单摆的振动周期为 [4]由于摆长为悬点到球心的距离，故摆长为 （3）[5]根据单摆的周期公式 可知图像为直线，而T—l、T—l2均为曲线，因此图像能直观反应周期与摆长的关系。 [6]由于与成正比，因此单摆的周期与摆长的关系是 （k为比例系数） （4）①[7]由单摆振动周期公式可得 可知图像的斜率意义为 [8]根据图像的斜率可知 解得 ②[9]AB．若周期测量准确，与过坐标原点的图像比较，摆长测量值偏小，B正确，A错误； CD．若摆长测量值准确，与过坐标原点的图像比较，周期的测量值偏大，C正确，D错误。 故选BC。 【变式6-2】利用单摆测当地重力加速度的实验中． (1)利用游标卡尺测得金属小球直径如图甲所示，小球直径d＝________cm. (2)某同学测量数据如下表，请在图乙中画出L－T2的图像，由图像可得当地重力加速度g＝____________m/s2.(结果保留3位有效数字) L/m 0.40 0.50 0.60 0.80 1.20 T2/s2 1.60 2.10 2.40 3.20 4.80 (3)某同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到的实验图像可能是下列图像中的____________． A B C D 答案(1)2.26　(2)见解析　9.86　(3)C 解析(1)主尺读数为2.2 cm；副尺读数为6×0.1 mm＝0.6 mm＝0.06 cm，故球直径为d＝2.2 cm＋0.06 cm＝2.26 cm. (2)L－T2图像如图所示． 由单摆周期公式T＝2π，变形可得L＝T2，图像斜率k＝，可得g＝4π2k，由图像可得k＝＝0.25，可得g＝4×3.142×0.25 m/s2≈9.86 m/s2. (3)在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，可得L＝T2－l0，即横截距不为零，可知C正确，A、B、D错误． 题型七 受迫振动 共振 【例7】某同学利用如图所示的装置做多单摆实验。在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，当驱动摆B摆动起来后，摆A、C、D、E也跟着摆动起来。已知摆长LB=LD>LA>LC>LE，在振动稳定后，下列说法正确的是（　　）    A．驱动摆B只是把振动形式传递给其他单摆，并不传递能量 B．单摆D、E的摆动振幅AD>AE C．单摆A摆动过程中多次通过同一位置时，速度和加速度都一定相同 D．单摆A、B、C、D、E的摆动周期满足TB=TD>TA>TC>TE 答案 B 解析A．驱动摆B不仅把振动形式传递给其他单摆，同时也把能量传递给其他单摆，故A项错误； BD．如果驱动摆B的周期为T，其他单摆都做受迫振动，振动周期都等于驱动摆的周期，振动频率也都等于驱动摆的频率，当驱动力的周期和单摆自身的固有周期（其中g为重力加速度，L为摆长）相等时，振幅最大，单摆D的摆长与B相同，则单摆BD产生共振，则振幅AD>AE，故B项正确，D项错误； C．单摆A摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据可得加速度 所以加速度一定相同，故C项错误。 故选B。 【变式7-1】(多选)很多高层建筑都会安装减震耗能阻尼器，用来控制强风或地震导致的振动．台北101大楼使用的阻尼器是重达660吨的调谐质量阻尼器，阻尼器相当于一个巨型质量块．简单说就是将阻尼器悬挂在大楼上方，它的摆动会产生一个反作用力，在建筑物摇晃时往反方向摆动，会使大楼摆动的幅度减小．关于调谐质量阻尼器，下列说法正确的是(　　) A．阻尼器做受迫振动，振动频率与大楼的振动频率相同 B．阻尼器与大楼摆动幅度相同 C．阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反 D．阻尼器摆动幅度不受风力大小影响 答案 AC　 解析 由题意可知阻尼器做受迫振动，振动频率与大楼的振动频率相同，A正确；阻尼器与大楼摆动幅度不相同，B错误；由题意可知，大楼对阻尼器的力与阻尼器对大楼的力为一对相互作用力，根据回复力F＝－kx可知阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反，C正确；阻尼器的摆动幅度会受到风力的影响，故D错误． 【变式7-2】(多选)如图甲所示在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长．当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来．图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　) A．a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc<Tb B．b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大 C．达到稳定时b摆的振幅最大 D．由图乙可知，此时b摆的周期Tb小于t0 答案 AB　 解析 由单摆周期公式T＝2π，知固有周期关系为Ta＝Tc<Tb，A正确；因为Ta＝Tc，所以c摆共振，达到稳定时，c摆振幅较大， b摆的振幅最小，B正确，C错误；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以三个单摆的频率相同，周期相同，故Tb等于t0，D错误． 基础巩固通关测 1．下列关于简谐运动的说法，正确的是(　　) A．只要有回复力，物体就会做简谐运动 B．物体做简谐运动时，加速度最大，速度也最大 C．物体做简谐运动时，速度方向有时与位移方向相反，有时与位移方向相同 D．物体做简谐运动时，加速度和速度方向总是与位移方向相反 答案C　 解析 只要有回复力物体一定振动，但不一定是简谐运动，如阻尼振动，A错误；物体做简谐运动，加速度最大时，根据a＝可知位移最大，此时速度最小为零，B错误； 物体做简谐运动时，位移一定是背离平衡位置，故速度方向有时与位移方向相反，有时与位移方向相同，C正确；物体做简谐运动时，加速度方向总是与位移方向相反，而速度方向有时与位移方向相反，有时与位移方向相同，D错误． 2．一弹簧振子的振动图像如图所示．在2～3 s的时间内，振子的动能Ek和势能Ep的变化情况是(　　) A．Ek变小，Ep变大　 B．Ek变大，Ep变小 C．Ek、Ep均变小　 D．Ek、Ep均变大 答案B　 解析 在2～3 s的时间内，振子从最大位移处向平衡位置运动，速度增大，动能变大，势能减小，B正确． 3．下表中给出的是做机械振动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动周期．则下列选项中正确的是(　　) 项目 0 T 甲 零 正向最大 零 负向最大 零 乙 零 负向最大 零 正向最大 零 丙 正向最大 零 负向最大 零 正向最大 丁 负向最大 零 正向最大 零 负向最大 A．若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v B．若乙表示位移x，则甲表示相应的速度v C．若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v D．若丁表示位移x，则丙表示相应的速度v 答案A　 解析 若甲表示位移x，振子从平衡位置向正向最大位移处运动，速度从正向最大开始减小到零，所以丙表示相应的速度v，故A正确；若乙表示位移x，振子从平衡位置向负向最大位移处运动，速度从负向最大开始减小到零，所以丁表示相应的速度v，故B错误；若丙表示位移x，位移从正向最大变化到零，振子从正向最大位移处向平衡位置运动，速度从零开始向负向最大速度变化，所以乙表示相应的速度v，故C错误；若丁表示位移x，位移从负向最大位移变化到零，振子从负向最大位移处向平衡位置运动，速度从零开始向正向最大速度变化，所以甲表示相应的速度v，故D错误． 4．如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示．由振动图像可以得知(　　) A．振子的振动周期等于t1 B．在t＝0时刻，振子的位置在a点 C．在t＝t1时刻，振子的速度为零 D．从t1到t2，振子正从O点向b点运动 答案D　 解析 振子的振动周期等于2t1，故A错误；在t＝0时刻，振子的位置在O点，然后向左运动，故B错误；在t＝t1时刻，振子经过平衡位置，此时它的速度最大，故C错误；从t1到t2，振子正从O点向b点运动，故D正确． 5．一单摆由甲地移到乙地后，发现走时变快了，其变快的原因及调整的方法是(　　) A．g甲>g乙，将摆长缩短 B．g甲<g乙，将摆长放长 C．g甲<g乙，将摆长缩短 D．g甲>g乙，将摆长放长 答案B　 解析 走时变快了，说明周期T＝2π变小了，即g乙>g甲，若要恢复原来的周期，则需把摆长变长，使不变，故B正确． 6．如图所示，在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图示P位置是弹簧振子处于自然伸长的位置，若将振子m向右拉动5 cm 后由静止释放，经0.5 s振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是(　　) A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz B．若向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置 C．若向左推动8 cm后由静止释放，振子m两次经过P位置的时间间隔是2 s D．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要位移不超过20 cm，总是经0.5 s速度就降为0 答案D　 解析 由题意知，该弹簧振子振动周期T＝0.5×4 s＝2 s，且以后不再变化，即弹簧振子固有周期为2 s，振动频率为0.5 Hz，A错误；固有周期与振幅无关，所以若向右拉动10 cm后由静止释放，经过0.5 s振子第一次回到P位置，B错误；振子两次经过P位置的时间间隔为半个周期即1 s，C错误；只要位移不超过弹簧形变的最大限度，振子的周期不变，D正确． 7．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知(　　) A．振幅为2 cm，频率为0.2 Hz B．t＝1 s时速度为零，但质点所受合外力为最大 C．t＝2 s时质点具有正方向最大加速度 D．该质点的振动方程为x＝2sin 答案C　 解析 根据图像可知振幅为2 cm，频率为f＝＝ Hz＝0.25 Hz，A错误；t＝1 s时，质点处于平衡位置，所受合力为0，速度最大，B错误；t＝2 s时，质点处于负向位移最大处，所受指向平衡位置的合力最大，具有正方向最大加速度，C正确；根据图像可知ω＝＝＝ rad/s，则该质点的振动方程为x＝2cos，D错误． 8．如图，轻质弹簧下挂重为300 N的物体A时伸长了3 cm，再挂上重为200 N的物体B时又伸长了2 cm，现将A、B间的细线烧断，使A在竖直平面内振动，则(　　) A．最大回复力为500 N，振幅为5 cm B．最大回复力为200 N，振幅为2 cm C．只减小A的质量，振动的振幅变小，周期不变 D．只减小B的质量，振动的振幅变小，周期不变 答案BD　 解析 轻质弹簧下挂重为300 N的物体A时伸长了3 cm，再挂上重为200 N的物体B时又伸长了2 cm，故劲度系数k＝＝＝1×104 N/m，若将连接A、B两物体的细线烧断，物体A将做简谐运动，细线烧断瞬间，合力充当回复力；由于细线烧断前是平衡状态，烧断后细线对A的拉力减小了200 N，而弹力不变，故合力为200 N，故最大回复力为200 N，刚烧断细线时物体的加速度最大，此处相当于是物体A到达简谐运动的最大位移处，故振幅为2 cm，故A错误，B正确．只减小A的质量，振动的幅度不变，而周期与振幅无关，所以周期不变，故C错误．只减小B的质量，振动的幅度变小，而周期与振幅无关，所以周期不变，故D正确． 9．如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则(　　) A．其他各摆振动周期跟A摆相同 B．其他各摆振动的振幅大小相等 C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大 D．B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小 答案ACD　 解析 A摆振动后迫使水平绳摆动．水平绳又迫使B、C、D、E四摆做受迫振动，由于物体做受迫振动的周期总是等于驱动力的周期，因此B、C、D、E四摆的周期跟A摆相同，故A正确．A摆的频率等于驱动力的频率，即fA＝＝，其余四摆的固有频率与驱动力的频率关系是： fB＝≈1.41fA，fC＝≈0.82fA， fD＝≈0.71fA，fE＝＝fA. 可见只有E摆的固有频率与驱动力的频率相等，它发生共振现象，其振幅最大，B、C、D三个摆均不发生共振，振幅各异，其中B摆的固有频率与驱动力的频率相差最大，所以它的振幅最小，故B错误，C、D正确． 10．一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm，振动的平衡位置位于x轴上的O点．如图甲中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位移，黑点上的箭头表示运动的方向．如图乙给出的①②③④四条振动曲线，则下列选项中对振动图像描述正确的是(　　) A．若规定状态a时t＝0，则图像为① B．若规定状态b时t＝0，则图像为② C．若规定状态c时t＝0，则图像为③ D．若规定状态d时t＝0，则图像为④ 答案AD　 解析 若振子在状态a时t＝0，此时的位移为3 cm，且向规定的正方向运动，故A正确．若振子在状态b时t＝0，此时的位移为2 cm，且向规定的负方向运动，相应的图像②中初始位移不对，故B错误．若振子在状态c时t＝0，此时的位移为－2 cm，且向规定的负方向运动，相应的图像③中运动方向及初始位移均不对，故C错误．若振子在状态d时t＝0，此时的位移为－4 cm，速度为零，故D正确． 11．某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素． (1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示．这样做的目的是________(填字母代号)． A．保证摆动过程中摆长不变 B．可使周期测量得更加准确 C．需要改变摆长时便于调节 D．保证摆球在同一竖直平面内摆动 (2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则该摆球的直径为______ mm，单摆摆长为______ m. (3)下列振动图像真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，其中A、B、C均为30次全振动的图像，取sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是______(填字母代号)． 答案(1)AC　(2)12.0　0.993 0　(3)A 解析(1)夹牢摆线可以使摆动过程中摆线长度不变，夹子可以根据需要改变摆长，故选AC． (2)游标尺的0刻线与主尺12 mm对齐，10刻线与主尺刻线对齐，所以读数为12.0 mm；摆长L＝0.999 0 m－ m＝0.993 0 m. (3)sin 5°≈0.087，摆长为1 m，所以振幅约为8.7 cm，C、D选项振幅较大，误差较大；又因振子在平衡位置开始计时误差较小，所以t＝0时，振子应在平衡位置，故选A． 12．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中： (1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图甲所示，则该摆球的直径为______cm.摆动时偏角满足的条件是小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应经过最______(填“高”或“低”)点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期．图乙中停表示数为一单摆全振动50次所需时间，则该单摆振动周期为________． (2)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长，测量情况如图丙所示，O为悬挂点，从图丙中可知单摆的摆长为________m. (3)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________. (4)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大．”学生乙说：“浮力对摆球的影响就好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中________． A．学生甲的说法正确 B．学生乙的说法正确 C．两学生的说法都是错误的 (5)某同学用单摆测量当地的重力加速度．他测出了摆线长度L和摆动周期T.图丁所示为测摆线长度L的方法．通过改变悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组T与L，再以T2为纵轴、L为横轴画出函数关系图像如图戊所示．由图像可知，摆球的半径r＝________m，当地重力加速度g＝________m/s2(结果保留2位小数)；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________(填“偏大”“偏小”或“一样”)． 答案(1)0.97　低　2.05 s　(2)0.998 0　(3)　(4)A (5)0.01　9.86　一样 解析(1)由图示游标卡尺可知，其示数为9 mm＋7×0.1 mm＝9.7 mm＝0.97 cm； 为了减小测量周期的误差，应从摆球经过最低点的位置时开始计时； 由图示秒表可知，其示数t＝90 s＋12.5 s＝102.5 s， 单摆周期T＝＝ s＝2.05 s. (2)悬点到摆球球心的距离是单摆摆长，由图示刻度尺可知，单摆摆长L＝99.80 cm＝0.998 0 m. (3)由单摆周期公式T＝2π可知，重力加速度g＝. (4)考虑到空气浮力，浮力的方向始终与重力方向相反，相当于等效的重力场的等效重力加速度变小，振动周期变大，甲的说法正确，故A正确，B、C错误． (5)T2与L的图像，应为过原点的直线，但图像中没有过原点；且实验中该学生在测量摆长时，只量了悬线的长度L当作摆长，而没有加上摆球的半径，据此可知横轴截距应为球的半径，由图像可知，摆球的半径r＝1.0 cm＝0.010 m； 由单摆周期公式T＝2π可知T2＝， 所以T2－L图像的斜率k＝＝＝4， 重力加速度g＝＝ m/s2≈9.86 m/s2； 用T2－L的关系图线求当地重力加速度值，误将摆线长当成摆长进行测量和绘制图线，T2－L图像的斜率不变，所测重力加速度不变． 13．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移和时间关系如图所示． (1)求t＝0.25×10－2 s时刻的位移．(结果保留三位小数) (2)从t＝0到t＝8.5×10－2 s的时间内，质点的路程、位移各为多大？ 答案(1)－1.414 cm　(2)34 cm　0 解析(1)由图像可知T＝2×10－2 s，则ω＝＝100π， 横坐标t＝0.25×10－2 s时，所对应纵坐标x＝－Acos ωt＝－2cos(100π×0.25×10－2) cm≈－1.414 cm. (2)因振动是变速运动，因此只能利用其周期性求解．即一个周期内通过的路程为4个振幅，题中Δt＝8.5×10－2 s＝T，所以质点通过的路程为×4A＝17A＝17×2 cm＝34 cm，经个周期振子回到平衡位置，位移为零． 14．一轻弹簧上端固定在支架顶端，下端悬挂一物块，物块上装有一只记录笔，在竖直面内放置有一记录纸．当物块上下振动时，以速率v水平向左拉动记录纸，记录笔在纸上留下印迹如图所示．y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标． (1)求物块振动的周期和振幅； (2)若弹簧的劲度系数为k，物块与笔的总质量为m，写出物块振动到最高点时的加速度大小． 答案(1)T＝　A＝　(2)a＝ 解析(1)记录纸匀速运动，振子振动的周期等于记录纸运动位移2x0所用时间，因此由图可知T＝， 再根据图像可以看出振幅A＝. (2)在最高点时回复力F＝－kx＝kA， 根据牛顿第二定律可得，kA＝ma， 且A＝， 代入数据解得加速度大小a＝. 能力提升进阶练 1.一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，近似取π2＝10，则(　　) A．此单摆的摆长为10 cm B．此单摆的摆长为1 m C．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动 答案D　 解析 当驱动力频率和单摆的固有频率相等时，发生共振，振幅最大，则此单摆的固有周期T＝＝ s＝1 s，根据单摆周期公式T＝2π知此单摆的摆长约为0.25 m，故A、B错误； 若摆长增大，单摆的固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动，故C错误，D正确． 2.如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上，在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动．那么( ) A. 小球到达最右端时，弹簧的形变量为 B. 小球做简谐运动的振幅为 C. 运动过程中小球和弹簧组成的系统的机械能守恒 D. 运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变 答案 A 解析 小球运动过程中，电场力和弹簧弹力都要做功，故对于弹簧和小球组成的系统，电势能和弹性势能以及动能的总量守恒，D错误；小球做简谐运动，振幅等于偏离平衡位置的最大距离，在平衡位置，有kA＝qE，解得振幅A＝，B错误；小球到达最右端时，弹簧的形变量为2倍振幅，即2A＝，A正确；小球运动过程中有电场力做功，系统机械能不守恒，C错误． 3. 如图所示，小球在轻弹簧拉力作用下静止于光滑斜面上的O点， 现将小球拉至斜面上A点由静止释放．已知弹簧劲度系数为k，OA＝OB ＝x，下列说法中正确的是( ) A. 小球运动中的机械能守恒 B. 小球在弹簧原长处速度最大 C. 小球运动到B点受到的合外力大小为kx D. 小球运动中受弹簧的弹力与离开O点的位移成正比 答案C 解析 小球运动中小球与弹簧组成的系统机械能守恒，小球机械能不守恒，A错误；小球速度最大的位置在合力为零时，故在O点速度最大，B错误；小球在O点弹簧伸长Δx，则kΔx＝mgsin θ，运动到B点受到的合外力大小为F＝k(x－Δx)＋mgsin θ＝kx，C正确；小球运动中受到的合外力与离开O点的位移成正比，D错误． 4.如图所示,一轻质弹簧上端固定,下端悬挂一物块,取物块静止时所处位置为坐标原点O,向下为正方向,建立Ox坐标轴。现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放,不计空气阻力。已知物块的质量为m,弹簧的劲度系数为k,A位置的坐标为x1,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.该简谐运动的振幅为2x1 B.在任意周期内物块通过的路程一定等于x1 C.物块在A位置时的回复力大小为kx1 D.物块在A位置的回复力大小为kx1-mg 答案　C 解析　该简谐振动的振幅为x1,A错误;物块运动过程中,其快慢是不同的,靠近平衡位置运动比较快,远离平衡位置运动比较慢,只有从平衡位置(或最大位移处)出发运动周期,物块的运动位移才等于x1,B错误;物块在O位置时受力平衡,有kx0=mg,x0为弹簧伸长量,在A位置时的回复力大小为F=k(x0+x1)-mg=kx1,C正确,D错误。 5.如图甲所示，一轻弹簧竖直固定在水平地面上，弹簧上端连接物块，将物块缓慢向下压，松手后，物块在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示（取竖直向上为正方向），则（　　） A．时，物块的速度和加速度方向相反 B．物块振动周期为，振幅为 C．时间内，速度和加速度都减小 D．时，物块的位移为 答案 A 解析 A．由图像可知，时，物块的速度方向向上，加速度方向向下，即速度和加速度方向相反，选项A正确； B．由图像可知，物块振动周期为，振幅为，选项B错误； C．时间内，振子从平衡位置向最低点运动，可知速度减小，加速度增加，选项C错误； D．时，物块的位移为 选项D错误。 故选A。 6.如图所示，质量为M的无下底的木箱放在水平地面上。箱子顶部用劲度系数为k的轻弹簧悬挂一个质量为m（M>m）的物体A，质量为2m的物体B用细线与A相连。平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐振动，则（　　） A．细线剪断瞬间，弹簧弹力大小为2mg B．细线剪断瞬间，物体A的加速度大小为2g，方向竖直向下 C．A做简谐振动的振幅为 D．当A运动到最高点时，木箱对地面的压力大小为 答案 D 解析 A．平衡时，弹簧弹力F=3mg，细线剪断瞬间，弹簧形变量未发生变化，故弹力仍为3mg，故A错误； B．对物体A，根据牛顿第二定律，有，方向竖直向上，故B错误； C．物体A做简谐振动，剪断绳子瞬间有kx1=3mg 在平衡位置时有kx2=mg 振幅为，故C错误； D．物体A在最低点的回复力为2mg，方向竖直向上，根据简谐运动的对称性，到达最高点时回复力大小也为2mg，方向竖直向下，可知弹簧对A的弹力为mg，方向竖直向下，所以弹簧对木箱顶部的弹力也为F弹=mg，方向竖直向上，再以木箱为研究对象，有 由牛顿第三定律可知，木箱对地面的压力大小为（M−m）g，故D正确。 故选D。 7.某实验小组探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量、单摆摆长的关系。    （1）小组内的两位同学各自组装了一套实验装置，分别如图甲、乙所示。为了保证小球在确定的竖直面内摆动，应选用图 （选填“甲”或“乙”）所示的实验装置。 （2）关于该实验，下列说法正确的是 。 A．该探究方法为控制变量法 B．实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小 C．实验时细线的最大摆角约为45° D．测量小球的摆动周期时，应该从小球处于最高点时开始计时 （3）当小球的质量一定，探究单摆做简谐运动的周期和摆长的关系时，该小组同学利用正确装置通过改变摆长进行了多次实验，画出的T2﹣l图像如图丙所示，由图丙可得小球的质量一定时，周期T和摆长l的关系为T= （用a、b、l表示）。 答案 乙 AB/BA 解析（1）[1]为了保证小球在确定的竖直面内摆动，应选用图乙所示的实验装置； （2）[2] A．探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量关系时，应控制单摆摆长相同；探究单摆做简谐运动的周期单摆摆长的关系，应控制小球的质量相同，故该探究方法为控制变量法，故A正确； B．为减小空气阻力的影响，实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小，故B正确； C．小球做单摆运动，实验时细线的最大摆角约为5°，故C错误； D．测量小球的摆动周期时，应该从小球处于最低点时开始计时，故D错误。 故选AB。 （3）[3]根据图象可得 可得周期T和摆长l的关系为 8.某学生小组用以下器材测量了校园附近的重力加速度。为了便于携带，该组同学将一单摆固定于某一开口向下的透明塑料杯顶端（单摆的下半部分露于杯外），塑料杯的深度h，如图甲所示。每次实验前，组内同学测出杯子的下端口到小球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T。实验开始时，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，且单摆在摆动过程中悬线不会碰到杯巷，最后利用测得的数据，以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，如图乙所示。 (1)实验时用10分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图所示，该摆球的直径d= mm。 (2)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次（记为第一次）通过最低点时按下停表开始计时，同时数0，当摆球第二次通过最低点时数1，依此法往下数，当他数到60时，按下停表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为______。 A． B． C． D． (3)在正确操作且不考虑偶然误差的情况下，实验所得到的 关系图线应是图乙中的 （选填a、b、c），由此可得当地的重力加速度g= m/s2（π取3.14，结果保留小数点后两位） 答案(1)12.0 (2)C (3)a 9.86 解析（1）由游标卡尺读数规律可知，。 （2）从小球通过最低点时数0开始，每2次经过最低点为一个单摆的周期，一共计时60次，共有30个周期，故周期的大小为。 故ABD错误，C正确。 （3）[1][2]摆线在杯内的长度为h，由单摆周期公式 可得 其关系图像应为a 斜率 计算可得 9.如图甲所示,有一悬挂在O点的单摆,将小球(可视为质点)拉到A点后释放,小球在同一竖直平面内的A、B、C之间来回摆动,已知B点为小球运动中的最低点,A、C两点为小球运动中的最高点,摆角为α(α<5°)。在O点接有一力传感器,图乙表示从某时刻开始计时,由力传感器测出的细线对小球的拉力大小F随时间t变化的曲线,由力传感器测得最小拉力为F2,图中F2、t0已知,当地重力加速度大小为g,求: (1)单摆的周期T和摆长l; (2)小球的质量m; (3)力传感器测出的拉力的最大值F1。 答案　(1)2t0　　(2)　(3)F2 解析　(1)由题图乙可知,单摆周期为T=2t0 由单摆周期公式T=2π 解得L=。 (2)小球在A点时拉力最小,拉力的大小等于重力沿绳子方向的分力,即F2=mgcos α 解得m=。 (3)小球在平衡位置B点时拉力最大,设为F1,根据牛顿第二定律有F1-mg=m 小球从A到B过程,由机械能守恒定律得 mgL(1-cos α)=mv2 解得F1=F2。 10.如图所示,将质量为mA=100 g的平台A连接在劲度系数k=200 N/m的弹簧上端,弹簧下端固定在地上,形成竖直方向的弹簧振子,在A的上方放置mB=mA的物块B,使A、B一起上下振动,弹簧原长为l0=5 cm。A的厚度可忽略不计,g取10 m/s2,求: (1)当振子做小振幅简谐振动时,A的平衡位置离地面C的高度; (2)当振幅为0.5 cm时,B对A的最大压力的大小。 答案　(1)4 cm　(2)1.5 N 解析　(1)振幅很小时,A、B不会分离,将A与B整体作为振子,当它们处于平衡位置时,根据平衡条件得 kx0=(mA+mB)g 解得形变量x0=1 cm 则平衡位置距地面高度h=l0-x0=4 cm。 (2)当A、B运动到最低点时,有向上的最大加速度,此时A、B间相互作用力最大,设振幅为A,最大加速度 am===5 m/s2 取B为研究对象,有FN-mBg=mBam 解得FN=mB(g+am)=1.5 N 由牛顿第三定律知,B对A的最大压力大小为1.5 N。 11.如图所示,倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上,斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连,弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动),重力加速度为g。 (1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度; (2)求物块做简谐运动的振幅; (3)选物块的平衡位置为坐标原点,沿斜面向下为正方向建立坐标系,用x表示物块相对于平衡位置的位移,证明物块做简谐运动(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足F=-kx)。 答案　(1)L+　(2)+(3)见解析 解析　(1)物块受力平衡时,根据平衡条件,有mgsin α=k·Δx 解得Δx= 故物块处于平衡位置时弹簧的长度为 L'=L+。 (2)由题意知,物块做简谐运动的振幅为 A=Δx+L=+。 (3)物块到达平衡位置下方x位置时,弹力为 k(x+Δx)=k 合力F=mgsin α-k=-kx 故物块做简谐运动。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 机械振动（复习讲义） 1.一种研究方法：简谐运动、单摆是一种接近理想化模型，建构理想化模型是物理学常用的一种研究方法； 2.4个基本概念：简谐运动、弹簧振子、单摆是贯穿本章的基础知识，是高中物理常考知识点； 3.三个常考角度：（1）简谐运动的图像；（2）简谐运动的回复力和能量；（3）单摆。 知识点 重点归纳 常见易错点 简谐运动 1、定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x−t 图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2、特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。 3、简谐运动的图像：表示一个振子不同时刻所在的位置或者一个振子位移随时间的变化规律。 （1）描述振动物体的位移随时间的变化规律。 （2）简谐运动的图像是正弦曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势。 忽略简谐运动是回复力与位移成正比且反向（F=-kx）的周期性运动，如弹簧振子、小角度单摆，其位移、速度等物理量随时间呈周期性变化，具有对称性 弹簧振子 一、弹簧振子 1、机械振动：我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。 2、弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。 3、平衡位置：振子原来静止时的位置。 （1）位于平衡位置时，小球所受合力为0。 （2）经过平衡位置时，小球速度最快。 二、弹簧振子的位移—时间图像 1、用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图像就是位移随时间变化的图像，即x－t图像，如图所示。 2、振子的位移：振子相对平衡位置的位移。 3、图像的物理意义：反映了振子位置随时间变化的规律，它不是振子的运动轨迹。 误认为图像反映的是振子的运动轨迹。 简谐运动的描述 简谐运动的描述： ①振幅A:振动物体离开平衡位置的最大距离,叫作振动的振幅。 ②全振动：一个完整的振动过程，称为一次全振动。不管从哪儿作为开始研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。此时，位移、速度第一次同时与初始状态相同，即物体从同一向回到出发点。 ③周期(T)和频率(f)： (1)周期T:做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。单位：秒(s)。 (2)频率f:物体完成全振动的次数与所用时间之比。单位:赫兹，简称赫，符号是Hz。 (3)周期T与频率f的关系式: T=. ④相位：在物理学上，用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。为简谐运动的初相。 5.简谐运动的图象 (1)从平衡位置开始计时，函数表达式为，图象如图甲所示。 (2)从最大位移处开始计时，函数表达式为，图象如图乙所示。 简谐运动的回复力和能量 1.回复力： ①定义：使物体返回到平衡位置的力。 ②方向：总是指向平衡位置。 ③大小：与位移大小成 正比 ，即F= -kx 。 ④来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 2.平衡位置：在机械振动中，回复力为0的位置叫做这个简谐运动的平衡位置. 3.简谐运动的条件：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，即物体所受的力具有F= -kx形式， 则质点的运动就是简谐运动。 (4)简谐运动的特征： ①动力学特征：F回＝－kx。 ②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。 ③能量特征： Ⅰ.系统的机械能守恒，振幅A不变。 Ⅱ.振幅越大，机械能就越大，振动越强。 Ⅲ.在最大位移处，势能最大，动能为零；在平衡位置处，动能 最大，势能最小。 单摆 一、单摆 1、单摆的定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。 (1)悬点：固定。 (2)摆球：体积小、质量大。 (3)摆线：细而长、不可伸长。 2、理想化模型：单摆是实际摆的理想化模型。 (1)摆线质量m远小于摆球质量 M，即m << M 。 (2)摆球的直径d远小于单摆的摆长Ｌ，即 d <<Ｌ。 (3)摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略。 (4)摆线的伸长量很小，可以忽略。 二、单摆的回复力 1、回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 2、回复力的特点：在摆角很小时（θ＜50），摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 推导：F回=mgsinθ，θ角很小时，用弧度制表示的θ与它的正弦值近似相等即sinθ ≈ θ≈。 则：F = mgsinθ≈ mgθ≈。 位移方向与回复力方向相反F = −。 可以写成：F = −k x 三、简谐运动中各个物理量的变化规律 1、单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。 2、周期公式 （1）提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 （2）公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 1.摆长的长度；2.单摆由不可伸长的轻质细线悬挂小球组成，小角度（≤5°）摆动时近似简谐运动，回复力为重力切向分力，周期公式T＝2π（l为摆长，g 为重力加速度），周期与摆球质量、振幅无关，仅由摆长和重力加速度决定。 实验：用单摆测量重力加速度 【实验目的】 1、利用单摆测定当地的重力加速度。 2、巩固和加深对单摆周期公式的理解。 【实验原理】 单摆在偏角很小时的摆动，可以看成是简谐运动。其固有周期为T＝2π ，由此可得据此，只要测出摆长l和周期T，即可计算出当地的重力加速度值。 【实验器材】 铁架台及铁夹，中心有小孔的金属小球；约1m的细线；秒表，游标卡尺，刻度尺. 【实验步骤】 1．在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大些的结，将细线穿过球上的小孔，制成一个单摆。 2．将铁夹固定在铁架台的上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，把做好的单摆固定在铁夹上，使摆球自由下垂。 3．用刻度尺测量单摆长（悬点到球心间的距离）。或用游标卡尺测出摆球直径D，再用米尺测出从悬点至小球上端的悬线长l´，则摆长l=l´+ 。 4．把单摆从平衡位置拉开一个小角度，使单摆在竖直平面内摆动，用秒表测量单摆完成全振动n次（n=30或50）所用的时间t，则单摆的周期T=。反复测量3次，再算出测得的周期T的平均值。 5．变更摆长，重做几次实验，将测出的摆长l和周期T代入公式 ， 求出重力加速度g的值。（或者多做几次实验，由几组l、T值作出图像（如上图），利用图像斜率，算重力加速度g）。 【误差分析】 1.系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即:悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。 2.偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即...4,3,2,1,0在数 “零”的同时按下秒表结束计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 【注意事项】 1.选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm. 2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。 3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。 4.摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时接下秒表，开始计时计数。 1. 从能量角度分 ①完全非弹性碰撞：碰撞后两物体合为一体或者具有共同的速度。 ②完全非弹性碰撞中的半能损失：在一动撞一静的完全非弹性碰撞中，若两物体质量相等，此过程中损失的动能为系统初动能的一半。 2. 从碰撞角度分 ①正碰：两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线，这种碰撞称为正碰，也叫作对心碰撞或一维碰撞。 ①斜碰：如果碰撞之前球的运动速度方向与两球心的连线不在同一条直线上，碰撞之后两球的速度方向都会偏离原来两球心的连线而运动，这样的碰撞叫作斜碰（非对心碰撞） （1）选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 （2）摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 （3）摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 （4）计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间。 反冲现象 1.固有振动：如果振动系统在没有外力干预的情况下做简谐运动，周期或频率仅由系统自身的性质决定,这种振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率。 2.阻尼振动：振幅随时间逐渐诚小的振动。阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。振动系统能量衰诚的两种方式： ①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。 ②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去。 3.驱动力：作用于振动系统的周期性的外力。 4.受迫振动：系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。 5.三种振动的对比 6.共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图所示，表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f上的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。 7.共振的实例：转速计、运动员在跳板上跳水、共鸣（声音的共振）、桥梁倒塌、发动机由于共振而损坏等。 受迫振动是物体在驱动力作用下的振动，其频率等于驱动力频率；当驱动力频率等于物体固有频率时，振幅最大，即为共振，共振是受迫振动的特殊情况。 题型一 简谐运动 例1 (多选)如图所示,小球在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动,下列说法正确的是(　　) A.小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B.小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C.小球由A向O运动过程中,位移、回复力和加速度均逐渐增大 D.小球由O向B运动过程中,回复力的方向指向平衡位置 【变式1-1】(2024广东深圳高二期中)关于简谐运动的回复力,下列说法正确的是(　　) A.简谐运动的回复力一定是合力 B.做简谐运动的物体,每次经过平衡位置合力一定为零 C.做简谐运动的物体的回复力方向与偏离平衡位置的位移方向总是相反 D.简谐运动的回复力公式F=-kx中,k是弹簧的劲度系数,x是弹簧的长度 【变式2-2】 做简谐运动的质点通过距平衡位置1 cm时的加速度是0.5 cm/s2;那么通过距平衡位置2 cm时的加速度是(　　) A.0.5 cm/s2 B.1.0 cm/s2 C.1.5 cm/s2 D.2.0 cm/s2 题型二 简谐运动的图像 例2.(多选)如图甲所示,一弹簧振子中的小球在A、B间振动,取向右为正方向,小球经过O点时开始计时,其振动的x-t图像如图乙所示。则下列说法正确的是(　　) A.t2时刻小球在A点 B.t2时刻小球在B点 C.在t1~t2时间内,小球的位移在增大 D.在t3~t4时间内,小球的位移在减小 【变式2-1】一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像． 【变式2-2】如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法中正确的是(A) 甲 乙 A. t＝0.8 s，振子的速度方向向左 B. t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 C. t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同 D. t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小 题型三 弹簧振子模型 【例3】如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动．取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法中正确的是( ) 甲 乙 A. t＝0.6 s时，振子在O点右侧6 cm处 B. 振子在t＝0.2 s时和t＝1.0 s时的速度相同 C. t＝6 s时，振子的加速度方向水平向左 D. t＝1.0 s到t＝1.4 s的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大 【变式3-1】（24-25高二上·河南濮阳·期末）如图1所示，轻弹簧上端固定，下端与小球相连构成弹簧振子，小球做简谐运动的位移—时间图像如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．在任意1s的时间内，小球经过的路程都是2cm B．时，弹簧处于原长状态 C．和两个时刻，小球的速度相同 D．和两个时刻，小球的加速度大小相等，方向相反 【变式3-2】（24-25高二上·山东德州·期中）如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在光滑水平面上的、两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移随时间的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．该弹簧振子的周期为1.6s，振幅为30cm B．该弹簧振子在时和时的速度不同 C．在时，该弹簧振子的加速度大小为零 D．在到的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小 题型四 简谐运动的回复力和能量 【例4】如图所示，在光滑水平面上有一轻质弹簧左端固定，右端与质量为m的小球相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小球位于O点．现使小球以O点为平衡位置，在A、B两点间沿光滑水平面做简谐运动，关于这个弹簧振子做简谐运动的过程，下列说法中正确的是( ) A. 小球经过平衡位置O时加速度最大 B. 小球每次通过同一位置时的速度一定相同 C. 小球做简谐运动的周期与振幅无关 D. 小球从A运动到B的过程中弹簧的弹性势能先增大后减小 【变式4-1】（多选）某鱼漂的示意图如图甲，、、为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点。用手将鱼漂向下压，使点到达水面，松手后，不考虑阻力的影响，鱼漂会上下做简谐运动，上升到最高处时，点到达水面。以点为坐标原点，竖直向上为正方向，并取经过点向下运动时为计时零点，描绘出鱼漂所受浮力与时间的变化图像、速度与时间的变化图像，下列图像正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】(多选)(2025·广东江门高二月考)如图甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,在C、D两点之间做简谐运动,O点为平衡位置。振子到达D点开始计时。以竖直向上为正方向,在一个周期内的振动图像如图乙所示,下列说法正确的是(　　) A.振子在O点受到的弹簧弹力等于零 B.振子做简谐运动的表达式为x=5sin(πt-) cm C.0.5~1.0 s的时间内,振子通过的路程为5 cm D.t=0.25 s和t=0.75 s时,振子的速度不同,但加速度大小相等 题型五 单摆 【例5】（24-25高二上·山东潍坊·期末）如图甲所示，一摆球在竖直平面内做小角度摆动（）。某次摆球从左向右通过平衡位置开始计时，其振动图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10。下列说法正确的是（　　） A．摆长约为2m B．时摆球所受合外力为零 C．从至的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 D．摆球的位移x随时间t的变化规律为 【变式5-1】（多选）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。将摆球拉到A点从静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间做简谐运动，其中B点为运动中的最低位置。乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t=0为摆球从A点开始运动时的（g取10m/s2）。下列说法中正确的是（　　） A．在小于的情况下，θ越大，周期不变 B．小球的质量为0.10kg C．小球在最低点的速度大约为0.283m/s D．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力充当单摆的回复力 【变式5-2】（多选）如图所示，光滑弧形槽的弧长OP远小于半径R，使与竖直的夹角小于。将质量分别为2m和m的小球A、B从图示位置同时由静止释放，不计空气阻力，在两小球发生碰撞之前，则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B运动过程中的回复力是重力和支持力的合力 B．小球A、B在运动过程中机械能都守恒 C．小球B比小球A先运动到O点 D．小球A、B同时到达O点 题型六 实验：用单摆测量重力加速度 【例6】某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)关于实验操作，下列说法正确的是________ A．摆球的选择有钢质实心小球和玻璃实心小球两种，选用玻璃实心小球 B．图乙中摆线上端的三种悬挂方式，选C方式更好 C．当单摆的摆球经过最高点时开始计时，便于看清摆球的位置 (2)若游标卡尺测量摆球的直径d如图丙所示，读数为 mm。 (3)若某次实验中测出单摆做n次全振动所用时间为t、摆线长为l，则当地的重力加速度g= （用题中物理量的符号表示）。 (4)如果该同学测得的重力加速度的值偏大，可能的原因是 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．开始计时时，秒表按下稍早 C．实验中将51次全振动误记为50次 D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 【变式6-1】在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中： （1）摆线要选择细些的、伸缩性 的，摆球要选择质量大些的、体积 的； （2）从摆球经过平衡位置开始计时，测出n次全振动的时间为t，则单摆的周期为 ；用毫米刻度尺量出悬点到摆球的线长为l，用游标卡尺测出摆球直径为d，则单摆的摆长为 ； （3）实验测出不同摆长对应的多组数据，利用实验数据作出了T—l、T—l2、等图像，其中 图像最能直观反应周期与摆长的关系，由该图像可得到单摆的周期与摆长的关系是 ；（用数学式表达） （4）某同学根据实验数据作出的图像如图所示。 ①图像斜率表示的物理意义是 （用字母表示），由图像求出的重力加速度g = 。（小数点后保留两位） ②造成图像不过坐标点的原因可能是 。 A．摆长测量偏大      B．摆长测量偏小 C．周期测量偏大      D．周期测量偏小 【变式6-2】利用单摆测当地重力加速度的实验中． (1)利用游标卡尺测得金属小球直径如图甲所示，小球直径d＝________cm. (2)某同学测量数据如下表，请在图乙中画出L－T2的图像，由图像可得当地重力加速度g＝____________m/s2.(结果保留3位有效数字) L/m 0.40 0.50 0.60 0.80 1.20 T2/s2 1.60 2.10 2.40 3.20 4.80 (3)某同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到的实验图像可能是下列图像中的____________． A B C D 题型七 受迫振动 共振 【例7】某同学利用如图所示的装置做多单摆实验。在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，当驱动摆B摆动起来后，摆A、C、D、E也跟着摆动起来。已知摆长LB=LD>LA>LC>LE，在振动稳定后，下列说法正确的是（　　）    A．驱动摆B只是把振动形式传递给其他单摆，并不传递能量 B．单摆D、E的摆动振幅AD>AE C．单摆A摆动过程中多次通过同一位置时，速度和加速度都一定相同 D．单摆A、B、C、D、E的摆动周期满足TB=TD>TA>TC>TE 【变式7-1】(多选)很多高层建筑都会安装减震耗能阻尼器，用来控制强风或地震导致的振动．台北101大楼使用的阻尼器是重达660吨的调谐质量阻尼器，阻尼器相当于一个巨型质量块．简单说就是将阻尼器悬挂在大楼上方，它的摆动会产生一个反作用力，在建筑物摇晃时往反方向摆动，会使大楼摆动的幅度减小．关于调谐质量阻尼器，下列说法正确的是(　　) A．阻尼器做受迫振动，振动频率与大楼的振动频率相同 B．阻尼器与大楼摆动幅度相同 C．阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反 D．阻尼器摆动幅度不受风力大小影响 【变式7-2】(多选)如图甲所示在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长．当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来．图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　) A．a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc<Tb B．b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大 C．达到稳定时b摆的振幅最大 D．由图乙可知，此时b摆的周期Tb小于t0 基础巩固通关测 1．下列关于简谐运动的说法，正确的是(　　) A．只要有回复力，物体就会做简谐运动 B．物体做简谐运动时，加速度最大，速度也最大 C．物体做简谐运动时，速度方向有时与位移方向相反，有时与位移方向相同 D．物体做简谐运动时，加速度和速度方向总是与位移方向相反 2．一弹簧振子的振动图像如图所示．在2～3 s的时间内，振子的动能Ek和势能Ep的变化情况是(　　) A．Ek变小，Ep变大　 B．Ek变大，Ep变小 C．Ek、Ep均变小　 D．Ek、Ep均变大 3．下表中给出的是做机械振动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动周期．则下列选项中正确的是(　　) 项目 0 T 甲 零 正向最大 零 负向最大 零 乙 零 负向最大 零 正向最大 零 丙 正向最大 零 负向最大 零 正向最大 丁 负向最大 零 正向最大 零 负向最大 A．若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v B．若乙表示位移x，则甲表示相应的速度v C．若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v D．若丁表示位移x，则丙表示相应的速度v 4．如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示．由振动图像可以得知(　　) A．振子的振动周期等于t1 B．在t＝0时刻，振子的位置在a点 C．在t＝t1时刻，振子的速度为零 D．从t1到t2，振子正从O点向b点运动 5．一单摆由甲地移到乙地后，发现走时变快了，其变快的原因及调整的方法是(　　) A．g甲>g乙，将摆长缩短 B．g甲<g乙，将摆长放长 C．g甲<g乙，将摆长缩短 D．g甲>g乙，将摆长放长 6．如图所示，在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图示P位置是弹簧振子处于自然伸长的位置，若将振子m向右拉动5 cm 后由静止释放，经0.5 s振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是(　　) A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz B．若向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置 C．若向左推动8 cm后由静止释放，振子m两次经过P位置的时间间隔是2 s D．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要位移不超过20 cm，总是经0.5 s速度就降为0 7．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知(　　) A．振幅为2 cm，频率为0.2 Hz B．t＝1 s时速度为零，但质点所受合外力为最大 C．t＝2 s时质点具有正方向最大加速度 D．该质点的振动方程为x＝2sin 8．如图，轻质弹簧下挂重为300 N的物体A时伸长了3 cm，再挂上重为200 N的物体B时又伸长了2 cm，现将A、B间的细线烧断，使A在竖直平面内振动，则(　　) A．最大回复力为500 N，振幅为5 cm B．最大回复力为200 N，振幅为2 cm C．只减小A的质量，振动的振幅变小，周期不变 D．只减小B的质量，振动的振幅变小，周期不变 9．如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则(　　) A．其他各摆振动周期跟A摆相同 B．其他各摆振动的振幅大小相等 C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大 D．B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小 10．一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm，振动的平衡位置位于x轴上的O点．如图甲中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位移，黑点上的箭头表示运动的方向．如图乙给出的①②③④四条振动曲线，则下列选项中对振动图像描述正确的是(　　) A．若规定状态a时t＝0，则图像为① B．若规定状态b时t＝0，则图像为② C．若规定状态c时t＝0，则图像为③ D．若规定状态d时t＝0，则图像为④ 11．某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素． (1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示．这样做的目的是________(填字母代号)． A．保证摆动过程中摆长不变 B．可使周期测量得更加准确 C．需要改变摆长时便于调节 D．保证摆球在同一竖直平面内摆动 (2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则该摆球的直径为______ mm，单摆摆长为______ m. (3)下列振动图像真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，其中A、B、C均为30次全振动的图像，取sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是______(填字母代号)． 12．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中： (1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图甲所示，则该摆球的直径为______cm.摆动时偏角满足的条件是小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应经过最______(填“高”或“低”)点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期．图乙中停表示数为一单摆全振动50次所需时间，则该单摆振动周期为________． (2)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长，测量情况如图丙所示，O为悬挂点，从图丙中可知单摆的摆长为________m. (3)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________. (4)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大．”学生乙说：“浮力对摆球的影响就好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中________． A．学生甲的说法正确 B．学生乙的说法正确 C．两学生的说法都是错误的 (5)某同学用单摆测量当地的重力加速度．他测出了摆线长度L和摆动周期T.图丁所示为测摆线长度L的方法．通过改变悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组T与L，再以T2为纵轴、L为横轴画出函数关系图像如图戊所示．由图像可知，摆球的半径r＝________m，当地重力加速度g＝________m/s2(结果保留2位小数)；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________(填“偏大”“偏小”或“一样”)． 13．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移和时间关系如图所示． (1)求t＝0.25×10－2 s时刻的位移．(结果保留三位小数) (2)从t＝0到t＝8.5×10－2 s的时间内，质点的路程、位移各为多大？ 14．一轻弹簧上端固定在支架顶端，下端悬挂一物块，物块上装有一只记录笔，在竖直面内放置有一记录纸．当物块上下振动时，以速率v水平向左拉动记录纸，记录笔在纸上留下印迹如图所示．y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标． (1)求物块振动的周期和振幅； (2)若弹簧的劲度系数为k，物块与笔的总质量为m，写出物块振动到最高点时的加速度大小． 能力提升进阶练 1.一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，近似取π2＝10，则(　　) A．此单摆的摆长为10 cm B．此单摆的摆长为1 m C．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动 2.如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上，在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动．那么( ) A. 小球到达最右端时，弹簧的形变量为 B. 小球做简谐运动的振幅为 C. 运动过程中小球和弹簧组成的系统的机械能守恒 D. 运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变 3. 如图所示，小球在轻弹簧拉力作用下静止于光滑斜面上的O点， 现将小球拉至斜面上A点由静止释放．已知弹簧劲度系数为k，OA＝OB ＝x，下列说法中正确的是( ) A. 小球运动中的机械能守恒 B. 小球在弹簧原长处速度最大 C. 小球运动到B点受到的合外力大小为kx D. 小球运动中受弹簧的弹力与离开O点的位移成正比 4.如图所示,一轻质弹簧上端固定,下端悬挂一物块,取物块静止时所处位置为坐标原点O,向下为正方向,建立Ox坐标轴。现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放,不计空气阻力。已知物块的质量为m,弹簧的劲度系数为k,A位置的坐标为x1,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.该简谐运动的振幅为2x1 B.在任意周期内物块通过的路程一定等于x1 C.物块在A位置时的回复力大小为kx1 D.物块在A位置的回复力大小为kx1-mg 5.如图甲所示，一轻弹簧竖直固定在水平地面上，弹簧上端连接物块，将物块缓慢向下压，松手后，物块在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示（取竖直向上为正方向），则（　　） A．时，物块的速度和加速度方向相反 B．物块振动周期为，振幅为 C．时间内，速度和加速度都减小 D．时，物块的位移为 6.如图所示，质量为M的无下底的木箱放在水平地面上。箱子顶部用劲度系数为k的轻弹簧悬挂一个质量为m（M>m）的物体A，质量为2m的物体B用细线与A相连。平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐振动，则（　　） A．细线剪断瞬间，弹簧弹力大小为2mg B．细线剪断瞬间，物体A的加速度大小为2g，方向竖直向下 C．A做简谐振动的振幅为 D．当A运动到最高点时，木箱对地面的压力大小为 7.某实验小组探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量、单摆摆长的关系。    （1）小组内的两位同学各自组装了一套实验装置，分别如图甲、乙所示。为了保证小球在确定的竖直面内摆动，应选用图 （选填“甲”或“乙”）所示的实验装置。 （2）关于该实验，下列说法正确的是 。 A．该探究方法为控制变量法 B．实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小 C．实验时细线的最大摆角约为45° D．测量小球的摆动周期时，应该从小球处于最高点时开始计时 （3）当小球的质量一定，探究单摆做简谐运动的周期和摆长的关系时，该小组同学利用正确装置通过改变摆长进行了多次实验，画出的T2﹣l图像如图丙所示，由图丙可得小球的质量一定时，周期T和摆长l的关系为T= （用a、b、l表示）。 8.某学生小组用以下器材测量了校园附近的重力加速度。为了便于携带，该组同学将一单摆固定于某一开口向下的透明塑料杯顶端（单摆的下半部分露于杯外），塑料杯的深度h，如图甲所示。每次实验前，组内同学测出杯子的下端口到小球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T。实验开始时，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，且单摆在摆动过程中悬线不会碰到杯巷，最后利用测得的数据，以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，如图乙所示。 (1)实验时用10分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图所示，该摆球的直径d= mm。 (2)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次（记为第一次）通过最低点时按下停表开始计时，同时数0，当摆球第二次通过最低点时数1，依此法往下数，当他数到60时，按下停表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为______。 A． B． C． D． (3)在正确操作且不考虑偶然误差的情况下，实验所得到的 关系图线应是图乙中的 （选填a、b、c），由此可得当地的重力加速度g= m/s2（π取3.14，结果保留小数点后两位） 9.如图甲所示,有一悬挂在O点的单摆,将小球(可视为质点)拉到A点后释放,小球在同一竖直平面内的A、B、C之间来回摆动,已知B点为小球运动中的最低点,A、C两点为小球运动中的最高点,摆角为α(α<5°)。在O点接有一力传感器,图乙表示从某时刻开始计时,由力传感器测出的细线对小球的拉力大小F随时间t变化的曲线,由力传感器测得最小拉力为F2,图中F2、t0已知,当地重力加速度大小为g,求: (1)单摆的周期T和摆长l; (2)小球的质量m; (3)力传感器测出的拉力的最大值F1。 10.如图所示,将质量为mA=100 g的平台A连接在劲度系数k=200 N/m的弹簧上端,弹簧下端固定在地上,形成竖直方向的弹簧振子,在A的上方放置mB=mA的物块B,使A、B一起上下振动,弹簧原长为l0=5 cm。A的厚度可忽略不计,g取10 m/s2,求: (1)当振子做小振幅简谐振动时,A的平衡位置离地面C的高度; (2)当振幅为0.5 cm时,B对A的最大压力的大小。 11.如图所示,倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上,斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连,弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动),重力加速度为g。 (1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度; (2)求物块做简谐运动的振幅; (3)选物块的平衡位置为坐标原点,沿斜面向下为正方向建立坐标系,用x表示物块相对于平衡位置的位移,证明物块做简谐运动(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足F=-kx)。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$